高中数学函数建模
函数建模
一、教学内容
教材使用版本：北京师范大学出版社
课题出处：数学必修1第四章《函数应用》第二节《实际问题的函数建模》第三课《函数建模案例》学习内容简介：在学生掌握了实际问题的函数刻画和用函数模型解决实际问题的基础上，进一步学习函数建模案例。本课主要学习内容是：创设问题情境，对问题进行分析讨论、收集数据、模型建立与求解、模型评价检验、练习巩固、总结升华。并且在解决问题的过程中,借助信息技术处理数据（例如画散点图、解方程组等），将数学与信息技术进行整合。
二、学生分析
１．学生的认知起点：学生已经掌握了函数的概念，掌握了二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质，对函数知识有初步的应用能力。此外，学生掌握了基本的信息技术知识，能利用信息技术处理一些简单的数学问题。
２．学生的学习兴趣：本课是解决与实际生活密切相关的数学问题，学生表现出浓厚的学习兴趣，他们的积极性和主动性都很高。
３．学生的学习障碍：学生掌握了一定的数学知识，但应用意识、应用能力比较弱。本课恰好体现的是数学知识的应用方面，而从数学知识到数学应用常常成为学生学习上的障碍。
４．学生的学习难度：正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力，较强的分析能力，较好的全局运筹能力和局部处理能力，这些要求对学生的学习造成了一定的困难。
三、设计思想
１．教育理念：高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。
２．教学原则：教学过程中应体现学生的主体作用和教师的主导作用，倡导积极主动、勇于探索的学习方式。在教学过程中应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现，以达到信息技术与数学课程的有机整合。
３．教学方法：本课是通过做实验收集数据，对数据进行分析、处理，进而建立数学模型，进行问题解决的，所以应采用“实践——建模”的教学方式。
四、教学目标
根据新课程标准的要求，结合学生认知结构的特点以及素质教育的要求，确定本节课的教学目标如下：１．知识和技能
（１）把实际问题转化为数学问题，建立恰当的函数模型并求解，学会对函数模型的评价分析，掌握数学建模的一般过程。
（２）通过把实际问题抽象为数学问题，逐步把数学知识应用到生产生活的实际中去，形成应用数学的意识，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
２．过程和方法
（１）通过把实际问题转化为数学问题来解决，使学生经历和体验了通过函数建模的方式来解决实际问题过程。
（２）通过运用信息技术画散点图、解方程组等，使学生认识到信息技术在解决数学问题过程中所起到的作用和影响。
３．情感态度和价值观
（１）体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验函数与世界的密切联系，体验函数在刻画现实问题中的作用。
（２）通过实际问题的解决，培养学生科学的态度、合作的意识和实事求是的精神。
五、教学的重点和难点
１．重点：把实际问题转化为数学问题，建立恰当的函数模型并求解，懂得对函数模型进行评价分析的方法。
２．难点：是如何将实际问题转化为数学问题，恰当地选择数学模型，将文字语言转化为数学语言。
六、教学过程
陈述：我们做试验时记录相关数据如下
提问：请同学们观察散点的分布特点，选择那一种函数模型比较合理？
高中数学函数基础练习
函数基础 令狐采学 一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选 项） 1．如果A=}1|{->x x ，那么 （ ） A ．A ?0 B ． A ∈}0{ C ．A ∈Φ D ．A ?}0{ 2.下列图象中不能作为函数图象的是 （ ） 3.下列从集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） 4.下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．326(),()f x x g x x == D ．0()1,()f x g x x == 5.如图，U 是全集，M.P.S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示 的集合是 （ ） A.（M S P ??) B.（M S P ??) C.（M ?P ）?（CUS ） D.（M ?P ）?（CUS ） 6.函数5 ||4--=x x y 的定义域为（ ） A ．}5|{±≠x x B ．}4|{≥x x C ．}54|{<
A ．5 B ．－1 C ．－7 D ．2 8．若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集 合（ ） A ．}2|{a a D ．}21|{≤≤a a 9．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时f(x)是增函数，则f(－ 2), f(π), f(－3)的大小关系是( ) A. f(π)>f(－3)>f(－2) B. f(π)>f(－2)>f(－ 3) C ．f(π)
高中数学基本初等函数知识点梳理
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇 数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分 数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数
〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫 做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且
高中数学函数最值问题的常见求解方法
一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y
高中数学函数基础练习题
高中数学函数基础练习 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
函数基础 一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选项） 1．如果A=}1|{->x x ，那么 （ ） A ．A ?0 B ．A ∈}0{ C ．A ∈Φ D ．A ?}0{ 2.下列图象中不能作为函数图象的是 （ ） 3.下列从集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） 4.下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．326(),()f x x g x x == D ．0()1,()f x g x x == 5.如图，U 是全集，M.P.S 是U 的三个子集，则阴影部分 所表示的集合是 （ ） A.（M S P ??) B.（M S P ??) C.（M ?P ）?（C U S ） D.（M ?P ）?（C U S ）
6.函数5||4--=x x y 的定义域为（ ） A ．}5|{±≠x x B ．}4|{≥x x C ．}54|{<
高中数学必修1第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版
《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ）
A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
高中数学函数常用函数图形及其基本性质
高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见函数性质汇总 常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴） 的直线 一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时 奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周期性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第 一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时 奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k
补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0a 时；当0 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期： 高一数学基本初等函数部分练习题（2） 一、选择题：（只有一个答案正确，每小题5分共40分） 1、若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ D ） A 、m m n n a a a ÷= B 、n m n m a a a a =? C 、()n m m n a a += D 、01n n a a -÷= 2、已知(10)x f x =，则()100f = （ D ） A 、100 B 、10010 C 、lg10 D 、2 3、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ D ） ①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =；④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为 （ C ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???，则 （C ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ B ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()5lg 2lg 25lg 2lg 2 2?++等于 （ B ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（B ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、 2 31a a -- 二、填空题：（每小题4分，共20分） 9、某企业生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长率为()1112-+p . 10、[]643log log (log 81)的值为 0 . 高中数学函数的基础知识测试题 （时间：100分钟 分数：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的） 1．当 2 3 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f（x)定义域内任意一个ｘ，都有 ｆ(-x）=-f(ｘ),那么函数ｆ(x）叫做奇函数； 函如果对一函数ｆ（x)定义域内任意一个ｘ,都有 f(－x)＝f（x),那么函数ｆ(x)叫做偶函数 （1)利用定义直接判断; (２)利用等价变形判断： f(x)是奇函数ｆ(-x)+f(x)＝0?f(x)是 数ｆ(－ｘ)－ｆ(ｘ)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): （1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ａｘ2+bx+ｃ（a、 b、ｃ为常数,其中a ≠0) R a>0时，?[－ ,+∞） a＜０时,?(- ∞,] ｂ=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 ａ＞0时,?在(－∞，-]上是减函数 在（－,+∞]上是增函数 a<0时, 在（-∞,-］上是增函数 在(-，+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫 角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制１0＝弧度≈0.０1７４５ 弧度 l=S 扇形= 弧度制１弧度=≈５7018＇ｌ＝∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在ｘ轴负半轴上｛α∣α＝2kπ＋π,ｋZ} 在x轴上｛α∣α=ｋπ,k Z｝ 在y轴上{α∣α=ｋπ＋，k Z} 在第一象限内{α∣２ｋπ<α<2kπ+,kＺ} 在第二象限内{α∣2kπ+＜α<2kπ＋π,k Z｝ 在第三象限内 {α∣2ｋπ+π<α<2kπ+,ｋZ} 在第四象限内 ｛α∣2kπ+＜α<２kπ＋2π,kＺ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π ｓｉna 0 1 0 -1 ０ ｃosa １0 -１０ 1 此文档下载后即可编辑 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； 高中阶段常见函数性质汇总 函 数 名 称：常数函数 解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性 奇 偶 性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数：无反函数 周 期 性：无周期性 函 数 名 称：一次函数 解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 图象及其性质：直线型图象。|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 当b =0时，函数f (x )的图象过原点； 当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线； 当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线； 定 义 域：R 值 域：R 单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数； 当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数； 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数。[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周 期 性：无 函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )= x k (k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的 图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 图象成中心对称图形，对称中心为原点； 图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ； 定 义 域：),0()0,(+∞-∞Y 值 域：),0()0,(+∞-∞Y 单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数； 当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增 函数； 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 b 高中数学函数学生常见问题以及函数常见题型、解法指导 一、学生常见问题: (一)、认知层面的问题: 这个问题就是在高一学习函数时就一直在困扰学生的问题。我们要了解高一学生在学习数学时产生困难的原因,首先要了解学生的数学认知结构。即学生在对数学对象、数学知识与数学经验感知与理解的基础上形成的一种心理结构。通俗地说:数学认知结构就就是人们按照自己的经验与理解,根据自己的感知、记忆、思维的特点,把数学知识在大脑中组合而成的具有内部规律的整体结构。数学认知结构受个体认知特点的制约,具有浓厚的认知主体性与鲜明的个性色彩。高一新生在学习数学时的困难正就是由于数学认知结构的特点所决定。高一新生在学习高中数学时,碰到的困难比如无法理解函数的概念,无法建立对应的观念,对集合的概念理解不够透彻等问题,导致高中数学的学习存在很大的困难。 (二)、基础知识层面的问题: 在进行高三复习的时候,同学们普遍的反映都不太好。原因在于,同学们感觉学校老师复习得很快。学校老师的讲课思路就是先大致的把知识点串讲一遍,接着在课上做一些例题,课后给同学发一些卷子以做为练习,这些练习在做完之后老师也不一定会仔细的讲解,知识点的落实也不太扎实。因此同学感觉老师的复习很快。(因此这里学生会出现的问题就就是基础知识不扎实)那么我们在具体的操作中,首先应该了解学生复习的程度。在总复习的过程中侧重于整体性,所以可以先了解一下学生就是否有一个整体的框架。(框架的作用就是帮助PEC检查学生的知识体系就是否完善) 接下来,就就是要求学生能够对这个表格里的每个点都比较了解。(框架完善了,就要瞧基础知识点就是否真的落实) 首先这六大基础函数,学生就是否都了解呢？包括:正比例函数,反比例函数,一次函数,二次 高一数学必修1《基本初等函数》测试题 一、选择题．（共50分每小题5分．每题都有且只有一个正确选项．） 1、若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ） A 、m m n n a a a ÷= B 、n m n m a a a ?=? C 、()n m m n a a += D 、01n n a a -÷= 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ ） ①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =；③若22log log a a M N =则 M N =；④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为 （ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算lg52lg2)lg5()lg2(22?++等于 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是 （ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、 231a a -- 9、已知幂函数f(x)过点（2，2 2），则f(4)的值为 （ ） 2013高中文科数学知识点（函数） 一、函数的概念： 1. 函数的概念： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 2.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 二、定义域的求法： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1； (5) 指数为零，底不可以等于零； (6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合； (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 三、值域的求法: 1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 2.函数值域的常用方法： (1)观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 (2)配方法： (二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； 常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2 n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。 (3)换元法： 代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。 (4)分离常数法： 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。 (5)判别式法： 若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2 + b （y ）x +c （y ） =0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2 （y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值。 (6)最值法： 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y 的值域。 四、解析式的求法： 1. 待定系数法： 已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。 2. 函数性质法： 如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性），则可利用这些性质求出解析式。 函数基础题训练 1 ．函数()f x = ） A ．)1,-+∞?? B.[2,)+∞ C.[]1,2- D.)2,1(- 2 ．函数 的定义域是( ) A ． B ． C ． D ． 3．（5分） （2011?广东）函数f （x ）=+lg （1+x ）的定义域是（ ） A.（﹣∞，﹣1） B.（1，+∞） C.（﹣1，1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，+∞） 4 ） A ． B ． C ． D ． 5．函数y = 的定义域是（ ） A. (]0,2 B. (]0,16 C. (],2-∞ D . (],16-∞ 6．函数y= x x --2)1(log 2的定义域是（ ） A.(]2,1 B.（1，2） C.（2，+∞） D.(-∞,2) 7．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 211 -=-x y x 与1=+y x B. 1=y 与0 =y x C. 1y 与1=-y x D. =y x 与log (01)=>≠且x a y a a a 8．在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数．．．． 的是（ ） A ．()1f x x =-，21()1x g x x =－＋ B ．()1f x x =+，1,1()1, 1 x x g x x x +≥-?=? --<-? C ．()1f x =，0 ()=(1)x x +g D ．()f x x =，2 ()g x = 9．已知函数()? ??≤>=030 log 2x x x x f x ，，，则 ??? ? ????? ??41f f 的值是（ ） A ．9 1- B ．9- C ．91 D ．9 [4,1]-[4,0)-[4,0)(0,1]-U (0,1] 〖 2.1〗指数函数 根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）分数指数幂的运算性质① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数 〖2.2〗对数函数 负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． 几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． 常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 换底公式的推论： （5）对数函数 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α 是常数．{高中试卷}高一数学基本初等函数部分练习题[仅供参考]
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