山西省太原五中2013届高三4月月考数学理试题

太 原 五 中

2012—2013年学年度第二学期月考(4月)

高 三 数 学（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知R 为全集，{|(1)(2)0}A x x x =-+≤,则R C A =（ ） （A ）{|21}x x x <->或 （B ）{|21}x x x ≤-≥或 （C ）{|21}x x -<< （D ）{|21}x x -≤≤

2.设复数i

i x -=

12（i 是虚数单位），则2013

2013201333201322201312013x C x C x C x C +?+++=（ ）

A.i

B.i -

C.i +-1

D.i +1

3.已知(

)

1,6,2a b a b a ==?-=则向量a b 与的夹角为（ ） A.

2

π B.

3

π

C.

4

π D.

6

π 4．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且*

1()n n n b a a n N +=-∈， 若3102,12b b =-=，

则8a =（ ）

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11

5.如果随机变量），（2

1-~σξN ，且4.01

-3-(=≤≤）ξP ，则()1P ζ≥等于（ ） A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1

6.当4

x π

=

时，函数()()()sin 0f x A x A ?=+>取得最小值，则函数34y f x π??

=-

???

是

7 9

8 6 3 8

9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4

（ ）

A.奇函数且图像关于点,02π??

???

对称 B.偶函数且图像关于点(),0π对称 C.奇函数且图像关于直线2

x π

=

对称 D.偶函数且图像关于点,02π??

???

对称 7.设G 为△ABC 的重心，且0sin sin sin =?+?+?GC C GB B GA A ，则B 的大小为（ ） A ． 450 B ． 600 C ．300 D ． 150

8．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,

,.A A A 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流

程图。那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不可能是（ ） （A ）1 （B ）1.5 （C ）2 （D ）3

10. 2 013年第12届全国运动会举行期间，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去

服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有（ ）

11.

已知F 1、F 2分别是双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点.

主视图 左视图 俯视图

2

（第9题图）

若

a PF PF 8|

|||22

1=，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,2] B. [2 +∞) C. (1,3] D. [3，+∞)

12.已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +==+2

11,2

，则11112013321++++++++a a a a 的值所在区间是（ ）

A. )1,0(

B. )2,1(

C. )3,2(

D. )4,3(

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。 13.设?

=

π

sin xdx a ，则二项式6)1(x

x a -

的展开式中的常数项等于 .

14.设实数x ，y 满足约束条件2220,

20,220,x y x y x y x y ?-≤?

-≥??+--≤?

，则目标函数z x y =+的最大值

为 .

15.在等比数列{}n a 中，若t s r ,,是互不相等的正整数，则 有等式1=??---r t s t s r s

r t

a a a 成立.

类比上述性质，相应地，在等差数列{}n b 中,若t s r ,,是互不相等的正整数，则有等式________成立.

16.已知x ∈R ,用符号[]x 表示不超过x 的最大整数。函数[]()(0)x f x a

x x

=-≠有且仅有3

个零点，则a 的取值范围是__________.

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分） 在?ABC

中，A B C ∠∠∠，，所对边分别为a b c 、、，且满足

25

cos

25

A =.6=+c b 3.A

B A

C ?= （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求

A

C B A 2cos 1)

4sin()4sin(2-+++π

π的值.

18．（本小题满分12分）

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起

P

A

B C D

心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对

患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5

女10

合计50

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为

5

．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列，数学期望以及方差．

2

()

P K k

≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

（参考公式

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

其中n a b c d

=+++）

19．（本小题满分12分）

如图：四棱锥P ABCD

-中，

PA AD

⊥,

1

3

2

AD BC

==5

PC=

．AD∥BC，

AB AC

=．150

BAD

∠=?30

PDA

∠=?．（Ⅰ）证明: PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于1

4

，若存

在，指出F点位置，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆E ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E

相交于A ，B 两点，且22=+BF AF ，AB 最小值为2． （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）若圆:3

2

2

2

=

+y x 的切线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，问：OP 与OQ 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知函数2

1()22

f x ax x =+，()

g x lnx =. (1)设函数)()()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的单调区间；

(2)是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1

(,)e e

内有且只有两个不

相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。 22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图, ABC ?内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径, PA 是过点A 的直线, 且

ABC PAC ∠=∠.

(1)求证: PA 是⊙O 的切线;

(2)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC ,

5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求直径AB 的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程是：???

????+=+-=t y t x 225225 （t 为参数）.

（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）将曲线C 横坐标缩短为原来的2

1

，再向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知关于x 的不等式|2|||2(0)ax ax a a -+-≥>． （Ⅰ）当1a =时，求此不等式的解集；

（Ⅱ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．

一、CCBB DCBD DBCB

二、13. -160 14. 4 15. (r －s )b t ＋(s －t )b r ＋(t －r )b s ＝0

16. 3/4

17. 解：（I ）

25cos

25A =∴23cos 2cos 125

A A =-= 1分 又

3,AB AC ?=即cos 3bc A = ∴5bc = 3分

又6b c += ∴51b c =??=?或1

5b c =??=?

由余弦定理得222

2cos 20a b c bc A =+-=∴25a = 6分

（II ）

A

C B A 2cos 1)

4sin()4sin(2-+++π

π=

2sin()sin()

441cos 2A A A

ππ

π+-+-=

2sin()sin()

441cos 2A A A

ππ

+-- 8分 =cos 21cos 2A

A

-

-

10分

3cos 5A = ∴27cos 22cos 125A A =-=-∴原式=77

25732125

-

-=+

12分

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计

30

20

50

（Ⅱ）解：因为2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，所以28.333K ≈

又2

(7.789)0.0050.5%P k ≥==．

那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的． ……4分

（Ⅲ）解： ξ的所有可能取值：0，1，2，3

37310357

(0)12024C P C ξ====；

12373

106321

(1)12040C C P C ξ?====； 21373

10217

(2)12040

C C P C ξ?====； 333101

(3)120

C P C ξ===

； ………7分 分布列如下： ………8分

ξ

0 1 2 3

P

724 2140 740 1120

则721719

012324404012010E ξ=?+?+?+?=

2222979219791

(0)(1)(2)(3)10241040104010120D ξ=-?+-?+-?+-?

49100

D ξ= ξ的数学期望及方差分别为910

E ξ=，49

100

D ξ=

………10分 低碳生活，节能减排，控制污染源，控制排放．（回答基本正确就得分） …12分

19．（Ⅰ）证明：取线段BC 中点E ，连结AE ．

因为3AD =30PDA ∠=?所以1PA = ……1分 因为AD ∥BC ，150BAD ∠=?所以30B ∠=?， ……2分 又因为AB AC =，所以AE ⊥BC ，而23BC = 所以230

BE

AC AB cos ?

==

=． ……4分 因为5PC =，所以2

2

2

PC PA AC =+ 即PA AC ⊥ 因为PA AD ⊥，且AD

AC A =

所以PA ⊥平面ABCD ……6分 （Ⅱ）解：以A 为坐标原点，以,,AE AD AP

所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示： 则,,,P B C D 四点坐标分别为：

(0,0,1)P ；(1,3,0)B ；3,0)C ；3,0)D ……8分

设111(,,)F x y z ；平面PBC 的法向量(,,)u x y z =．

因为点F 在线段PD 上，所以假设PF PD λ=，所以111

031x y z λλ=??

=??=-? (01)λ<≤

即3,1)F λλ-，所以(1,33,1)FC λλ=-． …9分 又因为平面PBC 的法向量(,,)u x y z =．

所以0,0u PB u BC ?=?=，所以30

230

x y z ?-=??=??

D

P

A

B

C

F E

所以(1,0,1)u = ……10分 因为直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于

14，所以||14

||||FC u FC u ?=?． 2

1

4

214(1)λ=

?+- 即12λ=．所以点F 是线段PD 的中点． ……12分

20．解：（Ⅰ）设A ()00,y x B(00,y x -)F(c,0)(

)2

2

2

b

a c +=则

2222=∴==+a a BF AF -----------------------------------------1分

()()2202222202

02

02

021222a x c b b a x x y x AB +=???? ?

?-+=+=2200a x ≤≤ 122min =∴==∴b b AB 所以有椭圆E 的方程为12

22

=+y x -----------------5分

（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L 的方程为y=kx+m

L 与圆322

2

=+y x 相切，∴3612

=

+k m ∴()

13222

+=k m -----------------7分 L 的方程为y=kx+m 代入12

22

=+y x 中得： ()()0128,022********>-+=?=-+++m k m kmx x k 令()()2211,,,y x Q y x P ，

2

21214k km

x x +-=

+① 22212122k m x x +-=② ()2

222

2121221212k

k m m x x km x x k y y +-=+++=③--------------------10分 0212

2321221222

22222222121=+--=+-++-=+=?k k m k k m k m y y x x

∴OQ OP ⊥------------------------------------------------------12分

2. (本小题满分12分)

解 （Ⅱ）把方程

()()(21)g x f x a x '=-+整理为2(21)lnx

ax a x =+-+， 即为方程2

(12)0ax a x lnx +--=. ……………5分

设2

()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，原方程在区间(1,e e

)内有且只有两个不相等的

实数根, 即为函数()H x 在区间(1

,e e

)内有且只有两个零点. ……6分

1()2(12)H x ax a x

'=+--22(12)1(21)(1)

ax a x ax x x x +--+-==…………7分

令()0H x '=，因为0a >，解得1x =或1

2x a

=-（舍） …………………8分

当(0,1)x ∈时, ()0

H x '<, ()H x 是减函数；当(1,)x ∈+∞时, ()0H x '>，()H x 是增函数.……10分

()H x 在(1

,e e )内有且只有两个不相等的零点, 只需min 1

()0,()0,()0,

H e H x H e ?>????

即222

2212(12)10,(1)(12)10,(12)1(2)(1)0,a a a e a e e e e H a a a ae a e e e a e ?--++++=>???=+-=-??? ∴22,211,1,

2e e

a e a e a e e ?+??-?>-??

解得2121e e a e +<<-, 所以a 的取值范围是(21,21

e e

e +-) ．

22.（1）∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°， 又∵∠PAC=∠ABC ，∴∠PAC+∠BAC=90°，即∠PAB=90°， ∴BA ⊥PA ，∴PA 是圆O 的切线 ----------------------- 5分 （2）设AE=2m ，DE=5n ，则BE=3m ，CE=6n ， 由相交弦定理得6m2=30n2，∴m=5n 由AC/BD=AE/DE 得BD=45

设BC=X ，由BC/AD=CE/AE 得AD=5/3X

由AC2+BC2=AD2+BD2解得X=6， ∴AB=10------------------------10分

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

（Ⅰ）解：当1a =时， 不等式为|2||1|2x x -+-≥.

由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1，2的距离之和大于

于2.∴52x ≥

或12x ≤ ∴不等式的解集为51|22x x x ?

?≥≤???

?或. ……5分

注 也可用零点分段法求解．

（Ⅱ）解：∵|2||||2|ax ax a a -+-≥-，

∴原不等式的解集为R 等价于|2|2a -≥， ∴4a ≥或0a ≤，又0a >，

∴4a ≥. ……10分