(完整版)证明不等式的基本方法——比较法

第二讲证明不等式的基本方法

课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法

一．教学目标

（一）知识目标

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

（二）能力目标

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标

（1）激发学习的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

二．教学的重难点及教学设计

（一）教学重点

不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的

（二）教学难点

借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途

（三）教学设计要点

1.情境设计

用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。

2.教学内容的处理

（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。

（2）补充一组证明不等式的变式练习。

（3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。

3.教学方法

独立探究，合作交流与教师引导相结合。

三．教具准备

水杯、水、白糖、调羹、粉笔等

四．教学过程

(一)、新课学习：

1.作差比较法的依据：

a

b

a

>b

?

>

-

a

a

=b

b

-

?

=

a

a

b

?

-

<

作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论2.作商比较法的原理和步骤：

,111a b R a a b b

a a

b b

a a

b b +

∈>?

>=?=

作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论

(二)、典型例题： 例1、已知b a ,都是正数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+.

证明：采用差值比较法：

3322323222222()()

()()

()()

()()

()()

a b a b ab a a b b ab a a b b b a a b a b a b a b +-+=-+-=-+-=--=-+（因式分解）

223322,,0

()0,0

()()0

a b a b a b a b a b a b a b a b ab ≠>∴->+>∴-+>∴+>+Q 假如没有已知b a ,都是正数这个条件，结论又该分几种情况进行讨论？ 例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++

证明：采用差值比较法：

2242)1()1(3x x x x ++-++

=3242422221333x x x x x x x ------++

=)1(234+--x x x

=)1()1(222++-x x x

=].4

3)21[()1(222++-x x （配方法） ,04

3)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而Θ ∴ ,0]4

3)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++

若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？

...,,,()()()

,0;,,a akg bkg b

a m mkg

b m

a m a a

b m a b b m b

a m a m

b a b m b b b m a b b a a b m +++<>++--=++<∴->Q Q 例3如果用白糖制出糖溶液，则糖的质量分数为若在上述溶液中再添加白糖，此时糖的质量分数增加到将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.

解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：

已知都是正数，并且则下面给出证明.

将不等式两边相减，得通分又都是正数，所()0,()0()00()m b a b b m m b a a m a b b m b m b

a m a

b m b ->+>-+∴>->+++∴>+以即

例4、已知,,+∈R b a 求证：.a b b a b a b a ≥ 证明：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设0a b ≥>

差值比较法失效采用商值比较法：

,0,1≥-≥b a b

a Θ ()()a

b a b a b a b b a a b a a b a b b ----∴==

101,0,101,0,1a b a b a b a b b a a a b b

a a a

b a b b b

a a a a

b b b

a b a b ---==>>>->>>><-<>∴≥当时（）当时，（）当b 时，0<（）

故原不等式得证.

例5.若0>≥≥c b a ，求证.)(3c

b a

c b a abc c b a ++≥.

3333

30,,0

,,1()()()1()()a b b c a c a b c a b c a b c

a b c a b c a b b c a c a b a b c c

a b c a b a b c c abc a b c abc ---++++≥≥>---≥≥∴=≥≥Q 证：则同时即

(三)、课堂练习：

1．已知.1≠a 求证：（1）;122->a a （2）.1122<+a

a 222,,a

b

c b c c a a b a b c a b c a b c +++≥2.已知是正数，求证

五、课时小结：

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的关键，是最重要的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几个因式的乘积，或其它可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与1的大小关系，大多数情况如上面例4、5最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性与性质来进行判断较容易.

六、布置作业：

课本23页第1、2、3题。

)（要求：按照课堂上老师演示做题的形式和格式，

解题过程中做到有逻辑性、条理性、步骤要有理有据

七．板书设计

情境创设调动了学生学习的积极性，课堂比较活跃，也鼓舞了我的教学热情，树立了信心，同学们多种多样的思维方式和做题方法也拓宽了我的思路，了解到一部分同学对这类知识理解和掌握的局限性，促使我将知识讲得更加清晰明澈，以便帮助同学们对所学知识理解更到位，我们师生相互学习共同进步。

不等式证明的基本方法

'、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a，b为实数，贝当且仅当ab>0时，等号成 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a —b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，贝等号成立，即b落在a，c之间 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到

判别式法证 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是 错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A> B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数，设a、b€ R,且a^b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ① 当ab< —1时，式①显然成立； 当ab>—1时，式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二：当a=—b 时，原不等式显然成立； 当a M— b 时, ???原不等式成立。

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1

推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：

北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题

选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立．

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以

不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．

经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0> d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2 a b +≥2 1 4 s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当且仅当时，等号成立。 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即： 当且仅当a 时，等号成立。

证明不等式的基本方法(20200920095256)

12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ；

比较法证明不等式.

比较法证明不等式 2013-12-07 比较法证明不等式 1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a- b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的.正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/2 因a^a*b^b=(ab)^ab, 又ab>a+b/2 故a^a*b^b>(ab)^a+b/2 已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4. 用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4 下面这个方法算不算“比较法”啊?

用比较法证明不等式.许兴华

——高中数学教案 课题：用比较法证明不等式 （５３００２１广西南宁三中 许兴华） 教学目标：1、通过本课的学习，使学生掌握两种“比较法（作差比较法与作商 比较法）”证题的基本原理； 2、学会“比较法”证题的基本步骤； 3、初步学生培养分析问题解决问题的能力. 重点难点：重点是牢固掌握用“比较法”证题的步骤； 难点是掌握变形的思路和技巧. 教学过程： 一、复习引入： 1、实数大小比较的依据是什么？ （让学生回答）主要依据是： ①a －b ＞0 ＞b ②a －b ＝0 b ③a －b ＜0 b 2、 由以上法则我们知道： ① 要证a ＞b ，只需证a －b ＞0； ② 要证a ＜b ，只需证a －b ＜0.于是我们得到不等式证明的一种方法：作差 比较法. 二、新授课： 1、“作差比较法”证明不等式： 例1：求证：x 2+3>3x （1） 分析：欲证x 2+3>3x ，只需证x 2+3－3x ＞0 （2） 于是配方即得:04 3 )23(2>+-x ,此不等式显然成立. （3） 证明：板书证明过程（略）. 例2：已知a ，b ∈R +，并且a ≠b ，求证： a 5＋ b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 (1)分析：要证a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ,只要证明(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)>0 而(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)=(a 5－a 3b 2)+(b 5－a 2b 3) =a 3(a 2－b 2)－b 3 (a 2－b 2)= (a 2－b 2)(a 3－b 3)

= (a －b)2(a+b)(a 2+ab+b 2)>0 (),,b a R b a ≠∈+ (2)：板书证明过程(略). 引导学生进行小结:用“作差比较法”证不等式的步骤是： ①作差 ②恒等变形 ③ 判断符号 ④结论 其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”的目的.证明的实质：进行实数大小比较. （3）为了确定差的正负，“变形”的目标一般是： ① 一个常数； ② 一个常数与一个或几个平方的和的形式； ③ 几个因式的积的形式. 课堂练习：设a ＞b ＞0，比较2 222b a b a +-与 b a b a +-的大小. （要求一位学生到黑板去做，其余学生在下面做，大家都做完后，教师进行适当讲评） （1） 分析：作差通分变形即可. （2） 证明：必要时纠正学生的板书“证明过程”. 2、“作商比较法”证明不等式： 比较法还有“作商比较法”：若已知b>0 , 则要证.1,>>b a b a 只要证明 例3．已知+∈R b a ,，求证：a b b a b a b a ≥. 分析：0,,>∴∈+ a b b a R b a ，故只要证明1≥a b b a b a b a . 不妨设b a ≥,则.1,0,1≥? ?? ??==∴≥-≥---b a b a b a a b b a b a b a b a b a b a b a （板书证明过程）（略） 三、课堂练习： 课本：P.7之1、2、3、4. 5.(补充练习):已知,0>>>c b a 求证:3 )(c b a c b a ab c c b a ++>. 练习后，当堂讲评:

证明不等式的基本方法-比较法

第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a

不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1

三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++0有不等式x x 11ln - ≥，如果令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，如果令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k k 1ln )1ln(11<-+<+，然后叠加不等式即可。 解：设函数x x x x f ln 1)(+-=，则易证0)(≥x f ，即不等式x x 11ln -≥对于x>0恒成立， 令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k 11ln <+成立。从而有k k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k k k 11ln <+中，分别令,3,,2,1n n n k K ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n n n K K 即n n n 312111+++++K >113ln ++n n 2ln 1 22ln =++≥n n 在不等式1 11ln +>+k k k 中，分别令k=n,n+1,K 3n-1,并把所得的不等式相加，得 n n n 312111+++++K <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n n n n n n K 即不等式3ln 3121112ln <+++++

不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］

1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：

高中数学课时分层作业6比较法证明不等式(含解析)北师大版选修45

高中数学课时分层作业6比较法证明不等式（含解析）北师大版 选修45 课时分层作业(六) (建议用时：45分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．已知x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定 [解析] ∵2M －2N ＝(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2≥0，∴M ≥N . [答案] A 2．如果实数a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )>0 C ．ac (a －c )<0 D ．cb 20，c <0，b 的符号不定， ∴A 一定成立，B 一定成立，C 一定成立，而D 中，b 可能为0，故不一定成立． [答案] D 3．已知a >b >－1，则 1a ＋1与1b ＋1的大小关系是( ) A ． 1a ＋1>1b ＋1 B ．1a ＋1<1b ＋1 C ．1a ＋1≥1b ＋1 D ．1a ＋1≤1b ＋1 [解析] ∵a >b >－1，∴a ＋1>0，b ＋1>0，a －b >0，则 1a ＋1－1b ＋1＝b －a (a ＋1)(b ＋1)<0，∴1a ＋1<1b ＋1 . [答案] B 4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝ an bn ＋1，其中a ，b 均为正数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n

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第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01 课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式,熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据,以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想, 用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0 或1 比较大小转化的数学思想,证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1. 情境设计 用糖水加糖更甜,实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境,激发学生学习动机,通过将实际问题转化为不等式大小的比较,引入新课。 2. 教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。（2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法,何时用作商法的习题,帮助同学们更好地理解比较法。 3. 教学方法 独立探究,合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 ( 一) 、新课学习： 1. 作差比较法的依据： a b a b 0

证明：采用差值比较法：

已知a, b, m都是正数,并且 a b,则 下面给出证明. a,b 证明：注意到要证的不等式关于对称,不妨设

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)

证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12； n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

高中数学教案 选修4-5教案 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法

三 反证法与放缩法 ☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ????? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 . 12 ( ) n B B B B A ?????结步步寻求不等式已 论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例x y y x y x y x ++>+>. ,0,0,0.0.0,0 )(,0, 0,00,0)2(.0,0,0,0)1(. 00,0, ,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能 相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a

不等式证明之比较法

教学目标 1．掌握证明不等式的方法——比较法； 2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤． 教学重点比较法的意义和基本步骤. 教学难点常见的变形技巧. 教学方法启发引导式. 教学过程 （－）导入新课 （教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？． （学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题． （学生甲回答：，，，）［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就能够了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．（板书课题） 设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识． （二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】 （教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目 [问题] 求证 教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明． （学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题． （得出证明过程后） 点评］ ①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这个方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过． ②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化． ③理论依据是： ④由，，知：要证明只要证；要证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法． 设计意图：协助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想． 【例题示范，学会应用】 （教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．

高考热点不等式的证明方法

高考热点不等式的证明方法 热点一比较法证明不等式 【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b)．【证明】因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝ a a(a－b)＋ b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 1 2 － b 1 2 )(a 3 2 －b 3 2 )，因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b， 都有a 1 2 －b 1 2 与a 3 2 －b 3 2 同号，所以(a 1 2 －b 1 2 )(a 3 2 －b 3 2 )≥0， 所以a2＋b2≥ab(a＋b). 设不等式|2x－1|<1的解集为M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 解：(1)由|2x－1|<1，得－1<2x－1<1，解得00，故ab＋1>a＋b. 热点二 1.

热点三 放缩法证明不等式 【例3】 设a ，b ，c 均为正实数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . 【证明】 ∵a ，b ，c 均为正实数， ∴12? ????12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立； 12? ????12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ，当且仅当b ＝c 时等号成立； 12? ????12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a ，当且仅当c ＝a 时等号成立； 三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立. 设s ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)，求证：12n (n ＋ 1)1×1＋2×2＋3×3＋…＋n ×n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，s <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2 ＝12[3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)]＝12n (n ＋2)，∴12n (n ＋1)