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新七年级数学暑假培训班讲义

前言

同学们已经有了六年学习数学的经验,你认为数学是个什么样子的呢?

为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”?

数学有非常广泛的用途,数学的内涵极其丰富,“生活中处处都有数学”,你同意这种观点吗?

请同学们来讨论下面的几个问题:

(1)几个老人去赶集,半路买了一堆梨,每人一个多一个,每人两个少两个,请你用心想一想究竟有几个老人几个梨?

(2)你能将两个同样大小的正方形适当地分割,再拼成一个较大的正方形么?你还能将三个同样大小的正方形适当分割后,再将其拼成一个较大正方形么?

(3)有这样一个故事:太平洋中有A、B两个靠得较近的小岛.A岛居民都是诚实的人,向他们问问题都能得到真实的答案;而B岛的居民则恰恰相反,都不诚实,向他们问问题都不会得到真话回答.某天一个旅游者独自登上了A、B两岛中的一个,但不能分辨这个岛是A岛还是B岛,而且这个岛上的人既有该岛的居民,也有从另一个岛来的客人.旅游者想问岛上的人“这是A岛还是B岛?”却又无法判断被问者的答案是否正确.旅游者动了动脑筋,想了想,终于想出一个好办法:他只需问遇到的任何一个人一句话,就能从对方的回答中断定这里是A岛还是B岛.

你知道这个旅游者问的问题是什么吗?他又是怎样做出判断的呢?

数学所包括的内容是丰富多彩的,既有关于数的问题,如第(1)题;也有关于图形的问题,如第(2)题;也有关于逻辑推理的问题,如第(3)题,等等.

此外,数学的运用也是非常广泛的.我国著名数学家华罗庚先生曾经说过:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学.”

下面我们来尝试解答以上三个问题。

第(1)题可能有下面几种不同的解法,如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法,则需要老师灵活处理.

法一:由于梨的总数与人数不变,而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个,而每人所分得的梨的个数相差1个,因此由3÷1=3可知有3个老人,于是由3×2-2=4可知有4个梨.

法二:假设有2个老人,借助检验可以发现与实际情形不相符;假设有3个老人,借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的,于是可以在此基础上求得一共有4个梨.法三:假设有x个老人,则有(x+1)个梨;而每人分2个梨,于是一共有(2x-2)个梨.从而有方程2x-2=x+1,解此方程得x = 3.因此,我们知道一共有3个老人,4个梨.按照假设法解答这个问题,答案正确是予肯定的.但假设法并不能说明除此解之外,就一定没有其他符合这个问题的解了.因此,还需要做更深入的继续思考.

假设法虽然有一定的局限性,但是也有其合理性,当你还不能全面把握这个问题之前,试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性,有助于我们更深刻地揭示问题的本质,进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法,因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的,而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一.

设未知数列方程来解答数学问题,也是一种很好的解决数学的途径之一,而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法,在七年级第一学期将要重要学习,需要同学们引起足够的重视.

对于第(2)个问题,我们可以通过动手操作来解决问题。

比如先可以将三个正方形中的两个沿对角线剪开,如图1,然后再拼成图2的形状.再在图2的基础上,连结AB 、BC 、CD 、DA ,将画阴影的四个三角形剪掉,补到黑色部分上去,如图3,这样所得到的四边形ABCD 就是一个符合条件的较大的正方形了.

这个问题的求解过程,作为图形的拼合时

用到了旋转的方法;若要证明最后拼合而成的四边形是一个正方形的话,则需要用到全等或者图形的旋转等.不论是旋转变换,还是全等

等方法都是初中数学所不可回避的重要内容.

第(3)题是一道逻辑推理题,可以先把

学生分成小组让他们讨论几分钟,让他们相互

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交流一下思想,然后再找学生来谈自己的想法

或推导过程,教师再在此基础上综合学生的发

言,进行适当的补充或深化.

我们在下表中列出了在不同的地点,不同的被访问者,针对同一问题的不同回答.

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借助这张表我们可以一目了然地得到这样的一个结论:如果这个问题是在A 岛提出来的,那么不论是A 岛的居民,还是B 岛的居民,给出的答案都应该是“是”;如果这个问题在B 岛提出来的,答案总“不是”.

这就为旅游者判断提问的地方是哪个岛提供了依据,于是“问路问题”就得到了解决.聪明的旅游者的问话是“你是这个岛的居民吗?”如果对方回答“是”,那么这个岛一定是A 岛;如果对方回答“不是”,那么这个岛就一定是B 岛.

学习数学是件很有趣的事情,数学可以让我们变得聪明,“数学是思维的体操”,只要我们多与数学打交道,与数学交朋友,坚持用数学的眼光去看问题,用数学的头脑去想问题我们就一定能感受到数学的魅力与乐趣,就一定能够学好数学,成为主宰世界未来的科学家。

拓展练习

(1)如图4,要在所有的台阶上铺上地毯,至少需要长为

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多少米地毯? (2)用火柴棒拼成图5所示的“田”字形图,拼1个“田”

字要12根火柴棒,拼2个这样的田字形图,需要多少根火柴棒?

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拼3个呢?4个呢?5个呢?你能从中找到规律,拼写n 个这样的田字形图,需要多少根火柴棒吗?

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(3)扑克牌游戏:在扑克牌1~k 中,请你任抽一张,点数

记在心,然后做下面的计算:把这张牌的点数乘以2,再加上3,

把得数乘以5,最后减去25.我将这个得数加上10后再除以

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10就可以知道你抽取的牌的点数了,你知道个中的缘由吗? 图153421图2 图3 图5

图4

2.8米