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初中七年级数学培优有理数的巧算含答案

初中七年级数学培优有理数的巧算含答案
初中七年级数学培优有理数的巧算含答案

第一讲有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.

1.括号的使用

在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.

例1计算:

分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化.

注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算.

例2计算下式的值:

211×555+445×789+555×789+211×445.

分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.

解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000.

说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧.

例3计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n.

分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法.

解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n.

下面需对n的奇偶性进行讨论:

当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有

当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有

例4在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?

分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1.

现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.

这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.

所以,所求最小非负数是1.

说明本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化.

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2.用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:

(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22.

这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我们得到了一个重要的计算公式

(a+b)(a-b)=a2-b2,①

这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.

例5计算3001×2999的值.

解3001×2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8 999 999.

例6计算103×97×10 009的值.

解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)

=1004-92=99 999 919.

例7计算:

分析与解直接计算繁.仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数:12 345,12 346,12 347.可设字母n=12 346,那么12 345=n-1,12 347=n+1,于是分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得

n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,

即原式分母的值是1,所以原式=24 690.

例8计算:

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

分析式子中2,22,24,…每一个数都是前一个数的平方,若在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了.

解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……

=(232-1)(232+1)

=264-1.

例9计算:

分析在前面的例题中,应用过公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.

这个公式也可以反着使用,即

a2-b2=(a+b)(a-b).

本题就是一个例子.

通过以上例题可以看到,用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子,也可使计算简化.

例10计算:

我们用一个字母表示它以简化计算.

3.观察算式找规律

例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.

87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.

分析与解若直接把20个数加起来,显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在90上下,所以可取90为基准数,大于90的数取“正”,小于90的数取“负”,考察这20个数与90的差,这样会大大简化运算.所以总分为

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799,

平均分为90+(-1)÷20=89.95.

例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值.

分析观察发现:首先算式中,从第二项开始,后项减前项的差都等于2;其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000,于是可有如下解法.

解用字母S表示所求算式,即

S=1+3+5+…+1997+1999.①

再将S各项倒过来写为

S=1999+1997+1995+…+3+1.②

将①,②两式左右分别相加,得

2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)

=2000×500.

从而有S=500 000.

说明一般地,一列数,如果从第二项开始,后项减前项的差都相等(本题

3-1=5-3=7-5=…=1999-1997,都等于2),那么,这列数的求和问题,都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.

例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值.

分析观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5,所得新和式中除个别项外,其余与原和式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.

解设

S=1+5+52+…+599+5100,①

所以

5S=5+52+53+…+5100+5101.②

②—①得

4S=5101-1,

说明如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决.

例14 计算:

分析一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以我们不但不通分,反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法.

解由于

所以

说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用.

练习一

1.计算下列各式的值:

(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999;

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100;

(3)1991×1999-1990×2000;

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636;

(6)1+4+7+ (244)

2.某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分.

81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.

七年级有理数培优题(有答案)

有理数培优题基础训练题 一、填空: 1、在数轴上表示-2的点到原点的距离等于( )。 2、若∣a ∣=-a,则a ( )0. 3、任何有理数的绝对值都是( )。 4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是( )。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次,列式表示厚度是( )。 6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-,则a b +=( ) 7、|2||3|x x -++的最小值是( )。 8、在数轴上,点A 、B 分别表示2 1 41,-,则线段AB 的中点所表示的数是( )。 9、若,a b 互为相反数,,m n 互为倒数,P 的绝对值为3,则 ()2010 2a b mn p ++-=( ) 。 10、若abc ≠0,则 |||||| a b c a b c ++ 的值是( ) . 11、下列有规律排列的一列数:1、43、32、85、5 3 、…,其中从左到右第100个数是( )。 二、解答问题: 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4,z 对应的点到-2对应的点的距离是7,求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。 3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数,求x 满足的条件及此时常数的值。 4、若,,a b c 为整数,且20102010||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 5、计算:- 21 +65-127+209-3011+4213-56 15+7217 6、应用拓展:将七只杯子放在桌上,使三只口朝上,四只口朝下。现要求每次翻转其中任意 四只,使它们杯口朝向相反,问能否经有限次翻转后,让所有杯子杯口朝下? 能力培训题 知识点一:数轴 例1:已知有理数a 在数轴上原点的右方,有理数b 在原点的左方,那么( ) A .b ab < B .b ab > C .0>+b a D .0>-b a 拓广训练: 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数,在a b b a a b b a ---+,,2,中,负数的个数有( )(“祖 冲之杯”邀请赛试题) A .1 B .2 C .3 D .4

苏科版七年级上册数学 有理数单元培优测试卷

一、初一数学有理数解答题压轴题精选(难) 1.如图,为原点,数轴上两点所对应的数分别为,且满足关于的整式与之和是是单项式,动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动. (1)求的值. (2)当时,求点的运动时间的值. (3)当点开始运动时,点也同时以每秒个单位长度的速度从点向终点运动,若 ,求的长. 【答案】(1)解:因为m、n满足关于x、y的整式-x41+m y n+60与2xy3n之和是单项式 所以 所以m=-40,n=30. (2)解:因为A、B所对应的数分别为-40和30, 所以AB=70,AO=40,BO=30, 当点P在O的左侧时: 则PA+PO=AO=40, 因为PB-(PA+PO)=10, PB=AB-AP=70-4t 所以70-4t-40=10 所以t=5. 当点P在O的右侧时: 因为PB

又因为PQ= AB=35 所以70-6t=35 所以t= ,AP= = , ②如图2,当点P在点Q右侧时, 因为AP=4t,BQ=2t,AB=70, 所以PQ=(AP+BQ)-AB=6t-70, 又因为PQ= AB=35 所以6t-70=35 所以t= 所以AP= =70. 【解析】【分析】(1)根据单项式的次数相同,列方程即可得到答案;(2)分情况讨论:当点P在O的左侧时:当点P在O的右侧时.即可得到答案.(3)结合题意分别计算:①如图1,当点P在点Q左侧时,如图2,当点P在点Q右侧时. 2.同学们都知道,|3-(-1)∣表示3与-1的差的绝对值,其结果为4,实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离,其距离同样是4;同理,∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离,试利用数轴探索: (1)试用“| |”符号表示:4与-2在数轴上对应的两点之间的距离,并求出其结果; (2)若|x-2|=4,求x的值; (3)同理,|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和,请你直接写出所有符合条件的整数x,使得|x-3|+|x+2|=5;试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值. 【答案】(1)解:|4-(-2)|=6 (2)解:x与2的距离是4,在数轴上可以找到x=-2或6 (3)解:当-2≤x≤3时,x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5,∴符合条件的整数x=-2,-1,0,1,2,3; 当x<-2或x>3时,x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5,∴|x-3|+|x+2|的最小值是5 【解析】【分析】(1)根据已知列式求解即可;(2)按照已知去绝对值符号即可求解.(3)当-2≤x≤3时,x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5;当x<-2或x>3时,x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5,由此即可得出结论. 3.阅读填空,并完成问题:“绝对值”一节学习后,数学老师对同学们的学习进行了拓展.

初一数学有理数计算题分类及混合运算练习题(200题)

初一数学有理数计算题分类及混合运算练习题(200题) 有理数加法 1、(-9)+(-13) 2、(-12)+27 3、(-28)+(-34) 4、67+(-92) 5、 (-27.8)+43.9 6、(-23)+7+(-152)+65 原则一:所有正数求和,所有负数求和,最后计算两个数的差,取绝对值较大的数的符号。 7、|52+(-31)| = 8、(-52 )+|―31| = 9、 38+(-22)+(+62)+(-78)= 10、(-8)+(-10)+2+(-1) 11、(-32)+0+(+41)+(-61)+(-21) =、 = 12、(-8)+47+18+(-27) 13、(-5)+21+(-95)+29 = = 14、(-8.25)+8.25+(-0.25)+(-5.75)+(-7.5) 15、 6+(-7)+(-9)+2 = = 16、 72+65+(-105)+(-28) 17、(-23)+|-63|+|-37|+(-77) = = 18、19+(-195)+47 18、(+18)+(-32)+(-16)+(+26) = = 20、(-0.8)+(-1.2)+(-0.6)+(-2.4) 21、(-8)+(-321)+2+(-21 )+12 = = 22、 553+(-532)+452+(-31 ) 23、(-6.37)+(-343)+6.37+2.75 = = 原则二:凑整,0.25+0.75=1 4 1+43=1 0.25+43 =1 抵消:和为零

7-9 = ―7―9 = 0-(-9) = (-25)-(-13) = 8.2―(―6.3) (-321)-541 (-12.5)-(-7.5) = = = (-26)―(-12)―12―18 ―1―(-21)―(+23) (-41)―(-85)―81 =-44 =-2 =41 (-20)-(+5)-(-5)-(-12) (-23)―(-59)―(-3.5) |-32|―(-12)―72―(-5) =-8 =39.5 =-23 (+103)―(-74)―(-52)―710 (-516)―3―(-3.2)―7 (+71)―(-72 )―73 =―7011 =-10 =0 (-0.5)-(-341)+6.75-521 (+6.1)―(-4.3)―(-2.1)―5.1 =4 =7.4 (-32)―(-143)―(-132)―(+1.75) (-332)―(-243)―(-132 )―(-1.75) =1 =2.5 -843-597+461-392 -443+61+(-32 )―25 =-13127 =-743 0.5+(-41)-(-2.75)+21 (+4.3)-(-4)+(-2.3)-(+4) =3.5 =2 原则三:结果的形式要与题目中数的形式保持一致。如确定是分数还是小数,分数必须是带分数或真分数,不得是假分数,过程中无所谓。

有理数计算培优100题

有理数计算培优100题 1、()()[] 2232311501--??? ? ??-?---. 2、()()[] 2 232311501--???? ??-?---. 3、()()2552232 32???? ??-+-?-- 4、()()2004 200442 4250131515131?-+-+-÷?? ? ??÷??? ??-. 5、()()()36216323-?---÷+- 6、()()[] 2 232311501--??? ? ??-?---. 7、 ()2014555282.-+??? ??-?-÷ 8、()?? ????-?÷----222542053. 9、??? ? ?-÷????????-??? ??-?-?415803132922. 10、2 2 525??? ??-?- 11、 1022)1()2181()5.0(25.0-?-+-÷- 12、 22)3 2(8)321(4)32(3÷--?--?- 13、 )4()1()2()21 8(431)2(3-?-?---?-- 14、81 )4(2033--÷- 15、 )4()81()2(163-?---÷ 16、2422)5 3 ()3()32(6-÷-+-?- 17、411)8()54()4()125.0(25?-?-?-?-? 18、2 22121(3)242433???? -÷?-+-?- ? ?????

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人教版七年级上册 第一章 《有理数》 正数与负数培优练习四

《有理数》正数与负数培优练习四 1.科技改变世界.快递分拣机器人从微博火到了朋友圈,据介绍,这些机器人不仅可以自动规划最优路线,将包裹准确放入相应的格口,还会感应避让障碍物、自动归队取包裹,没电的时候还会自己找充电桩充电.每台分拣机器人一小时可以分拣1.8万件包襄,大大提高了分拣效率,某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹,但实际每天的分拣量与计划相比会有出入,下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况(超过计划量记为正,未到达计划量记为负): 星期一二三四五六日分拣情况(单位:万件)+6 ﹣3 ﹣4 +5 ﹣1 +7 ﹣8 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期,最少的一天是星期,最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹; (2)该仓库本周实际分拣包裹一共多少万件? 2.建设银行的储蓄员小张在办理业务时,约定存入为正,取出为负,2017年10月20日,他先后办理了七笔业务:+2000元,﹣800元,+400元,﹣800元,+1400元,﹣1600元,﹣200元. (1)若他早上领取备用金4000元,那么下班时应交回银行元. (2)请判断在这七次业务中,小张在第次办理业务后,手中的现金最多;第次办理业务后,手中的现金最少. (3)若每办一笔业务,银行发给业务员业务量的0.1%作为奖励,则小张这天应得奖金多少元?

3.达里湖水系近3年的水量进出大致如下:(“+”表示进,“﹣”表示出,单位:亿立方厘米) +18,﹣15,+12,﹣17,+16,﹣11. (1)最近3年,达里湖水系的水量总体是增加还是减少了? (2)3年前,达里湖水系总水量是118亿立方厘米,那么现在的总水量是多少亿立方厘米? (3)若水量的进出都需要费用为每亿立方厘米0.3万元,那么这三年的水量进出共需要多少费用? 4.某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋,检测每袋的质量是否合标准,以每袋450克为标准质量,超过或不足的部分分别用+、﹣来表示,记录如下:. 与标准质量的差值(单位:克)﹣5 ﹣2 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这20袋食品的平均质量(每袋)比标准质量多还是少?多或少几克? (2)抽样检测的20袋食品的总质量是多少?

苏科版七年级数学上第二章《有理数》解答题培优训练(有答案)

苏科版七上第二章《有理数》解答题培优训练(一) 班级:___________姓名:___________得分:___________ 一、解答题 1.计算. (1)已知|a|=3,|b|=2,且|a+b|=?(a+b),则a+b的值 (2)计算2?4+6?8+10?12+??2016+2018. 2.阅读:已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为 |AB|=|a?b|. 理解: (1)数轴上表示2和?3的两点之间的距离是______; (2)数轴上表示x和?5的两点A和B之间的距离是______; (3)当代数式|x?1|+|x+3|取最小值时,相应的x的取值范围是______;最小值 是______. 应用:某环形道路上顺次排列有四家快递公司:A、B、C、D,它们顺次有快递车16辆,8辆,4辆,12辆,为使各快递公司的车辆数相同,允许一些快递公司向相邻公司调出,问共有多少种调配方案,使调动的车辆数最少?并求出调出的最少车辆数.

3.阅读解答: (1)填空:21?20=2(),22?21=2(),23?22=2(),…… (2)探索(1)中式子的规律,试写出第n个等式,并说明第n个等式成立. (3)计算:20+21+22+23+?+21000 4.阅读理解,并解答问题: (1)观察下列各式:1 2=1 1×2 =1?1 2 ,1 6 =1 2×3 =1 2 ?1 3 ,1 12 =1 3×4 =1 3 ?1 4 ,… (2)请利用上述规律计算(要求写出计算过程): ①1 2+1 6 +1 12 +1 30 +1 42 +1 56 ; ②1 1×3+1 3×5 +1 5×7 +1 7×9 +1 9×11 +1 11×13 +1 13×15 . 5.数轴上有两点A,B,点C,D分别从原点O与点B出发,沿BA方向同时向左运 动. (1)如图,若点N为线段OB上一点,AB=16,ON=2,当点C,D分别运动到

七年级数学上册 有理数 计算题 专项练习(含答案)

2018年七年级数学上册有理数计算题专项练习1、计算:; 2、计算:(﹣12)+(﹣13)﹣(﹣14)﹣15+16 3、计算: 4、计算:7-(-4)+( -5) 5、计算:. 6、计算:(﹣3)+7+8+(﹣9). 7、计算:7-(-3)+(-5)-|-8| 8、计算:23﹣37+3﹣52 9、计算:0.35+(﹣0.6)+0.25+(﹣5.4)

10、计算: 11、计算: 12、计算: 13、计算: 14、计算:(﹣7)×(﹣5)﹣90÷(﹣15); 15、计算:-8 - |+4| - 3×(-5) -(-1) 16、计算:(-3)×(-4)×(-5)+(-5)×(-7); 17、计算:(﹣12)÷4×(﹣6)÷2

18、计算:23﹣6×(﹣3)+2×(﹣4) 19、计算:(﹣5)×6+(﹣125)÷(﹣5); 20、计算:|-2|-(-3)×(-15); 21、计算: 22、计算: 23、计算: 24、计算:

25、计算: 26、计算: 27、计算:. 28、计算:÷; 29、计算:

30、计算: 参考答案 1、-3; 2、-10; 3、8; 4、6; 5、-1; 6、3; 7、—3; 8、﹣63; 9、﹣5.4. 10、; 11、-12; 12、1; 13、-20; 14、41; 15、4; 16、-25; 17、9; 18、33; 19、﹣5; 20、-43.  21、-6; 22、; 23、2.6; 24、-; 81 625、-31; 26、16; 27、-1; 28、13; 29、18. 30、-41;

《有理数及其运算》易错题及培优题

1 《有理数及其运算》易错题、难题 考点一:有理数的分类及应用(☆☆☆) 1.下列说法正确的是( ). A.数0是最小的整数 B.若│a │=│b │,则a=b C.互为相反数的两数之和为零 D.两个有理数,大的离原点远 2.若两个有理数的和是正数,那么一定有结论( ) A.两个加数都是正数 B.两个加数有一个是正数 C.一个加数正数,另一个加数为零 D.两个加数不能同为负数 3、1-2+3-4+5-6+……+2015-2018的结果不可能是 ( ) A.奇数 B.偶数 C.负数 D.整数 4.某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为(25±0.1)kg ,(25±0.?2)kg ,(25±0.3)kg 的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差( ) A 、0.8kg B 、0.6kg C 、0.5kg D 、0.4kg 考点二:数轴(☆☆☆) 5.a,b,c 三个数在数轴上的位置如图所示,则下列结论中错误的是 ( ) A.a+b<0 B.a+c<0 C.a -b>0 D.b -c<0 7. 考点三:相反数(☆☆) 8.倒数是它本身的数是 ;相反数是它本身的数是 ;绝对值是它本身的数 是 ,绝对值最小的数是________. 9.-m 的相反数是 ,-m+1的相反数是 ,m+1的相反数是 . 10.已知-a=9,那么-a 的相反数是 ;已知a=-9,则a 的相反数是 . 11.两个非零有理数的和是0,则它们的商为 ( ) A.0 B.-1 C.+1 D.不能确定 考点四:绝对值(☆☆☆☆☆) 12.已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ,1,-1,那么|a+1|表示( ) A.A 、B 两点的距离 B.A 、C 两点的距离 C.A 、B 两点到原点的距离之和 D.A 、C 两点到原点的距离之和 13.已知|m|=-m ,化简|m-1|-|m-2|所得的结果是_______ 14.若a 是有理数,则|-a|-a 一定是( ) A.零 B.非负数 C.正数 D.负数 ※若|x-2|+x-2=0,那么x 的取值范围是( ) A.x ≤2 B.x ≥2 C.x=2 D.任意实数 15.互不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么点A 、B 、C 在数轴上的位置关系是( ) A.点A 在点B 、C 之间 B.点B 在点A 、C 之间 C.点C 在点A 、B 之间 D.以上三种情况均有可能 16、(1)若|x+1|=3,则x=_______. (2)绝对值大于1且不大于5的所有整数的和为_______. 17.已知|a|=3,|b|=1,且|a-b|=b-a ,那么a+b=______. 19.代数式15-|x+y|的最大值是______,当此代数式取最大值时,x 与y 的关系是______. 20. 若x <0,3x+2|x|=m ,则m____0.(填“>”、“=”、“<”) 21.(1)已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示,化简:|b-a|+|a+c|-2|c-b| . 22.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例:如图所示,点A 、B 在数轴上分别对应的数为a 、b ,则A 、B 两点间的距离表示为|AB|=|a-b|. 根据以上知识解题: (1)若数轴上两点A 、B 表示的数为x 、-1, ①A 、B 之间的距离可用含x 的式子表示为_____; ②若该两点之间的距离为2,那么x 值为______.

人教版七年级数学上册培优资料(精华)

七年级数学 上册 培优训练

第一讲 有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成 m n (0,,n m n ≠互质)。 4、性质:① 顺序性(可比较大小); ② 四则运算的封闭性(0不作除数); ③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质: i )非负数的和仍为非负数。 ii )几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ,两两不等,那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数?

7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0, b a , b 的形式,求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少? 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算:5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=,求 || abc abc 的值。

初一数学培优专题讲义一--有理数及其运算

初一数学培优专题讲义一有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化: (一)几个小知识点的梳理与强化:小知识点是常考的考点,也是易错点。理清小知识点,减少失误 1.字母可以表示任意有理数,不能说a 一定是正数,-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是;平方等于本身的数是;立方等于本身的数是;倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|-x |=|2 1-|,则x =______;若|x |=|-4|,则x =____; 若-|x|=-|2|,那么x=___;若-|-x|=-|2|,那么x=____ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ,那么a=____;若x 2=(-2)2,则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。(-2)3的底数是_______,结果是_______;-32的底数是_______,结果 是_______;n 为正整数,则(-1)2n =___,(-1)2n +1=___。计算: (1) =;(2) =;(3) =;(4) =(5)= 6.a 的相反数是;a+b 的相反数是;a-b 的相反数是;-a+b-c 的相反数是; 变式训练:若a <b ,则∣a-b ∣=,-∣a-b ∣= (二)突破绝对值的化简: 7.绝对值即距离,则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为:(体现分类讨论的思想) (a >0) |a| = (a =0) (a <0) 9.绝对值的非负性: (1)若|a|=0,则a ;(2)若|a|=a ,则a ;(3)若|a|=—a ,则a ; (4), 则______||=a a ;(5)0

七年级上培优专题——有理数综合运算(附答案)

七年级上培优专题——有理数综合运算(附答案) 知识点切片(4个) 7+2+1+1 知识点目标 有理数综合运算(7) 1、有理数加减法则;2、有理数加法的运算律;3、有理数减法法则;4、有理数乘法法则;5、有理数除法法则;6、有理数乘方;7、有理数混合运算的运算顺序 裂项技巧(2) 1、分数裂项;2、整数裂项 连锁约分(1) 1、连锁约分,简便运算 整体思想(1) 1、整体思想,化繁为简 题型切片(6个) 对应题目 题型目标 乘法分配律的应用 例1、练习1 连续自然数的加减交替 例2、练习1 有理数综合运算 例3、练习2 裂项 例4、例5、练习3、练习4 连锁约分 例6、练习5 整体思想 例7、练习6 有理数综合运算 1.有理数加法法则: ① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. ② 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③ 一个数同0相加,仍得这个数. 2.有理数加法的运算律: ①两个加数相加,交换加数的位置,和不变.a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变. ()()a b c a b c ++=++(加法结合律). 3.有理数减法法则: 减去一个数,等于加上这个数的相反数,()a b a b -=+-. 4. 有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. 任何数同0相乘,都得0. 5. 有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数.1 a b a b ÷=?,(0b ≠) 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数,都得0. 知识、题型切片 知识导航

初一上册数学有理数及其运算测试题(含答案)

初一上册数学有理数及其运算测试题 姓名___________ 成绩__________ 一、选择题(本大题共15小题,共45分): 1、在–1,–2,1,2四个数中,最大的一个数是( ) (A )–1 (B )–2 (C )1 (D )2 2、有理数 3 1的相反数是( ) (A )31 (B )31- (C )3 (D ) –3 3、计算|2|-的值是( ) (A )–2 (D )21- (C ) 2 1 (D ) 2 4、有理数–3的倒数是( ) (A )–3 (B )31- (C )3 (D )31 5、π是( ) (A )整数 (B )分数 (C )有理数 (D )以上都不对 6、计算:(+1)+(–2)等于( ) (A )–l (B ) 1 (C )–3 (D )3 7、计算32a a ?得( ) (A )5a (B )6a (C )8a (D )9a 8、计算()23x 的结果是( ) (A )9x (B )8x (C )6x (D )5 x 9、我国拟设计建造的长江三峡电站,估计总装机容量将达千瓦,用科学记数法表示总装机容量是( ) (A )4101678?千瓦(B )61078.16?千瓦(C )710678.1?千瓦(D )8101678.0?千瓦 10、1999年国家财政收入达到11377亿元,用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为( )亿元 (A )4101.1? (B )5101.1? (C )3104.11? (D )3103.11?

11、用科学记数法表示,应记作( ) (A )110625.0-? (B )21025.6-? (C )3105.62-? (D )410625-? 12、大于–,小于的整数共有( )个。 (A )6 (B )5 (C )4 (D )3 13、已知数b a ,在数轴上对应的点在原点两侧,并且到原点的位置相等;数y x ,是互为倒数,那么xy b a 2||2-+的值等于( ) (A )2 (B )–2 (C )1 (D )–1 14、如果a a =||,那么a 是( ) (A )0 (B )0和1 (C )正数 (D )非负数 15、如果两个有理数的积是正数,和也是正数,那么这两个有理数( ) (A )同号,且均为负数 (B )异号,且正数的绝对值比负数的绝对值大 (C )同号,且均为正数 (D )异号,且负数的绝对值比正数的绝对值大 二、填空题:(本大题共5小题,共15分) 16、如果向银行存入人民币20元记作+20元,那么从银行取出人民币元记作________。 17、比较大小:–π________–(填=,>,<号)。 18、计算:()() 4622-÷-=___________。 19、()642=。 20、一个数的倒数等于它的本身,这个数是_____________。 三、解答题:(本大题共6个小题,共40分) 21、(本题6分)在数轴上表示下列各数:0,–,213 ,–2,+5,3 11。 22、(本题12分)直接写出答案:

最新有理数培优题(有答案解析)教学文稿

有理数培优题 基础训练题 一、填空: 1、在数轴上表示-2的点到原点的距离等于( )。 2、若∣a ∣=-a,则a ( )0. 3、任何有理数的绝对值都是( )。 4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是( )。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次,列式表示厚度是( )。 6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-,则a b +=( ) 7、|2||3|x x -++的最小值是( )。 8、在数轴上,点A 、B 分别表示2 1 41,-,则线段AB 的中点所表示的数是( )。 9、若,a b 互为相反数,,m n 互为倒数,P 的绝对值为3,则 ()2010 2a b mn p p ++-=( ) 。 10、若abc ≠0,则 |||||| a b c a b c ++ 的值是( ) . 11、下列有规律排列的一列数:1、43、32、85、53 、…,其中从左到右第100个数是( )。 二、解答问题: 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4,z 对应的点到-2对应的点的距离是7,求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。 3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数,求x 满足的条件及此时常数的值。

4、若,,a b c 为整数,且20102010||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 5、计算:- 21 +65-127+209-3011+4213-5615+72 17 6、应用拓展:将七只杯子放在桌上,使三只口朝上,四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只,使它们杯口朝向相反,问能否经有限次翻转后,让所有杯子杯口朝下? 能力培训题 知识点一:数轴 例1:已知有理数a 在数轴上原点的右方,有理数b 在原点的左方,那么( ) A .b ab < B .b ab > C .0>+b a D .0>-b a 拓广训练: 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数,在a b b a a b b a ---+,,2,中,负数的个数有( )(“祖冲之杯”邀请赛试题) A .1 B .2 C .3 D .4 3、把满足52≤

初一数学100道有理数计算题

初一数学100道有理数计算题 1、 111117(113)(2)92844 ?-+?- 2、4 19932(4)(1416)41313??--?-÷-???? 3、 33221121(5533)22??????--÷+?+?? ? ????????? 4、2335(2)(10.8)114??---+-?÷--???? 5、(—3 15)÷(—16)÷(—2) 6、 –4 + 2 ×(-3) –6÷ 7、(—5)÷[—(2—4 31)×7] 8、 18÷{1-[+ ]× 9、1÷( 61-31)×6 1 10、 –3-[4-×3 1)]×[-2+(-3) ] 11、 8+(-4 1)- 5- (- 12、 99 × 26 13、 14、|])21((|31)322(|)2(41[|)116(2152 3---÷-?-+---- 15、13 611754136227231++-;

16、2001 2002200336353?+?- 17、()5.5-+()2.3-()5.2--- 18、()8-)02.0()25(-?-? 19、2 1+()23-??? ??-?21 20、81)4(2833--÷- 21、100()()222---÷?? ? ??-÷32 22、(-371)÷(461-122 1)÷(-2511)×(-143) 23、(-2)14×(-3)15×(-6 1 )14 24、-42+5×(-4)2-(-1)51 ×(-61)+(-22 1)÷(-241) 25、-11312×3152-11513×41312-3×(-11513) 26、4 1+3265+2131-- 27、()()4+×7 33×250)-(.- 28、=++-)3()12( 29、=-++)4()15( 30、=-+-)8()16( 31、=+++)24()23(

专题1.5有理数的减法-2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【人教版】

专题1.5有理数的减法 姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________ 注意事项: 本试卷满分100分,试题共24题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020?南京)计算3﹣(﹣2)的结果是( ) A .﹣5 B .﹣1 C .1 D .5 2.(2020?安徽模拟)合肥市某日的气温是﹣2℃~6℃,则该日的温差是( ) A .8℃ B .5℃ C .2℃ D .﹣8℃ 3.(2020?西青区二模)计算(﹣3)﹣(﹣6)的结果等于( ) A .3 B .﹣3 C .9 D .18 4.(2019秋?新乐市期末)下列算式中:①2﹣(﹣2)=0;②(﹣3)﹣(+3)=0;③(﹣3)﹣|﹣3|=0;④0﹣(﹣1)=1.其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 5.(2019秋?兖州区期末)下列各式运算正确的是( ) A .(﹣7)+(﹣7)=0 B .(?13)+(?12)=?16 C .0+(﹣101)=101 D .(?110)+(+110)=0 6.(2019秋?宝安区期中)如果|a |=5,|b |=3,且a >b ,那么a +b 的值是( ) A .8 B .2 C .8或﹣2 D .8或2 7.(2020?河西区模拟)计算8﹣(2﹣5)的结果等于( ) A .2 B .11 C .﹣2 D .﹣8 8.(2019秋?南通期中)已知|a |=6,|b |=2,且a >0,b <0,则a +b 的值为( ) A .8 B .﹣8 C .4 D .﹣4 9.(2019秋?翠屏区期中)写成省略加号和的形式后为﹣6﹣7﹣2+9的式子是( ) A .(﹣6)﹣(+7)﹣(﹣2)+(+9) B .﹣(+6)﹣(﹣7)﹣(+2)﹣(+9)

学而思初一数学资料培优汇总(精华) (1)

第一讲数系扩张--有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成(互质)。 4、性质:①顺序性(可比较大小); ②四则运算的封闭性(0不作除数); ③稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ①②非负性 ③非负数的性质:i)非负数的和仍为非负数。 ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若的值等于多少? 2.如果是大于1的有理数,那么一定小于它的() A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数,、互为倒数,的绝对值是2,求的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置,如下图所示,那么 化简的结果等于( A. B. C.0 D. 5、已知,求的值是() A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c,两两不等,那么中有几个负数? 7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,的形式式,又可表示为0,,的形式,求。 8、三个有理数的积为负数,和为正数,且则的值是多少? 9、若为整数,且,试求的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)

3、计算: 4、已知为非负整数,且满足,求的所有可能值。 5、若三个有理数满足,求的值。 第二讲数系扩张--有理数(二) 一、【能力训练点】: 1、绝对值的几何意义 ①表示数对应的点到原点的距离。 ②表示数、对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】: 1、(1)若,化简 (2)若,化简 2、设,且,试化简 3、、是有理数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件? (1)(2) (3)(4)若则 (5)若,则(6)若,则 4、若,求的取值范围。 5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C,如果,那么B点在A、C的什

初一数学有理数的四则运算练习

初一数学有理数四则运算 一、选择题 1、在–1,–2,1,2四个数中,最大的一个数是( ) (A )–1 (B )–2 (C )1 (D )2 2、有理数31 的相反数是( ) (A )31 (B )31 - (C )3 (D ) –3 3、计算|2|-的值是( ) (A )–2 (D )21 - (C ) 21 (D )2 4、有理数–3的倒数是( ) (A )–3 (B )31 - (C )3 (D )31 5、π是( ) (A )整数 (B )分数 (C )有理数 (D )以上都不对 6、计算:(+1)+(–2)等于( ) (A )–l (B ) 1 (C )–3 (D )3 7、大于–3.5,小于2.5的整数共有( )个。 (A )6 (B )5 (C )4 (D )3 8、已知数b a ,在数轴上对应的点在原点两侧,并且到原点的位置相等;数y x ,是互为倒数,那么xy b a 2||2-+的值等于( ) (A )2 (B )–2 (C )1 (D )–1 9、如果a a =||,那么a 是( ) (A )0 (B )0和1 (C )正数 (D )非负数 10、如果两个有理数的积是正数,和也是正数,那么这两个有理数( ) (A )同号,且均为负数 (B )异号,且正数的绝对值比负数的绝对值大 (C )同号,且均为正数 (D )异号,且负数的绝对值比正数的绝对值大 二、填空题: 11、如果向银行存入人民币20元记作+20元,那么从银行取出人民币32.2元记作________。 12、比较大小:–π________–3.14(填=,>,<号)。 13、一个数的倒数等于它的本身,这个数是_____________。

初一上数学-有理数-培优讲义

有理数培优 能力提升1:有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除(除数不为0)四则运算,对于相同的有理数相乘,我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算,除了要熟悉四则运算的法则之外,还应该注意到: 1、有理数对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算的结果是封闭的(仍是有理数)。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立,乘法对加法分配律也成立。 3、由于有了正、负数,加法与减法的界限消失,加、减可以互相转换,统一为代数和。如(-3)-7= (-3)+(-7)。在有理数范围内,除法可以转化为乘法,比如(-5)÷7=(-5)7 1?。 能力提升2:有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性. (一)括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 1 计算: (2)4 11)54()1()21(12)1()2(219983?-÷-??????--÷---?- 2. 计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 3. 计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n . 4. 在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? (二)用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值: (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22. 这是一个对具体数的运算,若用字母a 代换100,用字母b 代换2,上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a 2-ab+ab-b 2=a 2-b 2. 于是我们得到了一个重要的计算公式:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ① 这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算. 5 计算 3001×2999的值. 6 计算 103×97×10 009的值. 7 计算: 8 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

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