怎样求三角形的边与角

怎样求三角形的边与角

近几年高考中，已知三角形中的一些边与角的关系式，求边长或角的大小或角的某种三角函数值已经成为高考的热点，此类题目在高考中多为容易题，但是许多学生三角知识比较薄弱，失分较多.为了帮助同学们掌握这个知识点,熟悉这类题目的一般解法，我们选择近年的高考典型题进行归类研究.

一、解答此类题所需的基础知识：

设角A B C 、、所对的边分别为a 、b 、c ，ABC ?的外接圆半径为R . 1、三角形内角和定理、诱导公式、和角公式、二倍角公式等：

sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+， cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+， sin 22sin cos A A A =，

2222cos 2cos sin 2cos 112sin A A A A A =-=-=-.

2、余弦定理：2

2

2

2cos c a b ab C =+-，

角化边：222

cos 2a b c C ab +-=，

边化角：

222

cos 2a b c C ab

+-=. 特例：勾股定理及其逆定理. 3、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===， 边化角：2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,

c R C =sin sin a A b B

=，等. 角化边：sin ,2a A R =sin ,2b B R =sin ,2c C R =sin sin A a B b

=，等. 二、基本题型：

（一）角化边比较合理的，化边后一般又可以使用余弦定理、勾股定理或者与已知的边的关系式联立为方程组.

例1、在ABC ?中，sin cos sin A B C =，求证：2

A π

=.

解析：由正、余弦定理：

2222a c b a c ac

+-?=，∴222a c b =+，

由勾股定理的逆定理：2

A π

=

.

例2、在ABC ?中，22

2a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b .

解析： 222222

322a b c b c a a c ab bc

+-+-?

=??，2222()a c b -=，又222a c b -=， ∴2

4b b =，又0b >，∴4b =.

例3、在ABC ?中，22sin )()sin A C a b B -=-，ABC ?求C ∠. 解析：由正弦定理：sin

2a A R =

=sin 2b B R ==sin 2c C R ==

∴已知条件可化为：22]()

a b -=-

2

2

2

a b c ab +-=，由余弦定理：2221

cos 22

a b c C ab +-=

=，3C π∠=. 例4、在ABC ?中，cos cos sin a B b A c C +=，求C ∠.

解析：由余弦定理：222222

cos cos 22a c b b c a a B b A a b c ac bc

+-+-+=?

+?=， ∴已知条件可化为：sin c c C =，sin 1C =，∴2

A π

=

.

例5、在ABC ?中，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，求A ∠. 解析：由正弦定理：

2(2)(2)a a b c b c b c ?=+++，∴222a b c bc =++， ∴2221

cos 22

b c a A bc +-==-，∴23A π=.

（二）边化角比较合理的，化角后经常得到特殊角,一定要注意角的取值范围，可能有不合题意

的解(例2)!经常利用三角函数的单调性得到角的相等关系(例3). 例1、在ABC ?中，cos 3a B =，sin 4b A =，求a . 解析：

cos 3sin 4a B b A =，由正弦定理：sin cos 3

sin sin 4A B B A =，

cos 3sin 4B B =，∴ 3

cos 5

B =，5a =. 例2、 设⊿AB

C 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a b c 、、，3

cos(cos 2

A C

B -+=），2,b ac =求

角B.

解析：由3

cos(cos 2

A C

B -+=）

及()B A C π=-+得： 3

cos(cos(2

A C A C -+=）-），

3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2A C A C A C A C +--=，3

sin sin 4

A C =，

由2b ac =及正弦定理得2

sin sin sin B A C =，

∴2

3sin 4B =

，sin B =3B π=或23B π=. 但是由2b ac =知b a ≤或b c ≤.所以3

B π

=.

例3、已知ABC ?的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．

解析：∵ cos cos sin sin sin sin sin sin A B

A B A B A B

+=?

+?， ∴sin sin cos cos A B A B +=+，sin cos cos sin A A B B -=-，

)sin()44A B ππ-

=-，∴sin()sin()44

A B ππ

-=-

又33,444444

A B ππππππ

-<-<

-<-<， ∴4

4

A B π

π

-

=

-，2

A B π

+=

，2

C π

=

.

（三）以角变换为主要变形的,主要利用三角形内角和定理、诱导公式、和角公式、二倍角公式

等：

例1、在ABC ?中，sin cos sin A B C =，求证：2

A π

=

.

解析：sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，

cos sin 0A B =，又0B π<<，∴sin 0B >，

∴cos 0A =，又0A π<<，∴2

A π

=

.

例2、设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且

22sin sin()sin()sin .33

A B B B ππ

=+-+求角A 的值.

解析：2

211

sin (

sin )(sin )sin ,2222

A B B B B B =+-+

222333sin cos sin ,444A B B =

+=sin A =又A 为锐角，3A π=. 例3、在⊿ABC 中，1

sin()1,sin .3

C A B -==求sin A 的值. 解析：由sin()1C A -=得2

C A π

-=

,

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A ．1，1，2 B ．3，7，11 C ．6，8，9 D ．3，3，6 2、下列语句中，不是命题的是（ ） A ．两点之间线段最短 B ．对顶角相等 C ．不是对顶角不相等 D ．过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线 3、下列命题中，假命题是（ ） A ．如果|a|=a ，则a ≥0 B ．如果 ，那么a=b 或a=-b C ．如果ab>0，则a>0，b>0 D ．若，则a 是一个负数 4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B ＋∠C=3∠A ，则这个三角形（ ） A ．一定有一个内角为45° B ．一定有一个内角为60° C ．一定是直角三角形 D ．一定是钝角三角形 5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 6、下列命题中正确的是（ ） A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形 B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角 C ．三角形外角一定是钝角 D ．△ABC 中，如果∠A>∠B>∠C ，那么∠A>60°，∠C<60° 7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（ ） A ．3：2：1 B ．5：4：3 C ．3：4：5 D ．1：2：3 8、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a ，则a 的取值范围为（ ） A ．－62 9、如图9,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于（ ） A.2cm 2 B.1cm 2 C.12cm 2 D.14 cm 2 图9 图10 10、已知：如图10，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边的高，则∠DBC=（ ） A ．10° B ．18° C ．20° D ．30° F E C A

北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计

九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案 一、本章教学的指导意见： 本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。 接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。 对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。 利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。 直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。 研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。 通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。 （二）教学重点 1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力； 2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明； 3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题； 4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力； 6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。 （三）教学难点 1．经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程；

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0

三角形边角中的边角关系一对一辅导讲义

教学目标 1、了解三角形的概念，掌握分类思想。 2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三 边关系在现实生活中的实际价值。 重点、难点 了解三角形的分类，弄清三角形三边关系；对两边之差小于第三边的领悟 考点及考试要求 考点1：三角形边与边的关系 考点2：三角形角与角的关系 考点3：三角形边与角的关系 教 学 内 容 第一课时 三角形边角中的边角关系知识梳理 1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ，2cm ，4 cm B ．8 crn ，6cm ，4cm C ．12 cm ，5 cm ，6 cm D ．2 cm ，3 cm ，6 cm 2.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ） A ．15cm B ．20cm C ．25 cm D ．20 cm 或25 cm 3.如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=6，AC=35，AD=2，∠D=90○， 求CD 的长和四边形 ABCD 的面积． 4.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角 中，最多有______个钝角，最多有______个锐角． 5.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是__________ 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成 一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下： 知识梳理 课前检测

三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系（1） -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1．了解三角形的概念，掌握分类思想。 2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点： 1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备： 1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条 五课时安排： 一节课 六教学过程： （一）创设情境，探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 （二）合作交流，探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导： 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题： （1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; （2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;

（3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示） 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒（6cm、8cm、12cm、18cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。 （1）有哪几种取法? （2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？ （3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？ 小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形； 我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。 这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 ：例：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，若要围成三角形，那么则第三根木棒长度应在什么范围呢？ 解：设第三条边长为a cm，则 7－2＜a＜7＋2 即5＜a＜9 结论：其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2：已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？ 解（1）设等腰三角形的底边长为4 cm，则腰长为x cm。根据题意，得 x+x+4=18 解方程，得 x=7

(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △） 2、按边对三角形的分类：≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系： （1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念（ 内角、外角、∠ ） 2、按角对三角形的分类：???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 （1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余 （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线 1、中线 (1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线 （1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线 （1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数 （1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ） A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________

新浙教版八年级上册数学1.1 认识三角形(1)教案

新浙教版八年级上册数学1.1 认识三角形（1）教 案 【教学目标】 一、知识和技能 1. 结合具体实例，进一步认识三角形的概念及基本要素. 2. 理解三角形三边关系的性质，并会初步应用它们来解决问题. 3. 通过观察、操作、想象、推理等活动，发展空间观念和推理能力，在与其他人交流的过程中，能合理清晰的表达自己的思维过程. 二、过程与方法 采用“情境—问题—探究—反思—提高”，使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程. 三、情感、态度与价值观 1.让学生树立三角形的知识源于客观实际，用于实际的观念，激发学生学习兴趣. 2.在与他人的合作过程中，增强互相帮助，团结协作的精神. 3.通过解决实际问题的过程和丰富的实例体会到数学与生活的密切联系. 【教学重点】 三角形的有关概念及三角形三边关系的性质. 【教学难点】 三角形三边关系的性质. 【教学过程】 一、创设情景，引出课题. 展示一组图形，如：铁塔、桥梁、房顶三角架等. 相关以往知识： _______________________ _______________________ ____________________ ______________________ 教学内容和方法： _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _________________ 个性化教学思路及改进建议： _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _________________ ______________________ _______________________ _______________________ _______________________

九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦教案1 北师

1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦 1．理解正弦与余弦的概念；(重点) 2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点) 一、情境导入 如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m ，他的相对位置升高了5m. 如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？ 在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？ 根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了． 二、合作探究 探究点：正弦和余弦 【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sin A ，cos A . 解析：利用勾股定理求出AC ，然后根据正弦和余弦的定义计算即可． 解：由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52 ＝12，sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213 . 方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对 边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3 5 ，求sin B 的值． 解析：先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3 5及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函 数的定义解答．

解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3 5 ，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3，∴AC ＝ AD 2－CD 2＝52－32＝4.在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52 ＝41， ∴sin B ＝AC AB ＝ 4 41 ＝44141 . 方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结 合勾股定理是解答此类问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型三】 比较三角函数的大小 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A ．tan70°＜cos70°＜sin70° B ．cos70°＜tan70°＜sin70° C ．sin70°＜cos70°＜tan70° D ．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝co s70°.故选D. 方法总结：当角度在0°<∠A <90°间变化时，0cos A >0.当角度在45°＜∠A ＜90°间变化时，tan A ＞1. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 【类型四】 与三角函数有关的探究性问题 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边(除端点外)上的一点，设∠ADC ＝α，∠B ＝β. (1)猜想sin α与sin β的大小关系； (2)试证明你的结论． 解析：(1)因为在△ABD 中，∠ADC 为△ABD 的外角，可知∠ADC ＞∠B ，可猜想sin α＞sin β；(2)利用三角函数的定义可求出sin α，sin β的关系式即可得出结论． 解：(1)猜想：sin α＞sin β； (2)∵∠C ＝90°，∴sin α＝ AC AD ，sin β＝AC AB .∵AD ＜AB ，∴AC AD ＞AC AB ，即sin α＞sin β. 方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题 的关键． 【类型五】 三角函数的综合应用 如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sin C ＝12 13 ，BC ＝36，求AD 的长． 解析：(1)根据高的定义得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到

图形的初步认识知识点

? ? ? ? ? ?图形的初步认识 一、本章的知识结构图 一、立体图形与平面图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等。 主（正）视图---------从正面看 2、几何体的三视图侧（左、右）视图-----从左（右）边看 俯视图---------------从上面看 （1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。 （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。 （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 例1 （1）如图1所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的物体。 （2）如图2所示，写出图中各立体图形的名称。 图 1 图2 解：（1）①与d类似，②与c类似，③与a类似，④与b类似。 （2）①圆柱，②五棱柱，③四棱锥，④长方体，⑤五棱锥。 例2 如图3所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图。 图3 解：（1）左视图，（2）俯视图，（3）正视图 练习 1．下图是一个由小立方体搭成的几何体由上而看得到的视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则从正面看它的视图为（）

三角形边角关系培优训练经典

三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________． 2、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE、CF相交于点G，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH. A

2 1 P C B A 5.如图，已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 的延长线于点E ， 求证：∠BAC > ∠B 6、△ABC 中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高，∠BHC=135° 求证：BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是多少？ 8．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中，3条高相交于点H ，若∠BAC ＝70°，则∠BHC ＝_______

11、如图，BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，AB、CD交于点O，且∠A=48?，∠D=46?，则∠BEC= 。 12.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B，3∠C<2∠B，则三角形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能

九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.2304560三角函数值教案新版北师大版_

1.2 30O、45O、600三角函数值 一、教学目标 1.利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值 四、教学难点 能够进行30°、45°、60°角的三角函数值计算. 五、教学过程 （一）导入新课 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边比、对边与邻边的比也随之确定,分别叫做∠A的正弦、余弦、正切. （二）讲授新课 活动1：小组合作 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.

我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°= ，则CD=atan30°，岂不简单. 你能求出30°角的三个三角函数值吗? 活动2：探索30°角的三角函数值 ①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? ② sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. ③cos30°等于多少?tan30°呢? 学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值 2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? 活动2：探究归纳——完成下表 （1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢? （2）再次观察表格，你还能发现什么？从下列两个方面考虑 a 随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况。 b 若对于锐角α有sin α= ,则α=. （三）重难点精讲 例题1：计算： (1) sin30°+cos45°； (2) 解：sin30°+cos45°

小学四年级下册《认识三角形》教案

小学四年级下册《认识三角形》教案 苏教版小学四年级下册《认识三角形》 设计理念 《数学课程标准》指出：数学教学，要让学生亲身经历数学知识的形成过程，也就是经历一个丰富、生动的思维过程，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，激发学生对数学学习的兴趣。本课以学生基础为立足点，以自主探究为主线，以成长为宗旨，运用设疑激趣、直观演示、实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，使学生主动地获得数学知识的技能，提高学生的思维水平，发展学生的空间观念。教学中加强数学知识与生活实际的联系，让学生体会到数学的价值，激发学生的学习兴趣，培养学生应用意识和实践能力。 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书数学》四年级下册第22、23页。 学情与教材分析 《认识三角形》是苏教版国标本四下的内容,是学生在已接触并初步认识三角形基础上学习的。本课教材提供了2个例题，通过例1让学生认识三角形的基本特征；通过例2让学生感悟三角形的三边关系。三角形是最简单、最基本的

几何图形，一切多边形都可以分成若干个三角形，在生活中随处可见。它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。 学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，已经积累了一些有关“空间与图形”的知识和经验，形成了一定程度的空间感，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。而且学生对图形的认识是在活动中逐步建立起来的，回忆生活经验、观察实物、动手操作、推理想像等都是学习理解抽象的几何概念的重要手段，也是发展学生空间观念的途径。因此，本课对三角形认识的教学目标与第一学段“获得对简单平面图形的直观经验”有所不同，应使学生经历从现实世 1 界中抽象出几何模型和运用所学内容解决实际问题的过程，丰富的例子力求使学生能体会数学与生活的密切联系．并通过给予学生充分从事数学活动的时间和空间，让他们通过观察、操作、有条理的思考和推理、交流等活动逐步获得对三角形的认识。 教学目标 1.在观察、操作、画图等学习活动中，认识三角形的基本特征，初步形成三角形的概念，了解三角形两边之和大于第三边。

沪科版数学八年级上册：13.1三角形中的边角关系-教案(2)

第十三章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1 三角形中的边角关系 第1课时三角形中边的关系 一、教学目标 1. 了解三角形的概念，掌握分类思想 2. 经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵 3. 让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值 二、教学重点及难点 重点：了解三角形分类思想，弄清三角形三边关系. 难点：对两边之差小于第三边的领悟. 三、教学用具 多媒体课件、直尺． 四、相关资源 《三角形系列》图片、《三角形1》图片、《锐角、直角、钝角三角形》图片、《等腰、等边三角形》图片、《三角形2》图片、《三角形3》图片． 五、教学过程 【课堂导入】

此图片是视频缩略图，本视频资源从生活实例出发，给出物品、建筑等常见的三角形形象及设计，同时适当提出问题，激发学生的求知欲。若需使用，请插入【情景演示】认识三角形. 教师引入三角形：三角形是一种最常见的几何图形，同学们你们说说生活中的三角形有哪些？通过观察图片大家能否发现三角形有哪些特性？ 教师活动：通过播放图片，引导学生认识三角形，并提出图中能找出的几个三角形具有什么样的特性. 学生思考回答：三角尺、警示牌、旗子等等.

插入图片《三角形系列》 教师给出定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形. 插入图片《三角形1》 点A，B, C叫做这个三角形的顶点;线段AB,BC,CA叫做这个三角形的边;∠A，∠B, ∠C叫做这个三角形的内角,简称三角形的角. 我们把这个三角形记作“△ABC"，.读作“三角形ABC" .三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示:如边BC对着∠A,记作a;边CA记作b;边AB记作c. 设计意图：开门见山引入课堂知识的教学． 【新知讲解】 1．三角形的识别、分类． 教师讲解： 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形( acute triangle)，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle) 、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形( obtuse triangle) 三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形( scalene triangle),有两条边相等的三角形叫做等腰三角形( isosceles triangle)、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形( equilateral triangle) . 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 三角形按边长划分可以分为：不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________． 问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______． 问题3：默写特殊角的三角函数值： 问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

三角形的初步认识知识点梳理

三角形的初步认识知识点梳理 考点一、判断三条线段能否组成三角形 考点二、求三角形的某一边长或周长的取值范围 考点三、判断一句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式 考点四、利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度 考点六、证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系 考点七、画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法 考点八、方案设计题，求河宽等问题 例1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米 1、某一三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长的取值范围为（） A、10≤a＜16 B、10＜a≤16 C、10＜a＜16 D、2＜a＜8 2、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（） A、中线 B、高线 C、角平分线 D、过一边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）

A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角 4、△ABC的三个不相邻外角的比为2：3：4，则△ABC的三个内角的度数分别为。 例2、如图，已知△ABC中，BE和CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且BD=CE，∠1=∠2。说明BE=CD的理由 3、已知AE，AD分别为△ABC中BC边上的中线和高线，且AB=7cm，AC=5cm，则△ACE 和△ABE的周长之差为多少厘米？△ACE和△ABE的面积之比为多少？ （【设计意图】本例主要考察了三角形中线、高线的性质，重在格式的书写上。） 如图，在某市效的空旷平地上有一个较大的土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你应用所学的知识设计一种方案，能用尺量出不能达到的A、B两点的距离。（只要求说明设计方案和这种方案设计的根据，并画出草图，不要求数据计算）

2020中考数学专题练习：三角形的边角关系 (含答案)

2020中考数学专题练习：三角形的边角关系 （含答案） 1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，则∠C＝() A．35° B．70° C．110° D．140° 2．已知如图1中的两个三角形全等，则角α的度数是() 图1 A．72° B．60° C．58° D．50° 3．如图2，∠A，∠1，∠2的大小关系是() A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 图2 图3 4．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图3.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条() A．0根B．1根C．2根D．3根 5．下列命题中，真命题的是() A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等 6．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是() A B C D

7．不一定在三角形内部的线段是() A．三角形的角平分线B．三角形的中线 C．三角形的高D．三角形的中位线 8．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图3所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC的依据是() A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 图3 图4 9．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________cm. 10．如图5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE. 图5 11．如图6，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF. 图6

2020中考数学 几何专项突破：三角形的边角关系(含详解版)

2020中考数学几何专项突破 三角形的边角关系（含答案） 典例探究 例1 如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40° 例2 如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（） A．30° B．60° C．90° D．45° 例3 如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（） A.2 B.4 C.6 D.8 巩固练习 1.下列命题中,错误的是: ( ) A.三角形两边之差小于第三边. B.三角形的外角和是360°.

C.三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分. D.等边三角形即是轴对称图形,又是中心对称图形. 2．下面四个结论中，正确的是（） A. 三角形的三个内角中最多有一个锐角 B. 等腰三角形的底角一定大于顶角 C. 钝角三角形最多有一个锐角 D. 三角形的三条内角平分线都在三角形内 3.下列说法正确的是（） 三角形的角平分线是射线。 B、三角形三条高都在三角形内。 三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外。 D、三角形三条中线相交于一点。 4.如图(1)，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？ (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 10 。 5.若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6.已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是： ①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是．（只填序号） 7.如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交 于点．已知，则的度数为（） A． B． C． D． 8.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（） A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm 9.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A．1cm， 2cm， 3．5cm； B．4cm， 5cm， 9cm C．5cm，8cm， 15cm D．6cm，8cm， 9cm Rt ABC △ο 90 = ∠B ED AC AC D BC Eο 10 = ∠BAE C ∠ ο 30ο 40ο 50ο 60 A D C E B

沪科版八年级数学上册《三角形中的边角关系》教案1

《三角形边的关系》教案1 教学内容分析 三角形是最简单的多边形，是研究其他图形的基础.本节课是在学生已学过的一些三角形基础上，进一步系统的研究它的概念、分类、性质和应用. 教学目标分析 (一)知识技能 理解三角形中三边之间的关系，并运用它解决一些简单的问题. (二)过程与方法 1、经历观察、猜想、操作、实验、验证等数学活动，感受数学活动充满着探索性和创造性，体验探究的乐趣. 2、通过对三角形三边关系的发展及应用培养学生的分类讨论思想和方程思想. (三)情感态度价值观 1、感知数学与生活的密切联系，体会生活中的数学美、图形美. 2、激发学生的勇于探究精神以及文明环保意识. 教学中的重、难点及处理 1、重点：理解三角形三边之间的关系并能灵活应用. 2、难点：探究三角形三边之间的关系. 3、处理：结合多媒体课件，揭示图形特点，通过观察、操作、合作交流，结合“两点之间，线段最短”原理，验证猜想. 教学方法 情境导入法、实验比较法. 教学准备 1、教师准备：制作多媒体课件. 2、学生准备：笔、刻度尺. 教学过程 一、情境激趣，悬念探路 1、提出问题：看NBA姚明赛场，姚明的身高是2.26米腿长约1.2米左右，他在赛场上能一步走3米吗？ 2、抽象问题：人的体型可以模拟成三角形.(投影展示生活中具有三角形状的实物.) 3、揭示问题：进入三角形的世界探究虚实，板书课题：三角形的边角关系. (设计说明：数学来源于生活，感受生活中的数学美，培养学生善于观察生活，洞悉生

活中数学常识的能力.) 二、感知实物，提升认识 在小学阶段我们学习了有关三角形的一些初步知识，现在大家观察下面的屋顶框架图，并回答以下问题： 图1 1、共性特征方面： 从图1中找出两个不同的三角形吗？与同伴交流各自找的三角形. (请同学们在纸上画出该图形然后来找，请一个同学上黑板指出三角形) 根据指出的三角形回答下列问题： (1)这些三角形有什么共同的特点？(结合小学对三角形的认识回答) (2)什么叫做三角形？(通过视频了解三角形定义) (刚才找到的三角形能说清楚吗？可能同桌的两位或前后能指着说，隔一排就恐怕不行，你说的是这个，他说的是那个，容易混淆，那么怎样就可以表示清楚呢？) (3)如何表示三角形？ (4)三角形的边可以怎么表示？ (5)如果我说三角形有三要素，你能猜出是哪三要素吗？(通过多媒体课件了解三角形的基本元素). 2、个性特征方面： 研究三角形的三条边是否相等，有多少种可能的情况？ (通过视频掌握三角形按边的分类) (1)三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形. (2)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. (3)三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 三、实践探究，形成性质 1、议一议C 观察：蚂蚁从A到B 路线1：从A到C再到B路线走 路线2：沿线段AB走 理论依据：两点之间，线段最短. A B

三角形中的边角关系测试卷

《三角形中的边角关系》测试卷 一、选择题 1、三角形的三边分别为3，1-2a,8,则a 的取值范围是（ ） -2 2、下列不属于命题的是（ ） A.两直线平行，同位角相等； B.如果x 2＝y 2 ,则x ＝y ； C.过C 点作CD ∥EF ； D.不相等的角就不是对顶角。 3、如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形 4、四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（ ） .3 5、如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ． 5 6、一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7、图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为 4 21 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？ A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14 8、已知如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°则ΔDFE 等于（ ） ° ° ° ° 9、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°， 那么∠2的度数是( ) A ．32° B ．58° C ．68° D ．60° 10、已知：如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边的高，则∠DBC=（ ） A ．10° B ．18° C ．20° D ．30° 11、已知等腰三角形的一个内角为040，则这个等腰三角形的顶角为 （ ） A.0 40 B.0 100 C.0 40或0 100 D.0 70或0 50 二、填空题 A B 30° 45° α 1 2