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初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题28 纵观全局[精品]

初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题28 纵观全局[精品]
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专题28 纵观全局——整体思想

阅读与思考

解数学问题时,人们习惯了把它分成若干个较为简单的为,然后在分而治之,各个击破。与分解、分部处理问题相反,整体思想是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,有整体入手,突出对问题的整体结构的分析和改造,把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑,从整体上把握问题的内容和解题方向的策略,往往能找到简捷的解题方法,解题中运用整体思想解题的具体途径主要有: 1. 整体观察 2. 整体设元 3. 整体代入 4. 整体求和 5. 整体求积

注:既看局部,又看整体;既见“树木”,又见“森林”,两者互用,这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法.

例题与求解

【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入,其中年收入最高的只有一户,是38000元。由于将这个数据输入错了,所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元,则输入计算机的那个错误数据是 .

(北京市竞赛题)

解题思路:有1000个未知量,而等式只有两个,显然不能分布求出每个未知量,不妨从整体消元.

注:有些问题要达到求解的目的,需要设几个未知数,但在解答的过程中,这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用,因此可“设而不求”,通过整体考虑,直接获得问题的答案.

【例2】设a b c 、、是不全相等的任意数,若2

2

2

,,x a bc y b ac z c ab =-=-==错误!未找到引用源。,则x y z 、、( )

(全国初中数学联赛试题)

A.都不小于零

B.都不大于零

C.至少有一个小于零

D.至少有一个大于零

解题思路:由于a b c 、、的任意性,若孤立地考虑x y z 、、,则很难把握的x y z 、、正负性,应该考虑整体求出x y z ++的值.

【例3】如果a 满足等式2

2310a a +-=错误!未找到引用源。,试求543223395131

a a a a a a +++-+-错

误!未找到引用源。的值.

(天津市竞赛题)

解题思路:不能直接求出a 的值,可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系,然后把条件等式整体代入求值.

注:整体思想在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现.

【例4】已知2,4x y ==-错误!未找到引用源。,代数式3

1

519972

ax by ++=错误!未找到引用源。

,求当14,2

x y =-=-

错误!未找到引用源。时,代数式3

3244986ax by -+错误!未找到引用源。的值. (北京市“迎春杯”竞赛试题)

解题思路:a b 、的值无法求出,将给定的x y 、值分别代入对应的代数式,寻找已知式与待求式之间的联系,整体代入求值.

【例5】已知实数a b c d e f 、、、、、满足方程组.

220240280216023202640a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f

+++++=??

+++++=??+++++=??

+++++=??+++++=?+++++=??①②③④⑤⑥

求f e d c b a -+-+-的值.错误!未找到引用源。

(上海市竞赛题)

解题思路:将上述六个式子看成整体,通过⑥-⑤,④-③,②-①分别得到,,f e d c b a ---错误!未找到引用源。.

【例6】如图,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内,使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M ,求M 得最小值并完成你的填图.

(北京市“迎春杯”竞赛试题)\

解题思路:解答此题的关键是根据题意得出1210()10S a a a M +++≤错误!未找到引用源。,这是本

题的突破口.

注:在解答有同一结构的问题时,可将这一相同结构看作一个整体,用一个字母代换,以此达到体现式子结构的特点,化繁为简的目的.

能力训练

1.已知密码:3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字,将这个密码翻译成式子是

2.若a ,b ,c 的值满足2

2

(324)(236)0a b c a b c -+-++-+≤错误!未找到引用源。,则927a b c +-=错误!未找到引用源。

(“城市杯”竞赛试题)

3.角αβγ,,中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算

1

15

αβγ?++()

错误!未找到引用源。的值时,全班得到23.5°,24.5°,25.5°这样三个不同结果,其中确有正确的答案,则正确的答案是

4.如果2

23x x +=,那么4

3

2

781315x x x x ++-+=

(“希望杯”邀请赛试题)

5.已知121,,

,a a a 都是正数,设12199023

()()M a a a a a a =+++?+++,

121991231990()()N a a a a a a =+++?+++,那么M 与N 的大小关系是

M N .

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

6.若方程组??

???=++=++=++000

122

2b ax x a x bx bx ax 有解,则=+b a

(湖北省武汉市选拔赛试题)

7.若正数z y x ,,满足不等式????

??

???<+<<+<<+

352

3

2611

,则z y x ,,的大小关系是( )

A .z y x <<

B .x z y <<

C .y x z <<

D .不能确定

8.若()f ex dx cx bx ax x +++++=+2

3452

13,则f e d c b a -+-+-的值是( )

A .32-

B .32

C .1024

D .1024-

9.在一家三口人中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60,那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是( )

A .28

B .27

C .2-

D .2 10.设c b a ,,,满足等式2

2,62,32222

π

ππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ,则z y x ,, 中至少有一个值( )

A .0大于

B .0等于

C .0不大于

D .0小于

(全国初中数学联赛试题)

11..3)1

1()11()11

(,01++++

++=++b

a c a c

b

c b a c b a 化简)( 的值为多少?

,则已知

ca

bc ab abc

a c ca c

b b

c b a ab ++=+=+=+161,171,151)2(

12.有一个四位数,把它从中间分成两半,得到前、后两个两位数,将前面的两位数的末尾添一个零,

然后加上前后两个两位数的乘积,恰好等于原来的四位数,又知道原数的个位数字为5,试求这个四位数.

(江苏省竞赛试题)

13.代数式tvx tuy swx suz rwy rvz -++--中,z y x v u t s r ,,,,,,,可以分别取+1或-1. (1)证明代数式的值都是偶数. (2)求这个代数式所能取到的最大值.

(“华罗庚金杯”竞赛试题)

14.如图,在六边形的顶点处分别标上数1,2,3,4,5,6,能否使任意三个相邻顶点处的三数之和(1)

大于9?(2)大于10?

若能,请在图中标出来;若不能,请说明理由.

(江苏省竞赛试题)

第十一讲 双曲线 形如x k y =(0≠k )的函数叫做反比例函数,它的图象是由两条曲线组成的双曲线,与双曲线相关的知识有: 1. 双曲线解析式x k y =中的系数k 决定图象的大致位置及y 随x 变化的状况. 2.双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称,在k >0时函数的图象关于直线x y =轴对称;在k <0时函数的图象关于直线x y -=轴对称. 3.自变量的取值是不等于零的全体实数,双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴. 【例题求解】 【例1】 已知反比例函数x k y =的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点,则当0>x 时,这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 (填增大或减小). 思路点拨 确定k 的值,只需求出双曲线上一点的坐标即可. 注:(1)解与反比函数相关问题时,充分考虑它的对称性(关于原点O 中心称,关于x y ±=轴对称),这样既能从整上思考问题,又能提高思维的周密性. (2)一个常用命题:

如图,设点A 是反比例函数x k y =(0≠k )的图象上一点,过A 作AB ⊥x 轴于B ,过A 作AC ⊥y 轴于C ,则 ①S △AOB =k 2 1; ②S 矩形OBAC =k . 【例2】 如图,正比例函数kx y = (0>k )与反比例函数x y 1=的图象相交于A 、C 两点,过A 作AB ⊥x 轴于B ,连结BC ,若S △ABC 的面积为S ,则( ) A .S=1 B .S =2 C .S=k D .S=2k 思路点拨 运用双曲线的对称性,导出S △AOB 与S △OBC 的关系. 【例3】 如图,已知一次函数8+-=x y 和反比例函数x k y =(0≠k )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B . (1)求实数k 的取值范围; (2)若△AOB 面积S =24,求k 的值. 思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点,即联立方程组有两组不同实数解; (2)S △AOB= S △COB S- S △COA ,建立k 的方程.

初中数学竞赛常用解题方法(代数) 一、 配方法 例1练习:若2 ()4()()0x z x y y z ----=,试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 (1)构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.,那么它们的立方和被6除,得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 (2)构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 (3)构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根,则4 3αβ+的值是___ ___。 (4)构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 (5)构造几何图形 例7、(构造对称图形)已知a 、b 是正数,且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习:(构造矩形)若a ,b 形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法(差值比较法、比值比较法、恒等比较法) 例9、71427和19的积被7除,余数是几? 练习:设0a b c >>>,求证:222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法(提取公因式法、公式法、十字相乘法) 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数,证明数3 231 22 M n n n =++为整数,且它是3的倍数。 练习:证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法(用新的变量代换原来的变量) 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习:解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法(常用于列方程解应用题) 例12、一商人进货价便宜8%,售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的 %x 增加到(10)%x +,x 等于多少? 九、 判别式法(24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质) 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习:已知,,x y z 是实数,且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)

专题10 最优化 例1. 4 提示:原式=1 12 - 62 -+)(x . 例2. B 提示:由-1≤y ≤1有0≤≤1,则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上,对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论:①0≤a +?)(,∴f (a )=2a ,即2a =2132-2+a ,则?? ? ??=--=413 172b a 综上,(a ,b )=(1,3)或(17-2-, 4 13 ) 例4. (1) 121≤≤x ,y 2 = 21+216143-2+-)( x .当=4 3时,y 2 取得最大值1,a =1; 当21= x 或=1时,y 2取得最小值21,b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图,AB =8,设AC =,则BC =8- ,AD =2,CD =42+x ,BE =4,CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ,C ,E 三点共线时,原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ,有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时,=3 8. (3)如图, 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+)()(

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是: 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值. 数学思想: 数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数) 例题与求解 【例1】 当x = 时,代数式32003 (420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2003 2- (绍兴市竞赛试题) 【例2】 化简 (1(b a b ab b -÷-- (黄冈市中考试题) (2 (五城市联赛试题)

(3 (北京市竞赛试题) (4 (陕西省竞赛试题) 解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解. 思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少? (西安交大少年班入学试题) 解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y == 想一想:设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.

初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点,线,面,体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体,要靠正确的想像 点:只表示位置,没有大小,不可再分。 线:只有长短,没有粗细。线是由无数多点组成的,即“点动成线”。面:只有长、宽,没有厚薄。面是由无数多线组成的,“线动成面”。4.因为任何复杂的图形,都是由若干基本图形组合而成的,所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数,量一量,比一比,算一算;运动状态中的位置、数量的变化,图形的旋转,摺叠,割补,并合,比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角(小于平角)?乙图中有几个等腰三角形?丙图中有几全等三角形?丁图中有几对等边三角形? E 解:甲图中有10个角:∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线,则少一个∠AOC,余类推。 乙图中有5个等腰三角形:△ABC,△ABD,△BDC,△BDE,△DEC 丙图中有全等三角形4对:(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD,△AOD≌△BOC,△ABC≌△CDA,△BCD≌△DAB。

丁图中共有等边三角形48个: 边长1个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4+5=15 顶点在下▼的个数有 1+2+3+4=10 边长2个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4=10 顶点在下▼的个数有 1+2=3 边长3个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3=6 边长4个单位:顶点在上▲的个数有 1+2=3 边长5个单位:顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中任意3个点都不在同 一直线上,如果每两点都连成一条线,那么共有线段几条?如果要使图形不 出现有4个点的两两连线,那么最多可连成几条线段?试画出图形。 (1989年全国初中数学联赛题) 解:从点A 1与其他5点连线有5条,从点A 2与其他4点(A 1除外)连线 有4条,从A 3与其他3点连线有3条(A 1,A 2除外)……以此类推,6个 点两两连线共有线段1+2+3+4+5=15(条),或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2(因重复计算)。 要使图形不出现有4个点的两两连线,那么每点只能与其他4个点连线, 共有(6×4)÷2=12(条)如下图:其中有3对点不连线:A 1A 4,A 2A 5, A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ,某甲沿水平线,某乙铅垂线同时匀速 前进,当甲在O 点时,乙离点O 为500米,2分钟后,甲、乙离点O 相 等;又过8分钟,甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解:如图设甲0,乙0为开始位置,甲1,乙1为前进2分钟后位置,甲2,乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲,乙的速度分别为每分钟x,y 米,根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3

初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样,分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式,从而对分式进行求值.除此之外,还要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值. 例1 化简分式: 分析直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多. =[(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)] 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式. 例2 求分式 当a=2时的值.分析与解先化简再求值.直接通分较复杂,注意到平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b), 可将分式分步通分,每一步只通分左边两项. 例3 若abc=1 ,求 分析本题可将分式通分后,再进行化简求值,但较复杂.下面介绍几种简单的解法. 解法1 因为abc=1,所以a,b,c都不为零. 解法2 因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0. 例4 化简分式:

分析与解 三个分式一齐通分运算量大,可先将每个分式的分 母分解因式,然后再化简. 说明 互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫“拆项相消”法, 它是分式化简中常用的技巧. 例5 化简计算(式中a ,b ,c 两两不相等): 似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c),而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c),因此有下面的解法. 解 说明 本例也是采取“拆项相消”法,所不同的是利用 例6 已知:x+y+z=3a(a ≠0,且x ,y ,z 不全相等),求 分析 本题字母多,分式复杂.若把条件写成 (x -a)+(y -a)+(z -a)=0,那么题目只与x -a ,y -a ,z -a 有关,为简化计算,可用换元法求解. 解 令x -a=u ,y -a=v ,z -a=w ,则分式变为 u 2+v 2+w 2 +2(uv+vw+wu)=0. 由于x ,y ,z 不全相等,所以u ,v ,w 不全为零,所以u 2 +v 2 +w 2 ≠0,从而有 说明 从本例中可以看出,换元法可以减少字母个数,使运算 过程简化. 例7 化简分式: 适当变形,化简分式后再计算求值. (x -4)2 =3,即x 2 -8x+13=0. 原式分子=(x 4 -8x 3 +13x 2 )+(2x 3 -16x 2 +26x)+(x 2 -8x+13)+10 =x 2 (x 2 -8x+13)+2x(x 2 -8x+13)+(x 2 -8x+13)+10

初中数学竞赛专题选讲 函数的图象 一、内容提要 1. 函数的图象定义:在直角坐标系中,以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵 坐标的点的集合,叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数,k ≠0)的图象是一条直线 ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标,适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ,则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象:我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx -y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合,我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数,a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合,那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如: 二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线; 二元分式方程y= x k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如: ① 由图象的最高,最低点可看函数的最大,最小值; ② 由图象的上升,下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小); ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方,下方或轴上,分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标,就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是: ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义,并使代数式所表示的实际问题有意义,还要注意是否连续,是否有界. ②一般用描点法,但对一次函数(二元一次方程)的图象,因它是直线(包括射线、线段),所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ,应按定义对自变量分区讨论,写成几个解析式. 二、例题 例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0), 试决定a, b, c 及b 2-4ac 的符号. 解:∵抛物线开口向下, ∴a<0. ∵对称轴在原点右边,∴x=- a b 2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上, ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点, ∴b 2-4ac>0. 例2. 已知:抛物线f :y=-(x -2)2+5. 试写出把f 向左平行移动2个单位后,所得的曲线f 1的方程;以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图,并求:

初中数学竞赛公益讲座:平行四边形和梯形 2018/4/7 一、基础知识: 1)平行四边形:平移、中点、中心对称(旋转180度)2)特殊的平行四边形:矩形、菱形、正方形 3)梯形:梯形问题转化、分割、拼接 三角形或者平行四边形问题 二、例题分析 例1、如下左图,在等腰△ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连 接DE,恰有AD=BC=CE=DE,求∠BAC的度数。 例2、如上右图,在RT△ABC中,∠ACB是直角,CD⊥AB于D,AE平分∠ABC,交CD于K,F在BE上且BF=CE,求证:FK?AB。 例3、如下左图,△ABC内部一点P,满足∠PBA=∠PCA,作平行四边形PBQC,求证:∠QAB=∠PAC。

例4、如上右图,已知A、B是两个定点,C是位于直线AB某一侧的一个动点,分别以AC、BC为边,在△ABCDE外部作正方形CADI、CBEF,求证无论C点 在什么位置上,DE的中点M的位置不变。 例5、如下左图,梯形ABCD中,AB?CD,BC⊥CD,AB=2,CD=4,点E是BC上的一个动点,连接并延长EA到点F,使得EF:AE=2:1,连接并延长ED到点G,使得EG:ED=3:2,以EF和EG为临边作平行四边形EFHG,连接EH交AD于点P,1)求EH的最小长度;2)求证:P是定点。 例6、如上右图,四边形ABCD中,点E、F分别在边AB、CD上,连接BF、CE交于点P,连接AF、DE交于点Q,若四边形EQFP是平行四边形,求证: 四边形ABCD是梯形。 例7、如下图,等腰梯形ABCD,对角线AC与BD交于点O,M 、N分别为腰AB和CD上的点,且AM=CN,连接MN分别交BD、AC于点P、Q,求证: MP=QN。

初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要: 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除,求x 解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除, 当1+2+3+4+x 能被3整除时,x=2,5,8

当末两位4x能被4整除时,x=0,4,8 ∴x=8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234, 但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数:(写成质因数为底的幂的连乘积) ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除,那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除,那么x=__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时,5 9610能被7整除 5、当n=__________时,n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972 中,能被下列各数整除的有(填上编号): 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3 整除的数共有几个?为什么?

初中数学竞赛专题培训第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物,所以谁都希望买到物美价廉的鱼.假定现在商店里出售某种鱼以大小论价,大鱼A每斤1.5元,小鱼B每斤1元.如果大鱼的高度为13厘米,小鱼的高度为10厘米(图2-171),那么买哪种鱼更便宜呢? 有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10,差不了许多,而小鱼的价格却比大鱼便宜许多,因此,买小鱼比较合算.这种想法是合理的吗?我们还是用数学来加以分析吧! 在平面几何中,我们已经知道以下定理. 定理1 相似形周长的比等于相似比. 定理2 相似形面积的比等于相似比的平方. 例1 已知:△ABC∽△A′B′C′,并且AB=2c,BC=2a,AC=2b,A′B′=3c, B′C′=3a,A′C′=3b.求证:△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172). 证△ABC的周长是 2a+2b+2c=2(a+b+c), △A′B′C′的周长是 3a+3b+3c=3(a+b+c), 所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是 2(a+b+c)∶3(a+b+c)=2∶3. 例2 图2-173是两个相似矩形,如果它们的相似比是3∶4,求证:它们面积的比是32∶42. 证矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab,矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab,所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是 32ab∶42ab=32∶42. 从定理1和定理2,我们自然会想到:相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢?为此,我们看下面的例子. 例3 图2-174是两个相似的长方体,它们的相似比为3∶5,求它们的体积之比. 解长方体(a)的体积是3a·3b·3c=33abc, 长方体(b)的体积是5a·5b·5c=53abc, 所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是 33abc∶53abc=33∶53 例4 图2-175是两个相似圆柱,它们的相似比为2∶3,求它们的体积之比. 解小圆柱的体积是 (2a)2π·2b=23a2bπ,大圆柱的体积是 (3a)2π·3b=33a2bπ,所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33. 定理3 相似形的体积之比,等于它的相似比的立方.

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 全国初中数学知识竞赛辅导方案 王选民 为了在全国数学知识竞赛中取得优异成绩,将对学生辅导方案总结如下: 一、了解掌握优生的特点 一般我们选择参加竞赛的学生都是学优生,当我们与“优生”进行面谈时,应该清醒地认识到,他们能成为“优生”,是学生家长和老师共同教育的结果。尤其要看到这些“优生”的两重性:一方面,他们的行为习惯、学习习惯、学习成绩以及各种能力比一般学生在这个年龄容易出现的毛病外,也存在着他们作为老师的“好学生”、家长的“好孩子”所特有的一些毛病。 具体说来,“优生”一般具有以下特点: 1、思想比较纯正,行为举止较文明,自我控制的能力比较强,一般没有重大的违纪现象。 2、求知欲较旺盛,知识接受能力也较强,学习态度较端正,学习方法较科学,成绩较好。 3、长期担任学生干部,表达能力、组织能力以及其它工作能力都较强,在同学中容易形成威信。 4、课外涉及比较广泛,爱好全面,知识面较广。 5、由于智力状况比较好,课内学习较为轻松,因而容易自满,不求上进。 6、长期处于学生尖子的位置,比较骄傲自负,容易产生虚心。 7、有的“优生”之间容易产生互相嫉妒、勾心斗角的狭隘情绪和学习上的

不正当竞争。 8、从小就处在受表扬、获荣誉、被羡慕的顺境之中,因而他们对挫折的心理承受能力远不及一般普通学生。 以上几点,只是就一般“优生”的共性而,当然不一定每一个“优生”都是如此。 辅导优生的具体措施 1、创设能引导学优生主动参与的教育环境。 2、了解学生在兴趣、学习偏好、学习速度、学习准备以及动机等方面的情况。这些资料为教师制定活动和计划时的依据,也是“促进学生主动地、富有个性地学习的需要”。 3、为尖子设计学习方案。学优生学习新知识时,比其他学生花的时间少,他不需要很多的练习就已经理解新知识,因此,做的练习也少。让他们做那些已经理解的题目就很多难让学生体会到智力活动的乐趣。长此以往,反而可能在一定程度上降低学生对于智力生活的敏感性。教师应该备有不同层次介绍同一主题的资料,采用向学生布置分组作业的方法,从众多的方案和活动中选取与他们的知识、技能水平相当的项目,指定他们完成。 4、解决学优生心理问题:学优生在心理状态上,易产生骄气,居高临下,听不进半点批评,心理脆弱。在价值取向上,易产生唯我独尊,以自我为中心的个性倾向和价值取向,不把其他同学的感觉、好恶、需要放在一定的位置;在行为方式上,由于始终把自己当学优生,与一般同学不一样,束缚了自己,娱乐活动不愿参加,集体劳动怕吃苦。 针对这种状况,教学中应注意: 学优生学习成绩优异,但不能“一俊遮百丑”。在鼓励保持学习上的竞争姿态和上进好胜的同时,要创造条件和环境,磨练他们的意志,培养他们的创造能力,规范他们的行为意识。

专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种方法叫配方法,配方法是代数变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”,恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧,常见的等式有: 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值,解方程、求最值等方面有较广泛的应用,运用配方解题的关键在于: (1) 具有较强的配方意识,即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系,如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ,y ,z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ,那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路:对题设条件实施变形,设法确定x , y 的值. 【例2】 若实数a ,b , c 满足222 9a b c ++= ,则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:运用乘法公式 ,将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用

第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax (0≠a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根,那么1942231+-x x 的值等于( ) A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨:求出1x 、2x 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如1213x x -=,2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ,求满足该方程的所有根之和. 思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111, 试求x 的值. 思路点拨:运用连等式,通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示,由解方程求得x 的值. 注:一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程02=++c bx ax (0≠a )直接作零值多项式代换; (2)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax --=2,代换后降次; (3)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2,代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时,在未指明方程类型时,应分0=a 及0≠a 两种情况讨论;解绝对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值一些性质,如222 x x x ==.

第一讲:因式分解(一) (1) 第二讲:因式分解(二) (4) 第三讲实数的若干性质和应用 (7) 第四讲分式的化简与求值 (10) 第五讲恒等式的证明 (13) 第六讲代数式的求值 (16) 第七讲根式及其运算 (19) 第八讲非负数 (23) 第九讲一元二次程 (27) 第十讲三角形的全等及其应用 (30) 第十一讲勾股定理与应用 (34) 第十二讲平行四边形 (37) 第十三讲梯形 (40) 第十四讲中位线及其应用 (43) 第十五讲相似三角形(一) (46) 第十六讲相似三角形(二) .......................................... 49 第十七讲* 集合与简易逻辑 (52) 第十八讲归纳与发现 (57) 第十九讲特殊化与一般化 (61) 第二十讲类比与联想 (65) 第二十一讲分类与讨论 (68) 第二十二讲面积问题与面积法 (72) 第二十三讲几不等式 (75) 第二十四讲* 整数的整除性 (79) 第二十五讲* 同余式 (82) 第二十六讲含参数的一元二次程的整数根问题 (85) 第二十七讲列程解应用问题中的量 (88) 第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (92) 第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (96) 第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99) 第一讲:因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决多数学问题的有力工具.因式分解法灵活,技巧性强,学习这些法与技巧,不仅是掌握因式分解容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-… -ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 w

初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

专题16 不等式(组) 阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系,又包含大量的不等关系,方程(组)是研究相等关系的重要手段,不等式(组)是探求不等关系的基本工具,方程与不等式既有相似点,又有不同之处,主要体现在: 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似,但解题时要注意两者之间的重要区别;等式两边都乘(或除)以同一个数时,只要考虑这个数是否为零,而不等式两边都乘以(或除以)同一个数时,不但要考虑这个数是否为零,而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是:解方程组时,我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工,但在解不等组时,我们只能对某个不等式进行变形,分别求出每个不等式的解集,然后再求公共部分.通俗地说,解方程组时,可以“统一思想”,而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解 【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2 35 35 2恰好有5个整数解,则t 的取值范围是( ) A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2 116-≤≤-t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题) 解题思路:把x 的解集用含t 的式子表示,根据题意,结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7 10 05)2(< >---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 . (黑龙江省哈尔滨市竞赛试题) 解题思路:从已知条件出发,解关于x 的不等式,求出m ,n 的值或m ,n 的关系. 【例3】已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x 若方程组有非负整数解,求正整数m 的值. (天津市竞赛试题) 解题思路:解关于x ,y 的方程组,建立关于m 的不等式组,求出m 的取值范围. 【例4】已知三个非负数a ,b ,c 满足3a +2b +c =5和2a +b -3c =1,若m =3a +b -7c ,求m 的最大 值和最小值. (江苏省竞赛试题) 解题思路:本例综合了方程组、不等式(组)的知识,解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ,通过解不等式组,确定这个字母的取值范围,在约束条件下,求m 的最大值与最小值.

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