第四讲 有理数的加减运算 课标要求:
内 容
具 体 要 求 有理数的加减运算 B .掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算 (以三步为主);
C. 能运用的有理数的运算解决简单问题.
有理数的运算律
A .理解有理数的运算律;
B .能用有理数的运算律简化有理数运算. 一、有理数的加减运算
知识点1:有理数的加法法则
加法法则
同号 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
1. 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的
异号 绝对值减去较小的绝对值.
2.互为相反数的两个数相加得0.
与0 一个数与0相加仍得这个数.
注1
1.有理数加法运算步骤:(1)先确定和的符号;(2)再计算和的绝对值.
2.和的符号的确定与和的绝对值的计算,都取决于两个加数的符号.
口诀:同号取同,异号取大;同号相加,异号相减.
3.后面的加数为负数时,这个负数要用括号括起来,即两个符号要用括号隔开.
【典型例题】
例1 计算(1) (-1.5)+ 0.9 (2)(-1.3)+(-8) (3) 0+(-3.5)
练习1 计算:(1)??
? ??-+??? ??-3121 (2) 314+(-561)
(3) (-5
61)+0 (4) (+25
1)+(-2.2) (5) (-152)+(+0.8)
知识点2:有理数的减法法则
减法法则 减去一个数,等于加上这个数的相反数.字母表示 ()a b a b -=+-.
注2
1.有理数减法运算步骤:
(1)先把减法转化为加法; (2)再按照加法运算的步骤进行运算.
2.把减法变成加法时要注意两变:
(1)把减号变为加号(改变运算符号);(2)把减数变为它的相反数(改变性质符号).
【典型例题】
例2 计算:(1) (-3)-(-5) (2) 0-7 (3)(-3
21)-54
1
练习2 计算(口答): (1)6-(-9)= (2)(-6)-(-9)= (3)(-6)-9= (4)(-6)-1= (5)(-6)-(-1)= (6)6-(-1) = (7)(-6)-0= (8)0-(-6)= (9)(-1)-(-6)=
二、有理数加减混合运算
知识点1:有理数加减混合运算
运算步骤
1.用减法法则把算式中的减法转化为加法;
2.写成省略加号与括号的和的形式;
3.用加法法则进行有理数的加法运算.
注1
1.先把加减法统一成加法后,再写成省略加号和括号的和的形式.
2.写成省略加号和的形式后,有两种读法(两种含义).
如:-10-(+5)+(+8)-(-3)+(-11)=-10-5+8+3-11
按加法的结果可读作:负10,负5,正8,正3,负11的和.
按其运算也可读作:负10减5加8加3减11.
【典型例题】
例3 计算: 16+(-25)+24+(-35) (-2)+3+1+(-3)+(-4)
6-(-9)+(-0.5)-(-8) (-6)-(-9)-2-(-6)
练习3 计算:12-(-18)+(-7)-15 -40-28-(-19)+(-24)-(-32)
(+3.4)-(-2.8)+(-1.7)-(+4.5) (+4.7)-(-8.9)-(+7.5)+(-6)
知识点2:加减混合运算的巧算
运算律
1.加法交换律:
2.加法结合律:() a +()
注2
1.进行有理数加减混合运算时,要先观察题目特征,再确定计算方法.
2.运用运算律进行加减混合运算的简算和巧算的规律一般有:
(1) 同号结合法;(2) 相反数结合法;(3)同分母结合法;(4)凑整结合法.
【典型例题】
例2 (1)同号结合法:先把所有正数相加,所有负数相加,再把两者结果相加.
(+37)-(+26)-(-63) +(-24) (-7)+(+8)+(-13)+(+21)-(+15)-(-6)
(2)相反数结合法:先把互为相反数的数结合起来相加. (-323)-(-432)3
11(+2.75) (-2.1)+(+3.75)-(-4)-(+433)-(+2.9)+(-4)
(3)凑整结合法:先把某些加数结合,凑为整数再相加.
322(-544)+(-315)-(+3.8) 753+(-9.5)+(-7
212)-(+73)-(-2119)
(4)同分母结合法:遇有分数,先把同分母分数结合起来相加. (+516)+(-325)+(+524)-(+311) 21(-52)-(-211)+(+533)-(-5
1)
练习2
(1)(+7)+(-6)+(-7)+(+6) (2)(-2.6)+(-3.4)+(+2.3)+1.5+(-2.3)
(3) (+15)+(-20)-(-8)+(-6)+(+2) (4) ??
? ??-+??? ??++??? ??++??? ??-321412323413
(5)(-0.5)-(-3
41)+2.75+(-721) (6) 9
413173)95()312(741+++---+
(7) )2
13()829()431(832)212(75.1+-++-++-+
(8) )7316()35196()525()35163()534(743---+-+-+-++
【知识小结】
重点:有理数加减法计算
难点:技巧
易错点:符号(特别是负号)
【模拟试题】
一、选择题
1.两个数的和是正数,那么这两个数( ).
A.都是正数
B.一正一负
C.都是负数
D.至少有一个是正数
2. 把(-12)-(+8)-(-3)+(+4)写成省略括号的和的形式应为( ).
12-8-3+4 12-8+3+4 12+8+3+4 D.12-8-3-4
3.下列说法正确的是( ).
A.两个数的差一定小于被减数
B.两个数的差是正数,则这两数都是正数
C.零减去一个数仍得这个数
D.减去一个负数,差一定大于被减数
4.甲、乙、丙三地的海拔高度分别是20米、-15米和-10米,那么最高的地方比最低的地方高( ).
A 、25米
B 、10米
C 、5米
D 、35米
5.两个有理数的和的绝对值与它们的绝对值的和相等,则( ).
A.这两个有理数都是正数
B.这两个有理数都是负数
C.这两个有理数同号
D.这两个有理数同号或至少有一个为零
二、填空题
6.某天上午的温度是5℃ ,中午又上升了3℃,下午由于冷空气南下,到夜间又下降了9℃,则这天夜间的温度是 ℃.
7. 互为相反数的两个数的和等于 .
8. 从–5中减去–1,–3,2的和,所得的差是 .
9. 观察下列数:1,2,-3,4,5,-6,7,8,-9,…则前12项的和为 .
10. 在-7与37之间插入三个数,使这5个数中每相邻两个数之间的距离相等,则这三个数的和是 .
三、解答题
11.计算: (1) -2.4+3.5-4.6+3.5 (2) 211--(652
-)+(-0.5)+ 613
(3) -0.5-(413-)+2.75-(217
+) (4) 712143269696????????----++- ? ? ? ?????????
12. 某人用400元购买了8套儿童服装,准备以一定的价格出售,如果以每套55元的价格为标准,超出的记作正数,不足的记作负数,记录如下(单位:元)
+2,-3,+2,+1,-2,-1,0,-2
(1)当他卖完这8套服装后是盈利还是亏损? (2)盈利(或亏损)了多少钱?
七年级数学上册 第一章 有理数 本章的教学时间大约需要课时,建议分配如下: §2.1 正数和负数---------------1课时 §2.2 数轴-------------------------1课时 §2.3 相反数------------------------1课时 §2.4 绝对值----------------------1课时 §2.5 有理数的大小比较----------1课时 §2.6 有理数的加法--------------1课时 §2.7 有理数的减法----------------1课时 §2.8 有理数的加减法混合运算--------1课时 §2.9 有理数的乘法----------------1课时 §2.10有理数的除法----------------1课时 §2.11有理数的乘方----------------1课时 §2.12科学记数法------------------1课时 §2.13有理数的混合运算---------1课时 § 复习-----------------------------------1课时 1.1正数和负数 一、基础知识 1. 像3、2、0.8这样大于0的数叫做正数。(根据需要,有时也在正数前面加正号“+”。) 2. 像-1、-4、-0.6这样在正数前面加负号“-”的数叫做负数。 3. 0既不是正数也不是负数。 4.带有正号的数不一定是正数,同样带有负号的数不一定是负数。 说明:在天气预报图中,零下5℃是用―5℃来表示的。一般地,对于具有相反意义的量,我们可把其中一种意义的量规定为正的,用过去学过的数来表示;把与它意义相反的量规定为负的,用过去学过的数(零除外)前面放一个“-”(读作“负”)号来表示。 拿温度为例,通常规定零上为正,于是零下为负,零上10℃就用10℃表示,零下5℃则用―5℃来表示。 ▲ 本节重点:能正确识别负数、用正负数表示具有相反意义的量是本节的难点。教学中要特别强调“0”的特殊身份,明确“0”既不是正数,也不是负数, 二、知识题库 1. 将下列各数按要求分类填写 5、0.5 6、- 7、0、29、-3 2、100、-0.00001 其中是正数的是( ),是负数的是( )。 2.如果水位上升1.2米,记作 1.2 米;那么水位下降0.8米,记作_______米. 3.甲、乙两人同时从A 地出发,如果向南走48m,记作+48m ,则乙向北走32m ,记为 , 这时甲乙两人相距 m. . 4.某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃,由此可知在 ℃~ ℃围保存才合
七年级奥数教学讲义 七年级奥数讲义 第一章《有理数》 要求:掌握基本概念和基本运算技能会灵活应用运算律和运算法则解题。 同号相加号不差,绝对值要相加;异号相加“大”减“小”,符号跟着大的跑; (异号相加取绝大,大绝要把小绝压;)谁同0加谁当家,相反数相加0自夸。 遇到减法细观察,改变符号再相加。乘除符号意义大,同正异负莫出差; 谁同0乘0自夸,互为倒数1当家。混合运算顺序化,乘方乘除再相加; 运算律的好处大,合理运用能简化;分配侓,别漏乘,定符号,再相乘。 括号由里小中大,切记负号别拉下。认真仔细基础打,长大当个科学家。 【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 1-1 ⒈正数和负数的概念 负数:比0小的数正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数 注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断) ②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如: 零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人; ⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。 注:“0”的9 种说法:(1)既不是正数也不是负数的数.(2)最大的非正数.(3)最小的非负数.(4)与其相反数相等的数.(5)最小的非负整数.(6)最大的非正整数.(7)最小的自然数.(8)绝对值最小的有理数.(9)没有倒数的数. 4、有理数的概念 【定义】:整数与分数统称为有理数(注意:所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数。) ⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) ⑵正分数和负分数统称为分数
2018年小升初衔接班教材 目录 第一章有理数 (2) 第二章整式的加减 (30) 第三章一元一次方程 (38) 第四章图形的初步认识 (43)
第一章 有理数 1.1正数和负数 一、基础知识 1. 像3、2、0.8这样大于0的数叫做正数。(根据需要,有时也在正数前面加正号“+”。) 2. 像-1、-4、-0.6这样在正数前面加负号“-”的数叫做负数。 3. 0既不是正数也不是负数。 4.带有正号的数不一定是正数,同样带有负号的数不一定是负数。 二、知识题库 1. 将下列各数按要求分类填写 5、0.56、-7、0、 29、-3 2 、100、-0.00001 其中是正数的是( ),是负数的是( )。 2.如果水位上升1.2米,记作 1.2 米;那么水位下降0.8米,记作_______米. 3.甲、乙两人同时从A 地出发,如果向南走48m,记作+48m ,则乙向北走32m ,记为 , 这时甲乙两人相距 m. . 4.某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃,由此可知在 ℃~ ℃范围内保存才合适. 5.下列说法不正确的是( ) A 0小于所有正数 B 0大于所有负数 C 0既不是正数也不是负数 D 0可以是正数也可以是负数 6.—a 一定是负数吗?
7.在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有 的意义. 8.举出2对具有相反意义的量的例子: 9.某地一天中午12时的气温是7℃,过5小时气温下降了4℃,又过7小时气温又下降了4℃,第二天0时的气温是多少? 10.某老师把某一小组五名同学的成绩简记为:+10,-5,0,+8,-3,又知道记为0的成绩表示90分,正数表示超过90分,则五名同学的平均成绩为多少分 三、直通中考 [2010年济南市中考] “甲比乙大-2岁”表示的意义是() A 、甲比乙小2岁 B 、甲比乙大2岁 C 、乙比甲大-2岁 D 、乙比甲小2岁 [2009年山东中考] 某市2009年元旦的最高气温为2℃,最低气温为-8℃,那么这天的最高气温比最低气温高( ) A 、-10℃ B 、-6℃ C 、6℃ D 、10℃ 1.1有理数 一、知识海洋 1.有理数的定义:整数和分数统称为有理数(有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不 循环小数却不是有理数) 2.有理数的分类: (1)按整数分数分类 ??? ? ?????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数..
暑期小升初数学衔接(教案)
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暑期小升初衔接 专题一负数1、相关知识链接 小学学过的数: (1)整数(自然数):0,1,2,3………… (2)分数:1131 ,,,1, 2342 …………… (3)小数:0.5,1.2,0.25………… 提问: (1)温度:零上8度,零下8度,在数学中怎么表示? (2)海拔高度:+25,-25分别表示什么意思? (3)生活中常说负债800元,在数学中又是什么意思? 2、教材知识详解 负数的产生:我们把其中一种意义的量规定为正,把另一种和它意义相反的量规定为负,这样就产生了负数。 【知识点1】正数与负数的概念 (1)正数:像5,1.2,1 3 ,125等比0大的数叫做正数。 (2)负数:像-5,-1.2,-1 3 ,-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数,负数比 0小,“-”不能省略。 注:(1)0既不是正数也不是负数,它是正数负数的分界点(2)并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数,例如0 【例1】下列那些数为负数 5,2,-8.3,4.7,-1 3 ,0,-0 【知识点2】有理数及其分类 (1)有理数:整数和分数统称为有理数,整数包括正整数、0、负整数、分数(包括正分数和负分数)。注:分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。 (2)有理数分类: 按性质分类: ,5.2 , 5.2?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? - ??? ? 正整数:如1,2, 3,… 正有理数11 正分数:如,,… 23 有理数 负整数:如-1,-2,- 3,… 负有理数11 负分数:如-,-,… 23
有理数培优 能力提升1:有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除(除数不为0)四则运算,对于相同的有理数相乘,我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算,除了要熟悉四则运算的法则之外,还应该注意到: 1、有理数对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算的结果是封闭的(仍是有理数)。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立,乘法对加法分配律也成立。 3、由于有了正、负数,加法与减法的界限消失,加、减可以互相转换,统一为代数和。如(-3)-7= (-3)+(-7)。在有理数范围内,除法可以转化为乘法,比如(-5)÷7=(-5)7 1 。
能力提升2:有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性. (一)括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 1 计算: 46.02562)158175.18(47)1(÷????? ? ?÷-- (2)4 1 1 )54()1()21(12)1()2(219983?-÷-? ????? --÷---?-
2. 计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 3. 计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n. 4. 在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? (二)用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值: (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22. 这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 于是我们得到了一个重要的计算公式:(a+b)(a-b)=a2-b2① 这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.5 计算 3001×2999的值. 6 计算 103×97×10 009的值. 7 计算:
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义 目录 1.第一讲:与三角形有关的线段; 2.第二讲:与三角形有关的角; 3.第三讲:与三角形有关的角度求和; 4.第四讲:专题一:三角形题型训练(一); 5.第五讲:专题二:三角形题型训练(二); 6.第六讲:全等三角形; 7.第七讲:全等三角形的判定(一)SAS; 8.第八讲:全等三角形的判定(二)SSS,ASA,AAS; 9.第九讲:全等三角形的判定(三)HL; 10.第十讲:专题三:全等三角形题型训练; 11.第十一讲:专题四:全等三角形知识点扩充训练; 12.第十二讲:角平分线的性质定理及逆定理; 13.第十三讲:轴对称; 14.第十四讲:等腰三角形; 15.第十五讲:等腰直角三角形;
C B A 16. 第十六讲:等边三角形(一); 17. 第十七讲:等边三角形(二); 18. 第十八讲:专题五:全等、等腰三角形综合运用(一) 19. 第十九讲:专题六:全等、等腰三角形综合运用(二) 20. 第二十讲:专题七:综合题题型专题训练; 第 一 讲 与三角形有关的线段 【知识要点】 一、三角形 1.概念:①三条线段;②不在同一直线上;③首尾相连. 2.几何表示:①顶点;②内角、外角;③边;④三角形. 3.三种重要线段及画法:①中线;②角平分线;③高线. 二、三角形按边分类:(注意:等边三角形是特殊的等腰三角形) ()?? ????? ??? 不等边三角形 腰底不相等的等腰三角形 三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具) 引例:已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况: (1)若AB=9,AC=4,BC=5,则A 、B 、C 存在的位置情况是: (2)若AB=3,AC=10,BC=7,则A 、B 、C 存在的位置情况是: (3)若AB=5,AC=4,BC=8,则A 、B 、C 存在的位置情况是: (4)若AB=3,AC=9,BC=10,则A 、B 、C 存在的位置情况是: