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北师大版七年级数学下册第五章三角形知识点精讲

北师大版七年级下第五章 三角形

一、三角形三边关系和角关系

1、三角形任意两边之和大于第三边。 结合右边图形用数学符号表示:a+b >c

2、三角形任意两边之差小于第三边。

结合右边图形用数学符号表示:a-b <c 3、三角形三个内角和等于180°

结合右边图形用数学符号表示:∠A+∠B+∠C=180°

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4、三角形按角分为三类:(1)锐角三角形(2)直角三角形(3)钝角三角形

5、直角三角形的两个锐角互余。

6、巩固练习: 1)、下列每组数分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?为什么? (单位:cm ) (1) 1, 3, 3 (2) 3, 4, 7 (3) 5, 9, 13 (4) 11,12,22 (5) 14,15,30 2)、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ,则第三边长X 的取值范围是 。若X

是奇数,则X 的值是 。这样的三角形有 个;若X 是偶数,则X 的值是 ,这样的三角形又有 个。 3)、判断:

(1)一个三角形的三个内角可以都小于60°; ( ) (2)一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角; ( ) 4)、在△ABC 中,

(1)∠C=70°,∠A=50°,则∠B= 度; (2)∠B=100°,∠A=∠C ,则∠C= 度; (3)2∠A=∠B+∠C ,则∠A= 度。 5)、如下图,在 Rt △CDE,∠C 和∠E 的关系是 ,其中∠C=55°,则∠E= 度。

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6)、如上图,在Rt △ABC 中,∠A=2∠B ,则∠A= 度,∠B= 度。 二、三角形的角平分线、中线和高

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1、三角形的角平分线:三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。简称三角形的角平分线。 如图:∵AD 是三角形ABC 的角平分线。 ∴∠BAD =∠CAD =

2

1

∠BAC 或∠BAC = 2∠BAD = 2∠CAD

2、三角形的中线:线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段,叫做三角形这个边上的中线。简称三角形

A B

C a b

c

C D

E

A B

C

的中线。

如图:∵AD 是三角形ABC 的中线。 ∴BD =DC =

2

1

BC 或BC = 2BD =2DC

3、三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高。

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如图:∵ AM 是BC 边上的高 ∴AM ⊥BC

4、巩固练习:

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1)、△ABC 中,∠B=80°∠C=40°,BO 、CO 平分∠B 、∠C ,则∠BOC=______. 2)、如右图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD 是△ABC 的一条角平分线, 求∠ADB 的度数. 3)、如右图,已知,AD 是BC 边上的中线,AB=5cm,AD=4cm, △ABD 的周长是 12cm,求BC 的长.

三、全等三角形

1、全等图形:能够重合的图形称为全等图形,全等图形的形状和大小都相同。

2、全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形. 如图:三角形ABC 全等于三角形DFE 表示为:△ABC ≌△DFE

3.全等三角形性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 如图,∵ △ABC ≌DFE ,(已知)

∴AB=DF ,AC=DE ,BC=FE ,(全等三角形的对

应边相等)

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∠A=∠D ,∠B=∠F ,∠C=∠E .(全等三角形的对应角相等) 4巩固练习:

已知:△ABC ≌△DFE ,∠A=96°,∠B=25°,DF=10cm .求∠E 的度数及AB 的长. 四、三角形全等的条件

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS 或“边边边”)

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS 或“边角边”)。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA 或“角边角”)。

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS 或“角角边”)

5、证明的书写格式:

(1)通过证明,先把题设中的间接条件转化成为可以直接用于判定三角形全等的条件;

(2)再写出在哪两个三角形中:具备按边角边的顺序写出可以直接用于判定全等的三个条件,并用括号把它们括起来;

(3)最后写出判定这两个三角形全等的结论.

α6、巩固练习:

1)、如图,AB=AC , BD=DC

求证:△ABD ≌△ACD

∴ △ABD △ACD ( ) 五、作三角形

1、已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形. 已知:线段a ,c ,∠α。

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求作:ΔABC ,使得BC= a ,AB=c ,∠ABC=∠α。 作法与过程: (1)作一条线段BC=a ,

(2)以B 为顶点,BC 为一边,作角∠DBC=∠a ; (3)在射线BD 上截取线段BA=c ;

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(4)连接AC ,ΔABC 就是所求作的三角形。 2、已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形. 已知:线段∠α,∠β,线段c 。

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求作:ΔABC ,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c 。 作法:(1)作____________=∠α;

(2)在射线______上截取线段_________=c;

(3) 以______为顶点,以_________为一边,作∠______=∠β,________交_______于点_______. ΔABC 就是所求作的三角形.

3、已知三角形的三边,求作这个三角形. 已知:线段a ,b ,c 。

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求作:ΔABC ,使得AB=c ,AC=b ,BC=a 。 做法:(1)作线段AB=a ;

(2)以A 为圆心,以b 为半径画弧,再以B 为圆心,以c 为半径画弧,两弧交于点C ; (3)连结AC ,BC ,则三角形ABC 为所求的三角形. 六、利用三角形全等测距离

能利用三角形的全等解决实际问题,能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 巩固练习: 1)、如图,山脚下有A 、B 两点,要测出A 、B 两点的距离。

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(1)在地上取一个可以直接到达A 、B 点的点O ,连接AO 并延长到C ,使AO=CO ,你能完成下面的图形? (2)说明你是如何求AB 的距离。

???

??===)

()_______(_______)

(公共边已知已知AD AD AC AB A

B

C D

E

D

A

练习检测

1.如图所示,△ABC ≌△ADE ,BC 的延长线过点E ,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=50°,求∠DEF 的度数。

2.如图,△AOB 中,∠B=30°,将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°,得到△A ′OB ′,边A ′B ′与边OB 交于点C (A ′不在OB 上),则∠A ′CO 的度数为多少?

3.如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ,垂足分别为D 、E ,若BD=3,CE=2,则DE=

4.如图,AD=BD ,AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E ,AD 与BE 相交于点H ,求证:BH=AC

5.如图,△DAC 、△EBC 均是等边三角形,AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ,求证:(1)AE=BD (2)CM=CN (3)△CMN 为等边三角形 (4)MN ∥BC

6、如图,AC ∥BD ,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ,CD 过点E ,求证;AB =AD+BC

E

F

A

C B D

C

A O B

A'B'

B

D E C

A

H B C A D E

N M A

B D

E

C

D

C B A

7、如图,在四边形ABCD 中,BC >BA,AD =CD ,BD 平分ABC ∠,

求证: 0

180=∠+∠C A

8.如图所示,已知在△AEC 中,∠E=90°,AD 平分∠EAC ,DF ⊥AC ,垂足为F ,DB=DC ,求证:BE=CF

9.已知:如图,BF ⊥AC 于点F ,CE ⊥AB 于点E ,且BD=CD ,求证:(1)△BDE ≌△CDF (2) 点D 在∠A 的平分线上

10.在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,直线MN 经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E (1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时,求证:DE=AD+BE (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时,求证:DE=AD-BE

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时,试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请直接写出这个等

量关系。

A E

C D F B

D

A C

B F E

M

图1

A

C

N

E

D

N

图2

A

C

B

D

E

M

D

N

图3

A

C

B

M E