(完整版)精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结-培优

全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如

DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ?

（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．

如图，在ABC ?和DEF ?中???

??===DF AC EF BC DE

AB

ABC ?∴

≌DEF ?

【典型例题】

例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点

D 是对应点，

?=∠26BAC ，且

?=∠20B ，1=?ABC S ，求

ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积．

例

2．如图，

ABC ?≌DEF

?，

cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．

例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠

例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：

（1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF

A D

例5．如图，在,90?=∠?C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；

（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）

【巩固练习】

1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）

A 、①④

B 、①②

C 、②③

D 、③④

2．如图，ABD ?≌CDB ?，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）

A 、CD

B ABD ??和的面积相等 B 、CDB ABD ??和的周长相等

C 、CB

D C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC

3．如图，ABC ?≌BAD ?，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果

?=∠?=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）

A 、?85

B 、?35

C 、?60

D 、?80

4．如图，ABC ?≌DEF ?，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ）

A 、6

B 、5

C 、4

D 、3

5．如图，要使ACD ?≌BCE ?，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC

6．如图，ABE ?≌DCF ?，

点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．

7．如图，ABC ?≌AED ?，若=∠?=∠?=∠?=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，

=∠D ，=∠DAC ．

8

，AE=AD ，则ABE ?

ACD ?，

所以=∠

AEB

，D 第3题图

第4题图

第5题图

B

第6题图

第8题图 第9题题图

=∠BAE ，=∠BAD ．

9．如图，ABC ?≌DEF ?，?=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠

C 、互余与E A ∠∠

D 、互余与D B ∠∠

10．如图，ACF ?≌DBE ?，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==?=∠?=∠，求D ∠的度数及BC 的长．

11．如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?

全等三角形（一）作业

1．如图，ABC ?≌CDA ?，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ）

A 、7cm

B 、5cm

C 、8cm

D 、无法确定

2．如图，ABC ?≌DCE ?，?=∠?=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）

A 、?48

B 、?38

C 、?110

D 、?62

3．如图，ABC ?≌DEF ?，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．

4．如图，ABE ?≌ACD ?，?=∠?=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．

5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD

A

E

A

D C

A

B C

D

E

A

F

6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ?≌FED ?

②AB//EF

7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠

F

E

全等三角形（二）

【知识要点】

定义：SAS

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示

如图，在ABC ?和DEF ?中，

ABC EF BC E B DE

AB ?∴??

?

??=∠=∠=≌)(SAS DEF ?

【典型例题】

【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.

【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，

AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.

【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.

【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.

【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。求证：BD ＋CD=AD 。

C A

D B E

C D

A

B

C

E

.

【巩固练习】

1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）

A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠

B ' C.∠C=∠

C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=C

D B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EF

C ．CA=C

D ；∠B=∠

E D.AB=DE ；BC=E

F ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：

如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.

那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由.

小明的解答：

21∠=∠ AOD ≌△BOC

而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD

（1）你认为小明的解答有无错误；

（2）如有错误给出正确解答；

4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。

5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC

（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由. （2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由. 6．如图，已知AB=AC ，EB=EC ，请说明BD=CD 的理由

D

OA=OB OD=OC

全等三角形（二）作业

1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ?≌CEF ?。

2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。

3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。 求证：BF=FC 。

4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。

5. 如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ， 求证：（1）BE=DC ，（2）BE ⊥DC.

6、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB//DE ，且AB=DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠CBF=∠FEC

A

B C

E D F

A C E F

A

D E C

B F O 1 2

D

C

A

B

E F

D A

B

Q

C

P

E

7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，

（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN

（2）求∠AFN大小。

11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB

的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.

12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.

(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

C

N

M

B

A

E

D

F

F

D

A

C

E B

F

D

A

C

G

E

B

全等三角形（三）ASA

【知识要点】

ASA

如图，在ABC

?与DEF ?中

E

B DE AB D A ∠=∠=∠=∠ ∴)(ASA DEF AB

C ???

ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

【典型例题】 【例1】下列条件不可推得ABC ?

和'

''C B A ?全等的条件是（ ） A 、 AB=A 'B '，'

A A ∠=∠，'C C ∠=∠

B 、 AB= A 'B '

，AC=A 'C '

，BC='B C '

C 、 AB= A 'B '

，AC=A 'C '

，'

B B ∠=∠ D 、 AB= A 'B '

，'

A A ∠=∠，'

B B ∠=∠

【

例

2

】

已

知

如

图

，

DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF

【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE

【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试

证明之．

【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BC

A

D

A B

【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ， 求证：①AB=CD ②OA=OD

【巩固练习】

1．如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CD

2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，求证：AM=CN

3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '

的角平分线AD 、A 'D '

相等

4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ???，求证：

COF AOE ???

5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD

6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DE

A

D

'

B D

'

C '

C

B

A B

D

全等三角形（三）作业

1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE

2．如图，已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD

3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE

4．已知如图，在ABC ?中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，求证：ABD ACD ???

5．已知如图，cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠，求BD 的长（要求写出完整的过程）

6、如图ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF

C

E

A D E

C

B

F

7、 (1)如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．

(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？

8、已知：如图 , AD 为CE 的垂直平分线 , EF ∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN ．

9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD ≌△OCE

10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为BD 中点 , 过O 作直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．求证：OE=OF

11、如图在△ABC 和△DBC 中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P 是BC 上任意一点．求证：PA=PD.

12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD 中 , AD ∥BC , F 是AB 的中点 , DF 交CB 延长线 于E , CE=CD ． 求证：∠ADE=∠EDC ．

13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA 与BE 交于C , AB 和EF 交于O ,求证：∠1=∠2．

A

G F

C B

D E

（图１）

全等三角形（四）

强化训练

1、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上

的点， （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．

2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）

3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、

AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．

4、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．

（1）求证：BF AC =；（2）求证：1

2

CE BF =；

5、 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=o

，．将BOC

△绕点C 按顺时针方向旋转60o

得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；

（2）当150α=o

时，试判断AOD △的形状，并说明理

由；

（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？

B

D

A E F C H G

B A B

C

D

O

110o α

7、过等腰直角三角形直角顶点A 作直线AM 平行于斜边BC ，在AM 上取点D ，使BD=BC ，且DB 与AC 所在直线交于E ，求证：CD=CE 。

过A 作AF ⊥BC 于F ，过D 作DG ⊥BC 于G ，则DG=AF=1/2BC=1/2BD ， 在Rt △BDG 中，DG=1/2BD =>

∠DBC=30° =>∠BDC=∠BCD =1/2(180°-30°)=75°，即∠EDC=75° ∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75° ∴∠EDC=∠DEC =>CD=CE

8、Rt △ABC ，AB=AC,BM 是中线，AD ⊥BM 交BC 于D ，求证：∠AMB=∠CMD 。

9、如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120o，说明AD=BD+CD 的理由。

10、已知：如图，点D 在△ABC 的边CA 的延长线上，点E 在BA 的延长线上，CF 、EF 分别是∠ACB 、∠AED 的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F 的度数。

11、等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，D 在AC 边上。延长BD 交CE 延长线于N ，延长AE 交BC 延长线于M 。求证：CM=CN 易证△BCD ≌△ACE 所以∠DBC=∠EAC

再证△BCN ≌△ACM (ASA)

∴ CM=CN

E C

A

M D A

B M

A B

C

E M

N

D

12、操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．

13、如图等边△ABC 和等边△CDE ，点P 为射线BC 一动点，角APK=60°，PK 交直线CD 于K 。

（1） 试探索AP 、PK 之间的数量关系；

K

A

D （2） 当点P 运动到BC 延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。

14、（涉及相似三角形）若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点. 如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′。

求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++.

15、如图,ABC ?是等腰直角三角形,∠C ＝900

,点M,N 分别是边AC 和BC 的中点,点D 在射线BM 上,且BD ＝2BM, 点E 在射线NA 上,且NE ＝2NA.求证:BD ⊥DE.

A

C

B B '

K

A

D

M

N

E

D

C

B

A

第五章全等三角形拓展延伸

分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）

放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。

例1：已知AE既是∠BAC的平分线，也

是∠BDC的平分线，试说明AB=AC

思路：AB在△ABD中，AC在△ACD中，

要说明AB=AC，尝试说明△ABD与△ACD全等。

1．观察图形发现两个三角形存在公共边AD

2．题目所给条件可以得到两组角相等，

3．再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等

4．再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC

例2：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=5，BD=11，请你求出DE的长度。

思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析，对它们的位置进行分析，发现AB、AC分别位于一个Rt△中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等。

那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求证△ABD≌△ACE。

D

C

E A

B

练习1. 小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？

分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢? _______＝_______

∴我们只需要说明 ________≌________

解：

练习2．在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC≌△CEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE

具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。

A

图1 图2

图3

【精选】人教版八年级数学上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． （1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程； （2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）． 【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到 MN=BM+NC． （2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵BD CD MBD ECD BM CE ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°， ∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， ∵MD DE MDN EDN DN DN ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC． （2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

《全等三角形》数学培优作业

A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ?

8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E

八年级数学全等三角形单元培优测试卷

八年级数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 2．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中

全等三角形证明题培优提高经典例题练习题

全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O

4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１） 请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用 其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F

7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4

全等三角形培优讲义

全等三角形培优讲义 The final edition was revised on December 14th, 2020.

全等三角形常见辅助线作法 【知识导图】 【导学】全等三角形 第一部分：知识点回顾 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三 角形，可作底边上的高，利用“三线合 一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式 是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是 将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 第二部分：例题剖析 精准诊查 概念 三边之和大于等于第三边稳定性 与三角形有关的线段 高 中线角平分线 与三角形有关的角 三角形内角和定理三角形的外角 直角三角形 性质判定 多边形及其内角和 三角形

D C B A E D F C B A E D C B A D C B A O E D C B A 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝ AC+BD 3、如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=， 040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD

全等三角形培优竞赛讲义(四)等腰三角形

全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线

全等三角形专题培优[带答案]

全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ? 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. ? 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 ? 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. ? 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. ? 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. ? 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；?②；?③；?④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 ? 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 ? 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. ? 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. ? 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ?

八年级全等三角形单元培优测试卷

八年级全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确；

三角形培优训练 题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

全等三角形的判定(基础卷)2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】 专题2.2全等三角形的判定（基础卷） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020春?吴中区期末）如图，已知AC＝AD，再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ABD的是（） A．∠C＝∠D＝90°B．∠BAC＝∠BAD C．BC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 【分析】根据全等三角形的判定定理分别判定即可． 【解析】A、根据HL可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意； B、根据SAS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意； C、根据SSS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意； D、根据SSA不能判定△ABC≌△ABD，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2020春?宁德期末）如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论错误的是（） A．AE＝CE B．∠A＝∠D C．∠EBC＝45°D．AB⊥DE 【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEC，可得∠A＝∠D，BC＝CE，可得∠EBC＝45°，由余角的性质可证AB⊥DE，利用排除法可求解．

【解析】如图，延长DE交AB于点H， ∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DEC中， {AB=DE AC=CD， ∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）， ∴∠A＝∠D，BC＝CE， ∴∠EBC＝45°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠D+∠ABC＝90°， ∴AB⊥DE， 故选：A． 3．（2020春?凤翔县期末）如图，已知AD＝BC，下列条件不能使△ABC≌△BAD的是（） A．∠ABD＝∠BAC B．AC＝BD C．∠C＝∠D D．∠BAD＝∠CBA 【分析】本题要判定△ABC≌△BAD，已知AD＝BC，AB是公共边，具备了两组边对应相等，故添加AC ＝BD、∠C＝∠D、∠BAD＝∠CBA后可判定△ABC≌△DCB，而添加∠ABD＝∠BAC后则不能．【解析】A、不能判定△ABC≌△BAD，故此选项符合题意； B、可利用SSS定理判定△ABC≌△BAD，故此选项不合题意； C、如图，先利用AAS定理判定△OBC≌△OAD，得出OB＝OA，OC＝OD，那么BC＝AD，再利用SSS 定理判定△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；

全等三角形培优经典题

全等三角形培优经典题

全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C G 图2 F A E 图3 D

2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．90 AEF ∠=o，且EF交正方 形外角DCG ∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的 中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E 图A D F C G E 图 A D F C G E B 图

数学八年级上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，ABC 中，ABC=45∠?，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠?②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误． 【详解】 解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB ， ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC ， ∴BD=DC ， 在△BDF 和△CDA 中， ∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ）， ∴BF=AC ，故①正确． ∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ， ∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确， ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°， ∴∠ABE=∠CBE=22.5°， ∵∠BDF=∠BHG=90°， ∴∠BGH=∠BFD=67.5°， ∴∠DGF=∠DFG=67.5°， ∴DG=DF ，故③正确． 作GM ⊥AB 于M ．如图所示：

全等三角形经典培优题型(含问题详解)

全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C

人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷

人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中

°90 ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴12 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 3 2x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧， ,82,38BD BC BAC DBC =∠=?∠=?，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．

全等三角形培优训练一(整理)

全等三角形提优训练（一） （全等三角形的性质与判定的应用） 知识点 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角,常用到以下方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. （3)有公共边的，公共边常是对应边． （4)有公共角的，公共角常是对应角. (５)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角），一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法: 一、全等三角形 注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ②全等三角形面积相等． 全等三角形证明的思路：

?? ? ?? ??? ???? ? ? ????? ?? ? ?? ?????? ???????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 练习: １、如图,在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC ，∠ABC ＝70°,则∠CBC’为_＿__＿___度． 2、如图∠1＝∠２＝200，AD ＝A Ｂ， ∠Ｄ＝∠B ，E 在线段BC 上，则∠A ＥＣ= 3、如图所示，ABC ADE △≌△,BC 的延长线交DA 于F ,交DE 于G ， 105ACB AED ∠=∠=,15CAD ∠=,30B D ∠=∠=,则1∠的度数为 ４、已知:如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O=70°，∠C=25°，则∠A ＥB=_____＿__度. 5、如图,D E ，分别为ABC △的AC ,BC 边的中点,将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°,则APD ∠等于 6、如图,在Rt △A ＢC 中,已知∠A ＣB ＝90°,∠Ａ＝5０°，将其折叠,使点A 落在边CB 上点A ′处,折痕为ＣD,则∠Ａ′ＤB ＝ 7、如图，已知△ＡBC 为 等 边三角形, 点D 、E 分别在变边BC 、ＡC 上,且AE=CD,ＡD 与ＢE 相交于点Ｆ,则：∠BFD= 8、如图，点A 、C 、B 在同一直线上,△DAC 和△EBC 均是等边三角形，ＡE 与BD 交于点O ，AE 、

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

全等三角形培优竞赛训练题

全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点，连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系； (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450，如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1) 中的结论是否仍然成立？ 图1图2图3

学习参考

2、数学课上，张老师出示了问题：如图1 ,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF 90°，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE= EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M ,连接ME，则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条 件不变，结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 图1图2图3

3、已知Rt A ABC 中，AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点，EDF 90° EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，不需证明 F 图 1图2

八年级全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知等边ABC ?的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF ?，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5 CM CN ==，则MN的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】 作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出 1 2 4 CG BC ==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长． 【详解】 解：如图示：作CG⊥MN于G， ∵△ABC和△CEF是等边三角形， ∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°， ∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE， 即∠ACE=∠BCF， 在△ACE与△BCF中 AC BC ACE BCF CE CF = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△ACE≌△BCF（SAS）， 又∵AD是三角形△ABC的中线 ∴∠CBF=∠CAE=30°， ∴ 1 2 4 CG BC ==， 在Rt△CMG中，2222 543 MG CM CG =-=-， ∴MN=2MG=6，

故答案为：6． 【点睛】 本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ． 2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 3．如图，在01A BA △中，20B ∠=?，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．

全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' ． 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． 点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为 “≌ ”． 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边． (4) 有公共角的，公共角常是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理 ( HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS 能够相互重合的顶 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于． E D

八年级上册全等三角形单元培优测试卷

八年级上册全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中

°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴1 2 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 32x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=?， 92AEB ∠=?，则EBD ∠的度数为 ________ ．

全等三角形培优训练

D A B C E 全等三角形培优练习 一、选择题 1.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.（2009·太原中考）如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A.20° B.30° C.35° D.40° 3.（2010·温州中考）如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4、（2007·中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） （Ａ）三条中线的交点 （Ｂ）三条高的交点 （Ｃ）三条边的垂直平分线的交点 （Ｄ）三条角平分线的交点 5．将长为13 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 6.如图所示，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

7、（2009·温州中考）如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A.PA PB = B.PO 平分APB ∠ C.OA OB = D.AB 垂直平分OP 8．如图，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形．使得所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以作出（ ） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个 9、尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、 OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于1 2CD 长为半径画弧，两弧交 于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 10、下列叙述： ①任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；②以a,b,c 为边，且a+b=c, 可以构成一个三角形；③一个三角形内角之比为3：2：1，此三角形为直角三角形；④两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；⑤两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；⑥三个角对应相等的两个三角形全等，其中正确的有（ ） A 、① ③ ⑤ B 、② ④ ⑥ C 、① ③ ④ D 、① ② ③ ④ O D P C A B E D C B A 第8题图 A E F B C D M N