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2004年第3届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2004年第3届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)
2004年第3届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

第3届女子数学奥林匹克试题

第3届女子数学奥林匹克于2004年8月11日至15日在江西省南昌市举行,共有45个代表队的179名选手参加了此次竞赛,他们分别来自北京,上海等数十个城市以及美国,俄罗斯,菲律宾,香港,澳门等国家和地区。竞赛共安排两天考试,每天四个小时,各考四道题。通过竞赛,有18名选手获得金牌,39名选手获得银牌,58名选手获得铜牌。

试 题

1.如果存在1,2,……n 的一个排列a (1),a (2)……a (n ),使得k+a k (k=1,2,……n )都是

完全平方数,就称n 为好数。试问:在集合{11,13,15,17,19}中哪些为好数,那些不是,说明理由。

2.设为a,b,c 正实数,求c

b a c

c b a b c b a c a 382423++-++++++最小值。

3.已知钝角三角形ABC 的外接圆半径为1,证明:存在一个斜边为12+的等腰直角三角形覆盖三角形ABC

4.一副3色牌,共有32张,其中红黄蓝各10张,编号为1,2,,,,10;另有大小王各1张。

从中任取几张,然后按如下规则算分:每张编号为K 的牌记2k 分。大小王编号为0。若分值之和为2004,就称这些牌为一个好牌组。求好牌组的组数。 5.设为u ,v ,w 正实数,满足条件1≥++uv w wu v vw u ,试求u +v +w 的最小值.

6.给定锐角三角形ABC ,O 为外心,直线AO 交边BC 于D ,动点E ,F 在AB ,AC 上,

使得A ,E ,D ,F 四点共圆。求证:线段EF 在BC 上的投影长度为定值。

7.设n∈N,且正整数p,q满足(p,q)=1.问有多少个不同的整数可表为ip+jq (其中i,j∈N, i+j≤n)?

8.记"十字型"为一个3×3的方格去掉4个角上的1×1方格所形成的图形.问10×11的方格中至多能放入多少个互不重叠的十字形.

解:答案:15个

首先证明最多可放15个“十字形”。用反证法,假设可放16个“十字形”。对每个“十字形”,我们称其中心的方格为“心”(记为*)。将10×11的棋盘去掉周围一圈方格,得到一个8×9的方格表,显然,每个“十字形”的“心”都只能出现在这个8×9的方格表中。

注意在每一个3×3的方格表中最多可放两个“心”:

我们来讨论如何在一个8×3的方格表中放入尽可能多的“心”。将8×3的方格表自上至下分为3×3,2×3和3×3的三个方格表。如果在中部的2×3的方格表中之多放一个“心”,那么由于在每个3×3的方格表中的最多可放两个“心”,所以最多一共可以放入5个“心”。而如果在中部的2×3的方格表中放入两个“心”,那么第三行和第六行都必须空着,通过穷举,知只能有如下图所示的两种放置6个“心”的办法;

现在,我们将8×9的方格表分为三个8×3的方格表,自左至右依次称它们为表(a),表(b)和表(c)。由于8×9的方格表中共有16个“心”,所有必有一个8×3的方格表中有6个“心”

如果在表(b)中有6个“心”,由于8×3的方格表中只有两种相互对称的放置6个“心”的办法,故可不妨设6个“心”分布如下方左图:

易知,此时第3列和第7列中不能放“心”。欲使不难看出,在表(a)和表(c)中最多只能各放4个“心”,从而一共放4+6+4=14个“心”,导致矛盾。

如果在表(a)和表(c)中各有6个“心”,则第4列和第6列中都不能放“心”,从而

(b )中只有中间一列可以放“心”,不难看出,此时表(b )中最多只能放3个“心”,从而一共放6+3+6=15个“心”,亦导致矛盾。

如果在(a )和表(c )之中放有6个“心”,不妨设在(a )中放有6个“心”,且可设它们放置如上方右图。此时第4列中不能放“心”,从而表(b )中最多可放4个“心”,一共放6+4+5=15个“心”,亦导致矛盾。

综合上述,知8×9的方格表中最多只能放置15个“心”。

最后,我们来给出例子,说明确实可以放置15个“心”:

答案

1解:答案:除了11之外都是“好数”

(1)不难知道,11只能与5相加得到42,而4也只能与5相加得到32,因此不存在满足

条件的排列,所以11不是“好数”。 (2)13是“好数”,因为如下数表中,),13,2,1(???=+k a k k 都是完全平方数。

:k 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k a : 8

2

13

12

11

10

9

1

7

6

5

4

3

(3)15是“好数”,因为如下数表中,k a k +)15,,2,1(???=k 都是完全平方数: k : 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

k a : 15 14 13 12 11 10 9

8

7

6

5

4

3

2

1

(4)17是“好数”,因为如下数表中,)17,,2,1(???=k 都是完全平方数:

k : 1

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17

k a : 3

7 6 5 4 10 2 17 16 15 14 13 12 11 1 9 8

其中用到了轮换(1,3,6,10,15)。

k : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

k a : 8 7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 13 12 11 10 9 19 18 17

2解:答案:最小值为21212+-

令???

??++=++=++=c b z z c b a y c b a x 322,则有c y z b y x =-=-,, 由此可得??

?

??-=-+=-=+y z c y x z b x y c a 223

从而

c b a c c b a b c b a c a 382423++-++++++=z

y z y y x z x x y )

(8)2(42---++-

.2121732282178442

17+-=++-≥++++-=z

y

y z y x x y

上式中的等号可以成立。事实上,由上述推导过程指,等号成立,当且仅当平均不等式

中的等号成立,而这等价于

?????==y

z

z y x y

y x 8442 即 ?????==2

22

222y

z x

y 即 ,22?

?

?==x z x

y

亦即??

?++=++++=++)

2(23)2(22c b a c b a c b a c b a

解该不定方程,得到?????+=+=a

c a

b )234()21(

不难算出,对任何正实数,a 只要a c a b )234(,)21(+=+=,就都有

c

b a c

c b a b c b a c a 382423++-++++++=21217+,

所以所求的最小值为21217+。

3证:不妨设∠C >90°,于是min{∠A ,∠B}<45°,不妨设∠A <45°。 以AB 为直径,在顶点C 的同侧作半圆O , 则C 位于半圆O 内。作射线AT 使得∠BA T=45°, 如图所示,再作射线OE ,使得∠BOE=45°,且与 半圆相交于点E 。过点E 作半圆的切线,分别交AB 的延长线和AT 于点D 和F 。则等腰直角三角形,则 等腰直角三角形ADF 覆盖△ABC , 并且AB AB OD AO AD 2

1

221?+=+=

=

212)21(2

1

)21(21+=?+<+R AB . 4解法一:称原题为“两王问题”,若增加一张王牌(称为“中王”),编号也为0,再考虑同样的问题,则称为“三王问题”。 先考虑“三王问题”。将大中小三张王牌分别称为红王,黄王和蓝王,于是每种颜色的

牌都是11张,编号则都分别是0,1,2…,10.将分值之和为n 的牌组数目记作n u ,每一个牌组都可能由红组,黄组合蓝组组成。将其中红组,黄组合蓝组的分值之和分别记

为x ,y 和z ,则有n z y x =++.由于任一非负整数的二进制表示方法唯一,所以一旦z y x ,,的值确定之后,红组,黄组合蓝组的构成情况便唯一确定。我们知道方程y x +

n z =+的非负整数解的组数等于2

2

+n C ,所以2

)

2)(1(22++==+n n C u n n (1)现考虑原

题中的“二王问题”。对于}2004,,2,1{???∈n ,用n a 表示分值之和为n 的牌组数目。当20042≤=k n 时,对于分值之和为2k 的任一牌组,我们有:(i )若组内无王牌,则该

牌组就是“三王问题”中的一个分值之和为k 2的无王牌的牌组。如果将其中每张牌的分值都除以2,就得到“三王问题”中的一个分值之和为k 的且允许包括有王牌的牌组。

易见,这种对应是一一的,所以这种牌组的数目为k u 。(ii )若组内有王牌,则组内必有2张王牌(大小王牌都在组内)。去掉王牌后,就化归成为分值之和为22-k 的无王牌的牌组,从而这种牌组的数目为1-k u 。所以

.1002,,2,1,)1(2

)

1(2)2)(1(212???=+=++++=

+=+k k k k k k u u a k k k

特别地,所求的“好”牌组的个数为.100600910032

2004==a

解法2(母函数方法):对于}2004,,2,1{???∈n ,用n a 表示分值之和为n 的牌组数目,则n a 等于函数310

231222)1()1()1()(0

x x x x f +???+?+=

的展开式中n

x 的系数(约定1||

3102221202)}1()1)(1)(1{(11

)(x x x x x

x f +???++++=

,)1()1)(1(1)1()1)(1(13

1122

23113x x x x x x ---=--+=

而n ≤2004<211,所以n a 等于

2

2)

1)(1(1x x --的展开式中n

x 的系数。 由于

2

22211

11)1)(1(1x x x x -?

-=-- ),)12(321)(1(22242???+++???+++???++???+++=k k x k x x x x x

故知k

x

2的系数为.,2,1,)1()12(53122???=+=++???+++=k k k a k

从而,所求的“好”牌组的个数为.100600910032

2004==a

5解:答案:3. 由均值不等式和题中条件,知

,1222≥++≥+++++uv w wu v vw u v

u w u w v w v u

即有.1≥++wu vw uv 因此wu vw uv w v u w v u 222)(2

2

2

2

++++++++

wu vw uv u w w v v u 2222

22222222++++++++=,3333≥++≥wu vw uv

即.3≥++w v u

另一方面,显然3

3

=

==w v u 满足题中条件,此时.3=++w v u

综合上述两方面,即知w v u ++的最小值为3.

6证:设EF 在边BC 上的投影为00F E , 如图。过点D 分别作DM ⊥AB 于M , DN ⊥AC 于N 。过点M ,N 分别作 MM 0⊥BC 于M 0,,NN 0⊥BC 于N 0. 由∠AMD=∠AND=90°,知∠MDN

=180°-∠BAC ,又∠EDF=180°-∠BAC , 所以∠MDE=∠NDF 。故Rt △DME~Rt △DNF

所以

.sin sin sin sin DAN

DAM

DAN AD DAM AD DN DM FN EM ∠∠=∠?∠?== 又∠OAB=21(180°-2∠C )=90°-∠C ,∠OAC=2

1

(180°-2∠B )=90°-∠B ,

故B

C

FN EM cos cos =(1)

由平行线所截线段成比例的性质知

,cos ,cos 0

00000C CN

CN FN N F B BM BM EM M E ==== 故又知

.cos cos 0000EM

FN

N F M E C B ?=(2)

由(1),(2)得00000000N M F E N F M E =?=(定值).

7解:答案:如果记???

????≥+-<++=,,2)32(,,2

)

2)(1(),,(r n r n r r n n n n q p A 若若

(*)

其中}.,max{q p r =

下证(*)式成立。不妨设p r =。由定义易知有

},,0,|,{|),,(|n j i j i jp ip n q p A ≤+≥=

此时(*)式成立。下设q p >。根据定义,可知

},,2,1|)1({)1,,(/),,(n i q n ip n q p A n q p A ???=-+?-.

注意到),()()(i p n q q i p q i n ip --++=-+ 并且1)()(-≤+-=--++n q p n i p n q i , 并且.0)1,,()(≥--?-∈-+i p n n q p A q i n ip

所以)1,,(/),,(-n q p A n q p A =

??

?

,,2,1,0|)({;

},,,2,1|)({p n n i q i n ip p n n p n p n i q i n ip 若若

令|),,(|n q p A a n =我们有

??

?<+≥=--.

,1;,

1p n n p n p a a n n 若若 注意到10=a ,故对p n <,有

2

)

2)(1()1(21)()(1010++=

++???++=-+???+-=-n n n a a a a a a n n n ;

故n ≥p ,有

2

)

32()1()()(1111+-=

+-+=-+???+-+=----p n p p p n a a a a a a a p n n p p p n .

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8:00-12:00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,定义为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得为3的倍数,但不是5的倍数? ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图,⊙与⊙相交于点C ,D ,过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ,B ,点P 在⊙的弧AD 上,PD 与线段AC 的延长线交于点M ,点Q 在 ⊙的弧BD 上,QD 与线段BC 的延长线交于点N .O 是△ABC 的外心.求证: 的充要条件为P ,Q ,M ,N 四点共圆. 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ,b ,c 满足3a b c ++=.求证: 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤. 四、设O 是△ABC 内部一点.证明:存在正整数p ,q ,r ,使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8:00-12:00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形,满足以下条件:最短边长为2007,且最大的角等于最小角的两倍? 六、求所有的正整数n ,使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ,满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点,AP ,BP ,CP 分别交边BC ,CA ,AB 于点D ,E ,F ,已知△DEF ∽△ABC ,求证:P 是△ABC 的重心. 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依次将白子标以1,.再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明:存在连续个棋子(不计黑白), 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L .

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分不是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分不为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分不为M ,N . 〔1〕假设A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:EM FN EN FM ?=?; 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?,是否一定有A ,B ,C ,D 四点共圆?证明你的结论. 解〔1〕设Q ,R 分不是OB ,OC 的中点,连接 EQ ,MQ ,FR ,MR ,那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====, 又OQMR 是平行四边形,因此 OQM ORM ∠=∠, 由题设A ,B ,C ,D 四点共圆,因此 ABD ACD ∠=∠, 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠, 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 故 EQM MRF ???, 因此 EM =FM , 同理可得 EN =FN , 因此 EM FN EN FM ?=?. 〔2〕答案是否定的. 当AD ∥BC 时,由于B C ∠≠∠,因此A ,B ,C ,D 四点不共圆,但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?,证明如下: 如图2所示,设S ,Q 分不是OA ,OB 的中点,连接ES ,EQ ,MQ ,NS ,那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==, C B

因此 NS OD EQ OB =.①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==,因此 ES OA MQ OC =.② 而AD∥BC,因此 OA OD OC OB =,③ 由①,②,③得NS ES EQ MQ =. 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠, ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠, 即NSE EQM ∠=∠, 因此NSE ?~EQM ?, 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕.同理可得, FN OA FM OC =, 因此EN FN EM FM =, 从而EM FN EN FM ?=?. C B

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题 (9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分 一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分) 1.定义在实数集R 上的函数y =f(-x)的反函数是y =f -1(-x),则 (A)y =f(x)是奇函数 (B)y =f(x)是偶函数 (C)y =f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y =f(x)既不是奇函数,也不是偶函数 2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如右图所示。记N =|a +b +c|+|2a -b|,M =|a -b +c| +|2a +b|,则 (A)M >N (B)M =N (C)M <N (D)M 、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异 面的正方体的棱的条数是 (A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA +sinB)(cosA +cosB)=2sinC ,则 (A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.ΔABC 中,∠C =90°。若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2+px +q =0的两个根,则下列关 系中正确的是 (A)p =q 21+±且q >21- (B)p =q 21+且q >2 1- (C)p =-q 21+且q >21- (D)p =-q 21+且0<q ≤2 1 6.已知A (-7,0)、B (7,0)、C (2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为C ,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分 二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分) 7. 满足条件{1,2,3}? X ?{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为____。 8. 函数a |a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是____。 9. 在如图所示的六块土地上,种上甲或乙两种蔬菜(可只种其中一种,也可两种都种),要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜,则种蔬菜的方案数共有____种。 10. 定义在R 上的函数y =f(x),它具有下述性质: (i)对任何x ∈R ,都有f(x 3)=f 3(x), (ii)对任何x 1、x 2∈R ,x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2),

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明:2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. (1)若存在()1k k n ≤≤,使得()2 2 1p k +,则221p n ≤+. 于是,2p n ≤ <. (2)若对任意的()1k k n ≤≤,( ) 2 2 1p k +?,由条件,知存在1j k n ≤≠≤,使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是,|()()p k j k j -+. 当|()p k j -,则12p k j n n ≤-≤-<;当|()p k j +,则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<, 综上,2p n <. 2、已知n 为正整数,使得存在正整数12,,,n x x x 满足:()12 12100n n x x x x x x n +++=,求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702, 显然:由已知等式得 1n i i x n =≥∑,所以:1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立,则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====,可使上式等号成立

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角,不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ,过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明:AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0,则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明:对于任意实数2M >,总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a : (1) 对每个正整数i ,有i i a M >; (2) 当且仅当整数0n ≠时,存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2,联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠,X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ,这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行,既不改变题设也 不改变结论。同样,不妨设12p y y y <<< 。于是,假设数表的每一行从左到右是递增的,每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =,不妨设122a =。否则,将整个数表关于主对

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32,求证:3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n,将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘(由n行n列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立,求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点,F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点,过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证:CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有 一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1.设m 为正整数,如果存在某个正整数n ,使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数(包括1和自身)的商,则称m 是“好数”。求证: (1)1,2,…,17都是好数; (2)18不是好数。 2.设△ABC 是锐角三角形,点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上,线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证:△ABC 是等腰三角形。 3.设整数)3(>n n ,非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4.平面内)3(≥n n 个点组成集合S ,P 是此平面内m 条直线组成的集合,满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证:n m ≤,并问等号何时成立? 第二天 5.设D 是△ABC 内的一点,满足∠DAC=∠DCA=30°,∠DBA=60°,E 是边BC 的中 点, F 是边AC 的三等分点,满足AF=2FC 。求证:DE ⊥EF 。 6.已知a 、b 、c ≥0,.1=++c b a 求证: .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7.给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ,三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根?

8.n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局。规定:胜者得1分,负者得0分,平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手,也有一个棋手输给了其余m —1个棋手,就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ,求n 的最小值)(m f ,使得对具有性质)(m P 的任何赛况,都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上,最少取出11枚棋子,才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数,则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2, .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ,设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知,对5,4,3,2,1=i ,满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而,).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此,对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

2013中国数学奥林匹克成绩

2013中国数学奥林匹克成绩 名次姓名性别学校总分1张灵夫男四川绵阳中学126 2宋杰傲男上海中学126 3刘宇韬男上海中学126 4肖非依男华中师范大学一附中126 5夏剑桥男郑州外国语学校126 6陈嘉杰男华南师范大学附属中学126 7高奕博男人大附中126 8胥晓宇男人大附中126 9柳何园男上海中学123 10杨赛超男石家庄二中南校123 11孟 涛男北京四中123 12刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校120 13李大为男复旦大学附属中学120 14郝晨杰男江苏省启东中学120 15马玉聪男武汉二中120 16余张逸航男华中师范大学一附中120 17王 翔男深圳中学120 18刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校117 19宋一凡男石家庄二中117 20饶家鼎男深圳市第三高级中学117 21段柏延男人大附中117 22陈凯文男鄞州中学114 23顾 超男格致中学114 24沈 澈男人大附中114 25金 辉男镇海中学111 26涂瀚宇男四川南充高中108 27李辰星男郑州一中108 28周韫坤男深圳中学108 29陈 成男镇海中学105 30朱晶泽男华东师范大学第二附属中学105 31邓杨肯迪男湖南师大附中105 32廖宇轩男郑州外国语学校105 33任卓涵男郑州一中105 34李 爽男育才中学105 35高继杨男上海华育中学102 36李 笑男湖南师大附中102 37颜公望男武汉六中102 38黄 开男华中师范大学一附中102 39田方泽男中山纪念中学102 40占 玮男合肥一中102 41黄 迪男四川自贡蜀光中学99 42杨卓熠男成都七中99 43杨承业男成都七中99 44丁允梓男上海中学99

最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题 1.(保加利亚) 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ,直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点,直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ,直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证:AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一:*设AM 交直线XY 于点Q ,而DN 交直线XY 于点Q ′(如图95-1,注意:这里只画出了点P 在线段XY 上的情形,其他情况可类似证明)。须证:Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴,故XY ⊥AD ,而AC 为直径,所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而,Q ,M ,Z ,B 四点共圆。 同理Q ′,N ,Z ,B 四点共圆。 这样,利用圆幂定理,可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY , Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以,QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧,从而,Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2,以XY 为弦的任意圆O , 只需证明当P 确定时,S 也确定。 证法二:设X (0,m ),P (0,y 0), ∠PCA=α, m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α, 则.0 2 αtg y m x A -= 因此,AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=

令0 2,0y m y x s ==得,即点S 的位置取决于点P 的位置,与⊙O 无关,所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2.(俄罗斯)设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证: .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一:**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a , 有.0=++γβα于是, ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料:陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一,还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法?—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题,我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证: .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ (第6届IMO 试题) 证明 不失一般性,设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 (2016年8月12‐8月13日) 1、整数3n ≥,将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子,每个盒子各有n 张。其后允许操作如下:每次选其中两个盒子,在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明:总是可以通过有限次操作,使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===,ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P (不同于,B C ),满足 PA PB PC =+,求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点,证明:若AP 过BC 的中点, 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++,已知11S =,对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明:对于任意正整数n ,都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ,使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ,每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行,这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心,AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心,,AO BC 交于L ,AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ,D 是I 在BC 上的投影,求:BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数,在坐标平面上,对于任意整数m ,定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ,定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ,使得对于任意直线l ,均存在与l 有关的实数()l β,满足:对于l 上任意两点,M N ,都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM O)试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角,不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ,过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明:AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0,则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >,总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : (1) 对每个正整数i ,有i i a M >; (2) 当且仅当整数0n ≠时,存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值. 5.设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数,满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++,其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 6.求满足下面条件的最小正整数k :对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ,使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

第五届中国数学奥林匹克 (1990年)

第五届中国数学奥林匹克(1990年) 1.如下图,在凸四边形ABCD中,AB与CD不平行,圆O1过A、B且与 边CD相切于P,圆O2过C,D且与边AB相切于Q,圆O1与O2相交于 E、F。求证:EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。 2.设x是一个自然数,若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-10有定义,且满足条件: i.对任何x、y≧0,f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x); ii.存在常数M>0,当0≦x≦1时,| f(x) | ≦M。 求证:f(x)≦x2。 4.设a是给定的正整数,A和B是两个实数,试确定方程组: x2 +y2 +z2 =(13a)2,x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示,并予以证明)。 5.设X是一个有限集合,法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成 的子集)都对应一个实数f(E),满足条件:

a.存在一个偶子集D,使得f(D)>1990; b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B,有f(A∪ B)=f(A)+f(B)-1990。 求证:存在X的子集P、Q,满足 iii.P∩Q是空集,P∪Q=X; iv.对P的任何非空偶子集S,有f(S)>1990 v.对Q的任何偶子集T,有f(T)≦1990。 6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分 图。求证:当且仅当3|n时,存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发,经过图中各线段恰一次,最后回到出发点)。

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数,求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分,过各分点平行于其它两边的直线,将 这三角形分成小三角形,和小三角形的顶点都称为结点,在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中,两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛,每两名选手都进行一场比赛,每场比赛一定决出胜负,通过比赛确 定优秀选手,选手A被确定为优秀选手的条件是:对任何其它选手B,或者A胜B,或者存在选手C,C胜B,A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名,求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部,任意放五个点,试证:在此正三角形内,一定可 以作三个正三角形盖住这五个点,这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边,并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体,S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球,它们 两两相切。如果存在一点O,以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切,还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切,求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有这样的m 与n,问3m+4的最大值是多少?请证明你的结论。

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00~12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的,不仅仅是为了数学而数学,其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手,因而提高数学,也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图,设点P 在△ABC 的外接圆上,直线CP 和AC 相交于点E ,直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ,边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证: 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体,它共有8个顶点,12条棱和6 个面,并且其中有4个面,每两个面都有公共棱? 4.求出所有的正实数a ,使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ,2A ,…,n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ,而且对于每个i A 中的任意两数b >c ,都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00~12∶00 长春 数学竞赛,它对牢固基础知识、发展智力,培养拔尖人才,是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ,y 满足3 x +3y =x -y ,求证: .1422<y x + 6.设正整数n ≥3,如果在平面上有n 个格点,,,?21P P n P 满足:当j i P P 为有理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数,那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数; (2)问:2018是否为好数? 7.设m ,n 是整数,m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数,求证: .11121m n m a a a n ++?++< 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界),问正方形的 边至少为多长?

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ,求证: () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑. 证明 只需对任意1k n ≤≤,证明不等式成立即可. 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ,则 k k a a =, 1k k k a a d +=-,2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L , 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L , 把上面这n 个等式相加,并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L . 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑, 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑. 二、正整数122006,,,a a a L (可以有相同的)使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15:30——19:30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中,连续多年取得很好的成绩,这项竞赛是高中程度,不 包括微积分,但题目需要思考,我相信我是考不过这些小孩子的,因此有人觉得,好的数学家未必长于这种考试,竞赛胜利者也未必是将来的数学家,这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的;匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a >0,函数 f : (0,+∞) → R 满足f (a )=1.如果对任意正实数x ,y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ,①求证: f (x )为常数. 证明: 在①中令x =y =1,得 f 2(1)+f 2(a )=2 f (1), (f (1)-1)2 =0, ∴ f (1)=1。 在①中令y =1,得 f (x )f (1)+f (a x )f (a )=2 f (x ), f (x )=f ( a x ),x >0。 ② 在①中取y =a x ,得 f (x )f (a x )+f (a x )f (x )=2 f (a ), f (x )f ( a x )=1。 ③ 由②,③得:f 2(x )=1,x >0。 在①中取x =y ,得 f 2 )+f 2 )=2 f (t ), ∴ f (t )>0。 故f (x )=1,x >0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点.△OAD ,△OBC 的外接圆交于O ,M 两点,直线 OM 分别交△OAB ,△OCD 的外接圆于T ,S 两点.求证:M 是线段TS 的中点. 证法1: 如图,连接BT ,CS ,MA ,MB ,MC ,MD 。 ∵ ∠BTO =∠BAO ,∠BCO =∠BMO ,

中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)

2007年中国西部数学奥林匹克(广西南宁,11月10日) 第一天 11月10日 上午8:00-12:00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,A T A ?≠?,定义()S A 为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得()S A 为3的倍数,但不是5的倍数? 二、如图,⊙1O 与⊙2O 相交于点C ,D ,过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ,B ,点P 在⊙1O 的弧AD 上,PD 与线段AC 的延长线交于点M ,点Q 在⊙2O 的弧BD 上,QD 与线段BC 的延长线交于点N .O 是△ABC 的外心.求证:OD MN ⊥的充要条件为P ,Q ,M ,N 四点共圆. 三、设实数a ,b ,c 满足 3a b c ++=.求证: 22211115411541154114 a a b b c c ++≤-+-+-+. 四、设O 是△ABC 内部一点.证明:存在正整数p ,q ,r ,使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

六、求所有的正整数n ,使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,,满足 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点,AP ,BP ,CP 分别交边BC ,CA ,AB 于点D ,E ,F ,已知△DEF ∽△ABC ,求证:P 是△ABC 的重心. 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L .再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明:存在连续n 个棋子(不计黑白), 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L . 2007西部数学奥林匹克 解 答 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,A T A ?≠?,定义()S A 为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得()S A 为3的倍数,但不是5的倍数? 解 对于空集?,定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?,令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ,则 01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-, 因此,3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况: 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-=87. 若3()S A ,5()S A ,则15()S A . 由于()36S T =,故满足3()S A ,5()S A 的()S A 的可能值为15,30.而 15=8+7=8+6+1=8+5+2=8+4+3=8+4+2+1 =7+6+2=7+5+3=7+5+2+1=7+4+3+1 =6+5+4=6+5+3+1=6+4+3+2 =5+4+3+2+1, 36-30=6=5+1=4+2=3+2+1. 故满足3()S A ,5()S A ,A ≠?的A 的个数为17. 所以,所求的A 的个数为87-17=70.

历届女子数学奥林匹克试题

目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n,使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n(n是正整数)位女同学参加,每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时,发现这3n位女同学中的任何两位,在同一天担任执勤工作恰好是一次. (1)问:当n=3时,是否存在满足题意的安排?证明你的结论;(2)求证:n是奇数. 3.试求出所有的正整数k,使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点,且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线,交⊙O2于另一点A,连结AB,交⊙O1于另一点E,连结CE并延长,交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点,连结HE并延长,交⊙O1于点G,连结BG并延长,与AC的延长线交于点D.求证:AA AH=AA AC. 5.设P1,P2,?,P n(n≥2)是1,2,?,n的任意一个排列.求证: 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y),满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证:△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1,A2,?,A8是平面上任意取定的8个点,对平面上任意取定的一条有向直线l,设A1,A2,?,A8在该直线上的摄影分别是

2011年中国西部数学奥林匹克试题

2011年中国西部数学奥林匹克试题 江西 玉山 第一天 10月29日 上午 8:00~12:00 每题15分 1、已知0,1x y <<,求 (1) ()(1)(1) xy x y x y x y --+--的最大值. 2、设集合{1,2,,2011}M ?,满足:在M 的任意三个元素中,都可以找到两个元 素,a b 使得|a b 或|b a .求||M 的最大值(其中||M 表示集合M 的元素个数). 3、给定整数2n ≥, (I )求证:可以将集合{1,2, ,}n 的所有子集适当地排列为122,, ,n A A A ,使得i A 与 1i A +的元素个数恰相差1,其中1,2,3, ,2n i =,且121n A A +=; (II)对于满足(I )中条件的子集122,, ,n A A A ,求21 (1)()n i i i S A =-∑的所有可能值,其中 ()i i x A S A x ∈=∑,()0S ?=. 4、如图,线段AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦,AB 与CD 的交点为E ,⊙I 内切⊙O 于点F ,且分别与弦AB 、CD 相切于点G 、H .过点O 的直线l 分别交AB 、CD 于点P 、Q ,使得EP EQ =.直线EF 与直线l 交于点M ,求证:过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.

第二天 10月30日 上午 8:00~12:00 每题15分 5、是否存在奇数3n ≥及n 个互不相同的质数12,, ,n p p p ,使得 111(1,2,,,)i i n p p i n p p +++==其中都是完全平方数?请证明你的结论. 6、设,,0a b c >,求证:2222 222()()()()()()()()()()a b b c c a a b c a c b a b a c b c b a a b c ----++≥++++++++. 7、如图,在ABC ?中,AB AC >,内切圆⊙I 于边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,M 是边BC 的中点,AH BC ⊥于点H .BAC ∠的平分线AI 分别于直线DE 、DF 交于点K 、L . 求证:,,,M L H K 四点共圆. 8、求所有的整数对(,)a b ,使得对任意正整数n ,都有1 |()n n n a b ++.

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