Hotelling模型

豪泰林(Hotelling )价格竞争模型

在古诺模型中,产品是同质的.在这个假设下,如果企业的竞争战略是价格而不是产量,伯特兰德证明,即使只有两个企业,在均衡情况下,价格等于边际成本,企业的利润为零,与完全竞争市场均衡一样.这便是所谓的伯特兰德悖论.

解开这个悖论的办法之一是引入产品的差异性.如果不同企业生产的产品是有差异的,替代弹性就不会是无限的,此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好,价格不是他们感兴趣的唯一变量.在存在产品差异的情况下,均衡价格不会等于边际成本,垄断性提高.

产品差异有多种形式.我们现在考虑一种特殊的差异,即空间上的差异,这就是经典的豪泰林模型.在豪泰林模型中,产品在物质性能上是相同的,但在空间位置上有差异.因为不同位置上的消费者支付不同的运输成本,他们关心的是价格与运输成本之和,而不单是价格.假定有一个长度为1的线性城市,消费者均匀地分布在

[0,1]区间里,分布密度为1.假定有两个商店,分别位于城市的两端,商店1在x=0,商店2在x=1,出售物质性能相同的产品.每个商品提供单位产品的成本为c ,消费者购买商品的旅行成本与离商店成比例,单位距离的成本为t .这样,住在x 的消费者如果在商店1采购,要花费tx 的旅行成本;如果在商店2采购,要花费t(1-x).假定消费者具有单位需求,即或者消费1个单位或者消费0个单位.消费者从消费中得到的消费剩余为s .

完全信息静态博弈

参与人：2,1,=i i ；

战略空间：（21,p p ）

支付函数：2

1,ππ记博弈问题为：{}

),(),,(;0,021221121p p p p p p G ππ≥≥=我们现在考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡.假定两个商店同时选择自己销售的销售价格.为了简单起见,我们假定s 相对于购买总成本(价格加旅行费用)

而言足够大从而所有消费者购买一个单位的产品.令p i 为商店i 的价格,D i (p 1,p 2)为需求函数,i=1,2.

设价格同时选择，纳什均衡是一种组合),(*2*1p p ，使得对于每个参与人i ,

{}

),()(max arg **i i i i p i p p D c p p i --∈.其中),()(*i i i i p p D c p --为商店i 的利润函数。

例如：商店2的反应函数)(122p r p =由下式确定：

)

,()(max 21222

p p D c p p -对2p 求导，一阶条件为：0))(,())(())(,(1212

2121212=??-+p r p p D c p r p r p D 求解得到的一阶条件方程组，得到),(*2*1p p ，为纳什均衡。

具体：如果住在x 的消费者在两个商店之间是无差异的，那么，所有住在x 左边的将在商店1购买,而住在x 右边的将商店2购买,需求分别为D 1=x,D 2=1-x .这里x 满足:

p 1+tx=p 2+t(1-x)

解上式得需求函数分别为:

t t p p x p p D 2),(12211+-==t

t

p p x p p D 21),(21212+-=-=利润函数分别为:

))((21),()(),(1212111211t p p c p t p p D c p p p +--=

-=π))((21),()(),(2122122212t p p c p t

p p D c p p p +--=-=π商店i 选择自己的价格p i 最大化利润πi,给定p j ,两个一阶条件分别是:

0)2(211211=-++=??p t c p t

p π0)2(212122=-++=??p t c p t

p π二阶条件是满足的.联立求解上述两个一阶条件,得最优解为(注意对称性):

t

c p p +==*2*1每个企业的均衡利润为:

2

21t

==ππ我们把消费者的位置差异为产品差异,这个差异进一步解释为消费者购买的旅行成本.旅行成本越高,产品的差异就越大,均衡价格、均衡利润也就越高.原因在于,随着旅行成本的上升,不同商店出售的产品之间的替代性下降,每个商店对附近的消费者的垄断力加强,商店之间的竞争更接近于垄断价格.另一方面,当旅行成本为0时,不同商店的产品之间具有完全的替代性,没有任何一个商店可以把价格定得高于成本,我们得到伯特兰德均衡结果（伯特兰德模型是豪泰林模型的特例）。

图形表示及动态解释使用重复提出严格劣策略的方法解释：

当*11p p u >时，),(),(*2*11*211p p p p u ππ<；

当*11p p m <时，),(),(*2*11*211p p p p m ππ<。

在以上的分析中,我们假定两个商店分别位于城市的两个极端.事实上,均衡结果对于商店的位置是敏感的.考虑另一个极端的情况,假定两个商店位于同一位置x.此时,他们出售的是同质的产品,消费者关心的只是价格,那么,伯特兰德均衡是唯一的均衡:0

,2121====ππc p p 更为一般地,我们可以讨论商店位于位置的情况.假定商店1位于a ≥0,商店2

m p 1u p 11

p 2p 1

r 2

r

位于1-b (这里1≥b ≥0).为不失一般性,假定（1-b ）-a ≥0(商店1位于商店2的左边).如图所示。

如果旅行成本为二次式,即旅行成本为td 2,这里d 是消费者到商店的距离,那么,D 1=x,D 2=1-x .

2

221)1()(x b t p a x t p --+=-+解得)

1(22112b a t p p b a x ---+-+=需求函数分别为:

)

1(221),(12211b a t p p b a a x p p D ---+--+==)1(2211),(21212b a t p p b a b x p p D ---+--+

=-=需求函数的第一项是商店自己的”地盘”(a 是住在商店1左边的消费者,b 是住在商店2右边的消费者),第二项是位于两商店之间的消费者中靠近自己的一半,第三项代表需求对价格差异的敏感度.

纳什均衡为:{}

),()(max arg **i i i i p i p p D c p p i --∈)3

1)(1(),(*1b a b a t c b a p -+--+=)31)(1(),(*2a b b a t c b a p -+

--+=当a=b=0时,商店1位于0,商店2位于1,我们回到前面讨论的第一种情况:t

c p p +==)1,0()1,0(*2*1当a=1-b 时,两个商店位于同一位置,我们走到另一个极端:

c

a a p a a p =-=-)1,()1,(*2*1课后习题：P77NO.7

（产品有差异时的价格竞争）现在假设两个企业的产品并不完全相同，企业1的需求函数为21211),(p p a p p q +-=，企业2的需求函数为12212),(p p a p p q +-=。求两个企业同时选择价格时的纳什均衡。a 1-b 01

x