古诺寡头竞争
古诺（Cournot）产量竞争模型——双寡头古诺竞争模型
法国经济学家奥古斯丁·古诺于1838年首次提出了双寡头进行产量竞争的静态博弈模型，这实际上是以后纳什均衡思想的最早阐述。这一模型是用博弈论研究产业组织理论的重要基础，其后这一模型被扩展到对多个寡占厂商行为的研究。
一、在古诺模型中两个寡头的行为及其有关条件的假定
①两个寡头厂商生产的产品是同质或无差别的；
②每个厂商都根据对手的策略采取行动，并假定对手会
继续这样做，据此来做出自己的决策；
③为方便起见，假定每个厂商的边际成本为常数，并假
设每个厂商的需求函数是线形的；
④两个厂商都通过调整产量来实现各自利润的最大化；
⑤两个厂商不存在任何正式的或非正式的串谋行为。
二、对古诺模型进行博弈分析
设q
1、q
2
分别表示企业1和企业2生产的同质产品的产量，
市场中该产品的总供给Q q q
=+
12，令Q
a
Q
P-
=)
(表示市场出清
时的价格（更精确地表述为：Q a<时，P Q a Q
()=-，Q a>时，P Q
()=0）。
设企业i生产q
i 的总成本C q cq
i i i
()=，即企业不存在固定成
本，且生产每单位产品的边际成本为常数c（这里假定c a<）。
根据古诺的假定，两个企业同时进行产量决策。假定产品是连续可分割的，由于产出不可能为负，因此，每一企业的战略空间可表示为[]S i =∞0,，其中一个代表性战略i s 就是企业选择的产量i q （q i
≥0）
。假定企业的收益是其利润额π，
用),(j i i s s u 表示，则
πi i j i i j i i j q q q p q q c q a q q c (,)[()][()]
=+-=-+-
（1）
若一对战略（**j i s s ,）是纳什均衡，则对每个参与者i ，*i s 应满足
)
,(),(*
*
*
≥j i i j i i s s u s s u
（2）
（2）式对i s 中每一个可选战略s i 都成立。
在古诺的双头垄断模型中，上面的条件可具体表述为：若一对产出组合(,)q q 12**为纳什均衡，则对每一个企业i ，q i *应为下面最大化问题的解：
max (,)max [()]00≤≤∞
*
≤≤∞
*
=-+-q i i j q i i j i i q q q a q q c π
设q a c j *<-，企业i 最优化问题的一阶条件为：
q a q c i j =
--*
12
() 也即是，若产量组合(,)q q 12**为纳什均衡，则企业的产量选择必须满足：
)
(2
1
2
1
c q a q --=*
（3）
)
(2
1
1
2
c q a q --=*
（4）
联立以上两式，解得q q a c 123
**==-
三、用反应函数或反应曲线来说明纳什均衡时的产量 等式)(2
1c q a q j i
--=
*给出的是针对企业j 的均衡战略s j *
时企业i 的最优反应，同样的方法可以推导出针对企业1 的一个任意战略企业2的最优反应，以及针对企业2的任意一个战略企业1的最优反应。
假定企业1的战略q 1满足c a q -<1，企业2的最优反应为
R q a q c 2111
2
()()=
--
（5）
类似地，如果c a q -<2，则企业1的最优反应为：
R q a q c 1221
2
()()=
-- （6）
以上两式分别是企业2对企业1产量q 1的反应函数和企业1对企业2产量q 2的反应函数。
在这里，反应函数表示的是每个企业的最优战略（产量）是另一个企业产量的函数。由于这两个函数都是连续的线形函数，因此可用坐标平面上的两条直线表示（见图1）。这两个最优反应函数表示的曲线为反应曲线。两条反应曲线只有
一个交点，其交点就是纳什均衡时两个企业的产量组合。
以上假定两个企业不存在任何形式的串谋。现在假定市场上的两个寡头垄断企业通过串谋如同一个垄断者一样行事，使两企业总的利润最大化。这时，两企业的产量之和q 1+q 2应等于垄断产量q m （如2/21m q q q ==）。通过计算可得：
垄断企业的最优产量为：q a c m =-12
()
市场垄断利润为：
πm
a c =
-()2
4
两个企业平分垄断利润: ππ1
2
28
m
m
a c ==
-()
古诺均衡时的企业利润水平为:
9
)(),(),(2
212211c a q q q q -=
=*
*
*
*
ππ
下面通过图1比较古诺均衡、竞争均衡和企业串谋情况下的产量、价格和利润水平。
由此可见，寡头垄断条件下企业的古诺竞争产量大于垄断产量，而企业所得利润大于古诺竞争均衡时的利润水平。但现实是，每一家企业都有动机偏离垄断条件下的产量水平，因为垄断产量较低，相应的市场价格就比较高。在这种条件下，任何一方都企图扩大产量，获取更多的利润。由此，将导致市场供给的增加，价格的降低。只有纳什均衡产量才是双方稳定的产量组合。
四、多家企业的古诺竞争模型
设古诺模型中有n 家厂商，q i 为厂商i 的产量，Q q i i n
==∑1为
市场总产量，p 市场出清价格，且已知P Q a Q ()=-。假设厂商
i 生产q i 产量的总成本为C q cq i i i ()=，也就是说没有固定成本，
且各厂商的边际成本都相同（c a <）。设各厂商同时选择产量，则
πi i i i j j i n
i i pq cq a q q q cq =-=---≠∑() （8.7）
其中，i =1,2,…n
将利润函数对q i 求导，并令导数为0，得
∑≠=---=??n
i
j j i i c q q a q 02π
解得各厂商对其他厂商产量的反应函数为：
q a q c i j j i n
=--≠∑()/2 （8.8）
根据n 个企业之间的对称性，可知q q q n 12***===ΛΛ成立 代入（8.8）式，得
q q q n
12*
*
*
===ΛΛ=a c n -+1
行业总产量为： q n a c n j j n
*==-+∑()1
1
市场价格为： 1
1)(++=
+--
=n nc
a n c a n a p 每
个企业的
利润：
2
2
)1()(1]1)([)(+-=
+-?-+--=-=*
n c a n c a c n c a n a q c p j
j π
需注意的是，在古诺均衡时，价格高出边际成本的幅度为：
p c a n a c n c a c n -=-
-+-=-+>()11
0 显然，lim()n p c →∞
-=0 这说明，当企业个数无穷多时，产出和价格均趋于完全竞争条件下的均衡水平，市场结构会趋于完全竞争市场；
当n=1时，该市场即为完全垄断市场，厂商所提供的产量只是完全竞争市场的1/2，而价格则比完全竞争价格高出()a c -/2，这意味着完全垄断厂商将比竞争厂商获取更高的利润；
当n=2时，即为古诺揭示的双边寡头垄断模型，两个寡头厂商所提供的市场产量只是完全竞争市场的2/3，价格比完全竞争价格高出()
a c-/6。
a c-/3，但比完全垄断要低()
通过以上分析可知，在一个产业中，如果新企业不断进入，市场产量将会不断增加，而价格将会下降，从而有助于增加消费者的福利。当新进入企业数量增加到一定程度，市场结构将趋近完全竞争状态。这说明，通过降低产业进入壁垒或放松进入管制，使潜在进入企业能够顺利进入行业，并对产业中原有企业的市场地位形成一种威胁，就能够降低产业市场价格，增加产量，提高资源配置效率。