(完整word)高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

平面向量的基本定理及坐标表示

一、选择题

1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c

等于( )

A 、21

a +23

b B 、21a 23 b C 、23a 2

1 b

D 、2

3

a + 21b

2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是

（ ）

A 、)10

10

,10103(

e B 、)10

10

,10103()1010,10103(

或e C 、)2,6( e

D 、)2,6()2,6(或 e

3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ）

A 、17

B 、18

C 、19

D 、20

4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4

5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1

6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos

,sin

)，则a 与b 一定满足 （ ）

A 、a 与b 的夹角等于 －

B 、(a ＋b )⊥(a －b )

C 、a ∥b

D 、a ⊥b

7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP

sin 3cos 3 ，

i OQ

),2

,0(

。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ）

A 、

B 、

2

C 、

2

D 、

8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP

，则向

量21P P 长度的最大值是（ ） A 、2

B 、3

C 、23

D 、

二、填空题

9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使 取得最小值的点P 的坐标是 、

10、把函数sin y x x

的图象，按向量 ,a m n v

（m>0）平移后所得的图象关

于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________、

11、已知向量 m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1( 、 三、解答题

12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/

A 、

13、平面直角坐标系有点].4

,4[),1,(cos ),cos ,1(

x x Q x P （1）求向量OQ OP 和的夹角 的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求 的最值、

14、设，)2cos ,sin 2(x x ，

x ，)1cos ( 其中x ∈[0，2

]、 (1)求f(x)=OB OA ·

的最大值和最小值； (2)当 OA u u u r ⊥OB uuu r ，求|AB u u u r

|、

15、已知定点)1,0(A 、)1,0( B 、)0,1(C ，动点P 满足：2

||

PC k BP AP 、

（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当2 k 时，求||

BP AP 的最大值和最小值、

参考答案

一、选择题

1、B ；

2、B ；

3、C ；

4、B ；

5、D ；

6、B ；

7、D ；

8、C 二、填空题

9、(0，0) 10、56

m 11、4 三、解答题

12、解：设/A （ｘ，ｙ），则有312522

x

y ，解得11x y 、所以/

A （1，－1）。

13、解：（1）)

(cos 1cos 2|

|||cos ,cos 1||||,cos 222x f x

x

OQ OP x OQ OP x OQ OP

（2）x

x x

x

x f cos 1cos 2cos 1cos 2)(cos 2

且]4

,4[

x ，]1,22[cos x 223cos 1cos 2

x x 1cos 3

2

2,1)(322 即x f ;322arccos max 0min

14、解：⑴f(x)=·

= -2sinxcosx+cos2x=)4

2cos(2

x 、

∵0≤x ≤2 ， ∴4 ≤2x+4 ≤45 、 ∴当2x+4 =4

，即x=0时，f(x)max =1；

当2x+4

=π，即x=83

π时，f(x)min = -2、

⑵ 即f(x)=0，2x+4 =2 ，∴x=8

、

此时||22)12(cos )cos sin 2(

x x x

=222)12(cos cos sin 4cos sin 4 x x x x x

=

x x x 2cos 2sin 22cos 2

7

272 =

4

cos 4sin 24cos 27272 =

23162

1

、 15、解：( 1 ) 设动点P 的坐标为),(y x ，

则)1,( y x AP ，)1,( y x BP ，),1(y x PC

、

∵2

||

PC k BP AP ，∴

2

222)1(1y x k y x ，

即 012)1()1(2

2

k kx y k x k 。

若1 k ，则方程为1 x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线、 若1 k ，则方程为222)11()1(k

y k k x

，表示以)0,1(k k

为圆心，以为半径 |

1|1

k 的圆、

(

2

) 当

2

k 时，方程化为

1

)2(22 y x 、

)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP

∴2

2

2||y x BP AP

、

又∵1)2(2

2

y x ，∴ 令 sin ,cos 2 y x ，则

cos 4522||22

y x BP AP

∴当1cos 时，||

BP AP 的最大值为6，当1cos 时，最小值为2。

高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

新人教版高中数学必修四教材分析

新人教版高中数学必修四教材分析

一、教材分析的理论 本文分析的内容为新人A教版高中数学（必修四），运用系统理论进行研究，其出发点就是将教材看成是一个系统。分析系统的要素之间整体与部分的构成关系，以及形成的不同质态的分系统及其排列次序。 进行教材分析，首先从整个数学教育发展到教师个人专业成长，再到课堂教学等方面研究教材分析的意义；然后，按照树立正确教材观、深刻理解课标、分析教材特点、分析教材内容结构、处理教材等步骤研究如何科学分析高中数学教材，其中的案例均来自人教A版高中数学(必修四)；最后，结合典例分析的感悟，提出了高中数学教材分析时应坚持的思想性、实践性、整体性及发展性原则，以提升教材分析的效果。 二、数学必修四第三章的教材分析 从系统上看作为新课程高中数学非常重要的必修四，它是由“第一章三角函数、第二章平面向量、第三章三角恒等变换”三部分内容组成。内容层层递进，逐步深入，这对于发展学生的运算和推理能力都有好处。 本章内容以三角恒等变换重点，体会向量方法的作用，并利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立的正弦、余弦值的等量关系。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生

体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 本章还强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 三、数学必修四第三章第一课时的教材分析 3.1教学要求： 基本要求： ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 ③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求： ①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。 ③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 3.2重点难点：

新人教版高中数学必修4知识点

新人教版高中数学必修4知识点总结经典

新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

高中数学必修平面向量知识点总结

高中数学必修4知识点总结 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母 表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长 度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝ 0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚 是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都 可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由 于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向 相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r

高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21- a +23 b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3- a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- =e B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或e C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP θθsin 3cos 3+=， i OQ -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示OP 与OQ 的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向

高一数学必修一平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算 教学目标 掌握向量的坐标运算法则，熟悉模与夹角公式，会利用坐标、公式、平行、垂直解题 重难点分析 重点：1、平面向量坐标公式； 2、模与夹角公式； 3、混合运算。 难点：1、模与夹角公式的应用； 2、平面向量综合应用。 知识点梳理 1、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： （1）向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。 （2）实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。 （3）若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 （4）平面向量数量积：?a 2211y x y x b += （5）向量的模：2 22 222||,||a x y a a x y = +==+ （6）乘法公式：()() 2 2 22 a b a b a b a b +?-=-=-；() 2 22 2a b a a b b ±=±?+2 2 2a a b b =±?+ 2、模与夹角：θcos → → → →?=?b a b a （θ为a 与b 的夹角） 3、几个常见题型的求法: 11(,)a x y =、22(,)b x y = （1）向量的模： 22 11||a a a x y =?=+； （2）向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥??=?+= （3）向量的夹角：121222221 1 22 cos |||| x x y y a b a b x y x y θ+?= =++

人教版-高一数学必修4全套导学案

第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，//

人教版高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

高中数学必修4——三角与向量公式大全

高中数学必修4公式大全 三角公式汇总 一、特殊角的三角函数值 二、任意角的三角函数 在角α的终边上任取 ．．一点) , (y x P，记：2 2y x r+ =， 正弦： r y = α sin余弦： r x = α cos正切： x y = α tan 三、同角三角函数的基本关系式 商数关系： α α α cos sin tan=，平方关系：1 cos sin2 2= +α α α α2 cos 1 sin- ± =α α2 sin 1 cos- ± = 四、诱导公式(记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限一般形式为（α π± 2 k ）) ◆ () () ()z k , tan 2 tan z k , cos 2 cos z k , sin 2 sin ∈ = + ∈ = + ∈ = + α π α α π α α π α k k k ? () () ()α α α α α α tan tan cos cos sin sin - = - = - - = - ? () () ()α α π α α π α α π tan tan cos cos sin sin - = - - = - = - ? () () ()α α π α α π α α π tan tan cos cos sin sin = + - = + - = + ? α α π α α π sin 2 cos cos 2 sin = ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? - α α π α α π sin 2 cos cos 2 sin - = ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? + 五、两角和差的正弦、余弦和正切公式 β α β α β αsin cos cos sin ) sin(? + ? = + β α β α β αsin cos cos sin ) sin(? - ? = -

新人教版高中数学必修4知识点总结经典

新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

高一数学必修4_向量复习讲义[整理]

数学必修4平面向量 一、基本概念： 1、向量：既有大小又有方向的量叫向量． 2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。 与非零向量a 共线的单位向量0a a a =± 3. 平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行 4、向量相等：b a =? 模相等，方向相同；相反向量：b a -=?模相等，方向相反 5、两个非零向量a 、b 的夹角：做OA =a ；OB =b ；AOB ∠叫做a 与b 的夹角。 6、坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=a j y i x +，则()y x ,叫做 a 的坐标。7.向量a 在 b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ 为a 在b 方向上 的投影 二、基本运算： 三、基本定理、公式： 1、平面向量基本定理：若1e 与2e 不共线，则对平面内的任意一个向量a ，有且只有一对

实数1λ、2λ；使得=a 2211e e λλ+。 2、向量的模：a ＝＝ 2 2y x +；非零向量a 与b 的夹角： = θc o s 2 2 222 1 2 12121y x y x y y x x b a +++= ? 3、向量平行：a ∥b ?b a λ=? 1221y x y x =；向量垂直：a ⊥ b ?0=?b a ?02121=+y y x x 四、基础训练 （1 ）已知32==，且4=?b a ，则向量b 在向量a 上的投影为 （2）已知A （3，y ），B （5-，2），C （6，9-）三点共线，则y =_________. （3）非零向量a 和b 满足：||||||a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角等于 . 五、典例讲解. 例1. 已知(1,2)A B a == ，(3,2)BC b ==- ，(6,4)C D = （1）证明：,,A B D 三点共 线.（2）k 为何值时，① 向量k a b + 与3a b - 平行 ② 向量k a b + 与3a b - 垂直 例2、平面内有向量OA OB OP === （1，7），（5，1），（2，1），点Q 为直线OP 上一 动点，1）求Q A Q B ? 取最小值时，点Q 的坐标 2）当点Q 满足1）的条件和结论时，求 cos AQB ∠的值。 例3. 已知向量(sin ,1)a θ= ，(1,cos )b θ= ，(,)22 ππ θ∈- （1）若a b ⊥ 求θ的值。 （2）求a b - 的最小值.（3）求函数)(θf y ==a ·b 的单调 增区间

人教版高一数学必修4知识点总结

高一数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 {}36036090,k k k αα?<，则sin y r α=， cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α =MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系： ()2 2 1sin cos 1αα+=() 2 2 2 2 sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-() sin 2tan cos α αα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?． 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)

2．下列四式不能化简为AD 的是（ ） A ．；）＋（ B ．）；＋＋（M C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ． 65 63 B ．65 C ． 513 D ． 13 4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且?→ ?AB ＝→ a ，?→?AE ＝→ b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1 →→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 6．设→ a ，→ b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→?BC （C ）?→?AD ＝－?→?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→ a ＝（1，2），→ b ＝（－2，3），且k → a +→ b 与→ a －k → b 垂直，则k ＝（ ） （A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23± 11、若平面向量(1,)a x =r 和(23,)b x x =+-r 互相平行，其中x R ∈.则a b -=r r （ ） A. 2-或0； B. C. 2或 D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）

新课标人教版高中数学必修四教案合集

新课标人教版高中数学必修四教案合集 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三）情感与态度目标 1\提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： 始边终边 顶点 A O B

③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 负角：按顺时针方向旋转形成的角

人教版高一数学必修一至必修四公式

初高中衔接： 和平方：))((2 2 b a b a b a -+=- 和、差平方： 2 2 2 2)(b ab a b a +±=± 立方和、立方差：))((2 2 3 3 b ab a b a b a +±=± 和、差立方：2 2 3 3 3 33)(ab b a b a b a +±±=± ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++;ac bc ab c b a c b a 222)(2222-+-++=-- ac bc ab c b a c b a 222)(2222--+++=-+;ac bc ab c b a c b a 222)(2222+--++=+- 韦达定理：设?? ??? = -=+=++a c x x a b x x c bx x x 21212210ax 的两根，那么为和 必修一： 1 23412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 恒成立问题： 00)0(0ax ;00)0(0ax 22<<≠<++<>≠>++且△上成立的条件为在且△上恒成立的条件在a R a c bx a R a c bx 指数函数： ???<-≥===00n a a a a a a n a a n n n n ，，为偶数时：；当为奇数时：当；??? ?? ?? ==-m n m n m n m n a a a a 1)10*>∈>m N n m a ，且、，（ )00()()0()()0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+；，；、，；、， 对勾函数单调区间公式：对勾函数基本形式：x p x y +=，在),0()0,(+∞?-∞上??????-+∞?--∞)00(),(),(p p p p ，（），单调递减： 单调递增：

高一数学必修四平面向量知识与题型归类教学教材

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（1） 一．向量有关概念： 1、向量的概念：既有大小又有方向的量， 2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向不确定； 3、①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量； ②a 的单位向量：与a 同方向且长度等于1的向量，记作0a u u r 并且0a a a =r u u r r ； ③与a 共线的单位向量：与a 方向相同或相反且长度等于1的向量，可表示为a a ±r r 。 4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量； 5、平行向量（也叫共线向量）：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：a ∥b ； 即共线的向量方向相同或相反；规定：零向量和任意向量平行。 6、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平 面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r ，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的 坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．向量的运算： 1．几何运算： （1）向量加法运算： ①三角形法则的特点：首尾相连． ②平行四边形法则的特点：共起点． （2）向量的减法：三角形法则的特点：共起点，方向指向被减向量 2、向量的数乘运算： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： ①,a a λλ=r r ②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r ， 3、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r ，12)y y ±。 ②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r 。 ③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的 终点坐标减去起点坐标。 ④向量的模： 22 ||,a x y =+r 222 2||a a x y ==+r r 四．平面向量的数量积： 1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的 夹角，记作,a b r r ，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π 时，a ，b 垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b θr r 。规定：零向量与任一向量的数量积是0， 注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 3．a 在b 方向上的正射影的数量为||cos ,a a b r r r =b b a b a b a a =r r r r r g g g r r r ，它是一个实数，但不一定大于0。 4．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=r r r r ； ②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b r r ，特别地，222,a a a a a a =?==r r r r r r ；当a 与b 反向时，a ?b ＝－a b r r ； ③||||||a b a b ?≤r r r r 。 ④θ为锐角?a ?b ＞0，且 a b r r 、不同向，； θ为钝角?a ?b ＜0，且 a b r r 、 不反向； b r a r C B A a b C C -=A -AB =B u u u r u u u r u u u r r r