2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标20三角函数的图象与性质
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标20三
角函数的图象与性质
[解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，难度中等．
一、选择题 1．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为( C ) A ．????
??－π6，π6
B ．{|x k π－π6≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z
C ．{|x 2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6，k ∈Z
D ．R
解析 ∵cos x －
32≥0，得cos x ≥3
2
， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6
，k ∈Z .
2．(x x·浙江温州模拟)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A )
A ．向右平移π
12个单位
B ．向右平移π
4个单位
C ．向左平移 π
12
个单位
D ．向左平移π
4
个单位
解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ? ??
??3x －π4
，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ?
????3x －π4的图象. 3．(xx·辽宁营口模拟)将函数y ＝3sin ? ????2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得
图象对应的函数( B )
A ．在区间??
??
?
?π12，7π12上单调递减
B ．在区间??
??
?
?π12，7π12上单调递增
C ．在区间??????－π6，π3上单调递减
D ．在区间????
??－π6，π3上单调递增 解析 由题可得平移后的函数为y ＝3sin ??????2? ????x －π2＋π3＝3sin ? ????2x －2π3，令2k π－
π2≤2x －
2π3≤2k π＋π2，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，故该函数在?
?????k π＋π12，k π＋7π12(k
∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件，故选B ．
4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)?
????A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈? ??
??－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( D )
A ．1
B ．1
2 C ．
2
2
D ．
32
解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ).
将? ????－π6，0代入上式得sin ? ??
??－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ? ????2x ＋π3.
函数图象的对称轴为x ＝－π6＋
π
32＝π
12
.
又x 1，x 2∈? ??
??－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，
∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ?
????2×π6＋π3＝32，故选D ．
5．(xx·河南郑州模拟)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π
6对称，则|φ|
的最小值为( A )
A ．π
6
B ．π
4
C ．π
3
D ．π2
解析 由题意，得sin ? ??
??2×π6＋φ＝±1．
所以π3＋φ＝π2＋k π，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，故|φ|min ＝π
6
.
6．(xx·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π，若f ? ??
?
?5π8
＝2，f ?
??
??11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( A )
A ．ω＝23，φ＝π
12
B ．ω＝23，φ＝－11π
12
C ．ω＝13，φ＝－11π
24
D ．ω＝13，φ＝7π
24
解析 由f ? ??
??5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，
① 由f ?
??
??11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z )， ②
由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )，又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，所以ω＝2
3，
又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π
12
，A 项符合.
二、填空题
7．(xx·天津模拟)函数f (x )＝－sin ? ????2x －π4，x ∈??????0，π2的最大值是 2 .
解析 因为x ∈??????0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4.根据正弦曲线，得当2x －π4＝－
π4时，sin ?
????2x －π4取得最小值为－22.
故f (x )＝－sin ?
????2x －π4的最大值为22.
8．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos (x ＋φ)的最大值为 1 . 解析 f (x )＝sin ［(x ＋φ)＋φ］－2sin φcos(x ＋φ)
＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ， 因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1．
9．把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2
x －12图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，
得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为！！！
π
12
###. 解析 把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2
x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ? ????2x ＋π6图
象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g (x )＝sin ??????2（x －φ）＋π6＝sin ?
????2x －2φ＋π6＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为π12.
三、解答题
10．已知函数f (x )＝2sin ? ????2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间?
?????0，π2上的单调性.
解析 (1)因为f (x )＝2sin ? ????2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，
故ω＝1．
(2)因为f (x )＝2sin ? ????2x ＋π4.
若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π
4
.
当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8时，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8 2 时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在区间? ?????0，π8上单调递增， 在区间? ?? ??π8，π2上单调递减. 11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π 8. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间. 解析 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π 4， 又－π<φ<0，所以k ＝－1，则φ＝－3π 4. (2)由(1)得，f (x )＝sin ? ????2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π 2＋2k π，k ∈Z . 可解得π8＋k π≤x ≤5π 8 ＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调递增区间为???? ??π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ? ?? ? ?3π4，0对称. (1)求ω，φ的值； (2)求f (x )的单调递增区间； (3)若x ∈??????－3π4 ，π2，求f (x )的最大值与最小值， 解析 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π 2＋k π，k ∈Z ，且 0≤φ≤π，则φ＝π 2 ，即f (x )＝cos ωx . 因为图象关于点M ? ?? ??34π，0对称， 所以ω×34π＝π2＋m π，m ∈Z ，ω＝23＋4m 3， 又0<ω<1，所以ω＝2 3 . (2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π，且 k ∈Z 得，3k π－ 3π 2≤x ≤3k π，k ∈Z ， 所以函数的递增区间是??????3k π－3π2，3k π，k ∈Z . (3)因为x ∈??????－3π4，π2，所以23x ∈??????－π2，π3， 当2 3x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π 4，函数f (x )的最小值为0.