答案:(3,2)
7.设函数f (x )=3sin ? ????π
2
x +π4,若存在这样的实数x 1,x 2,对任意的x ∈R ,都有
f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则|x 1-x 2|的最小值为________.
解析:因为对任意x ∈R ,都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立, 所以f (x 1),f (x 2)分别为函数f (x )的最小值和最大值,
所以|x 1-x 2|的最小值为12T =12×2π
π
2=2.
答案:2
8.(xx·江苏省高考名校联考(八))已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)? ????A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f ? ??
??-5π12的值为________.
解析:由函数f (x )的部分图象可知,A =2,12T =2π3-π6=π
2,得T =π,所以ω=2.
当x =π6时,f (x )=2,即sin (2×π6+φ)=1,又|φ|<π2,所以φ=π
6,故f (x )=2sin(2x
+π6),所以f (-5π12)=2sin(-5π6+π6)=2sin(-2π
3
)=- 3. 答案:- 3
9.函数y =sin x -cos x +sin x cos x ,x ∈[0,π]的最大值与最小值之和为________. 解析:令t =sin x -cos x ,又x ∈[0,π],
所以t =2sin ?
????x -π4,t ∈[-1,2].
由t =sin x -cos x ,得t 2
=1-2sin x cos x , 即sin x cos x =1-t
2
2
.
所以原函数变为y =t +1-t
2
2,t ∈[-1,2].
即y =-12t 2+t +1
2
.
所以当t =1时,y max =-12+1+1
2=1;
当t =-1时,y min =-12-1+1
2=-1.
故函数的最大值与最小值之和为0. 答案:0
10.(xx·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(六))已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)
的部分图象如图所示,其
中M ,N 是图象与x 轴的交点,K 是图象的最高点,若点M 的坐标为(3,0)且△KMN 是面积为
3的正三角形,则f ? ??
??-13=________. 解析:由正三角形KMN 的面积为3知,△KMN 的边长为2,高为3,即A =3,最小正周期T =2×2=4,ω=2πT =2π4=π2,又M (3,0),MN =2,所以π2×4+φ=2k π+π
2
,
k ∈Z ,φ=2k π-
3π2,k ∈Z ,又0<φ<π,所以φ=π2,即f (x )=3sin ? ????π2
x +π2=3cos
π2x ,f ? ????-13=3cos ? ????-π6
=32
.
答案:32
11.(xx·南通模拟)设x ∈R ,函数f (x )=cos(ωx +φ)? ????ω>0,-π2<φ<0的最小正周期为π,且f ? ????π4=32
.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0,π]上的图象;
(3)若f (x )>
2
2
,求x 的取值范围. 解:(1)因为函数f (x )的最小正周期T =2π
ω=π,
所以ω=2,
因为f ? ????π4=cos ? ????2×π4+φ=cos ? ????π2+φ=-sin φ=32,且-π2<φ<0,所以φ
=-π
3
.
(2)由(1)知f (x )=cos ? ????2x -π3,列表如下:
(3)因为f (x )>
22,即cos ?
????2x -π3>22, 所以2k π-π4<2x -π3<2k π+π
4,k ∈Z ,
则2k π+π12<2x <2k π+7π
12,k ∈Z ,
即k π+π24<x <k π+7π
24
,k ∈Z .
所以x 的取值范围是????
??x |k π+π24<x <k π+7π
24,k ∈Z .
12.已知函数f (x )=(sin x +cos x )2+2cos 2
x -2. (1)求f (x )的单调递增区间;
(2)当x ∈??????π4
,3π4时,求函数f (x )的最大值和最小值.解:(1)f (x )=sin 2x +cos 2x
=2sin ?
????2x +π4, 令2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π
2,k ∈Z ,
则k π-3π8≤x ≤k π+π
8
,k ∈Z .
故f (x )的单调增区间为??????k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .
(2)因为x ∈??????π4
,3π4,所以3π4≤2x +π4≤7π4,
所以-1≤sin ? ????2x +π4≤22,所以-2≤f (x )≤1,所以当x ∈??????π4,3π4时,函数f (x )的最大值为1,最小值为- 2.
1.函数y =|sin x +cos x |-1的定义域是________.
解析:由|sin x +cos x |-1≥0?(sin x +cos x )2
≥1?sin 2x ≥0,
所以2k π≤2x ≤2k π+π,k ∈Z ,故原函数的定义域是??????k π,k π+π2(k ∈Z ). 答案:?
?????k π,k π+π2(k ∈Z )
2.(xx·江苏省名校高三入学摸底卷)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,-π<φ
<0)的部分图象如图所示,则f ? ??
??φω=________.
解析:设函数f (x )的最小正周期为T ,则34T =3-1=2,所以T =83=2πω,得ω=3π
4.
因为f (1)=1,所以ω×1+φ=3π4×1+φ=π
2+2k π(k ∈Z ),又-π<φ<0,所以φ
=-π4,所以f (x )=sin ? ????3π4x -π4,所以f ? ????φω=f ? ????-13=sin ??????3π4×? ????-13-π4=-sin π2=-1.
答案:-1
3.已知函数f (x )=3sin ?
????ωx -π6(ω>0)和g (x )=3cos(2x +φ)的图象的对称中心完全相同,若x ∈?
?????0,π2,则f (x )的取值范围是________.
解析:由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f (x )=3sin ? ????2x -π6,当x ∈??????0,π2时,-π6≤2x -π6≤5π6,所以-12≤sin ?
????2x -π6≤1,故f (x )∈????
??-32,3.
答案:????
??-32,3 4.(xx·瑞安四校联考改编)函数f (x )=A sin(ωx +φ)?
????x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示, 如果x 1、x 2∈? ??
??-π6,π3,且f (x 1)=f (x 2),则f (x 1+x 2)=________.
解析:由题图可知A =1,T 2=π3-? ????-π6=π2,所以T =π,因为T =2π
ω
=π,所以ω
=2,即f (x )=sin ()2x +φ.
因为? ????-π6,0为五点作图的第一个点,所以2×? ????-π6+φ=0,所以φ=π3,所以f (x )
=sin ?
????2x +π3.
由正弦函数的对称性可知x 1+x 22=-π6+π
32,所以x 1+x 2=-π6+π3=π
6,
所以f (x 1+x 2)=f ? ????π6=sin ? ????2×π6+π3=sin 2π3=32.
答案:
3
2
5.(xx·南通市高三调研)已知函数f (x )=A sin ? ????ωx +π3(A >0,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π,且经过点? ??
??π
3,32.
(1)求函数f (x )的解析式;
(2)若角α满足f (α)+3f ? ????α-π2=1,α∈(0,π),求角α的值. 解:(1)由条件得,最小正周期T =2π, 即
2πω=2π,所以ω=1,即f (x )=A sin ?
????x +π3.
因为f (x )的图象经过点? ??
??π
3,32,
所以A sin 2π3=32,所以A =1,所以f (x )=sin ? ????x +π3.
(2)由f (α)+3f ? ????α-π2=1,
得sin ? ????α+π3+3sin ? ????α+π3-π2=1,
即sin ? ????α+π3-3cos ? ??
??α+π3=1,
所以2sin ??????? ????α+π3-π3=1,即sin α=12. 因为α∈(0,π),所以α=π6或5π
6
.
6.已知向量a =(cos ωx -sin ωx ,sin ωx ),b =(-cos ωx -sin ωx ,23cos ω
x ),设函数f (x )=a ·b +λ(x ∈R )的图象关于直线x =π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈
? ??
??12,1.
(1)求函数f (x )的最小正周期;
(2)若y =f (x )的图象经过点? ????π4,0,求函数f (x )在区间?
?????0,3π5上的取值范围.
解:(1)f (x )=sin 2
ωx -cos 2
ωx +23sin ωx ·cos ωx +λ=-cos 2ωx +3sin 2ωx +λ=2sin ?
????2ωx -π6+λ.
由直线x =π是y =f (x )图象的一条对称轴,可得 sin ?
????2ωπ-π6=±1, 所以2ωπ-π6=k π+π
2
(k ∈Z ),
即ω=k 2+1
3
(k ∈Z ).
又ω∈? ????12,1,k ∈Z ,所以k =1,故ω=56. 所以f (x )的最小正周期是6π
5
.
(2)由y =f (x )的图象过点? ????π4,0,得f ? ??
??π4=0, 即λ=-2sin ? ????56×π2-π6=-2sin π4=-2,
即λ=- 2.
故f (x )=2sin ? ????53
x -π6-2,
由0≤x ≤3π5,有-π6≤53x -π6≤5π
6,
所以-12≤sin ? ????53
x -π6≤1,
得-1-2≤2sin ? ????53
x -π6-2≤2-2,
故函数f (x )在?
?????0,3π5上的取值范围为[-1-2,2- 2 ].
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第6讲正弦定理
和余弦定理分层演练直击高考文
1.(xx·惠州一调改编)在△ABC 中,a =7,b =3,c =2,则A =________.
[解析] 由余弦定理直接得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+4-72×3×2=12,且A ∈(0,π),得A =π
3
.
[答案] π
3
2.在△ABC 中,若a =18,b =24,∠A =45°,则此三角形有________个解. [解析] 因为a sin A =b
sin B
,
所以sin B =b a sin A =24
18
sin 45°,
所以sin B =22
3
.
又因为a
3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =5,c =2,cos A =2
3,则b
=________.
[解析] 由余弦定理,得4+b 2
-2×2b cos A =5,整理得3b 2
-8b -3=0,解得b =3或
b =-13
(舍去).
[答案] 3
4.(xx·江苏省高考名校联考(三))在△ABC 中,已知2a sin A =2(b sin B +c sin C )+2(c sin B +b sin C ),则角A 的值为________.
解析:因为2a sin A =2(b sin B +c sin C )+2(c sin B +b sin C ),所以a 2
=b 2
+c 2
+2
bc ,即cos A =b 2+c 2-a 22bc =-22,得A =3π
4
.
答案:3π
4
5.在△ABC 中,B =π4,BC 边上的高等于1
3
BC ,则sin A =________.
[解析] 设BC 边上的高为AD ,则BC =3AD ,DC =2AD ,所以AC =AD 2
+DC 2
=5AD .由正弦定理,知
AC sin B =BC
sin A
,即
5AD 22
=3AD sin A ,解得sin A =31010. [答案] 310
10
6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,若a 2
+b 2
=2c 2
,则cos C 的最小值为________.
[解析] 因为a 2
+b 2
=2c 2
,
所以由余弦定理可知,c 2
=2ab cos C ,
cos C =c 22ab =12×a 2+b 22ab ≥12
.
[答案] 1
2
7.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若b +c =2a ,3sin A =5sin B ,则角C =________.
[解析] 由已知条件和正弦定理得:3a =5b ,且b +c =2a , 则a =5b 3,c =2a -b =7b 3
,
cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12,又0.
[答案] 2π
3
8.(xx·苏州质量检测)已知△ABC 中,角A 、3
2B 、C 成等差数列,且△ABC 的面积为1
+2,则AC 边的长的最小值是________.
[解析] 因为A 、3
2B 、C 成等差数列,所以A +C =3B ,
又A +B +C =π,所以B =π
4,
设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 由S △ABC =1
2
ac sin B =1+2得
ac =2(2+2),
由余弦定理及a 2
+c 2
≥2ac ,
得b 2
≥(2-2)ac ,
即b 2
≥(2-2)×2(2+2),
所以b ≥2,所以AC 边的长的最小值为2. [答案] 2
9.如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB =AD ,2AB =3BD ,BC =2BD ,则sin C =________.
[解析] 设BD =1,则AB =AD =
32,BC =2.在△ABD 中,解得sin A =22
3
,在△ABC 中,由正弦定理AB sin C =BC sin A ,得sin C =6
6
.
[答案]
6
6
10.(xx·合肥质检)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a 2
=b 2
+c 2
+3bc .若a =3,S 为△ABC 的面积,则S +3cos B cos C 的最大值为________.
[解析] 由cos A =b 2+c 2-a 22bc =-3bc 2bc =-32?A =5π6,又a =3,故S =1
2
bc sin A
=12·a sin B
sin A
·a sin C =3sin B sin C ,因此S +3cos B cos C =3sin B sin C +3cos B cos C =3cos(B -C ),于是当B =C 时取得最大值3.
[答案] 3
11.(xx·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,
B ,
C 所对的边,且3a =2c sin A .
(1)求角C 的大小;
(2)若c =2,且△ABC 的面积为3,求a +b 的值. [解] (1)由题意得
3a 2c =sin A ,由正弦定理得3sin A 2sin C
=sin A . 又sin A ≠0,所以sin C =3
2
,又0°(2)因为S △ABC =1
2ab sin 60°=3,所以ab =4.
又c =2,所以由余弦定理得c 2
=a 2
+b 2
-2ab cos 60°, 即4=a 2+b 2-2ab ·12,即4=(a +b )2
-2ab -ab ,
所以(a +b )2
=4+3ab =16,
所以a +b =4.
12.(xx·江苏省高考名校联考(四))已知在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、
c ,且
a cos A +
b cos B =c
cos C
. (1)证明:cos A cos B =cos C ; (2)若b 2+c 2-a 2
=23bc ,求tan C 的值.
解:(1)证明:因为a cos A +b cos B =c
cos C ,
所以由正弦定理可知sin A cos A +sin B cos B =sin C
cos C ,
即
sin A cos B +cos A sin B cos A cos B =sin (A +B )cos A cos B =sin C
cos C
.
因为在△ABC 中,sin(A +B )=sin C ≠0, 所以cos A cos B =cos C .
(2)因为b 2
+c 2
-a 2
=23bc ,根据余弦定理可知cos A =b 2
+c 2
-a 2
2bc =1
3
,
因为A 为三角形的内角,所以sin A =22
3,tan A =2 2.
由cos A cos B =cos C 和A +B +C =π得,
cos A cos B =cos C =-cos(A +B )=-cos A cos B +sin A sin B ,所以2cos A cos B =sin A sin B ,
所以tan A tan B =2,由tan A =22得,tan B =
22
, 所以tan C =-tan(A +B )=-tan A +tan B 1-tan A tan B =52
2
.
1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =5
13
,a =1,则
b =________.
[解析] 法一:因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =12
13
,
由正弦定理a sin A =c sin C ,得c =a sin C sin A =20
13
.
从而b =a cos C +c cos A =21
13
.
法二:如图,作BD ⊥AC 于点D ,由cos C =5
13,a =BC =1,
知CD =513,BD =12
13
.
又cos A =45,所以tan A =34,从而AD =1613.
故b =AD +DC =21
13.
[答案] 21
13
2.△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知b =c ,a 2
=2b 2
(1-sin A ),则A =________.
[解析] 由余弦定理得a 2
=b 2
+c 2
-2bc cos A =2b 2
-2b 2
cos A ,所以2b 2
(1-sin A )=2b 2
(1-cos A ),所以sin A =cos A ,即tan A =1,又0.
[答案] π
4
3.(xx·镇江质量检测)若钝角三角形三个内角的度数成等差数列,且最大边与最小边长度之比为m ,则m 的取值范围是________.
[解析] 不妨设A >B >C ,因为钝角三角形三个内角的度数成等差数列,所以2B =A +C ,从而3B =180°,即B =60°,所以A +C =120°,又A >90°,
所以0°m =a c =sin A sin C =sin (120°-C ) sin C =32cos C +1
2sin C
sin C =32tan C +1
2,由于C ∈(0°,
30°) ,所以tan C ∈? ??
??
0,
33,故m ∈(2,+∞). [答案] (2,+∞)
4.在△ABC 中,∠C =90°,M 是BC 的中点.若sin ∠BAM =13,则sin ∠BAC =________.
[解析] 因为sin ∠BAM =13,所以cos ∠BAM =22
3
.如图,在△ABM 中,利用
正弦定理,得BM sin ∠BAM =AM sin B ,所以BM AM =sin ∠BAM sin B =13sin B =1
3cos ∠BAC
.
在Rt △ACM 中,有CM AM
=sin ∠CAM =sin (∠BAC -∠BAM ).由题意知BM =CM , 所以1
3cos ∠
BAC
=sin (∠BAC -∠BAM ).
化简,得22sin ∠BAC cos ∠BAC -cos 2
∠BAC =1. 所以22tan ∠BAC -1tan 2
∠BAC +1
=1,解得tan ∠BAC = 2. 再结合sin 2
∠BAC +cos 2
∠BAC =1,∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC =63
. [答案]
63
5.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知cos C +(cos A -3sin A )cos
B =0.
(1)求角B 的大小;
(2)若a +c =1,求b 的取值范围. [解] (1)由已知得
-cos(A +B )+cos A cos B -3sin A cos B =0, 即有sin A sin B -3sin A cos B =0, 因为sin A ≠0,所以sin B -3cos B =0, 即3cos B =sin B .
因为00,所以cos B >0, 所以tan B =3,即B =π3
.
(2)由余弦定理得b 2
=a 2
+c 2
-2ac cos B , 因为a +c =1,cos B =1
2
,
所以b 2
=(a +c )2
-3ac ≥(a +c )2
-3? ??
?
?a +c 22
=14(a +c )2
=14, 所以b ≥12
.
又a +c >b ,所以b <1,所以1
2
≤b <1.
6.(xx·江苏省高考名校联考(一))已知在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、
c ,若向量m =(cos A ,cos B ),n =(b +2c ,a ),且m ⊥n .
(1)求角A 的大小;
(2)若a =43,b +c =8,求AC 边上的高h 的值. 解:(1)因为m ⊥n ,所以m ·n =0,
所以(b +2c )cos A +a cos B =0,
由正弦定理得cos A sin B +2cos A sin C +cos B sin A =0, 即sin(A +B )+2cos A sin C =0,
因为A +B =π-C ,所以sin(A +B )=sin C ,所以sin C +2cos A sin C =0. 又C ∈(0,π),所以sin C >0,所以cos A =-1
2.
因为A ∈(0,π),所以A =
2π3
. (2)由?????cos A =-12=b 2+c 2
-a
2
2bc
,
b +
c =8,
a =4
3,
解得b =c =4.
又S △ABC =12bc sin A =1
2h ·AC ,所以h =2 3.