2009中国女子数学奥林匹克试题(中文版)

2009女子数学奥林匹克

第一天

2009年8月13日 上午 8：00 ~ 12：00 厦 门

1．求证：方程a b c = 2009 (a + b + c )只有有限组正整数解 (a , b , c ).

2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在△ABC 的外接圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE > EC ．连接EC 并延长至点F ，使得∠EAC

＝∠CAF ，连接BF 交圆Γ于点D ，连接ED ，

记△DEF 的外心为O ．求证：A , C , O 三点

共线．

3．设平面直角坐标系中点集

｛P 1, P 2 , …, P 4n +1｝＝｛(x , y ) | x , y 为整数, |x|

≤n , |y|≤n , x y =0｝，

其中n 为正整数．求 (P 1P 2)2+(P 2P 3)2+ …+

(P 4n P 4n +1)2+(P 4n +1P 1)2的最小值． 4．设平面上有n 个点V 1, V 2 , …, V n (n ≥4)，任意三点不共线，某些点之间连有线段. 把标号分别为1, 2, …, n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子．现对这n 枚棋子进行如下操作：每次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置．若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k 的棋子在点V k 处，k =1, 2, …, n ，则称这种连线段的方式为“和谐的”，求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值．

O

B

2009女子数学奥林匹克

第二天

2009年8月14日上午8：00 ~ 12：00 厦门

x y z大于或等于1，求证：

5．设实数,,

222

()22

-+．

xyz xyz

-+-+-+≤2

(22)(22)(22)

x x y y z z

6．如图，圆Γ1，Γ2内切于点S，圆Γ2的弦AB与圆Γ1相切于

点C，M是弧AB（不含点S）的中点，过点M作MN⊥AB，

垂足为N．记圆Γ1的半径为r，求证：AC·CB＝2r·MN．

7．在一个10×10的方格表中有一个由4n个1×1的小方格组成的图形，它既可被n个“”型的图形覆盖，也可被n个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖．求正整数n 的最小值．

8．设a n＝，求数列a1，a2，…，a2009中的最大项和最小项，其中［x］表示不超过实数x的最大整数．