相似三角形的基本模型(一线三等角)

模型中的相似三角形（2）

【基本模型】

图3

C

B

B

C C B

A

A

A

1. 如图1，BDE EDF C B ??∠=∠=∠∽CFD ?（一线三等角）

如图2，ABD ADE C B ??∠=∠=∠∽DCE ?（一线三直角）

如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ?∽DFE ?∽CFD ??ED 平分

BEF ∠，FD 平分EFC ∠。

2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直

角时，可构造“一线三等角”型相似。

【巩固提高】

1. 已知ABC ?中,120,6?=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点

AC E ,延长线上有一点F ，使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ，则=CF

4

27

提示：,120,6?=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点

∴33==CD BD 由BDE ?∽CFD ?

∴

CF DB DC BE =, 4

27

=CF

2. 如图，等边ABC ?中，D 是边BC 上的一点，且3:1:=DC BD ，把ABC ?折叠，

使点A 落在BC 边上的点D 处．那么

AN

AM 的值为 75

．

A

B

C

提示：由翻折可得：A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,,

设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ?∽CND ?， ∴

7

5

3414=++===??CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折，点B 落在

边AD 上的E 点处，若AM AE 2=

，那么EN 的长等于 F

E

提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN ∵MAE ?∽EFN ?,

∴

EF

AM

FN AE = ∵AM AE 2= ∴53,32

1

===EN FN EF

4. 在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻

折后点D 落到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ,如果3:1:=AD DG ，那

么=DE

N M G

G

A

A

B

E

B

E

提示：作过点F 作MN ∥BC ，分别交AB 、CD 于M 、N 。 ∵15=AD ，3:1:=AD DG

∴5,10====NF DG MF AG

设x DE =，由翻折可得：

x EF DE AD AF ====,15 ∵AMF ?∽FNE ? ∴FN AM EN MF EF AF ==,即5

1015AM

EN x == ∴x AM x EN 75,32==，∴

53,3

2

75=+=x x x x

5. 已知△ABC ，BC AC =，?=∠120C ，边长9=AC ，点D 在AC 上，且6=AD ，

点E 是AB 上一动点，联结DE ，将线段DE

绕点D 逆时针旋转?30得到线段DF ，

要使点F 恰好落在BC 上，则AE 的长是

3+

A

提示：构造“一线三等角”

?=∠=∠=∠30G FDE A ∴△ADE ≌△GFD

∴6==AD FG ，32=CF ，34=CG ∴343+=+=CG DC AE

6. 如图，已知AM ∥BN ，?=∠=∠90B A ，4=AB ，点D 是射线AM 上的一个动

点（点D 与点A 不重合），点E 是线段AB 上的一个动点（点E 与点A 、B 不重合），联结DE ，过点E 作DE 的垂线，交射线BN 于点C ，联结DC ．设x AE =，

y BC =．

（1）当1=AD 时，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；

（2）在（1）的条件下，取线段DC 的中点F ，联结EF ，若5.2=EF ，求AE 的长；

（3）如果动点D 、E 在运动时，始终满足条件AB DE AD =+，那么请探究：

BCE △的周长是否随着动点D 、E 的运动而发生变化？请说明理由．

A E

E 解：(1)∵?=∠=∠=∠90DEC B A ∴ADE △∽BEC △ ∴

BC

AE

BE AD = ∴2

4x x y -=（40<

（2）过D 作BC DH ⊥，垂足为H

∵F 是线段DC 的中点，?=∠90DEC ，1=AD ∴4=DH , 5=CD ，3=HC ，4=BC

∴442

=-x x ，2==x AE

（3）∵4==+AB DE AD 又2

22x AD DE =-

∴8

162

x AD -= 又ADE △∽BEC △

∴

AD BE

C C ADE BCE =△△ ∴8

16442

x

x x C BCE --=+△ ∴8=BCE C △

7. 如图，已知ABC ?中，?=∠90C ,2==BC AC ,O 是AB 的中点，将?45角的顶

点置于点O ， 并绕点O 旋转，使角的两边分别交边AC 、BC 于点D 、E ，连接DE . (1) 求证AOD ?∽OED ?；

(2) 设x AD =，试用关于x 的式子表示DE 。

C C A

B

B

A

解：（1）∵?=∠90C ,2==BC AC

∴22=AB ,?=∠=∠45B A ∵?=∠45DOE

∴ADO AOD BOE ∠=∠-?=∠135 ∴AOD ?∽BEO ? ∴

EO

OD

BO AD = ∵2==OB OA

∴

OE OD AO AD =,即OE

AO

OD AD =, ∵?=∠=∠45DOE A ∴AOD ?∽OED ?

（2）作AC OF ⊥于F ，DE OH ⊥于H ,BC OG ⊥于G

∵?=∠45A ,2=OA ,AC OF ⊥

∴1=AF 同理：1=BG ∵AOD ?∽BEO ? ∴

BE

OA

BO AD = ∵x AD =，2==OB OA

∴x

BE 2=

∵AOD ?∽OED ?

∴EDO ADF ∠=∠

∵AC OF ⊥于F ，DE OH ⊥于H ∴1-==x DF DH 同理：12-==x EG EH ∴22

-+=+=x

x HE DH DE

相似三角形专题——一线三等角

相似三角形专题——“一线三等角”图形中的相似 教学目标：巩固“一线三等角”图形中的相似判定及分类讨论 结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置 会根据一线两等角图形添加第三个等角构造相似三角形 教学重难点： 重点是“一线三等角”图形中判定三角形相似及两类三个三角形两两相似的分类讨论，难点在根据“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置，构造相似三角形 教学过程： 一、巩固“一线三等角”图形中相似的判定及分类讨论 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，作∠EDF = ∠B，点 E、F分别落在边AD、AC上，求证：△BED∽△CDF *（A A）突出“一线三等角，外角证相似” 2.思考1：练习中，联结EF 若点D是BC边的中点，求证：△EDF∽△EBD *注重证明过程，注意BD与CD的等量代换及比例的内向交换3.思考2：练习中，联结EF 若 BE = CF，求证：△EDF∽△DBE *通过比例的转化，更应注意可证明EF与BC平行 4.提问：思考3：联结EF B

若△BDE与△EDF相似，应该分析哪些请况 *问题直接总结上述两种相似情况，同时为后面分类讨论问题铺垫 二、分类讨论，结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置 1. 练习： 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，若 BC = 5， 点E、点D是AB、BC上的点，且BE=√(6)，作∠EDF = ∠ 当△DEF与△CDF相似时，求CF与BD的长 2. 如图，在正方形格子中有一个矩形ABCD，在AB上，找出点E，联结DE、CE，使得△DEC 与△DAE及△EBC都相似 *注意 AB中点不正确的说明 3. 思考：如图，在矩形ABCD中，点M在AD上， 将△DMC沿MC翻折，点D恰好落在AB边的E点位置，若△MEC与△AME相似， 求：矩形相邻两边 AD与AB的比 *三个相似三角形带来的特点要注意 B A E

相似三角形之一线三等角型

相似三角形之一线三等角型 一、知识梳理： （图1） （图2） （1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、习题精选 1.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作 DEF B ∠=∠， 射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。 （1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 3.等腰△ABC ，AB =AC =８，∠BAC =120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转． （1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ． C P E A D

①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？ ②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S． B C P B P

(完整word版)几何模型：一线三等角模型.docx

一线三等角模型 一 . 一线三等角概念 “一线三等角” 是一个常见的相似模型， 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角， 也可以是锐角或钝角。 不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类 全等篇 C D D C A P B A P B 锐角 直角 D D D C A P B 同侧 钝角 D A A B P P B A B P C C 相似篇 C 异侧 D C D C A P B A P B 锐角 直角 D D C A P B 同侧 钝角 D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC ∽△ BDE. 2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 . 如图 3-1 ，若 CE=ED ，则△ AEC ≌△ BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 ) 如图 3-3，当∠ 1=∠2 且BOC 901 BAC 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， BOC901 BAC 这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图 3-4（右图）中，如果延长BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况 . a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

一线三等角模型

专题九：“一线三角型”模型的应用 1、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且APM B ∠=∠，AP=MP，求证：△APB≌△PMC。 分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据 已有的知识经验，学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图， △ABC为等边三角形，60 APM? ∠=，BP=1, 2 3 CM=，求△ABC的边长。 3、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,3,7,60 AD cm BC cm B? ==∠=，P为BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PM交DC于M，使得APM B ∠=∠。 （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）求AB的长； （3）在底边BC上是否存在一点P，使得DM:MC=5:3？若存在， 求出BP的长；若不存在，请说明理由。

4、如图，, ===， AB cm CD cm BD cm ⊥⊥，且6,4,14 AB BD CD BD 问：在BD上是否存在P点，使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C 为顶点的三角形相似？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。 5、已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD BC <，且AD=5,AB=DC=2。 （1）如图a，P是AD上的一点，满足BPC A ∠=∠。 ①求证：△ABP∽△DPC；②求AP的长。 （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPE A ∠=∠，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么： ①当点Q在线段DC的延长线上时，设, AP x CQ y ==，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围； ②当CE=1时，求出AP的长。 6、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点， 当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，如图。 （1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设BM x =，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数 关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出

相似三角形模型讲解-一线三等角问题

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型： （六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． A C D E B

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设 A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．A B P D E （第25题图） G M F E H D C A

一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)

如图，AB=12米，CA丄AB于点A , DB丄AB于点B，且AC=4米，点P从B向A运动, 每分钟走1米，点Q从B点向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，△ CPA 与厶PQB全等？ D C / / F - f I A p S 如图①所示，在△ ABC中，/ C=90 0，AC=BC，过点C在厶ABC外作直线MN，AM丄M N于点M , BN丄MN于点N . ⑴求证：MN=AM + BN . (2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交，AM丄MN于点M， BN丄MN于N ,(1)中的 结论是否仍然成立？说明理由. 图①图②

如图，已知/ B= / C=90 ° M是BC的中点，DM平分/ ADC. (1) 求证：AM平分/ DAB (2) 试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ (3) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果 如图，△ ABE EDC , E 在BD 上, AB 丄BD ,垂足为 B , △ AEC 是等腰直角三角形吗 ? 为什么?

【练3】正方形ABCD,E是BC上一点，AE — EF,交/ DCH的平分线于点 F ,求证AE=EF 如图所示，在Rt ABC中，.ABC =90 ,点D在边AB上，使，过点D作EF _ AC，分别 交AC于点E，CB的延长线于点F。求证：AB=BF。( 8分) 如图(1)，已知AB 丄BD，ED 丄BD，AB=CD，BC=DE， ⑴试判断AC与CE的位置关系，并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由.

相似三角形的特殊模型_一线三等角

相似三角形的特殊模型 ―――“一线三等角”模型的综合题 （图1） 图形的变式

（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； (3) 如图2，若 AB ＝AC ，∠ B ＝∠EDF , BD=CD, 连接DF ，那么一定存在的相似三角形有 . 二、例题解析 例1.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE= 3 1 ,求CF 的长. 练习 1.已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4 . 求:CF 的长 2.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°. （1）求证：△BDE ∽△CFD ； （2）当BD =2 3 ，FC =1时，求BE .

例2.在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且 5 2 =AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ . 练习 在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =； (2)当 m DB AD =，求DF DE 的值. 例3.已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B. 求证：△BDE ∽△DFE.

相似三角形一线三等角型

相似三角形（3）“一线三等角型” 教学目标： 1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题. 2、经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程，再次体验图形运动、分类讨论、方程 与函数等数学思想. 3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣. 重点： 相似三角形的判定性质及其应用. 难点： 与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法. 教学方法： 启发式教学方法，尝试指导教学法. 一、知识梳理： （图1） （图2） （1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、【例题解析】 【例1】如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ， AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=3 1,求CF 的长 【练】1、已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有 一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4，求:CF 的长

2、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =23，FC =1时，求BE 【例2】在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5 2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ 【练】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边 上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE = (2)、当m DB AD =，求DF DE 的值

几何模型：一线三等角模型知识讲解

几何模型：一线三等 角模型

一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧

三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用

最新一线三等角型相似初三压轴题

中考热点5——三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角 相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60° ∴∠B =∠C =∠EDF =60° ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD ∴ BE CD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE = 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ， 求证：△BDE ∽△DFE 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B ∴∠B =∠C =∠EDF ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴ DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DF BD DE BE = ∵∠EDF =∠B C A D B E F D

一线三等角模型综合题解

【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG． （1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明； （2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论； （3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF． （1）求证：△MEF∽△BEM； （2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EF⊥CD，求BE的长．

【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD 于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE∥AB； （2）设△PEQ 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=25 2S△BCD？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；(4)连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

相似三角形的基本模型(一线三等角)

模型中的相似三角形（２） 【基本模型】 图3 C B B C C B A A A 1. 如图1，BDE EDF C B ??∠=∠=∠∽CFD ?(一线三等角） 如图2，ABD ADE C B ??∠=∠=∠∽DCE ?(一线三直角) 如图3，特别地,当D 是BC 中点时：BDE ?∽DFE ?∽CFD ??ED 平分 BEF ∠，FD 平分EFC ∠。 2. 一线三等角辅助线添加:一般情况下，已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角 时，可构造“一线三等角”型相似。 【巩固提高】 1. 已知ABC ?中,120,6?=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点 AC E ,延长线上有一点F ,使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ,则=CF 4 27 提示：,120,6?=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点 ∴33==CD BD 由BDE ?∽CFD ? ∴ CF DB DC BE =， 4 27 =CF

2. 如图,等边ABC ?中,D 是边BC 上的一点,且3:1:=DC BD ，把ABC ?折叠,使点 A 落在BC 边上的点D 处.那么 AN AM 的值为 75 . A B C 提示：由翻折可得:A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,, 设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ?∽CND ?, ∴ 7 5 3414=++===??CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ,8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折,点B 落在边 AD 上的E 点处，若AM AE 2=, 那么EN 的长等于 F E 提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN ∵MAE ?∽EFN ?, ∴ EF AM FN AE = ∵AM AE 2= ∴53,32 1 ===EN FN EF

一线三等角模型、双垂直模型[自己总结]

如图，AB=12 米，CA⊥AB 于点A，DB⊥ AB 于点B，且AC=4 米，点P 从 B 向 A 运动， 每分钟走1米，点Q从B点向D 运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟 如图①所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线MN，AM⊥M N 于点M，BN⊥MN 于点N． (1)求证：MN=AM＋BN． (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于N，(1)中的 结论是否仍然成立？说明理由. 图① 图②

如图,已知∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC. 1）求证：AM 平分∠DAB 2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ 3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。 如图，△ABE≌△EDC，E 在BD 上，AB⊥BD，垂足为B，△AEC 是等腰直角三角形吗？为什么？

练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F，求证AE=EF

交AC 于点E，CB 的延长线于点F。求证：AB=BF 。(8 分) 如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE， (1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由． 如图，在△ABC 中，AB=AC，DE 是过点A 的直线，BD⊥DE 于D，CE⊥DE 于点E；如图所示，在Rt ABC中，ABC = 90，

一线三等角模型

专题九：“一线三角型”模型的应用1如图，在△ ABC中，AB=AC P、M分别在BC AC边上, 且.APM ，AP=MP，求证：△ APB^A PMC 分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据已有的知识经验，学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图， △ ABC为等边三角形，.APM =60 , BP=1,CM =?，求△ ABC的边长 3 AD//BC, AD 二3cm, BC 二7cm, 一B 二 3、如图，等腰梯形ABCD中, 60 ， P为BC上一点(不与B C重合)，连结AP,过P点作PM交DC于M,使得 APM "B。 (1)求证：△ ABP^A PCM (2)求AB的长； (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3若存在, 求出BP的长；若不存在，请说明理由

4、如图，AB I BD,CD _ BD ，且 AB = 6cm,CD = 4cm, BD = 14cm , 问：在 BD 上是否存在P 点，使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、DC 为顶点的三角形相似？如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由。 5、已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, AD ：： BC ，且 AD=5,AB=DC=2 (1) 如图a ，P 是AD 上的一点，满足.BPC- A ①求证：△ ABP^A DPC ②求AP 的长。 (2) 如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合)，且满 足.BPE W^A ，PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q,那么: ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP 二x,CQ 二y ，求y 关于x 的函数解析式, 并写出函数自变量的取值范围； ②当CE=1时，求出AP 的长 6、正方形ABCD 边长为4, M N 分别是BC CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和 MN 垂直，如图。 (1) 证明 Rt △ ABMh Rt △ MCN (2) 设BM =x ，梯形ABCN 勺面积为y ,求y 与x 之间的函数 关系 式；当M 点运动到什么位置时，四边形 ABCNS 积最大，并求出 占 ~~

一线三等角相似模型

一线三等角相似 一．一线三直角 1.如图，住平面直角系中，直线AB ：()4 40y x a a = +≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥ x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时 (1)求证：ABO ?∽BCD ?； (2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是13 16 y x b =- +，求tan BAC ∠的值．

2.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ． （1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论； （2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由． E P D C B A

3.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180° ∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°， 又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE ∴，即 ∴ (2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ∵，∵均符合题意，故AP=1或4. 4.（2018上海，23，12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF ⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF=AE-BE； （2）联结BF，如果，求证：EF=EP．

相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型：

相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共 享 性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的

1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA?OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α， DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE?AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE； ④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5． 其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上） 3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC． 求证：（1）DB2=DE?DA； （2）∠DCE=∠DAC． 4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF?EG． 5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB?FC．

6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP 的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积． 7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE． 8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°． （1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似； （2）若DB=2，CE=6，求BC的长． 9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证： （1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE?CD．

中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

专题17 一线三等角模型 破解策略 在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ． 3 C D P A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD （3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ． 231D B P A C 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ． 32 1C P D B A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．

32 1C D B A P 证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ． ∵∠1＝∠2，∴∠PAC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解 例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）． ②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式． N F C M E B D A F N M E B D A C F N D A B E M C 图1 图2 图3 解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ． H G A D B E M C F N 则S 1S 2＝ 1 2 MG AD 12 NH BD ＝ 14 AD AM sin A BD BN sinB ． 由题意可知∠A ＝∠B ＝60o，所以sin A ＝sin B ＝32 ． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴ AM AD BD BN ，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12． （2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．

几何模型：一线三等角模型 (最终版)

初中几何模型之“一线三等角模型” 一.【一线三等角概念】 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.【一线三等角的分类】

2.1 全等篇_同侧 A P A P 锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角

2.3 相似篇_同侧 D C A B P P 锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角

三、【性质】 1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α 2=α3易得△AEC∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 四、【“一线三等角”的应用】 1.应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题； c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.

几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类 全等篇 C A P 锐角 D A B C 相似篇 C A P 锐角 D D D C C BA P B A P B同 侧 直角钝角 D D A A P P P B B C C 异侧 D D D C C BA P B A P B同 侧 直角钝角 D D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图3-2 ，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图3-3 ，当∠1=∠2且BOC90 1 BAC时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， BOC 90 1 BAC这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图3-4 （右图）中，如果延长BE与CF，交于点P，则点D是△PEF的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明） 图3-5 其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

几何模型一线三等角模型知识讲解

几何模型：一线三等型模角． 一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 D D C D C C BA BAP P ABP同侧 锐角直角钝角 D D D AP A A B P PB BC C C异侧 相似篇 D D C D C C BA BA P P ABP同侧

钝角直角锐角 D D D AP A B PB APB C C C异侧 三、“一线三等角”的性质BDE. ∽△，易得△AEC一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠31.BDE. AEC≌△当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△2. 3.中点型“一线三等角”中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC ) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时，点 O 是△ABC 的内心如图 3-3，当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用． 1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题； c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题. 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题. 2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段. 3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

初三相似三角形之一线三等角专题

相似三角形——“一线三等角型” 一、知识梳理： 一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形． （图1）（图2） （1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】 【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°， （1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=5 2 时，求BE. 【变式1】在边长为4的等边ABC ?中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABC EDF∠ = ∠，连接EF. (1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.

【变式2】在边长为4的等边ABC ?中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值. 【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ?，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点， 以线段EF 为边向右侧作等边EFG ?，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ， （1）写出图中与BEF ?相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 【例2】在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5 2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ . 【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． Q C P