2013中国女子数学奥林匹克

第一天

2013年8月12日 上午8:00-12:00

宁波 浙江省镇海中学

1．设A 是平面直角坐标系中三条直线1x =，0y =和(2)y t x t =-围成的闭区域，其中01t <<．求证：在区域A 内，以2(,)P t t 和(1,0)Q 为其中两个顶点的三角形的面积不超过14

． 2．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1O 与,,DA AB BC 三边相切，2O 与

,,BC CD DA 三边相切．

设P 是1O 与边AB 的切点，Q 是2O 与边CD 的切点．求证：,,AC BD PQ 三线共点．

3．在m 个女孩和n 个男孩组成的群体中，任意两人要么相互认识，要么互不认识．对任意两个男孩和两个女孩，其中至少有一个男孩与一个女孩互不认识．求证：相互认识的男女孩无序对的个数不超过(1)2

n n m -+． 4．求同时满足下列两个条件的多项式3()f x ax bx =+的个数：

(1),{1,2,,2013}a b ∈ ;

(2)(1),(2),,(2013)f f f 中任意两数之差都不是2013的倍数．

第二天

2013年8月13日 上午8:00-12:00

宁波 浙江省镇海中学

5．给定正实数12,,,n a a a ．求证：存在正实数12,,,n x x x 满足11n

i i x ==∑，且对任

何满足11n i i y ==∑的正实数12,,,n y y y ，均有1112n

n

i i i i i i i a x a x y ==≥+∑∑． 6．设集合S 是{0,1,2,,98} 的3m ≥元子集，满足对任意,x y S ∈，均存在z S ∈，使得2(mod99)x y z +≡．求m 的所有可能值．

7．如图，1O 与2O 外切于点T ，四边形ABCD 内接于1O ，直线DA CB 、分别切2O 于点E F 、．直线BN 平分ABF ∠并与线段EF 交于点N ，直线FT 交 AT （不含点B ）于另一点M ，且M 与A 不重合．求证：点M 为BCN ?的外心．

8．设4n ≥是偶数．在正n 边形的顶点处任意方式标上n 个互不相同的实数，从某条边起按顺时针方向依次将边记为12,,,n e e e ．一条边称为“正边”，若其两个

端点所标之数按顺时针方向是递增的．两条不同的边构成的无序边对{,}i j e e 称为“交错”的，若2|()i j +，且将它们四个端点上所标数按递增顺序记为a b c d <<<后，,a c 是其中一条边的两端点所标之数．求证：交错的边对的个数与正边的个数具有不同的奇偶性．