人教版七年级数学下册培优
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】
01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：
⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角
是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．
⑴求∠EOF 的度数；
⑵写出∠BOE 的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝2
1
∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝
21∠BOC ＋2
1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21
又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】
01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，
则∠4＝ .
【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角
尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】
A C
D
E F
A
B C D
E F P
Q R
A B
C
E
F
E
A A
C
D O （第1题图）
01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为
（ ）A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.
⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为
该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ． 【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求
∠AOC 、∠AOE 的度数.
02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；
⑵试说明OD 与AB 的位置关系. 03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，
请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条
直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6： ∠2和∠4：
∠3和∠5： ∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】 01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）
A ．4对
B ． 8对
C ．12对
D ．16对 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的
位置判断错误的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
F B
A O C D E C D
B A
E O B A C D
O A
B A E D C
F E
B A D 1 4 2 3 6 5 A
B D
C H Ｇ
E
F
7 1 5 6 8
4 1
2 乙
丙 3 2 3 4 5
6 1 2 3 4
甲
B ．∠3和∠4是内错角
C ．∠5和∠6是同旁内角
D ．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由? ⑴∠CBD ＝∠ADB ；
⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内 角，有“
”
即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.
⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A ＝∠ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）
02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）
又∵EF 平分∠DEC （已知）
∴ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴ （ ）
∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE
＋∠ACE ＝
90°，求证：AB ∥CD ．
04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，
求证：CD ∥EF .【例７】如图⑴，平面内有六
条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：假设图⑵中的12个角中的每一个
角都不小于31° 则12×31°＝372°＞
360°
1 A B C
2
3 4
5
6 7 A
B
C
D O
A B
E F
C A
B
C
D
E
A B
C D E
F
1 2 A B C
D E F
l 1
l 2
l 3 l 4
l 5
l 6
图⑴ l 1
l 2 l 3
l 4 l 5 l 6
图⑵
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…，a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3，a 3⊥a 4，a 4∥a 5……那么a 1与a 2010的位置关
系是 .03．已知n （n ＞2）个点P 1，P 2，P 3…Pn .在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n 表示过这几个点中的
任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S 2＝1，S 3＝3，S 4＝6，∴S 5＝10…则Sn ＝ .演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ）
A ．α的余角只有∠
B B ．α的邻补角是∠DA
C C ．∠ACF 是α的余角
D ．α与∠ACF 互补 02．如图，已知直线AB 、
CD 被直线EF 所截，则
∠EMB 的同位角为
（ ）A ．∠AMF B ．∠BMF C ．∠ENC D ．∠END
03．下列语句中正确的是（ ）
A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B ．过直线上一点的直线只有一条
C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D ．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）
①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．6
05．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l
的距离是（ ）A ．4cm B ．5cm C ．小于4cm D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .
07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .
08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）UDZkzHi 。rcCJJwl 。 09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，
④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
G H a
b
c
第6题图
第7题图
第9题图
1
2 3 4 5 6 7 8
1
A E
B
C
F
D
A
B
C D
F
E M N
α
第1题图
第2题图
A
B
D
C
第4题图
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？
12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？
13．如图，推理填空：
⑴∵∠A ＝ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝
（已知） ∴AC ∥ED （ ）
⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．
14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．
培优升级·奥赛检测
01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是
（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，
2，3
02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10
条直线最多能把平面分成（ ）部分.A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45
03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直
线最多还有（ ）个交点.A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55
04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）
A ．3
B ．1或3
C ．1或2或 3
D ．不
一定是1，2，3
07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每
条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线
的夹角等于（ ）
A ．60°
B ． 75°
C ．90°
D ．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.
第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译
A
C D E B A B C D E
F
1
2
A B C D
E F
第14题图
a b A
B
C
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝38【解法指导】
两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD
∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38° 【变式题组】
01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°
02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65°
03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.
【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠
BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可
求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】
01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________
02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝
___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.A
B C
D
O
E F
A
E
B
C （第1题图） （第2题图） E A F G
D C B
B
A M
C
D N P （第3题图）
D
A
2 E
1 B C
B F E A
C
D 【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.
证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等?两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】
01．如图，已知AC ∥FG ，∠1 02．如图，已知∠1＋∠2＝03．如图，两平面镜α、β于β入射到α于α，则角θ等于【例４】如图，已知EG 求证：AD 平分∠BAC ．
∠1＝∠3）
证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥（垂直定义）∴EG ∥AD ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】
01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ． 02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，
CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF.
3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥
CN ， 求：∠BCM 的度数.
【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，
联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，
同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】
01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选
出任意一个，说明你探究的结论的正确性.A D M
C N E B F E
D 2
1 A
B C
α β P B C D A
∠P ＝α＋β
3 2
1 γ 4
ψ D α β
E B C A
F
H F γ D α β E B C
A
F D E
B
C A B C
A A ′ l
B ′
C ′
结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________
【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形
善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条
直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋
∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°fvYJBoc 。 【变式题组】
01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）
A ． ∠β＝∠α＋∠γ
B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°
D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°
02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数. 【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就
是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /
就得到平移后的三角形A /B /C /
.【变式题组】
01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.
02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 到
△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A /B /C /
的重叠部分的面积03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部
分的面积.（单位：厘米）B
A
P
C
A
C C
D
A
A P
C
B
D P
B
P
D B
D ⑴
⑵
⑶
⑷
B B /
A
A /
C C /
西 B 30°
A
北
东 南
演练巩固 反馈提高
01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30° B ．南偏东60°
C ．北偏西30°
D ．北偏西60°
02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的
两直线垂直.
其中的真命题的有（ ）A ．1个 B ．
2个
C ．3个
D ．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是
（ ）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120° 04．下列命题中，正确的是（ ）
A ．对顶角相等
B ． 同位角相等
C ．内错角相等
D ．同旁内角互补
05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的
[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时
开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）A ．北偏东52° B ．南偏东52° C ．西偏北52° D ．北偏西38° 07．下列几种运动中属于平移的有（ ）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能
出格）
150° 120° D B C E 湖
4 3 2 1 A
B E F
C
D 4 P 2
3 1
A B E F
C
D
09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（ ）
10．如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，AE ⊥BC ，现将△ABE 进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC
的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分. 11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.
12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.
⑴互补的角是邻补角； ⑵两个锐角的和是锐角； ⑶直角都相等.
13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A ＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C ，
这时道路CE 恰好和道路AD 平行，问∠C 是多少度？并说明理由.
14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河
中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系
. 你能说出此时点D 所形成的角∠BFD 的度数吗？AxNVHhH 。t8jqWR1。 15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.
培优升级·奥赛检测 01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个bVo65Vq 。 02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速
直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球
滚动视为点的平移）wUePio8。OnIJgPE 。
D
E
A
B C E
D B C
E
D
A
B C
E
D
A
B C E
D
A
B
C
.
B
.
O
. A
F A D
E C
B
F E B A C G
D
03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移
到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方
向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];
⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？
05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一
次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ）A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°
06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、
B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ）A ．90 B ．1620
C ．6480
D ．2006
07．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .
08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的
直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足
∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF .⑴求∠EOB 的度数；
⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由. f8incu1。 10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所
成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.JavYmMj 。d3X9Shr 。
11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正
⑶
⑷
F
E
B
A
C
G
D 100°
C
B 1
A
A 1
C 1
D 1
B
D
F E B A
C O
A
B
方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2
的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？
第06讲 实 数
考点·方法·破译 1．平方根与立方根： 若
2x ＝a (a ≥0)则x 叫做
a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝±
a 的平方根为x 叫做a 的算术平方根．
若x 3
＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数p
q
（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式．3
非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析
【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．
【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m ?4与3m ?l 是同一个数的平方根，∴2m ?4 ＋3m ?l ＝0，5m ＝5，m ＝l
．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m
m 的平方根是____． 03____．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是
____．
【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++
=，则a ＋b 等于
( )
A ．－1
B ． 0
C ．1
D ．2
有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2
>0∴a －3≥0 a ≥3
∵24242
a b a -++=
∴24242
a b a -++=，∴20b +=．
∴()2
20
30
b a b +=???
-=??，∴32a b =??=-?，故选C ． 【变式题组】
0l
3b +＝0成立，则a b ＝____．
02
()2
30b -=，则
a
b
的平方根是____． 03．（天津）若x 、y
为实数，且20x ++=，则2009
x y ??
?
??
的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
04．已知x
1
x π
-的值是( )
A ．1
1π
-
B ．1
1π
+
C ．
1
1π
- D ．无法确定
【例3】若a 、b
都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0
）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴
1a b -=??=
1a b -=??=，∴1312a b =??=?，
a ＋
b ＝12 ＋13＝25．
∴a ＋b
的平方根为：5==±． 【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m 、n
＋2）m ＋(3－
)n ＋7＝0求m 、n ． 02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（
123
π+）x ＋（132π
+）y ?4?π＝0，则x ?y ＝____．
【例4】若a
?2的整数部分，b ?1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．
?2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分
?2 ?2
4．∵a ＝2，b ?1＝±3 ，∴b ＝－2或4 ∵a b b a -=-．∴a
01．若3
＋a ，3
?
b ，则a ＋b 的值为____．
02
a ，小数部分为b
a ）·
b ＝____． 演练巩固 反馈提高
0l ．下列说法正确的是( )
A ．－2是(－2)2的算术平方根
B ．3是－9的算术平方根
C ． 16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3
02．设3a =-，b ＝ －2，5
2
c =-
，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a
03．下列各组数中，互为相反数的是( )
A ．－9与81的平方根
B ．4与 364-
C ．4与364
D ．3与9
04．在实数1.414，2-，0.1?5?
，5?
16，π，3.1?4?
，8
3
125
中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个
05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A ．b >a
B ．a b >
C ． －a ＜b
D ．－b >a
06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3
＋1之间的有( )
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝
()2
3．则m ，n 的关系是( )
A . m ＝±n
B .m ＝n
C .m ＝－n
D .m n ≠
08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的
数为( )
A ．－23-
B ．－13-
C ．－2 ＋3
D ．l ＋3
09．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B
之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，
2，3…，19
，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝
a b a b +-，如3※2＝32
32
+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a <7
13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()
()
2
2
a b
a b ab
a b ?????≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．
14．设a 是大于1的实数．若a ，
23a +，21
3
a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后
与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．
16．已知整数x 、y 满足x ＋2
y ＝50，求x 、y ．
17．已知2a ?1的平方根是±3，3a ＋b ?1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的
立方根．
18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，
当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．
19．若b ＝315a - ＋153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn ?2）(3mn
＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x ?y ＋1）2
与533x y --互为相反数，求
22x y +的值．
培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a ?3，则a 值为( )
A ． 2
B ．－1
C ． 1
D ． 0 02．（黄冈竞赛）代数式x ＋1x -＋2x -的最小值是( )
A ．0
B ． 1＋2
C ．1
D ． 2
03．代数式53x +?2的最小值为____．
04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2
＋3b ＋b 3＝21?53，则a ＋b ＝____．
05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足20092010a a a -+-=，则a ? 20092
＝_______．
m 满足关系式 3523199199x y m x y m x y x y +--++-=-+--g ，试确定m 的值．
08．（全国联赛）若a 、b 满足35a b +＝7，S ＝23a b -，求S 的取值范围． 09
．（
北
京
市
初
二
年
级
竞
赛
试
题
）
已
知
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