20-21学年高二上学期期末数学复习题2(含答案解析)

20-21学年高二上学期期末数学复习题2

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.命题“?x0∈(0,+∞)，x03?e x0>1”的否定为()

A. ?x0∈(0,+∞)，x03?e x0<1

B. ?x0∈(0,+∞)，x03?e x0≤1

C. ?x∈(0,+∞)，x3?e x<1

D. ?x∈(0,+∞)，x3?e x≤1

2.已知直线l的斜率是1，且在y轴上的截距是?1，则直线l的方程是()

A. y=?x?1

B. y=?x+1

C. y=x?1

D. y=x+1

3.函数f(x)=x3+x2?x+1在区间[?2,1]上的最小值为()

A. 22

27

B. 2

C. ?1

D. ?4

4.某几何体的三视图如图所示(网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几

何体的体积为()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

5.已知双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0?,?b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个

交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为()”

A. 2

B. 2√2

C. √5+1

2

D. √6

6.已知函数f(x)=1

3

x3?mx2+x+2有两个极值点，则m的取值范围是()

A. (?1,1)

B. [?1,1]

C. (?∞,?1]∪[1,+∞)

D. (?∞,?1)∪(1,+∞)

7.设a∈R，则“a=?1”是“直线ax+y?1=0与直线x+ay+5=0平行”的()

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

8.已知两条不同直线m,n与三个不同平面α,β,γ，则下列命题正确的个数是()

①若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

③若α⊥β，m⊥β，则m//α④若m//α，m⊥n，则n⊥α

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

9.直线l：x+√3y?4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是()

A. 相离

B. 相切

C. 相交不过圆心

D. 相交且过圆心

10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为

直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P?ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P?ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()

A. 8π

B. 12π

C. 20π

D. 24π

11.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(?1)=0,当x>0时，xf′(x)?f(x)<0，则使得

f(x)>0成立的x的取值范围是()

A. (?∞,?1)∪(0,1)

B. (?1,0)∪(1,+∞)

C. (?∞,?1)∪(?1,0)

D. (0,1)∪(1,+∞)

12.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的离心率为√5，从双曲线

C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()

A. x2

2?y2

8

=1 B. x2

4

?y2=1 C. x2

4

?y2

16

=1 D. x2?y2

4

=1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.曲线f(x)=xsin x在点(π

2,π

2

)处的切线方程是______ ．

14.圆心为(2,1)且与直线3x+4y+5=0相切的圆的标准方程是______ ．

15.直线l过点(4,0)且与圆(x?1)2+(y?2)2=25交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的

方程为______．

16.直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p=________，

1 |AF|+1

|BF|

=___________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知命题p：“直线x+y?m=0与圆(x?1)2+y2=1相交”；命题q：“方程mx2?2x+1=

0有实数解”.若“p∨q”为真，“￢q”为真，求实数m的取值范围．

18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2，

(Ⅰ)求C的方程；并求其焦点坐标；

(Ⅱ)过抛物线焦点的直线a交抛物线与A，B两点，且|AB|=8，求直线a的方程．

19.如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩

,AB=2AD．

形，ED⊥平面ABCD，∠ABD=π

6

(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；

(2)若BF=BD=a，求四棱锥A?BDEF的体积．

20.已知圆C：(x?1)2+(y?2)2=2，过点P(2,?1)作圆C的两条切线，切点分别为A，B．

(1)求直线PA，PB的方程；

(2)求过点P的圆C的切线长．

21. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

a 2+

y 2b 2

=1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为√2

2

，点(0,1)是E 上

一点．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1??????? =2F 1A ??????? ，求直线BF 2的方程．

22. 已知函数f(x)=x +alnx ；

(1)当a =?1时，求f(x)的单调区间； (2)求f(x)的极值；

(3)若函数f(x)没有零点，求a 的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：

本题考查命题的否定、特称命题和全称命题，属于基础题；

根据特称命题与全称命题的关系，利用特称命题的否定为全称命题进行求解． 解：命题“，x 03?e x 0>1”的否定为：?x ∈(0,+∞),x 3?e x ≤1；

故选D ．

2.答案：C

解析：

本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．根据斜截式公式写出直线l 的方程即可． 解：直线l 的斜率为k =1，且在y 轴上的截距为?1， 所以直线l 的方程为y =x ?1． 故选C ．

3.答案：C

解析：

本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，比较端点值求出函数的最小值最大值即可．

解：y′=3x 2+2x ?1=(3x ?1)(x +1)， 令y′>0，解得：x 1

3， 令y′<0，解得：?1

3，

∴函数在[?1,1

3)递减，在[?2,?1)和(1

3,1]递增， ∴x =1

3时，取极小值，f(1

3)=22

27

又f(?2)=?1，f(1)=2，

故函数的最小值是?1，

故选C．

4.答案：A

解析：

本题考查了几何体三视图的应用问题，是基础题．

根据几何体的三视图知该几何体是四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．解：根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，

则该几何体的体积为

V

四棱锥P?ABCD =1

3

×1

2

×(1+2)×2×2=2．

故选：A．

5.答案：A

解析：

本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解题根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2?a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e.

解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0)，p=4，

∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，

∴p=2c，c=2，

∵设P(m,n)，由抛物线定义知：

|PF|=m+p

2

=m+2=5，∴m=3．

∴P点的坐标为(3,√24)

∴{a2+b2=4

9

a2

?24

b2

=1，

解得a2=1,b2=3，

则c=2，

所以双曲线的离心率为2．

故选A．

6.答案：D

解析：

本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，属于基础题．

求出函数的导数，问题转化为导函数f′(x)=0有2个不相等的实数根，根据二次函数的性质求出m 的范围即可．

解：f′(x)=x2?2mx+1，

若f(x)在上有两个极值点，

则f′(x)=0有2个不相等的实数根，

∴Δ=4m2?4>0，

解得：m>1或m

故选：D．

7.答案：A

解析：解：当a=?1时，两直线方程分别为?x+y?1=0与直x?y+5=0，满足两直线平行．当a=1时，两直线方程分别为x+y?1=0与直x+y+5=0满足平行，但a=?1不成立，

∴“a=?1”是“直线ax+y?1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件．

故选：A．

结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的条件是解决本题的关键．

8.答案：A

解析：

本题考查命题真假性的判断，主要运用立体几何线面、面面关系进行分析，属于基础题．

根据线面平行、线面垂直、面面垂直等相关定理逐一进行判断即可．

解：对于①，当α⊥β，m⊥α，n//β时，n与m可能相交、异面或平行，故①错；

对于②，当α⊥γ，β⊥γ时，α和β可能平行可能相交，故②错；

对于③，当α⊥β，m⊥β时，m//α或m?α，故③错；

对于④，当m//α，m⊥n时，则n//α或n⊥α或n?α，故④错，

故选：A．

9.答案：B

解析：解：由题意得，

圆C：x2+y2=4的圆心C(0,0)，半径r=2，

则圆心C到直线l：x+√3y?4=0的距离：

d=

=2=r，

1+3

所以直线l与圆C相切，

故选：B．

由圆C的方程求出圆心坐标和半径，由条件和点到直线的距离公式，求出圆C到直线l的距离，可得到答案．

本题考查了直线与圆的位置关系的判断方法：几何法，以及点到直线的距离公式，属于基础题．10.答案：C

解析：

本题考查了球的表面积，由题意，将三棱锥补成长方体，长方体的长为2√3，宽为2，高为2，长方体的体对角线为球的直径，从而得出球的表面积．

解：由题意，将三棱锥补成长方体，长方体的长为√AC2?AB2=√42?22=2√3，宽为2，高为2，

长方体的体对角线为球的直径，即2r =√(2√3)2+22+22=2√5， 解得r =√5，

所以球的表面积为4πr 2=4π×(√5)2=20π． 故选C ．

11.答案：A

解析：因为f(x)是奇函数，所以f(1)=?f(?1)=0令F(x)=f(x)x

，F ′(x)=

xf ′(x)?f(x)

x 2

,当x >0时，

xf′(x)?f(x)<0，所以F(x)=

f(x)x

在(0,+∞)上单调递减，故在(0,1)上F(x)>0,当x ∈(1,+∞)上，

F(x)<0,.因为函数f (x )是奇函数，则F(x)为偶函数，由图像知在(?∞,?1)∪(0,1)上f (x )>0．

12.答案：D

解析：

本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

利用双曲线的离心率以及三角形的面积求解双曲线方程中的a ，b ，即可求解双曲线方程． 解：因为双曲线C ：x 2

a 2?

y 2b 2

=1(a >0,b >0)的离心率为√5，所以e 2=c 2a

2=a 2+b 2a 2

=5，

解得b =2a ， 从C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，可得1

2ab =1，解得a =1，b =2， ∴双曲线方程为：x 2?y 24

=1．

故选：D ．

13.答案：x ?y =0

解析：

本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题． 求导函数，求出切线的斜率，再求出切点的坐标，可得切线方程． 解：∵f(x)=xsinx ， ∴f′(x)=sinx +xcosx ，

∴f′(π

2

)=1，

∵f(π

2)=π

2

，

∴曲线f(x)=xsin x在点(π

2,π

2

)处的切线方程是y?π

2

=x?π

2

，即x?y=0．

故答案为x?y=0．

14.答案：(x?2)2+(y?1)2=9

解析：

利用圆心到直线的距离d=r，求出圆的半径即可．

本题主要考查圆的标准方程的求解，根据条件求出圆的半径是解决本题的关键．

解：圆心到直线的距离d=

√32+42=|15|

5

=3，

即圆的半径r=3，

则圆的标准方程为(x?2)2+(y?1)2=9，

故答案为：(x?2)2+(y?1)2=9

15.答案：x=4或5x?12y?20=0

解析：

由圆的标准方程找出圆心的坐标和半径r，由弦AB的长及圆的半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离为3，分两种情况考虑：当直线l与x轴垂直时，直线x=4满足题意；当直线l 与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，根据直线l过(4,0)及设出的斜率表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于3列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，利用了分类讨论的数学思想，是一道综合性较强的题．本题的答案有两解，注意不要漏解．

解：由圆(x?1)2+(y?2)2=25，得到圆心坐标为(1,2)，半径r=5，

∵|AB|=8，r=5，∴圆心到直线l的距离d=√r2?(|AB|

2

)2=3，

若直线l垂直于x轴，此时直线l方程为x=4，

而圆心(1,2)到直线x=4的距离为3，符合题意；

若直线l与x轴不垂直，设直线l斜率为k，其方程为：y?0=k(x?4)，即kx?y?4k=0，

∴圆心到直线l的距离d=

√k2+1=3，解得：k=5

12

，

此时直线l的方程为：5x?12y?20=0，

综上，所有满足题意的直线l方程为：x=4或5x?12y?20=0．

故答案为x=4或5x?12y?20=0．

16.答案：2；1．

解析：

本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长性质，属于基础题．

由抛物线y2=2px的焦点为F(1,0)，得p

2=1，求出p，再结合焦点弦的性质得1

|AF|

+1

|BF|

=2

p

，即可求

解．

解：根据题意抛物线y2=2px的焦点为F(1,0)，得p

2

=1，∴p=2；

又∵F是抛物线的焦点，

根据焦点弦的性质得1

|AF|+1

|BF|

=2

p

=1．

故答案为2；1．

17.答案：解：∵直线x+y?m=0与圆(x?1)2+y2=1相交，∴(1,0)到x+y?m=0的距离小于1，

即

√2

<1，解得：1?√2

故p：m∈(1?√2,1+√2)；

m=0时，方程mx2?2x+1=0有实数解，

m≠0时，若方程mx2?2x+1=0有实数解，

则△=4?4m≥0，解得：m≤1，

故q：m∈(?∞,1]，

若“p∨q”为真，“￢q”为真，

则p真q假，故m∈(1,1+√2).

解析：本题考查了直线和圆的关系，考查方程根的问题以及复合命题的判断，是一道中档题．分别求出p，q为真时的m的范围，根据p∨q”为真，“￢q”为真，得到p真q假，即可求出m的范围．18.答案：解：(Ⅰ)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=?p

，

2

)=2，解得p=2，

由抛物线的定义可知：|MF|=1?(?p

2

因此，抛物线C的方程为y2=4x；其焦点坐标(1,0)

(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线斜率为k(k≠0)，

方程为y=k(x?1)联立y2=4x得

k2x2?(2k2+4)x+k2=0

x1+x2=2k2+4

，x1x2=1，

k2

|AB|=√1+k2|x1?x2|=8，解得k=?1或1，

所以直线a的方程为y=x?1或者y=?x+1．

解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；求其焦点坐标；(Ⅱ)设出A，B坐标，直线方程，联立直线AB的方程与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可．

,AB=2AD．

19.答案：证明：(1)在平行四边形ABCD中，∠ABD=π

6

由余弦定理得AD2=AB2+BD2?2AB?BD?cosπ

，

6

解得BD=√3AD，

∴BD2+AD2=AB2，∴BD⊥AD，

∴△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°，

又由DE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，得DE⊥BD，

又AD∩DE=D，∴BD⊥平面ADE，

∵BD?平面BDEF，∴平面BDEF⊥平面ADE．

解：(2)当BF=BD=α时，

由四边形BDEF为矩形，得S BDEF=a2，

由(1)得AD⊥DE，AD⊥BD，

又DE∩BD=D，∴AD⊥平面BDEF，即AD为四棱锥A?BDEF的高，

在Rt△ABD中，∠BAD=π

3，BD=α，得AD=√3

3

a，

∴四棱锥A?BDEF的体积V A?BDEF=1

3×√3

3

a×a2=√3

9

a3．

解析：(1)由余弦定理得BD=√3AD，由勾股定理得BD⊥AD，由DE⊥平面ABCD，得DE⊥BD，从而BD⊥平面ADE，由此能证明平面BDEF⊥平面ADE．

(2)当BF=BD=α时，S BDEF=a2，推导出AD为四棱锥A?BDEF的高，由此能求出四棱锥A?BDEF 的体积．

本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查棱锥性质、余弦定理、勾股定理、空间中线线、线面、面面间关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

20.答案：解：(1)依题意得切线斜率存在，设切线的斜率为k，因为切线过点P(2,?1)，

所以切线方程为y+1=k(x?2)，即kx?y?2k?1=0，又圆C ：(x?1)2+(y?2)2=2的圆心坐标为(1,2)，半径为√2，

由点到直线的距离公式得：

2()2

=√2，解得k=7或k=?1，

则所求的切线方程为：x+y?1=0或7x?y?15=0．

即直线PA ，PB 的方程为x+y?1=0，7x?y?15=0．

(2)圆心C到P的距离为：√(2?1)2+(?1?2)2=√10，所以切线长为√(√10)2?(√2)2=2√2．

解析：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．

(1)设切线方程斜率为k，由切线过点P，表示出切线方程，根据圆标准方程找出圆心C坐标与半径r，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出切线方程.(2)通过P到圆心C的距离，圆的半径以及切线长满足勾股定理，求出切线长即可．

21.答案：解：(1)由椭圆的斜率e=c

a =√1?b2

a

=√2

2

，则a=√2b，

由点(0,1)是E上一点得b=1，a=√2，

椭圆E的方程x2

2

+y2=1；

(2)设直线AB的直线方程y=k(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则{y =k(x +1)x 22

+y 2

=1

，整理得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2?2=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=?4k 21+2k 2，①，x 1x 2=2k 2?2

1+2k 2

，② BF 1??????? =2F 1A ??????? ，则(?1?x 2,?y 2)=2(x 1+1,y 1)，则2x 1+x 2=?3，③ 由①③可知：x 1=

?2k 2?31+2k

2

，x 2=3?2k 21+2k 2

，

代入②整理得：2k 2=7， 则B(?1

2,±√14

4

)，

则直线BF 2的斜率k =±√14

6，

∴直线BF 2的方程：y =√146x ?√146或y =?√146x +√14

6

．

解析：(1)由题意的离心率公式，求得a =√2b ，由椭圆过点(0,1)，求得a 和b 的值，求得椭圆方程； (2)将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，求得B 点坐标，求得直线BF 2的斜率，即可求得直线BF 2的方程．

本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．

22.答案：解：(1)a =?1时，f(x)=x ?lnx ，(x >0)，∴f′(x)=1?1

x ，

令f′(x)>0，解得：x >1，令f′(x)<0，解得：0

(2)由已知f(x)=x +alnx ，得函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(x)=1+a

x ， 当a ≥0时，在x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0， ∴函数f(x)的单调区间是(0,+∞)，无递减区间， 故此时f(x)无极值；

当a <0时，函数f(x)与f′(x)的定义域上的情况如下：

此时函数f(x)的极小值为f(?a)=a[ln(?a)?1]，无极大值，

综上：当a≥0时，f(x)无极值；

当a<0时，函数f(x)有极小值为f(?a)=a[ln(?a)?1]，无极大值．

(3)由(2)得：

当a>0时，函数f(x)在(0,+∞)是增函数，

且f(e?1a)=e?1a+alne?1a=e?1a?1<1?1=0，f(1)=1>0，

则f(e?1a)?f(1)<0，此时函数f(x)有零点，不符合题意，

当a=0时，函数f(x)在定义域(0,+∞)上没有零点，

当a<0时，f(?a)是函数f(x)的极小值，也是函数f(x)的最小值，

∴当f(?a)=a[ln(?a)?1]>0，即a>?e时，函数f(x)没有零点，

综上，当?e

解析：(1)将a=?1代入，求出函数f(x)的导数，通过解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；

(2)先求出函数f(x)的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；

(3)通过讨论a的范围结合零点的判定定理，从而求出a的范围．

本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，零点问题，考查分类讨论思想，本题属于中档题．