新北师大版直角三角形的边角关系讲义

第一章直角三角形的边角关系

知识点一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫

做∠A的正弦（sinc），记作sin A，即sin

A a

A

c

∠

==

的对边

斜边

。

把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，

即

b cos

c

A

A

∠

==

的邻边

斜边

；

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tan A，

即

a

tan

b

A

A

A

∠

=

∠

的对边

＝

的邻边

。

特殊角的三角函数值

解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角

形。

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。

直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们

之间存在如下关系：

（1）三边之间关系：2

2

2c

b

a=

+；

（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；

（3）边角之间关系：sinA=

c

a

，cosA=

c

b

，tanA=

b

a

。（其中∠A

的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）

(4)面积公式：)

(

2

1

2

1

为斜边上的高

h

ch

ab

S

ABC

=

=

?

除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素

2、解直角三角形的基本类型和方法：

已知条件解法

一边及

一锐角直角边a及锐角

A

B＝90°-A，b＝a·tanA，c=

sin

a

A

斜边c及锐角A B＝90°-A，a＝c·sinA，b＝c·cosA

两边两条直角边a和b

，B＝90°-A，

直角边a和斜边c

sinA=

a

c

，B＝90°-A，

注意：

（1）在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：

①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函

数；

②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函

数；

③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：

一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；

二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计

算。

（2）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，

中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、

面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转

化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），

求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。

在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来

解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通

过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的

方法，实现问题的有机转化

3、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)

tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

（2）平方关系

1cos sin 22=+A A

（3）倒数关系

tanA ?tan(90°—A)=1

坡度的定义及表示

我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：l

h

a =tan 注意：

（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；

（2）若坡角为a ，坡度为a l

h

i tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。

1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）

根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。

、

正弦、余弦的增减性：

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。正切、余切的增减性：

当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，

锐角三角函数计算的实际应用（难点）

仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。

1、方向角的定义

方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。

其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么，G、E可以说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在O的西南方向，E在O的东南方向。

3、解直角三角形的实际应用（难点）

在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。

一般有以下几个步骤：

1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；

2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；

3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；

4.确定合适的边角关系，细心推理计算。

【巩固训练】

1.（2014年广东汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA =，则cosB的值是（）

A ．B．C．D．

2．(2014年天津市) cos60°的值等于（）

A ．B．C ．D ．3．（2014?浙江湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA =，则BC的长是（）

A．2 B．8C．2D．4

4.（2014?扬州）已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6

5、（2014?广西贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．

6、（2013?孝感）式子的值

是（）

A．B ．0C．D．2 7、（2013?鄂州）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2

，则tanB=（）

A ．

B ．

C ．

D ．

8、(2013年深圳市)如图3，已知321////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则 sin 的值是（ ）

A.

31 B.176 C.55 D.1010

9、（2013杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，现给出下列结论：①sinA=

；②cosB= ；③tanA=

；④tanB=

，其中正确的结论是

（只需填上正确结论的序号）

10、（2013?攀枝花）如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于点E ，cosA=，BE=4，则tan∠DBE 的值是 ．

11.（2012山东省）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）

A ．不变

B ．缩小为原来的13

C ．扩大为原来的3倍

D ．不能确定

12、（2013鞍山）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC 的长 ． 13 （2012?宁波）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =6，cosB =，则BC 的长为（ ）

A ．4

B ．2

C ．

D ．

14、（2013甘肃兰州）△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）

A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b

15．（2012内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为

A ．1

2

B ．

5

5

C．

10

10

D．

25

5

16．（2012?济宁）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=．

17.（2012衡阳）观察下列等式

①sin30°=cos60°=

②sin45°=cos=45°=

③sin60°=cos30°=

根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=．18．（2012攀枝花）计算：．19．（2012深圳）计算：ο

45

cos

8

)1

3

(

)

2

1

(

|4|0

1-

-

-

+-

20．（2012?德阳）计算：．

21．（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是

AC上一点，若tan∠DBA=

5

1

，则AD的长为

C

B

A

图4

（A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1

22．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）

(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米

(C) m ·cos α米 (D)

α

tan m

米

23．（2010湖北省咸宁）如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行

直线间的

距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直 线上，则sin α= ．

24、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列线段的比中不等

于sinA 的是

A ．

B ．

C ．

D ．

25、（2012769?≈ （精确到0.01）．

26、（2013年陕西）.比较8cos31° 35.（填“＞”、“=”若“＜”）

A

B

C

m

α

(第8题图)

A B

C

D α

A （第14题）

1l 3l 2

l

4l

27．（2014?陕西）用科学计算器计算：+3tan

56°≈（结果精确到0.01）

28．（2013湖北省鄂州市，7，3分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC 于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）

A．B．C．D．29、如图，飞机A在目标B的正上方，地面C处测得飞机的仰角为α，飞机测得地面C处的俯角为β，飞行高度为h，AC间的距离为s，从这4个已知量中任取2个为一组共有6组，那么可以求出BC间距离的有（)组A 、3 B 、4 C 、5 D、 6 (2014江苏苏州)如图，在△A B C中，A B＝A C＝5，B C＝8．若

，则t a n∠B P C＝________．

解直角三角形在生活和生产中有广泛的应用，在测量高度、距离角度确定方案时都常用到解直角三角形，解这类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，常通过做辅助线构造直角三角形来解决问题。

类型一、坡度坡角问题

1、（2014?德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）

A．4米B．6米C．12米D．24米2．（2013·聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）

A．12 B．4米C．5米D．6米3 （2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【】

A.(63)

+米 B.12米 C.(423)

+米D．10米

4．（2013河南省）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角68

BAE?

∠=，新坝体的高为DE，背水坡坡角60

DCE

∠=?。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.

(结果精确到0.1米，参考数据：

华师版数学九年级上册解码专训：解直角三角形及一般应用(1)

华师版数学九年级上册解码专训 解直角三角形及一般应用 【知识与技能】 1.使学生理解解直角三角形的意义； 2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形. 【过程与方法】 让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力. 【情感态度】 通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想. 【教学重点】 用直角三角形的三个关系式解直角三角形. 【教学难点】 用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题. 一、情境导入，初步认识 前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样. 例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值. 二、思考探究，获取新知 把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了. 例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？ 例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？

学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程. 通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？ 学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究. 问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？ 学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余. 【探索新知】 问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？ 例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A 处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）. 解：在Rt△ABC中， ∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB, ∴BC=AB·tan∠CAB =2000×tan50°≈2384（米）. ∵AB AC =cos50°, ∴AC= 2000 5050 AB cos cos = ?? ≈3111（米）. 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 问：AC还可以用哪种方法求？ 学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结

华师大版解直角三角形教案

第19章 解直角三角形 第1课时 §19.1 测 量 【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解 决生活中某些测量问题。 【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法 【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入 1．测量操场旗杆有多高？ 如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。 图19.1.1 2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试 如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。） 实际上，我们利用图19.1.2（1）中 已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角 图19.1.2

形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。 三、归纳小结： 两种测量的方法： 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长； 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。 四、课堂练习 1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。 2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。 五．课后作业P99（习题19.1） 第2课时§19.2勾股定理（1） 【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理； 2．运用勾股定理进行简单的计算。

华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》分课时练习题及答案

数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题 1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( ) A. 5 米 B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米 2. 如图，李光用长为 3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为() A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m 3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为() A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米 4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()

A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米． 6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米． 7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计) 8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝ ________米． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．

华师大版-数学-九年级上册-25.3 解直角三角形-4 同步作业

华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第三节 25.3 解直角三角形—4 作业 一、积累·整合 1. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村 庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带， 该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。 3. 某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A 的 俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为 4 米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。 A B H C

4. 在?ABC 中，∠=?=C A 901，tan ，那么cotB 等于（ ） A B C D .... 32133 5． 已知α为锐角，下列结论： <>+=11sin cos αα <2>如果α>?45，那么sin cos αα> <3>如果cos α> 1 2 ，那么α(sin )sin αα-=-112 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. （1）计算：sin cos cot tan tan 3060456030?+?-?-??? （2）计算：22459044211 (cos sin )()()?-?+-?+--π 二、拓展·应用 7． 如图1，在?ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。 （1）求证：AC ＝BD （2）若sinC BC = =12 13 12，，求AD 的长。 图1 8. 如图2，已知?ABC 中∠=∠C Rt ，AC m BAC =∠=，α，求?ABC 的面积（用α的三角函数及m 表示） 图2 9. 如图3，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC 上的一点B ，取∠=?=ABD BD 145500，米，∠=?D 55。要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A. 50055sin ?米 B. 50055cos ?米

北师大版数学中考复习《解直角三角形》

《解直角三角形》 一、知识网络结构图 二、考点 考点1、锐角三角函数的定义 考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 考点3、直角三角形的边角关系 考点4、解直角三角形的实际应用 三、复习课时安排：三课时 四、三年中考 楚雄州2010年中考（20．本小题8分）如图，河流的两岸PQ 、MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN = 35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(结果保留两个有效数字)．（参考数据： sin35°≈ 0.57, cos35°≈ 0.82, tan35°≈ 0.70 sin 70°≈ 0.94, cos70°≈ 0.34, tan70°≈ 2.75 ） 2011年大理、楚雄、临沧、怒江、迪庆、丽江中考（20． 7分）小杨同学为了测量一铁塔的高度CD ，如图，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为?30，再向塔的方向直行40米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为?60，请你帮助小杨计算出这座铁塔的高度．（小杨的身高忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 732.13,414.12≈≈） 2012云南省（20 ，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为o 30 ，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米 ， 16CD =米 ，求荷塘宽BD 为多少米？（取31.73≈ ,结果保留整数） 直角三角形中 的边角关系 锐角三 角函数 解直角三角形 实际问题 F C ?30 ?60 A B D

课时1：考点相关概念过关 一、 知识点清单 考点1、锐角三角函数的定义：Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦 sin α＝ . ∠α的余弦 cos α＝ . ∠α的正切 tan α＝ 考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 （1）特殊角的三角函数值 （2）简单的三角函数关系式 同角三角函数之间的关系： sin 2α＋cos 2α＝ ； tan α＝ . 互余两角的三角函数关系式：(α为锐角) s in α＝cos ； cos α＝sin . 函数的增减性：(0°<α<90°) (1)sin α，tan α的值都随α增大而 ； (2)cos α都随α增大而 考点3、直角三角形的边角关系 直角三角形中的边角关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 则： (1)边与边的关系： ； (2)角与角的关系： ； (3)边与角的关系： (4)三角形面积公式：S △＝ . 考点4、解直角三角形的实际应用 1.仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. 2.坡角、坡度：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即i= ；坡面与水平面的夹角叫坡角，记作α。则i= l h = . 3.方向角： 若A 点位于O 点的北偏东30°方向，则O 位于A 点的 方向.

九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版

九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 解直角三角形的总复习 二. 教学目标： 1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。 2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。 3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。 三. 教学过程： （一）知识的回顾： 1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ?中，∠=?C 90， 则sin cos tan cot A BC A AC A BC A AC = === ，，， 注意的问题： （1）锐角α，应满足0101<<<

答案：A （2）在?ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在?ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==11 3 ，cos 答案：B （3）在四边形ABCD 中，∠=?∠=∠=?==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ） 点拨：延长BA 、CD 交于E ，得Rt EAD ?和Rt EBC ? ∠=?∴∠=?-∠-∠-∠=?A C A B D 13536045， ∴?BEC 和?EAD 均为等腰直角三角形 S S EBC EAD ??= ??==??=122323612 222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形??624 答案：C （4）已知圆O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB AB ==38，，则 tan ∠OPA 的值为（ ） A. 3 B. 3 7 C. 13或73 D. 3或 37

华师大版解直角三角形教案

华师大版解直角三角形 教案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-

解直角三角形 测量 教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方 法，初步接触直角三角形的边角关系。 教学重点：探索测量距离的几种方法。 教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学过程： 一。复习引入： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗 二。新课探究： 例1. 书.试一试. 如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻度尺量出纸上B 1C 1 的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方 法吗 解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1 ∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m. 说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。 例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=；此人的臂长为0.6m 。 （1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。 （a ） （b ） （c ） O D C B A F E D C B A F E B C D A E D C B A 1 1 1 C B A

华东师大版解直角三角形说课案教案

全国中学数学教学展评活动说课案 教材：九年义务教育三年制新教材（华东师大版） 课题: 八年级（下）§《解直角三角形》

§解直角三角形 一、教材分析： 数学是一门来源于生活，又应用于生活的学科。生活实际中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。华东师大版新教材将解直角三角形的学习安排在了八年级下册第十九章中。首先从测量入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的：如测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度的计算等问题。在呈现方式上更突出了实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际。同时还有利于数形结合，即把图形语言、文字语言与数学符号语言有机地结合起来。 而解直角三角形是继锐角三角函数后本章的第四节，一共4个课时。主要 研究了如何利用解直角三角形的有关知识解决与直角三角形有关的实际问题。 比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。从这些问题中，我们要理解 解直角三角形的方法，了解方向角、仰角、俯角、坡度等相关名词的意义，掌 握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实 际问题的最终目的。 二、教学目标： 由于本课为第一课时，主要使学生理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形，同时解决与之相关的实际问题。所以三维目标的知识与技能目标主要体现在： 〈一〉知识与技能目标： 1、弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股 定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题。本课着重解决方向角 问题。 3、通过变成题的训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用 数学的乐趣。 〈二〉过程与方法目标： 作为一名数学教师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想，数学意识，所以在过程与方法目标上，体现在让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，要求学生善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识。 〈三〉情感目标： 通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选式的诀窍，可简便计算，从而体会探索，发现科学的奥秘和意义。 〈四〉教学重点： 使学生学会将简单的实际问题转化为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式解决，提高他们分析和解决实际问题的能力是本课的重点。

华师大最新版《解直角三角形》全章节教案

第25章 解直角三角形 第1课时 25.1测量 教学目标：1。知识与技能：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几 种方法，初步接触直角三角形的边角关系。 2.过程与方法： 通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力。 在观察、操作、培养等过程中，发展学生的推理能力。 3.情感态度与价值观：通过运用相似及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，唤起学生学习后续内容的积极性。 教学重点：探索测量距离的几种方法。 教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学设想： 1.课型：新授课 2.教学思路：直观感知-操作确认-合情说理-应用提高． 教学过程： 一。复习引入： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？ 二。新课探究： 例1. 书.P.86试一试. 如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻 度尺量出纸上B 1C 1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计 算的方法吗？ 解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1 ∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m. 说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。 例 2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m 。 （1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。 E C B A 1 1 1 C B A

北师大版1.4 解直角三角形 教案

第一章直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形 一、知识点 1. 直角三角形的含义. 2. 求直角三角形的未知元素. 二、教学目标 知识与技能： 初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素. 过程与方法： 1. 在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化. 2. 解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力. 情感态度与价值观： 在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯. 三、重点与难点 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素. 难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题. 四、知识回顾(出示幻灯片2) 1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语） 2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？ 讨论复习： RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？ 总结：直角三角形的边角关系 （1）两锐角互余：∠A+∠B=90° （2）三边满足勾股定理：a2+b2=c2 （3）边与角的关系：

4cm 450 300 B C

九年级数学下册 1_4 解直角三角形教案1 (新版)北师大版

1 1.4 解直角三角形 1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点) 2．选择适当的关系式解直角三角 形．(难点) 一、情境导入 如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC 上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D 进行了测量，分别测得∠DAC ＝60°，∠DBC ＝75°.又已知AB ＝100米，根据以上条件你能求出观景台D 到徒骇河西岸AC 的距离吗？ 二、合作探究 探究点：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或 角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别为a 、b 、c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝6，b ＝6，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°， a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，a c ＝ cos B ，即c ＝a cos B ＝363 2 ＝243，∴b ＝1 2c ＝1 2×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝6，b ＝6，∴c ＝62，∠A ＝∠B ＝45°. 方法总结：解直角三角形时应求出所有 未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第6题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝ 122，试求CD 的长． 解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可． 解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122× 2 2 ＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠ EDF ＝60°，∴MD ＝ BM tan60° ＝43，∴CD ＝ CM －MD ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题 【类型三】 构造直角三角形解决面积问题 在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝2，

华东师大版解直角三角形单元测试题

) F E H G =1 ) C D ) 60° i= 19) ) ) 1 填空题 时 sin C. sin )米2 A. sin G B. sin G C. sin G 也5 2 A. si n 解直角三角形测试题 5. si n65。与 A. sin65 ° cos26°

北师大版解直角三角形中考复习教案

解直角三角形 复习目标： 1.熟记特殊角（30°，45，60）的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答。 2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，提高应用知识的能力 教学重难点 重点：理解三角函数的概念、会计算含有30°，45°，60°角的三角函数值的问题，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 难点：理解三角函数的意义 （一）复习导入：我们知道直角三角形是一种非常重要的数学图形，在解决几何问题中发挥至关重要的作用。学习中你能熟练应用直角三角形的边角关系解决问题吗？这节课我对同学们的表现拭目以待。 （二）展示目标：下面同学们看下我们这节课要达到的复习目标。老师同时板书课题 （三）教学过程 下面就各知识点检查一下同学们的复习情况。 活动一：师生共同回忆直角三角形的边角关系： 直角三角形中的边角关系 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边. 1.三边之间的关系：________. 2.两锐角之间的关系：_____________. 3.边角之间的关系：sinA= ，sinB= ，cosA= cosB= ，tanA= ，tanB= 由此我们发现同角及互余两个锐角的三角函数值有什么关系？ 生1：相同的两个锐角的三角函数有以下两种关系： 22sin (1)tan (2)sin cos 1cos A A A A A =+= 生2：互余的两个锐角三角函数有以下关系： (1)sin cos (2)cos sin (3)tan tan 1A B A B A B ==?= 师：以上两位同学回答的很好。解直角三角形依据条件有哪两种类型？ 生：可能已知两边或一边一角。 师：我们称为知2求3，那么条件中必须有一个什么样的条件？ 生：必须有一条边是已知的。 师：同学们回答的很好。我们可以总结为：知2求3，必有一边。所以我们解直角三角形就是结合勾股定理及三角函数的定义求出未知元素的过程。 活动二：特殊角的三角函数值 师：特殊角的三角函数值你还记得吗？下面请同学回答一下。

九年级数学上册《解直角三角形》教案华东师大版

解直角三角形 解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础． 解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算求未知的边长、角度和面积等的过程．要学好解直角三角形及应用，必须理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题．现把直角三角形的解法及应用简析如下： 1、明确解直角三角形的依据和思路 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则解直角三角形的主要依据是： （1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝cotB ＝b a ，cotA ＝tanB ＝a b ． （2）两锐角之间的关系：A ＋B ＝90°． （3）三条边之间的关系： ． （4）三角形面积：． （5）同角三角函数的关系： 平方关系： ； 商数关系：A A A cos sin tan =，A A A sin cos cot =；倒数关系：1cot tan =A A 以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解． 2、解直角三角形的基本类型和方法 在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？

解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边．基本类型和解法归纳如下： 已知条件 解法 一边及 一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°－A ，b ＝a ·cotA ，A a c sin = 斜边c 及锐角A B ＝90°－A ，a ＝c ·sinA ，b ＝c ·cosA 两边 两条直角边a 和b 22b a c +=，B ＝90°－A ，22a c b -= 直角边a 和斜边c c a A =sin ，B ＝90°－A ，22a c b -= 例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A ＝α，AE ＝1，求AB 的长． [分析一]：所求AB 是Rt △ABC 的斜边，但在Rt △ABC 中只知一个锐角A ＝α，暂不可解．而在Rt △ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt △ADE 入手． [解法一]：在Rt △ADE 中，∵AD AE A = cos ，且∠A ＝α，AE ＝1， ， 在Rt △ADC 中， ， 在Rt △ABC 中，．

华师版数学九年级上册解码专训：解直角三角形及方位角的应用

华师版数学九年级上册解码专训 23.2.1解直角三角形及方位角的应用 教学目标 【知识与技能】 在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心. 重点难点 【重点】 直角三角形的解法. 【难点】 灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 、教学过程 一、复习回顾 师:你还记得勾股定理的内容吗? 生:记得. 学生叙述勾股定理的内容. 师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢? 生:两锐角互余. 师:直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么关系? 生:30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 师:很好!

二、共同探究,获取新知 1.概念. 师:由sinA=,你能得到哪些公式? 生甲:a=c·sinA. 生乙:c=. 师:我们还学习了余弦函数和正切函数,也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同的特点,就是式子的右端至少有一条边,为什么会是这样的呢? 学生思考. 生:因为左边的也是边,根据右边边与角的关系计算出来的应是长度. 师:对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角,我们现在看看解直角三角形的概念. 教师板书: 在直角三角形中,由已知的边角关系,求出未知的边与角,叫做解直角三角形. 2.练习 教师多媒体课件出示: (1)如图(1)和(2),根据图中的数据解直角三角形; 师:图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型,你怎样解决这个问题呢? 生1:根据cos60°=,得到AB=,然后把AC边的长和60°角的余弦值代入,求出AB边的长,再用勾股定理求出BC边的长,∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到. 生2:先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°,然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半,求出AB的值,再由sin60°=得到BC=AB·sin60°,从而得到BC边的长. 师:你们回答得都对!还有没有其他的方法了?

华师大版-数学-九年级上册- 解直角三角形 典型例题

《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =? ==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三角形 ABC ． 分析 “解三角形ABC ”就是求出 的全部未知元素．本题CD 不是 的边， 所以应先从Rt 入手．

解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求： 例5如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）． 分析分别在两个直角三角形ADC 和BDC中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．

北师大版《解直角三角形》测试题

北师大版《解直角三角形》测试题 姓名 得分 . 一、选择题（每题3分，共30分） 01、在正方形网格中，∠α的位置如图，则Sinα= . A 、12 B 、22 C 、32 D 、33 02、如图，点P （3，4）是∠α的边OA 上的一点，则Sinα= . A 、35 B 、45 C 、34 D 、43 03、某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥，一汽车在坡度为300的笔直高架桥点A 开始爬行，行 驶了150米到达B 点，这时汽车离地面高度为 米. A 、300 B 、150 C 、75 D 、50 04、小琳家在门前O 处，有一条东西走向的公路，经测得有一水塔A 在她家北偏东 600的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB = 米. A 、250 B 、250 3 C 、25033 D 、250 2 05、把Rt △ABC 的各边都扩大3倍得Rt △A /B /C /，那么锐角A 、A / 的余弦值的关系是 . A 、cosA = cosA / B 、cosA = 3cosA / C 、3cosA = cosA / D 、不能确定 06、已知锐角A 的cosA≤12 ，则锐角A 的取值范围是 . A 、0＜A≤600 B 、600≤A ＜900 C 、0＜A≤300 D 、300≤A ＜900 07、王英从A 地向北偏西600方向走100米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时王英离A 地有 米. A 、50 3 B 、100 C 、150 D 、100 3 08、计算：2cos450 = . A 、 22 B 、2 C 、24 D 、2 2 09、在Rt △ABC 中，∠C = 900，tanA = 13 ，则SinB = . A 、1010 B 、23 C 、724 D 、31010 10、在Rt △ABC 中，∠C = 900，CD 是斜边AB 上的中线，CD = 2，AC = 3，则 SinB = . A 、23 B 、32 C 、34 D 、43

华师大版九上25.3《解直角三角形》word教学设计

课题25?3. 1解直角三角形（二） 执笔： __________ 时间：____________ 一.教学目标 1巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。 2、学会运用三角函数解直角三角形。 3、掌握解直角三角形的几种情况。 4、学习有关方位角的实际问题。 二.教学重难点 重点：掌握有关方位角的实际问题。 难点：运用三角函数解直角三角形。 三.教法与建议 1.用1个课时完成教学 2?自主阅读，启发点拨，合作探究。 3?引导学生将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，即把实际问题转 化为解直角三角形的问题来解决。 四.学法与要求 1.回顾上一章学过的有关三角函数的知识； 2.完成本课时诊断性评价，预习课本第94 —95页知识，初步研究本课时文稿各活动内容。五?教、学、练、评活动程序 【活动1】实施诊断性评价，导入新课 1.解直角三角形的理论依据有哪些？ 2.在Rt△ ABC中，/ C = 90°，由下列条件解直角三角形: (1) 已知c= 30, / A = 60°，求a； (2) 已知a= 20, c= 20 2，求/ B; 3、方位角问题 方位角是指沿方向线与目标方向所成的小于90 °的角，称为方位角或方向角 【活动2】合作探究，运用新知 1、如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）

2、探(1 )解直角三角形的类型有几种? (2 )已知两角能解直角三角形吗？ (3)解直角三角形最少的条件有多少? 3、注意：1)在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，可利用三角函数来求另外的边. (2)在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效 数字，角度精确到T ? 变式训练：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在 30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离?(画出图形后计算，精确到0.1海里) 活动3形成性评价 ㈠选择题 2、身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长，线与地面的夹角如下表(假设 风筝线是直的)，则三人所放的风筝中 A处看灯塔Q在海船的北偏东 1、某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80 ° 房屋朝南的窗子高AB=1.8m ;要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC , ?使午间光线不能直接射入室内(如图所示)，那么挡光板 AC的宽度应为( (A) 1.8tan80 °( B) ) 1.8cos80 m (C) 1.8 sin 80 m (D) 1.8cot80 m