第四讲 绝对值函数和绝对值不等式

绝对值函数和绝对值不等式

典型例题：

【过关习题4】

1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a ，b 是实数，则“|a |≤1且|b |≤1”是“|a +b |+|a －b |≤2”的 .

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

2.【2018年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a >0，函数f (x )=|x 2+|x －a |－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a = .

3.【2018年温州二模，17，，☆☆☆】已知f (x )=x 2－ax ，|f (f (x ))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a 的最大值为 .

4.【2017年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f (x )=|x 2+ax +b |在区间[0，c ]内的最大值为M (a ，b ∈R ，c >0为常数)且存在实数a ，b ，使得M 取最小值2，则a +b +c = .

5.【☆☆】设正实数x ，y ，则|x －y |+1

x

+y 2的最小值为 .

6.【2017年杭州二模，10，☆☆】设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R)的两个零点为x 1、x 2，若|x 1|+|x 2|≤2，则 .

A .|a |≥1

B .|b |≤1

C .|a +2b |≥2

D .|a +2b |≤2

7.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a ，b ∈R ，a ≠1，则|a +b |+????1

a +1－

b 的最小值为 . 8.【2017年浙江绍兴市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知x ，y ∈R ，则 . A .若|x 2+y |+|x －y 2|≤1，则????x +122+????y －122≤3

2 B .若|x 2－y |+|x －y 2|≤1，则????x －122+????y －122≤32 C .若|x +y 2|+|x 2－y |≤1，则????x +122+????y +122≤32 D .若|x +y 2|+|x 2+y |≤1，则????x －122+????y +122≤32

9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知实数a 、b 、c ，下面四个选项中正确的是 . A .若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 B .若|a 2+b +c |+|a 2+b －c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 C .若|a +b +c 2|+|a +b －c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100 D .若|a 2+b +c |+|a +b 2－c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

10.【2017年杭州高级中学最后一模，17，☆☆】设实数x ，y ，z 满足???|x +2y －3z |≤6，

|x －2y +3z |≤6，

|x －2y －3z |≤6，|x +2y +3z |≤6，

则

|x |+|y |+|z |的最大值为 .

11.【2017年浙江名校协作体，7，☆】设f (x )=|2x －1|，若f (x )≥|a +1|－|2a －1|

|a |对任意的a

≠0恒成立，则x 的取值范围为 .

12.【2016年浙江样卷，☆】已知f (x )=ax 2+bx +c ，a 、b 、c ∈R ，且a ≠0，记M (a ，b ，c )为|f (x )|在[0，1]上的最大值，则

a +

b +2c

M (a ，b ，c )

的最大值是 .

13.【☆☆】设函数f (x )=|x 2+ax +b |，若对任意的实数a 、b ，总存在x 0∈[0，4]使得f (x 0)≥m 成立，则实数m 的取值范围是 .

14.【2017年浙江缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数f (x )=－x 3－3x 2+x ，记M (a ，b )为函数g (x )=|ax +b －f (x )|(a >0，b ∈R)在[－2，0]上的最大值，则M (a ，b )的最小值为 . 15.【2017年杭州一模，9，☆☆☆】设函数f (x )=x 2+ax +b ，记M 为函数y =|f (x )|在[－1，1]上的最大值，N 为|a |+|b |的最大值，则 . A .若M =13，则N =3 B .若M =1

2，则N =3

C .若M =2，则N =3

D .若M =3，则N =3

16.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数f (x )=|ax +2x +b |，若对任意的x ∈[0，4]，函数f (x )≤

1

2恒成立，则a +2b = .

17.【浙江省绍兴市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数x 都有|a cos 2x +b sin x +c |≤1恒成立，则|a sin x +b |的最大值为 .

18.【浙江省嘉兴市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】

设max{a ，b }=?

??a (a ≥b )b (a

－2x +n |

的最小值为 ．

19.【☆☆】已知f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，若对任意的|x |≤1，都有|f (x )|≤1，则|a |+|b |+|c |的最大值为 .

20.【2014年湖南高考，☆☆】在直角平面坐标系xOy 中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|=1，则|OA →+OB →+OD →

|的最大值为 .

21.【浙江省2017年预赛，10，☆☆☆】已知f (x )=???－2x ， x <0，

x 2－1，x ≥0，

若方程f (x )+21－x 2+|f (x )

－21－x 2|－2ax －4=0有三个不等的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1

22.【2006年辽宁，☆】已知函数f (x )=12(sin x +cos x )－1

2|sin x －cos x |，则f (x )的值域为 .

23.【2008年江西，☆】函数y =tan x +sin x －|tan x －sin x |在区间????

π2，3π2内的图像是 .

A

B

C

D

24.【浙江省绍兴市2015年高三教学质量调测，15，☆☆☆】当且仅当x ∈(a ，b )∪(c ，d )(b ≤c )时，函数f (x )=2x 2+x +2的图像在函数g (x )=|2x +1|+|x －t |的下方，则b －a+d －c 的取值范围为 .

25.【2016高考浙江文数，☆☆】已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·

e |+|b ·e |的最大值是______． 26.【2014年四川预赛，9，☆☆】已知a 、b 为实数，对任何满足0≤x ≤1的实数x ，都有|ax +b |≤1成立，则|20a +14b |+|20a －14b |的最大值是 .

27.【2014年黑龙江预赛，14，☆☆】已知f (x )=???－x 2

+x ，x ≤1，

log 12

x ， x >1，g (x )=|x －k |+|x －1|，若对任

意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为 .

28.【2014年全国联赛，3，☆☆】若函数f (x )=x 2+a |x －1|在[0，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 .

29.【2015年湖北预赛，1，☆☆】若对任意实数x ，|x +a |+|x +1|≤2a 恒成立，则实数a 的最小值为 .

30.【2016年山东预赛，1，☆☆☆】方程x =|x －|x －6||的解为 .

31.【2016年陕西预赛，12，☆☆】设x ∈R ，则函数f (x )=|2x －1|+|3x －2|+|4x －3|+|5x －4|的最小值为 .

32.【2016年浙江预赛，11，☆☆☆】设a ∈R ，方程||x －a |－a |=2恰有三个不同的实数根，则a = .

33. 【1982年全国，4，☆☆】由曲线|x －1|+|y －1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 .

A .1

B .2

C .π

D .4

34.【2017年江苏预赛，5，，☆☆】定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1.若函数y =|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值和最小值的差为 . 35.【2018年浙江预赛，8，☆】设f (x )=|x +1|+|x |－|x －2|，则f (f (x ))+1=0有 个不同的解.

36.【2015年全国，6，☆☆】在平面直角坐标系xOy 中，点集

K ={(x ，y )|(|x |+3|y |－6)(3|x |+|y |－6)≤0}

所对应的平面区域的面积为 .

37.【2008年湖南预赛，9，☆☆☆】在平行直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为d (P ，Q )=|x 1－x 2|+|y 1－y 2|.若C (x ，y )到点A (1，3)、B (6，9)的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足0≤x ≤10，0≤y ≤10，则所有满足条件点C 的轨迹的长度之和为 .

38.【2014年湖北预赛，4，☆☆】在直角坐标系中，曲线|x －1|+|x+1|+|y |=3围成的图形的面积是 .

39.【2017年金华十校期末调研考试，9，☆☆】设x 、y ∈R ，下列不等式成立的是 . A .1+|x +y |+|xy |≥|x |+|y | B .1+2|x +y |≥|x |+|y | C .1+2|xy |≥|x |+|y | D .|x +y |+2|xy |≥|x |+|y |

40.【2017年绍兴市高三教学质量调测，9，☆☆☆】记min{x ，y }=???y ，x ≥y ，x ，x

设f (x )=min{x 2，x 3}，则 .

A .存在t >0，|f (t )+f (－t )|>f (t )－f (－t )

B .存在t >0，|f (t )－f (－t )|≥f (t )－f (－t )

C .存在t >0，|f (1+t )+f (1－t )|>f (1+t )+f (1－t )

D .存在t >0，|f (1+t )－f (1－t )|>f (1+t )－f (1－t )

41.【浙江省2016届高三下学期第二次五校联考(理)，18，☆☆☆】已知函数f (x )=ax 2+bx +c ，

g(x)=c|x|+bx+a，对任意x∈[－1，1]，|f (x)|≤1 2.

(I)求|f (2)|的取值范围；

(II)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有|g(x)|≤1

42.【浙江省嘉兴市2016届高三期末考试，20，☆☆☆】已知函数f (x)=－x2+2bx+c，，设函数g(x)=|f (x)|在区间[－1，1]上的最大值为M．

(I)若b=2，试求出M；

(II)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值．

43.【2016四川预赛，16，☆☆☆☆】已知a为实数，函数f (x)=|x2－ax|－ln x，请讨论函数

f (x)的单调性.