高中数学概率统计练习题

2015 年 12 月 31 日期末复习题（二）
一．选择题（共 12 小题） 1．某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5．现用分层抽样 方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 16 件，则此样本的容量为（ ）
b5E2RGbCAP
A．40 B．80 C．160 D．320 2．某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从 5000 名参加今年大联考的 学生中抽取了 250 名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（ ）
p1EanqFDPw
A．5000 名学生是总体 B．250 名学生是总体的一个样本 C．样本容量是 250 D．每一名学生是个体 3．（2015?抚顺模拟）某校三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个 班编号，依次为 1 到 24，现用系统抽样方法．抽取 4 个班进行调查，若抽到的最小编号为 3， 则抽取最大编号为（ ）DXDiTa9E3d A．15 B．18 C．21 D．22 4．一个频率分布表（样本容量为 30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60） 上的频率为 0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（ ）RTCrpUDGiT A．15 B．16 C．17 D．19 5．如图是一容量为 100 的样本的重量的 频率分布直方图，则由图可估计样本重量 的中位数为（ ） A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
6．某公司在 2014 年上半年的收入 x（单位：万元）与月支出 y（单位：万元）的统计资料如 下表所示： 月份 1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份 收入 x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 支出 Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 根据统计资料，则（ ） A．月收入的中位数是 15，x 与 y 有正线性相关关系 B．月收入的中位数是 17，x 与 y 有负线性相关关系
1 / 21

C．月收入的中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系 D．月收入的中位数是 16，x 与 y 有负线性相关关系 7．下列事件是随机事件的是（ ） （1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．（2）异性电荷相互吸引 （3）在标准大气压下，水在 1℃时结冰（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数． A．（1） （2） B．（2） （3） C．（3） （4） D．（1） （4） 8．从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么对立的两个事 件是（ ） A．至少有 1 个白球，至少有 1 个红球 B．至少有 1 个白球，都是红球 C．恰有 1 个白球，恰有 2 个白球 D．至少有 1 个白球，都是白球 9．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 2011 次，那么第 2010 次出现正面朝上的概率是 （ ） A． B． C． D．
10．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黒球的概率是（ ）5PCzVD7HxA A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7 11．已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品 的概率为（ ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 12．函数 （ f x） =x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点 x0，使 （ f x 0） ≤0 的概率是 （
jLBHrnAILg
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共 4 小题） 13．在棱长为 2 的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于 1 的概 率 ． 14．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为 。 15．已知盒子中有 5 个白球、3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从盒子中随机地取出 2 个球，则其中至少有 1 个黑球的概率是 ．xHAQX74J0X 16．已知下列表格所示的数据的回归直线方程为 x y 2 251 3 254 4 257 5 262 6 266 ，则 a 的值为 ．
三．解答题（共 6 小题） 17．一个单位有职工 160 人，其中业务员 120 人，管理人员 16 人，后勤服务人员 24 人．为了 了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本，用分层抽样的方法写出抽取样本的 过程．LDAYtRyKfE
2 / 21

18．已知向量 =（2，1）， =（x，y） （Ⅰ）若 x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，﹣1，2}，求向量 ⊥ 的概率； （Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区域 Ω： y）满足 x2+y2≥1 的概率．Zzz6ZB2Ltk ，求二元数组（x，
19．农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中 任意选取 6 颗该种作物果实，测得籽重（单位：克）数据如下：dvzfvkwMI1 甲种作物的产量数据：111，111，122，107，113，114 乙种作物的产量数据：109，110，124，108，112，115 （1）计算两组数据的平均数和方差，并说明哪种作物产量稳定； （2）作出两组数据的茎叶图．
20．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图． （1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数； （2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比 较，哪位选手的数据波动小？rqyn14ZNXI
3 / 21

21．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析．下面是该生 7 次考试的成绩．EmxvxOtOco 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的理由； （2）已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到 115 分，请 你估计他的数学成绩大约是多少？SixE2yXPq5 （已知 88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497， 882+832+1172+922+1082+1002+1122=70994）6ewMyirQFL
（参考公式： =
=
， = ﹣
）
22．某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200， 200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如 图．kavU42VRUs
（1）求直方图中 x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户 中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220.240） 的用户中应抽取多少户？
y6v3ALoS89
4 / 21

2015 年 12 月 31 日期末复习题（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题） 1．（2015?陕西校级模拟）某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5．现 用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 16 件，则此样本的容量为（ ）
M2ub6vSTnP
A．40 B．80 C．160 D．320 【考点】分层抽样方法． 【专题】概率与统计．
菁优网版权所有
【分析】根据分层抽样的定义和方法可得 【解答】解：根据分层抽样的定义和方法可得
=
，解方程求得 n 的值，即为所求． = ，解得 n=80，
故选 B． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础 题． 2．（2015 春?白山期末）某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从 5000 名参加今年大 联考的学生中抽取了 250 名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（ ）0YujCfmUCw A．5000 名学生是总体 B．250 名学生是总体的一个样本 C．样本容量是 250 D．每一名学生是个体 【考点】简单随机抽样． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考 查的事物．”我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，考查对象是某 地区初中毕业生参加中考的数学成绩，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定 出样本容量．eUts8ZQVRd 【解答】解：总体指的是 5000 名参加今年大联考的学的成绩，所以 A 错； 样本指的是抽取的 250 名学生的成绩，所以 B 对； 样本容量指的是抽取的 250，所以 C 对； 个体指的是 5000 名学生中的每一个学生的成绩，所以 D 错； 故选：C． 【点评】考查统计知识的总体，样本，个体，等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：学生易对总体 和个体的意义理解不清而错选．sQsAEJkW5T
菁优网版权所有
3．（2015?抚顺模拟）某校三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次 为 1 到 24，现用系统抽样方法．抽取 4 个班进行调查，若抽到的最小编号为 3，则抽取最大编号为（ ）
GMsIasNXkA
A．15
B．18
C．21
D．22 5 / 21

【考点】系统抽样方法． 【专题】概率与统计． 【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可． 【解答】解：抽取样本间隔为 24÷6=6， 若抽到的最小编号为 3，则抽取最大编号为 3+3×6=21， 故选：C 【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．
菁优网版权所有
4． （2015?陕西二模） 一个频率分布表 （样本容量为 30） 不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20， 60）上的频率为 0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（ ）TIrRGchYzg
A．15 B．16 C．17 D．19 【考点】频率分布表． 【专题】概率与统计． 【分析】根据样本数据在[20，60）上的频率求出对应的频数，再计算样本在[40，50），[50，60）内的数 据个数和即可．7EqZcWLZNX 【解答】解：∵样本数据在[20，60）上的频率为 0.8， ∴样本数据在[20，60）上的频数是 30×0.824， ∴估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为 24﹣4﹣5=15． 故选：A．
菁优网版权所有
【点评】本题考查了频率=
的应用问题，是基础题目．
5．（2015?烟台二模）如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中
位数为（
）
lzq7IGf02E
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5 【考点】众数、中位数、平均数． 【专题】概率与统计． 【分析】由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以 x 为 2，所以由图可估计样本重量的中位数． 【解答】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以 x 为 2，所以由图可估计样本重量的中位数是 12．zvpgeqJ1hk 故选：C． 【点评】本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题．
菁优网版权所有
6 / 21

6．（2015?湖南一模）某公司在 2014 年上半年的收入 x（单位：万元）与月支出 y（单位：万元）的统计 资料如下表所示：NrpoJac3v1 月份 1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 收入 x 12.3 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 支出 Y 5.63 根据统计资料，则（ ） A．月收入的中位数是 15，x 与 y 有正线性相关关系 B．月收入的中位数是 17，x 与 y 有负线性相关关系 C．月收入的中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系 D．月收入的中位数是 16，x 与 y 有负线性相关关系 【考点】变量间的相关关系． 【专题】计算题；概率与统计．
菁优网版权所有
【分析】月收入的中位数是 【解答】解：月收入的中位数是
=16，收入增加，支出增加，故 x 与 y 有正线性相关关系． =16，收入增加，支出增加，故 x 与 y 有正线性相关关系，
故选：C． 【点评】本题考查变量间的相关关系，考查学生的计算能力，比较基础． 7．（2015 春?重庆期末）下列事件是随机事件的是（ ） （1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．（2）异性电荷相互吸引 （3）在标准大气压下，水在 1℃时结冰 （4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数． A．（1） （2） B．（2） （3 ） C．（3） （4） D．（1） （4） 【考点】随机事件． 【专题】概率与统计． 【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断． 【解答】解：（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．是随机事件； （2）异性电荷相互吸引，是必然事件； （3）在标准大气压下，水在 1℃时结冰，是不可能事件； （4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．是随机事件； 故是随机事件的是（1），（4）， 故选：D 【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：必然事件指在一定 条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．1nowfTG4KI
菁优网版权所有
8．（2014 春?邯郸期末）从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么对立 的两个事件是（ ）fjnFLDa5Zo A．至少有 1 个白球，至少有 1 个红球 B．至少有 1 个白球，都是红球 C．恰有 1 个白球，恰有 2 个白球 D．至少有 1 个白球，都是白球 【考点】随机事件． 【专题】计算题；概率与统计．
菁优网版权所有
7 / 21

【分析】对立事件是在互斥的基础之上，在一次试验中两个事件必定有一个要发生．根据这个定义，对各 选项依次加以分析，不难得出选项 B 才是符合题意的答案．tfnNhnE6e5 【解答】解：对于 A，“至少有 1 个白球”发生时，“至少有 1 个红球”也会发生， 比如恰好一个白球和一个红球，故 A 不对立； 对于 B，“至少有 1 个白球”说明有白球，白球的个数可能是 1 或 2， 而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是 0， 这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故 B 是对立的； 对于 C，恰有 1 个白球，恰有 2 个白球是互斥事件，它们虽然不能同时发生 但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立； 对于 D，至少有 1 个白球和都是白球能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了 故选 B 【点评】 本题考查了随机事件当中“互斥”与“对立”的区别与联系，属于基础题．互斥是对立的前提，对立是 两个互斥事件当中，必定有一个要发生．HbmVN777sL 9．（2015?龙川县校级模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 2011 次，那么第 2010 次出现正面 朝上的概率是（ ）V7l4jRB8Hs A． B．
菁优网版权所有
C．
D．
【考点】概率的意义． 【专题】应用题；概率与统计． 【分析】简化模型，只考虑第 2010 次出现的结果，有两种结果，第 2010 次出现正面朝上只有一种结果， 即可求 83lcPA59W9 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 2010 次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果 等可能出现，故所求概率为 ．mZkklkzaaP 故选：D． 【点评】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事 件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．AVktR43bpw
10．（2015?张掖一模）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率 是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黒球的概率是（ ）ORjBnOwcEd A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7 【考点】互斥事件与对立事件． 【专题】计算题． 【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是 0.42， 摸出白球的概率是 0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是 1﹣0.42﹣0.28，得到结 果．2MiJTy0dTT 【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球， 在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的 摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28， ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件， ∴摸出黑球的概率是 1﹣0.42﹣0.28=0.3， 故选 C．
菁优网版权所有
8 / 21

【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运 算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．gIiSpiue7A 11．（2015?广东）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次 品的概率为（ ）uEh0U1Yfmh A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计． 【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从 5 件产品任取 2 件的取法，取到恰有一件次 品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．IAg9qLsgBX
菁优网版权所有
【解答】解：这是一个古典概型，从 5 件产品中任取 2 件的取法为 ∴基本事件总数为 10； 设“选的 2 件产品中恰有一件次品”为事件 A，则 A 包含的基本事件个数为 ∴P（A）= =0.6．
；
=6；
故选：B． 【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组 合数公式，分步计数原理．WwghWvVhPE 12．（2015?芜湖校级模拟）函数 f（x）=x ﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点 x0，使 f（x0）≤0 的 概率是（ ）asfpsfpi4k A． B． C． D．
菁优网版权所有
2
【考点】几何概型；一元二次不等式的解法． 【专题】计算题．
【分析】先解不等式 f（x0）≤0，得能使事件 f（x0）≤0 发生的 x0 的取值长度为 3，再由 x0 总的可能取值， 长度为定义域长度 10，得事件 f（x0）≤0 发生的概率是 0.3ooeyYZTjj1 2 【解答】解：∵f（x）≤0?x ﹣x﹣2≤0?﹣1≤x≤2， ∴f（x0）≤0?﹣1≤x0≤2，即 x0∈[﹣1，2]， ∵在定义域内任取一点 x0， ∴x0∈[﹣5，5]， ∴使 f（x0）≤0 的概率 P= =
故选 C 【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的 关键 二．填空题（共 4 小题） 13．（2015?景洪市校级模拟）在棱长为 2 的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于 1 的 概率 1﹣ ．BkeGuInkxI
菁优网版权所有
【考点】几何概型．
9 / 21

【专题】计算题． 【分析】 本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1 几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的 体积求比值即得．PgdO0sRlMo 【解答】解：取到的点到正方体中心的距离小于等于 1 构成的几何体的体积为： ×1 =
3
，
∴点到正方体中心的距离大于 1 的几何体的体积为： v=V 正方体﹣ =8﹣
取到的点到正方体中心的距离大于 1 的概率： P= =1﹣ ． ．
故答案为：1﹣
【点评】本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力， 考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．3cdXwckm15 14．（2015?上海模拟）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ． 【考点】等可能事件的概率． 【专题】计算题． 【分析】由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率． 【解答】解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，
菁优网版权所有
因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结果出现的可能 性相等求出对应事件的概率．h8c52WOngM
10 / 21

15．（2015 春?宿迁期末）已知盒子中有 5 个白球、3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从盒子中随机 地取出 2 个球，则其中至少有 1 个黑球的概率是
菁优网版权所有
．v4bdyGious
【考点】互斥事件的概率加法公式． 【专题】概率与统计． 【分析】利用对立事件的概率公式，可得至少有 1 个黑球的概率． 【解答】解：由题意，利用对立事件的概率公式，可得至少有 1 个黑球的概率是 1﹣ = ．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了概率公式，考查对立事件的概率公式的运用，比较基础．
16．（2015?锦州二模）已知下列表格所示的数据的回归直线方程为 x 2 3 4 5 6 y 251 254 257 262 266 【考点】线性回归方程． 【专题】计算题． 【分析】求出样本中心点，代入回归直线方程，即可求出 a．
菁优网版权所有
，则 a 的值为 242.8 ．
【解答】解：由表格可知，样本中心横坐标为： 纵坐标为： =258．
=4，
由回归直线经过样本中心点， 所以：258=3.8×4+a， a=242.8． 故答案为：242.8． 【点评】本题考查的知识点是线性回归直线方程，其中样本中心点在回归直线上，满足线性回归方程．是 解答此类问题的关键．J0bm4qMpJ9 三．解答题（共 6 小题） 17．（2015 春?兰州期中）一个单位有职工 160 人，其中业务员 120 人，管理人员 16 人，后勤服务人员 24 人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本，用分层抽样的方法写出抽取样本的过 程．XVauA9grYP 【考点】分层抽样方法． 【专题】概率与统计． 【分析】根据分层抽样的定义即可得到 结论． 【解答】解：∵样本容量与职工总人数的比为 20：160=1：8，
菁优网版权所有
∴业务员，管理人员，后勤服务人员抽取的个数分别为 即分别抽取 15 人，2 人和 3 人． 每一层抽取时，可以采用简单随机抽样或系统抽样， 再将各层抽取的个体合在一起，就是要抽取的样本． 11 / 21
，

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．
18．（2014?泉州模拟）已知向量 =（2，1）， =（x，y） （Ⅰ）若 x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，﹣1，2}，求向量 ⊥ 的概率； （Ⅱ） 若用计算机产生的随机二元数组 （x，y） 构成区域 Ω： 的概率．bR9C6TJscw 【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计． ，求二元数组 （x，y） 满足 x +y ≥1
2 2
菁优网版权所有
【分析】 （Ⅰ） 本问为古典概型，需列出所有的基本事件，以及满足向量 ⊥ 的基本事件，再由古典概型的 概率计算公式求出即可；pN9LBDdtrd （Ⅱ）本问是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是 Ω={（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2}，
DJ8T7nHuGT
满足条件的事件对应的集合是 A={（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2，x +y ≥1}，做出两个集合对应的图形 的面积，根据几何概型概率公式得到结果．QF81D7bvUA 【解答】解：（Ⅰ）从 x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，﹣1，2}取两个数 x，y 的基本事件有 （﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，2）， （0，﹣2），（0，﹣1），（0，2）， （1，﹣2），（1，﹣1），（1，2），共 9 种 设“向量 若向量 ”为事件 A ，则 2x+y=0，
2
2
∴事件 A 包含的基本事件有（﹣1，2），（1，2），共 2 种 ∴所求事件的概率为 ；
（Ⅱ）二元数组（x，y）构成区域 Ω={（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2}， 2 2 设“二元数组（x，y）满足 x +y ≥1”为事件 B， 2 2 则事件 B={（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2，x +y ≥1}， 如图所示， ∴所求事件的概率为 ．
12 / 21

【点评】本题主要考查古典概型以及几何概型，对于古典概型的问题，一般要列出所有的事件，以及所求 事件包含的事件，再由古典概型计算公式即可得到结果．对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包 含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．4B7a9QFw9h 19．（2015?武汉校级模拟）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块 试验田中任意选取 6 颗该种作物果实，测得籽重（单位：克）数据如下：ix6iFA8xoX 甲种作物的产量数据：111，111，122，107，113，114 乙种作物的产量数据：109，110，124，108，112，115 （1）计算两组数据的平均数和方差，并说明哪种作物产量稳定； （2）作出两组数据的茎叶图． 【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 【专题】概率与统计． 【分析】 （1）计算甲、乙组数据的平均数与方差，比较得出结论； （2）画出两组数据的茎叶图即可．
菁优网版权所有
【解答】解：（1）甲组数据的平均数是 乙组数据的平均数是 甲组数据的方差是
= ×（122+111+111+113+114+107）=113，
= ×（124+110+112+115+108+109）=113，
= ×[（122﹣113） +（111﹣113） +（111﹣113） +（113﹣113） +（114﹣113） +（107﹣113） ]=21，
wt6qbkCyDE
2
2
2
2
2
2
乙组数据的方差是 = ×[（124﹣113） +（110﹣113） +（112﹣113） +（115﹣113） +（108﹣113） +（109﹣113） ]=
Kp5zH46zRk 2 2 2 2 2 2
；
∴
=
，
＜
，
∴甲的产量较稳定；
13 / 21

（2）画出两组数据的茎叶图，如图所示：
【点评】本题考查了计算数据的平均数与方差的应用问题，也考查了画茎叶图的应用问题，是基础题目． 20．（2015 春?鞍山期末）如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶 图．Yl4HdOAA61 （1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数； （2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的 数据波动小？ch4PJx4BlI
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】 （1）由茎叶图可知由茎叶图可知，乙选手得分为 79，84，84，84，86，87，93，即可写出评委为 乙选手打出分数数据的众数，中位数；qd3YfhxCzo （2）求出甲、乙两位选手，去掉最高分和最低分的平均数与方差，即可得出结论． 【解答】解：（1）由茎叶图可知，乙选手得分为 79，84，84，84，86，87，93， 所以众数为 84，中位数为 84； （2）甲选手评委打出的最低分为 84，最高分为 93，去掉最高分和最低分，其余得分为 86，86，87，89， 92，E836L11DO5
菁优网版权所有
故平均分为（86+86+87+89+92）÷5=88，
=5.2；
乙选手评委打出的最低分为 79，最高分为 93，去掉最高分和最低分，其余得分为 84，84，84，86，87，
S42ehLvE3M
故平均分为（84+84+86+84+87）÷5=85，
=1.6，
∴乙选手的数据波动小． 【点评】本题考查茎叶图，考查一组数据的平均数与方差，考查处理一组数据的方法，是一个基础题． 21．（2015?固原校级模拟）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现 对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析．下面是该生 7 次考试的成绩．501nNvZFis 88 83 117 92 108 100 112 数学 94 91 108 96 104 101 106 物理 （1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的理由；
14 / 21

（2）已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到 115 分，请你估计他的数 学成绩大约是多少？jW1viftGw9 （已知 88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497， 2 2 2 2 2 2 2 88 +83 +117 +92 +108 +100 +112 =70994）xS0DOYWHLP
（参考公式：
=
=
， = ﹣
）
【考点】线性回归方程． 【专题】概率与统计．
菁优网版权所有
【分析】 （1）根据公式分别求出其平均数和方差，从而判断出结果；（2）分别求出 和 的值，代入从而求 出线性回归方程，将 y=115 代入，从而求出 x 的值．LOZMkIqI0w 【解答】解：（1） =100+ =100+ ∴ 从而 = ＞ =142， =100； = ， =100；
，所以物理成绩更稳定．
（2）由于 x 与 y 之间具有线性相关关系， 根据回归系数公式得到： = =0.5， =100﹣0.5×100=50，
∴线性回归方程为：y=0.5x+50， 当 y=115 时，x=130． 【点评】本题考查了平均数及方差的公式，考查线性回归方程，是一道基础题． 22．（2015?广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200， 200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．ZKZUQsUJed
（1）求直方图中 x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数；
15 / 21

（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽 样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？dGY2mcoKtT 【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】 （1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
菁优网版权所有
rCYbSWRLIA
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为 a，解方程 （0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5 可得；FyXjoFlMWh （3）可得各段的用户分别为 25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数． 【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，TuWrUpPObX 解方程可得 x=0.0075，∴直方图中 x 的值为 0.0075； （2）月平均用电量的众数是 =230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5， ∴月平均用电量的中位数在[220，240）内， 设中位数为 a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5 可得 a=224，7qWAq9jPqE ∴月平均用电量的中位数为 224； （3）月平均用电量为[220，240）的用户有 0.0125×20×100=25， 月平均用电量为[240，260）的用户有 0.0075×20×100=15， 月平均用电量为[260，280）的用户有 0.005×20×100=10， 月平均用电量为[280，300）的用户有 0.0025×20×100=5， ∴抽取比例为 = ，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取 25× =5 户 【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
16 / 21

17 / 21

18 / 21

19 / 21

20 / 21