计算方法复习题大全
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计算方法总复习第一章绪论
例1．已知数x=2.718281828...,取近似值x*=2.7182,那麽x 具有几位有效数字点评；考查的有效数字的概念。
解；
**314
2.718281828
2.71820.00008182
11
0.0005101022e x x --=-=-=≤=?=?
故有四位有效数字。
例2．近似数*0.01999x =关于真值*0.02000x =有几位有效数字解：
**413
0.019990.020000.00001
11
0.00005101022
e x x ---=-=-=≤=?=?
故有三位有效数字。
例3．数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字
点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如123
0.n a a a a 的数
则绝对误差限一定为41
102
-?，由于题目中的数212
0.10n x a a a -=?,故最终的
绝对误差为 42611
10101022
---??=?
例4．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定*** 123x x x ++的相对误差限。
点评；此题考查相对误差的传播。
*
****
1()()()n r r i i i i f e y e x x y x =??
=??
∑
故有**********
**1122331231
2
3
******
123123
()()()()()()
()r r r r e x x e x x e x x e x e x e x e x x x x x x x x x ++++++==++++ 解：333
******1
23
123***
12
3111
101010()()()222() 3.1050.0010.100
r e x e x e x e x x x x x x ---?+?+?++++===++-++=0.0004993 例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 解法1 ：
00625.01016
1
10821112=?=??-+-（有效数字与相对误差限的关系）
解法2；21
100.840.00595242-?÷=（相对误差限的概念）
例6
*x 的相对误差的----倍。
解：根据误差传播公式*
****
1()()()n r r i i i i f e y e x x y x =??
=??
∑
则有
'**1()/r r e e x x n ==
第二章
例1．设()f x 可微，求()x f x =根的牛顿迭代公式----。解；化简得到 ()0x f x -= 根据牛顿迭代格式 ),2,1,0()(')
(1 =-
=+k x f x f x x k k k k
则相应的得到 1()(0,1,2,)1'()
k k k k k x f x x x k f x +-=-=-
例2：求方程
01)(3=--=x x x f
在区间[1, 1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。
思路；用二分法，这里a = 1, b = 1.5，且f (a) < 0，f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x 0 = 1.25将区间二等分，由于f (x 0)< 0，即f (x
0)与f (a)同号，故所求的根必在x 0的右侧，这里应令a 1 = x 0 =
1.25，b 1 = b = 1.5，而得到新的有根区间（a 1, b 1）。对区间（a 1, b 1）再用中点x 1 = 1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2、3；解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式
)(211
11*a b a b x x k k k k -=
-≤-+++
解得k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表：
例3：求方程0210)(=+-=x x x f 的一个根
解：因为f (0) = 1>0 f (1) = -7 <0，知方程在[0, 1]中必有一实根，现将原方
程改为同解方程
210+=x x )2l g (+=x x
由此得迭代格式
)2lg(1+=+k k x x
收敛性判断；当(0,1)x ∈时，()lg(2)(0,1)x x φ=+∈，且由于
11
'()0.21711(2)ln102ln10
x x φ=
≤=<+，故迭代格式收敛
取初始值x 0 = 1，可逐次算得x 1 = 0.4771 x 2 = 0.3939 … x 6 = 0.3758
x 7 =0.3758
例4：求方程0133=+-x x 在[0, 0.5]内的根，精确到10-5。解：将方程变形
)()1(31
3x x x ?=+= 因为0)('2>=x x ?，在[0, 0.5]内为增函数，所以
125.05.0)('max 2<===x L ?
满足收敛条件，取x 0 = 0.25，用公式（2.3）算得 x 1 = ? (0.25) = 0.3385416 x 2 = ? (x 1) = 0.3462668
x 3 = ? (x 2) =0.3471725
x 4 = ? (x 3) =0.3472814 x 5 = ? (x 4) =0.3472945 x 6 = ? (x 5) =0.3472961
x 7 = ? (x 6) =0.3472963
取近似根为x * = 0.347296
例5：用牛顿迭代法建立求平方根c （c >0）的迭代公式，并用以上公式求
78265.0
解：设c x x f -=2)(，（x >0）则c 就是f (x ) =0的正根。由为f’ (x ) = 2x ，所以得迭代公式
k
k k k x c
x x x 22
1
--
=+ 或
+=
+k k k x c x x 211 （2.6）
由于x >0时，f’ (x ) >0，且f " (x ) > 0，根据定理3知：取任意初值c x >0，所确定的迭代序列{x k }必收敛于c 。取初值x = 0.88，计算结果见表
k x k
0 0.88 1 0.88469 2 0.88468 3
0.88468
故可取88468.078265.0≈
第三章
例1．.用列主元消去法解线性方程组
=++-=-+-=+-6
15318153312321
321321x x x x x x x x x 计算过程保留4位小数.
解. [A b ]=??
----6111151318153312 (选1821-=a 为主元)
----??→?6111153312151318)
,(21r r (换行，消元) ??
----→?++
7166.54944.07166.1053333.210151318
1
3121811812
r r r r (选1667.132=a 为主元，并换行消元)
---→?+5428.98142.3001667.54944.01667.10151318
2
3321667
.11)
,(r r r r 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解
000.1)18/(]0000.230000.315[0000.27166.1/]0000.34944.071 66.5[0
000.38
142.35
428.9123=-?-+-==?-===
x x x 方程组的解为X ≈(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T 例2：用列主元高斯消去法求解方程
=+=++=+-7
2452413221
321321x x x x x x x x 由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的
“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：
-702145241312*
第一步将4选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到
--→ ??--→
---→ ??-61005.025.010125.15.0125.5875.0005.025.010125.15.01625.15.1 015.020125.15.01702113124524
*
第三步消元
第二步消元第一步消元
消元过程的结果归结到下列三角形方程组：
-==-=++65.025.0125.15.0332321x x x x x x 回代，得
-=-==-6193
21x x x 例3：用直接三角分解法解
=????? ??????? ??201814513252321321x x x 解：（1）对于r = 1，利用计算公式
111=u 212=u 313=u
l 21 = 2 l 31 = 3 （2）对于r = 2， 12212222u l a u -== 5 –2 ? 2 = 1 13212323u l a u -== 2 – 2 ?3 = -4
51
)
231()(2212313232-=?-=-=
u u l a l
（3）r = 3
24))4()5(33(5)(233213313333-=-?-+?-=+-=u l u l a u
于是
LU A =
--????? ??-=244132
1153121
（4）求解： Ly = b 得到
y 1 = 14 y 2 = b 2 – l 21y 1 = 18 – 2 ? 14 = -10 y 3 = b 3 – (l 31y 1 + l 32y 2) = 20 – (3? 14 + (-5)(-10)) = - 72 从而 y = (14, -10, -72)T 由Ux = y 得到
324
723333=--==
u y x
21
)
34(10)(2232322=?---=-=
u x u y x
)
3322(14)(1131321211=?+?-=+-=
u x u x u y x
T x )3,2,1(=
例5：用雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法解线性方程组
=????? ??????? ??----87790108
1119321x x x 解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高
斯――赛得尔迭代法都收敛。
D = diag (9, 8, 9) D -1 = diag (1/9, 1/8, 1/9)
=--009/1008/19/19/10
1
A D I
=-9/78/79/71
b D
雅克比迭代法的迭代公式为：
+????? ??=+9/78/79/7009/1008/19/19/10)()
1(k k X X 取X (0) = (0, 0, 0)T ，由上述公式得逐次近似值如下：k 0 1 2
3
4
000 ????? ??8889.08750.07778.0 ????
9753.09723.09738.0
9993.09993.09942.0
9993.09993.09993.0
高斯――赛得尔迭代法：
()()()
+?+=++=++=++++++809178179
1)
1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 迭代结果为：k
1
2
3
4
x (i )
000 ????? ??9753.09722.07778.0 ?????
9993.09993.09942.0
0000.10000.19998.0
000.1000.1000.1
例6．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组12312312
3926
8888
x x x x x x x x x -+=??
-+-=??-++=-?
收敛性，并取(0)(1,0,0)T x =，求近似解(1)k x +，使得(1)()310k k i i x x +--≤（i=1，2，3）解法同上（1，1，-1）
例7. 设矩阵A ＝
------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅
可比迭代矩阵为( A )
(A)??
04.02.01.002.01.02.00 (B)
14.02.01.012.01.02.01 (C) ??
------04.02.01.002.01.02.00
(D)
021102120 例8、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组
的迭代格式中求
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿
例9、若
则矩阵A 的谱半径
(A)= ＿＿＿
第五章
第六章
1．矛盾方程组11 2.8
3.2
x x =??=?的最小二乘解为----。
2．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。第七章
1．插值型求积公式的求积系数之和为＿1＿＿
已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。
3．求积公式3
1
()2(2)f x dx f =?有几次的代数精确度？（1）
4．插值型求积公式
()()n
b
i i a
i f x dx A f x =≈∑?
的代数精确度至少是----次。N
5．已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,152,4516,907)4(2)4(1)
4(0===
C C C 那么)
4(3C ＝( ) 90
39
152********)D (15
2)
C (45
16)
B (90
7)
A (=
---
6．设求积公式∑?=≈n
k k k b
a
x f A x x f 0
)(d )(，若对的多项式积分
公式精确成立，而至少有一个m +1次多项式不成立。则称该求积公式具有m 次代数精度.
7．取m =4,即n =8，用复化抛物线求积公式计算积分 ?
+2
.10
2d )1l n (x x
计算过程保留4位小数. 解 n =8, h =15.08
02.1=-,f (x )=ln(1+x 2
)
计算列表
)](2)(4[3
d )1ln(6427531802
.102f f f f f f f f f h
x x ++++++++=+?
＝4225.0]987.023961.148920.0[3
15
.0=?+?+
第八章
例1用欧拉法求初值问题
000.9'12()10
y y x y x x ?
=-?+?
==?
当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。
解把y x y x f 219
.0),(+-
=代入欧拉法计算公式。就得
5
,,1,021018.01219
.01 =
+-=+-=+n y x
y x h
y y n n n
n
n n
具体计算结果如下表：
n x n y n y (x n ) εn = y (x n ) - y n 0 0 1.0000 1.0000 0 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021
例2．.取h =0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题
=++='1
)0(12
y y x y 在x =0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数.
预报－校正公式为 ??
+++++=++=+++=+=++++++)
2(2)],(),([2)
1(),(211211121k k k k k k k k k k k k k k k x k k y x y x h y y x f y x f h y y y x h y y x hf y y h =0.1,x 0=0，y 0=1，x 1=0.1，于是有
=+++++==+++=227.1)2.11.0102(21.012
.1)101(1.012
2121y y h =0.1,x 1=0.1，y 1=1.227，x 2=0.2，于是有
=+++++==+++=528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488
.1)227.11.01(1.0227.12
22
22y y
所求为y (0.1)≈y 1=1.227 y (0.2)≈y 2=1.528
例3 导出用三阶泰勒级数法解方程
22'y x y +=
的计算公式解: 因 22),('y x y x f y +==
)(22'22'22y x y x yy x f y ++=+==''
)3()(242)'(22222222y x y x xy y y y f y +?+++==''+=''='''
)
32)((8)53(44'62'4'22222222)4(y x y x y y x x y y y y y y y y y y y f y +++++='
'+''='
'+''+'''='''=
故
n n n n n f h f h hf y y ''+'++=+3216
1
21
而
1)
4(43)
(!
4+<<=n n n x x f h R ξξ
其中)(k n f 表示f (x, y )对x 的k 阶偏导数在x = x n 点上的值。例4 用龙格――库塔法解初值问题y’ = x 2 –y (0≤x ≤1) y (0) = 1解：取 h = 0.1，由下面公式
()
++=?
++=??? ??
++==++++=+342312143211,2,212,21),()22(6hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n
n n n n
n
+-+=+-+=+-+=-=)
1.0()1.0()05.0()05.0()
05.0()05.0(324
22
312
221k y x k k y x k k y x k y x k n n n n n n n n 把初始条件x 0 = 0，y 0 = 1，代入,得k 1 = -1，k 2 = -0.9475，k 3 = -0.9501，k 4 = 0.8950，
将这些k 值代，得
[]90516
.08950.0)9501.09475.0(2161
.011=---+-+
=y 重复上述步骤可算出y 2，y 3，…，y 10等。
例5．设有求解初值问题'00
(,)
()y f x y y x y ?=?=?的如下格式
11(,)n n n n n y ay by chf x y +-=++
如假设11(),()n n n n y y x y y x --==问常数,,a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
完整word版,《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2..
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式
计算方法复习题
一、判断 1、0.026900x * =-作为x 的近似值，它的有效数字位数为5位。（ × ） 2、迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。（ × ） 3、牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。（ √ ） 4、已知观察值()() ,0,1, i i x y i n =，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n 次。（ × ） 5、改进欧拉公式是一种隐式的方法。（ × ） 6、一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 （ √ ） 6、求方程3 10x x --=在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。 （ × ） 7、矩阵???? ??????--52 1 25311 3是主对角占优矩阵。 （ × ） 8、在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 （ × ） 9、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。 ( × ） 二、填空题 1、误差来源： 舍入误差 ， 截断误差 ， 观测误差 ， 模型误差 。 2、古代数学家祖冲之曾以 113 355作为圆周率π的近似值，此近似值有 7 位有效数字。 3、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间[0，1]内的根，进行一步二分后根所在区间为 ，进行二步二分后根所在区间为 。 4、方程求根中牛顿迭代公式 ，收敛速度是 。 5 、求线性解方程组 5x1-3x2-0.1x3=1 -2x1+6x2+0.7x3=0 x1+2x2+3.5x3=0 的高斯—赛德尔迭代格式为 ，取迭代初值x 1（0）=1，x 2（0）=-1，x 3（0）=1，则x 1（1）= -0.38 ， x2（1）= -0.24， x3（1）= 351 。 6、Gauss 求积公式? b a f(x )dx ≈ ∑=N n n ) Anf(x 具有 2N+1 次代数精度。 7、n+1个插值节点构造的拉格朗日插值公式Ln(x)= 1 余项Rn(x)= 1 。 8、插值节点过多整体逼近效果很差，越靠近端点逼近的效果就越差，这种现象称为 龙格 现象。可以采用 分段插值 思想替代高 次多项式去逼近()f x 。 9、已知方程f(x)=0，则迭代函数x=φ(x)对任意x ∈[a ，b]有a ≤φ(x)≤b ，且存在L<1,使对任意x ∈[a ，b]，有|φ`(x)|≤L<1，则迭代过程xk+1=φ(xk)对于任意x0∈[a ，b]均收敛于方程x=φ(x)的根x*。 10、已知n=3，则三次插值基函数)(2x l =_ __ 11、求积公式的代数精度以 Gauss 求积公式为最高，具有 2N+1 次代数精度，其节点称为 Gauss 点。 三、证明题 1、证明梯形求积公式具有一次代数精度。 2、已知)(x x ?=在[a ，b]内有一根x*，)(x ?在[a,b]上一阶可微，且13)(],,[<-'∈?x b a x ?，试构造一个局部收敛于x*的迭代公式。 解：方程()x x ?=等价于0.5[()3]x x x ?=-
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《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生）公式计算求得⎰≈3 1_________ )(dx x f ， 用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉格朗日插 值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ）； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f （ 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ）； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 ）误差； 7、用二分法求非线性方程 f （x ）=0在区间（a ，b ）内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ）； 8、已知f （1)＝2,f (2）＝3，f （4）＝5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0。15 ）； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1 d )(x x f ≈（ ⎰++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为（ 5 ）; 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为
《计算方法》练习题及答案
《计算方法》练习题及答案 1. 单选题 1. 数值3.1416的有效位数为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 正确答案：C 2. 常用的阶梯函数是简单的（）次样条函数。 A. 零 B. 一 C. 二 D. 三 正确答案：A 3. 设求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A. 超线性 B. 平方 C. 线性 D. 三次 正确答案：C 4. 构造拟合曲线不可以采用下列哪种准则（） A. 使残差的最大绝对值为最小
B. 使残差的绝对值之和为最小 C. 使残差的平方和为最小 D. 是残差的绝对值之差为最小 正确答案：D 5. 欧拉法的局部截断误差阶为（）。 A. A B. B C. C D. D 正确答案：B 6. 依据3个样点（0，1），（1，2）（2，3），其插值多项式p(x)为（） A. x B. x+1 C. x-1 D. x+2 正确答案：B 7. 题面如下，正确的是（）
A. 2 B. 3 C. -2 D. 1 正确答案：B 8. 题面如下图所示，正确的是（） A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 9. 用列主元消去法解线性方程组, A. 3 B. 4 C. -4 D. 9
正确答案：C 10. 利用克莱姆法则求解行列式时，求解一个n阶方程组，需要（）个n阶行列式。 A. n B. n+1 C. n-1 D. n*n 正确答案：C 11. 线性方程组的解法大致可以分为（） A. 直接法和间接法 B. 直接法和替代法 C. 直接法和迭代法 D. 间接法和迭代法 正确答案：C 12. （）的优点是收敛的速度快，缺点是需要提供导数值。 A. 牛顿法 B. 下山法 C. 弦截法 D. 迭代法 正确答案：A 13. 设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有（）位有效数字。
计算方法复习题库
计算方法复习题库 一、填空题： 1.设某数x * ，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是 。 2.设某数x * ,它的精确到10－4 的近似值应取小数点后 位。 3.设方程f (x )=x －4＋2x =0，在区间[1,2]上满足 ，所以f (x )=0在区间[1,2]内有根。建立迭代公式x x 2-4=，因为 ，此迭代公式发散。 4.设函数f (x )在区间[a ,b ]内有二阶连续导数，且f (a )f (b )<0,当 时，则用弦截法产生的解数列收敛到方程f (x )=0的根。 5.乘幂法是求实方阵 。 6.二阶阶差()=210,,x x x f 7.已知3=n 时，科兹系数()8130= C ，()8331=C ，() 8 332=C ，则 ()= 33C 8.求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 9.n 个求积节点插值型求积公式代数精确度至少为 次。 10.数值计算方法中需要考虑误差为 、 。 二、选择题 1.用二分法求方程f (x )=0在区间[a ,b ]内的根x n ，已知误差限ε，确定二分的次数n 是使( )。 (A)b －a ≤ε (B)∣f (x )∣≤ε (C)∣x * －x n ∣≤ε (D)∣x * －x n ∣≤b －a 2.( )的3位有效数字是0.236×102 。 (A)235.54×10－1 (B)235.418(C)2354.82×10－2 (D)0.0023549×103 3.设a * =2.718181828…，取a=2.718,则有( ),称a 有四位有效数字。 (A) (B) (C) (D) 4.设某数x * ,对其进行四舍五入的近似值是( ),则它有3位有效数字，绝对误差限是 。 (A)0.315 (B)0.03150 (C)0.0315 (D)0.00315 5.以下近似值中，( )保留四位有效数字，相对误差限为 。 (A)0.01234 (B)–12.34 (C)–2.20 (D)0.2200
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计算方法 一、填空题 1.假定x ≤1，用泰勒多项式⋯+⋯⋯+++=! !212n x x x e n x ,计算e x 的值，若要求截断误差不超过 0.005，则n=_5___ 2.解方程03432 3 =-+x － x x 的牛顿迭代公式)463/()343(121121311+--+--=------k k k k k k k x x x x x x x 3.一阶常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=='y x y y x f y 00 )() ,(,其改进的欧拉方法格式为)],(),([21 1 1 y x y x y y i i i i i i f f h +++++= 4.解三对角线方程组的计算方法称为追赶法或回代法 5. 数值求解初值问题的四阶龙格——库塔公式的局部截断误差为o(h 5 ) 6.在ALGOL 中，简单算术表达式y x 3 +的写法为x+y ↑3 7.循环语句分为离散型循环,步长型循环,当型循环. 8.函数)(x f 在[a,b]上的一次（线性）插值函数= )(x l )()(b f a b a x a f b a b x --+-- 9.在实际进行插值时插值时，将插值范围分为若干段，然后在每个分段上使用低阶插值————如线性插值和抛物插值，这就是所谓分段插值法 10、数值计算中，误差主要来源于模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。 11、电子计算机的结构大体上可分为输入设备 、 存储器、运算器、控制器、 输出设备 五个主要部分。 12、算式2 cos sin 2x x x +在ALGOL 中写为))2cos()(sin(2↑+↑x x x 。
(完整版)计算方法试题集及答案
复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )；
9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ， 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 16、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿
计算方法复习题答案
《计算方法》练习题一 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。 4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。 6． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ ）。 7．用辛卜生公式计算积分 ?≈+101x dx （ ）。 8．设)()1()1(--=k ij k a A 第k 列主元为)1( -k pk a ，则=-)1(k pk a （ ）。 9．已知?? ????=2415A ，则=1A （ ）。 10．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ? 收敛，则)(x ?'满足条件（ ）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝???? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 6．近似数21047820.0?=a 的误差限是（ ）。 Ａ．51021-? Ｂ．41021-? Ｃ．31021-? Ｄ．2102 1-? 7．矩阵Ａ满足（ ）,则存在三角分解A=LR 。 A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det 复习试题 一、填空题： 1、⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ⎡⎤⎡ ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦。 答案： ⎥⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ⎰≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1 d )(x x f ≈( ⎰++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分⎰1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ， 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 16、 求解方程组⎩⎨ ⎧=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 . . 初中数学计算题大全（一） 计算下列各题 1 . 3 6)21(60tan 1)2(10 0+-----π 2． 4 3 1417)539(524---- 3．)4(31)5.01(14-÷⨯+-- 4． 5． + + 6． 7112 2 3 8． （1）03220113)2 1(++-- （2）23991012322⨯-⨯ 10． 11．（1）- （2）÷ (3)1---+ 42338-()2 3 28125 64.0-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-+6016512743 12．418123+- 13 ．⎛ ⎝ 14．．x x x x 3)1246(÷- 15．6 1 )2131()3(2÷-+-； 16．20)21()25(29 3 6318-+-+-+- 17．（1）)3 1 27(12+- （2）( )()6618332 ÷ -+ - 18．()24 3 35274158.0--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--- 19 11()|2|4-+ 20． ( ) ) 1 2013 1124π -⎛⎫---+ ⎪⎝⎭ 。 21．． 22． 112812623 - + 23．2 + 参考答案 1．解=1－|1－3|－2+23 =1+1－3－2+23 =3 【解析】略 2．5 【解析】原式=14-9=5 3．87 -【解析】解：)4(31)5.01(14-÷⨯+-- ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯--=4131231 811+-= 87-= 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。注意：4 1-底数是4， 有小数又有分数时，一般都化成分数再进行计算。 4．＝＝． 【解析】略 5．3 6．4 【解析】主要考查实数的运算，考查基本知识和基本的计算能力，题目简单，但易出错，计算需细心。 1 、+ +=232=3+- 252=42 ⨯⨯ 722 【解析】 试题分析:先化简，再合并同类二次根式即可计算出结果. 1 12234322 23 2 3 2332 考点: 二次根式的运算. 8．（1）32（2）9200 【解析】（1）原式=4+27+1 =32 （2）原式=23（1012-992 ） (1分) =23（101+99）(101-99)（2分） =232200⨯⨯=9200 （1分） 利用幂的性质求值。 利用乘法分配律求值。 9．（1）-3;（2）10 【解析】 试题分析：（1）把有理数正负数分开相加即可； （2）先算乘方，再运用乘法分配律，要注意不要漏乘即可. 试题解析： 解： （1）-23+（-37）-（-12）+45 = —23—37+12+45 = —23—37+12+45 =-3; =24—6—8 =10 考点：有理数的混合运算 (3)1-+ 11--42 33 8- 《计算方法》考前练兵-试题详解 （1）已知f(0)=-1,f(1)=1,f(2)=7，则f(1,5)的近似值是 正确答案:B （2）现测量长度为x=1.0cm.的正立方体,若g(x)=0.05cm、那么计算该正立方体的体积v的绝对误差限是氐v=( ) cm3 正确答案:C （3）用一般迭代法求×3-4x+1=0最小正根(求出x1）是以下选项中的() 正确答案:A （4）下列四个选项中（）是解方程组Ar=b的迭代格式 正确答案:A （5）用辛卜生公式计算约为 正确答案:A （6）牛顿插值多项式的余项是 正确答案:D （7）设函数f(x)区间[a，b]内有二阶连续导数，且f(a)f(b) 正确答案:C （9）要使表达式的数值计算精度更高,则此表达式可变形为()形式 正确答案:C （10）过以下两点(x0，y0)，(x1,Y1)的线性插值基函数它们满足以下的哪个条件( ) . 正确答案:C （11）用简单迭代法求方程f(x)=o的实根,把方程(x)=o表成x=p(x),则 正确答案:B （12）在区间[a,b]上作函数y=f(x)的分段线性插值,设分点ax 正确答案:D （14）用1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。 正确答案:C （15）当线性方程组满足（)时称为超定方程组。 正确答案:C （16）用n =4的复化梯形公式计算积分.，则结果为（) 正确答案:B （17）要使解线性方程组Ar=b的迭代格式收敛成立的充分必要条件是 计算方法总复习 第一章 绪论 例1． 已知数 x=2.718281828...,取近似值 x*=2.7182,那麽x 具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。 解； **314 2.718281828 2.71820.00008182 11 0.0005101022e x x --=-=-=≤=⨯=⨯ 故有四位有效数字。 例2．近似数*0.01999x =关于真值*0.02000x =有几位有效数字 解： **413 0.019990.020000.00001 11 0.00005101022 e x x ---=-=-=≤=⨯=⨯ 故有三位有效数字。 例3．数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字 点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。 解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如123 0.n a a a a 的数 则绝对误差限一定为41 102 -⨯，由于题目中的数212 0.10n x a a a -=⨯,故最终的 绝对误差为 42611 10101022 ---⨯⨯=⨯ 例4．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定*** 123x x x ++的相对误差限。 点评；此题考查相对误差的传播。 * **** 1()()()n r r i i i i f e y e x x y x =⎡⎤ ∂=⎢⎥ ∂⎣⎦ ∑ 故有********** **1122331231 2 3 ****** 123123 ()()()()()() ()r r r r e x x e x x e x x e x e x e x e x x x x x x x x x ++++++==++++ 解：333 ******1 23 123*** 12 3111 101010()()()222() 3.1050.0010.100 r e x e x e x e x x x x x x ---⨯+⨯+⨯++++===++-++=0.0004993 例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 解法1 ： 00625.01016 1 10821112=⨯=⨯⨯-+-（有效数字与相对误差限的关系） 一、计算题 1．用简便方法计算 （1）37×4×50 （2）375+387+625 （3）561–33–67 2．用递等式计算，能简算的要写出简算过 （1）45 ×7.8+3 4 5 ×2.2 （2）519.3-（19.3- 6.7） （3）1523÷[(512+1318)×1823 ] （4）25× （40×4） 3．计算：9×17+91÷17−5×17+45÷17 4．用简便方法计算 ①315+98 ②350-197 ③438-202 ④154+66+134 ⑤561-35-75 ⑥401-185 5．用递等式计算。 ①1204+879+121 ②74×60%+35 ×25+0.6 ③1.2÷23×（0.6﹣310 ） ④58×[35 ﹣（16+13）] 6．用简使方法计算 ①875-143-357 ②8×9×125 ③56×67+56×33 ④45×102 ⑤270÷6÷5 ⑥（80-8）×125 ⑦125×24 ⑧12×25 7．用简便方法计算 （1）47×2×5 （2）630÷35÷2 （3）44×52+52×56 （4）125×5×6×8 8．递等式计算（能巧算的要巧算） ①346-154-146 ②65×（24－19） ③155＋45×2 ④100-38+62 ⑤210÷7×6 ⑥35×7＋3×35 9．怎样简便怎样算 （1）35+49+25 （2）79−(49+13 ) （3）914×1415×5 9 10．计算下面各题，能简算的要简算。 11．计算下面各题，能简算的要简算。 ①58÷14×25②57×3.2+6.8÷75③105×（13+15） ④35﹣719+75﹣1219⑤6.4÷[（325﹣1.4）×45] 12．递等式计算（能简算的要简算） ①25×48×125②（437＋323）÷20×105③628－257－143＋121 ④10000-（47+23）×32⑤73×173-73×73⑥2310÷[235-160÷（13+27）] 13．用递等式计算，能简便运算的要简便运算。 （1）24×[（267+165）÷6]（2）280+120÷4×58（3）22×125×8 14．用简便方法计算 ①728-（350+228）②99×87+87③45×102(完整版)计算方法试题集及答案
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