第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
经济数学——微积分 4
不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题
经济数学——积分
二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或
dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间
/内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是
cos 兀的原函数.
(inx) =— (X >0)
X
In X 是1在区间((),+oo)内的原函数.
X
第一节
五、
定理原函数存在定理：
如果函数八X)在区间内连续, 那么在区
间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) =
f(x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么联系？
1 f
例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx
(C为任意常数)
经济数学一微积分
关于原函数的说明:
(1)
(2)
证
说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或
经济数学一微积分
经济数学——微积分
不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ?
经济数学——微积分
6
=X% /. fx^dx =——
十 C. J
」
6
例2求f --------- dr.
J 1 + X-
/ J
解?/ (arctanx)=
,,
I
‘
1 + 疋 心& =皿2
被积函数
『积分号
积分变量
寒积表达式
F(x)
例3某商品的边际成本为100-2x ,求总成
本函数C(jc).
解C(x) = J(100-2x)dx g = 1 OQx —兀2 + c IK
?其中c为任意常数
经济数学一微积分
二、不定积分的几何意义
函数八兀）的原函数的图形称为y（x）的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族，在同一
经济数学一微积分
经济数学——微积分
经济数学
微积分
基本积分表
p*l
=x“ zz> k"dx= — + C ?
J “+1
(“H -l)
既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以
根据求导公式得出积分公式.
经济数学一微积分
(1) f kdx = kx + C 仏是常数)； (2) (\“dx = J + C (〃H —1); J “+1
(3)
[竺"=In X +C;
J jr
r dx
说明；X >0, => 一 = lnx + C,
J X
x<0, [ln(-x )r= 1 (—*)' =丄，
—X X n f — =ln(-x) + C,.订咚=In I X I +C, X J X
实例
“+1
启示 能否根据求导公式得出积分公式?
结论 基本积分表
(4)
(6)
(7) f ------ -dx =arctanx4-C;
J 1 + x"
f t -------- dx = arcsin jc + C;
J
J cos xdx =sinx + C;
Jsin xdx =-cosx +C;
r dr r r
---- 2— = sec~ xdx =tanx +C; J cos X J
f = fcsc^ xdx =—cotx + C; J sin" X J
经济数学一微积分
(10)
(11)
(12)
(13) J sec X tan xdx =secx + C;
J CSC X cot xdx =—cscx +C; J/dx =gx +C;
X
= a +C;
J Ina
经济数学一議积分
经济数学一微积分
例4求积分
5
解 ^x^yfxAx — J x^dr
飞+1
2
经济数学一議积分
四、不定积分的性质
(1) Jl/(x)±g(x)jdx = J/(x)dx ± Jg(x)dx; r 证???
J/(x)dx ± Jg(x)dx
t
t
=J/(x)dx ± Jg(x)dx =/(x)±g(x).
???等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
+ C=-x^+C.
7
经济数学一議积分
J kf{x}Ax =町/（x ）dx.
（A:是常数，A: H0）
求积分
=3arctanx —2arcsinx + C
经济数学一微积分
r 1 + X + 工2
?
」X （1 + X*）
「1+…L =厂（1+% J 兀（1 +工2） J 兀（1 +云）
= arctanx + lnA +C.
例6求积分
WF
—^dx +
经济数学一微积分
解KrS 訂甯斗 」Ar(l + jr) J 兀?(1 +兀?)
J 刖 JE"
----- arctanx + C< X
经济数学一微积分
例8求积分1 ------------- —dx.
J 1 + cos 2x 解J 1 + ；心4 = j 1 + 2丄—严
￡土吨g + G
说明：以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变
形，才能使用基本积分表.
I 化积分为代做和的积分\ 例9 已
知一曲线y = f(x)在点(x,/(x))处的 切线斜率为sec^x+sinx,且此曲线与 轴的交 点为(0,5),求此曲线的方程.
例7求积分
r 1+2兀2
J 兀2（］ + 尤2）
1 + 2*2
解?/— = sec2 X十sin x,
dr
二y = J^sec' X + sinx)dx
=tanx —cosx H-C,
j(0) = 5, /. C = 6、
所求曲线方程为y = tan x — cosx + 6.
经济数学一微积分
五、小结
原函数的概念：F\x) = f(x)
不定积分的概念:J/U)dx = F(x) + C 基本积分表
(1)?(13) 求微分与求积分的互逆关系不定积分的
性质
经济数学一微积分
经济数学——积分
思考题
1, X > 0 符号函数 /(x) = sgnx = 0, X =0
—1, X < 0
在（-co,+ 00）内是否存在原函数？为什么？
经济数学——积分
X + C, X >0
X =0
[―x+C,x <0 但F （兀）在工=0处不可微， 故假
设错误
所以/（X ）在（-00, + 8）内不存在原函数.
思考题解答
不存在.
假设有原函数F （x ） F （x ） = -ic,
经济数学一微积分
练习题
、 填空题；
1. 一个已知的连续函数，有
个原函数，其中 任意两个的差是一个 2. 3? /(?V )的
______ 称为/(X)的不定积分！ 把/(“)的一个原函数F(x)的图形叫做函数/(X )
的 ______ ,它的方程是y = F(x),这样不定积 ,它的方程是 4.
5. J f(x)dx 在几何上就表示 j = F(x) + C ； 由F (x) = /(x)可知，在积分曲线
族j=F(x) + C (C 是任意常数)上横坐标相同的
点处作切线，这 些切线彼此 的；
若/(X )在某区间上 ____ ,则在该区间上/(X )的 原函数一定存在：
经济数学一微积分 6. J xsfxdx = ___________ 7 f - .J 皿- -------------- 8. J (宀 3工 + 2)dx= _ 9. J(>/7 + l)(7P'-l)dv = 10. J-—
dx =
求下列不定积分:
3x
经济数学一微积分
3. f cos* —dr
J 2
5. J （1-占）厶石血
a fF+SlirX
.
6.
----- ； ---- sec* xQx
J x" + l
, f cos 2x ■ 』J cos-X sin-
s 一曲线通过点且在任一点处的切线的斜
率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程?
经济数学一微积分 练习题答案
一、1.无穷多，常数：2.全体原函数； 积分曲线,
积分曲线族；4.平行；5.连续 2 色 2 --
-x'+C ； 7, -------- x '+C ；
5
3 3 -- +2x + C ； 3 2
2 - 2 -
- + -x2--x2-x + C ； 3 5 3 —4 - 2 - 2\?x —一—
3 5
3. 6. 9.
10.
3.
5.
X—arctanx + C；
X + sin X _
2 2
4(*+7)
717 +6
三s , = lnx+C?经济数学一微积分
2. 2’” + C；
In 2-In 3
4e-(cotx +tanx) + C ；
6. tan* —arccatx + C.
o
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
定积分的概念和性质公式
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
[2020理数]第三章 第一节 导数的概念及运算定积分
第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算、定积分 [考纲要求] 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1 x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义． 突破点一 导数的运算 [基本知识] 1．导数的概念 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝ 1x ln a 3.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? f x g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x 2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3 3．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ,则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????π4sin x ＋cos x , ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22 ,
定积分的概念与性质练习
第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?.
5.1 定积分的概念与性质-习题
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第三章+第一节+导数的概念和运算、定积分和答案
第三章导数及其应用 全国卷5年考情图解高考命题规律把握 1.本章内容在高考中一般是“一大一小”． 2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与 函数的性质相结合出现在压轴小题中． 3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的 切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或 已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题．第二 问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参 数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷Ⅱ 和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考查了导数 在函数单调性中的应用，总体难度偏大. 第一节导数的概念及运算、定积分
1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x ) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
定积分的概念教学反思
渭南市吝店中学曹茹军 本节课是高二新授课，是选修2-2第四章第一节的内容：《定积分的概念》课程内容安排为一课时。 此内容要求学生在充分认识导数的基础上，通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题，从而借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．理解掌握定积分的几何意义和性质；认识到数学知识的实用价值。 新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。学习的全过程需要学生的参与，学生是学习的主体和中心。围绕这个宗旨，我在课堂内容的编排上作了一定的思考。在内容编排上，我基本遵循由易到难的过程，从最基本的，学生所熟知的前课知识开始引入，由浅入深的引导学生加以足够地探究，使学生的发现变得自然而水到渠成。同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间，充分肯定学生的创新发现，对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善，并留出一定课后思考得余地。在问题设置上，尽量让学生能通过自己的努力探索独立完成，通过独立思考展示与合作探究展示相结合，让其承担起引导思考与解释的重任。 我想，一堂好的示范课，不应该只是一次简单的表演与展示，如果在上课之前反复编排到一词一句，会让学生疲惫，听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致，这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。因此我按照正常的教学进度，以便学生在课堂上有充分的暴露与发现的机会，当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高，我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。 当然这节课还有一些不足之处，由于没有在课前提前向学生透漏问题，想要在课堂上反应学生的真实水平，因此学生回答问题时不够全面，导致学生回答的次数较多且有些同学比较拖沓，出现了上课前松后紧的遗憾。我觉得这样的课堂模式导学案的设置是很重要的，在今后的教学中我会不断的完善自己的教学技能，提高自己的业务水平。 最后为了上好这堂课，背后凝聚了我们全组老师集体的智慧与力量，大家在一起共同研究与探讨，出了许多好的主意，在此一并表示感谢。
最新定积分的概念与性质
定积分的概念与性质
第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容： 一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上非负，连续，由直线?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...? 所围成的图形，称为曲边梯形． 求面积： 在区间?Skip Record If...?中任意插入若干个分点 ?Skip Record If...?， 把?Skip Record If...?分成?Skip Record If...?个小区间[?Skip Record If...?],[?Skip Record If...?], … [?Skip Record If...?]，它们的长度依次为： ?Skip Record If...? 经过每一个分点作平行于?Skip Record If...?轴的直线段，把曲边梯形分成?Skip Record If...?个窄曲边梯形，在每个小区间[?Skip Record If...?]上任取一点?Skip Record If...?，以[?Skip Record If...?]为底，?Skip Record If...?为高的窄边矩形近似替代第?Skip Record If...?个窄边梯形?Skip Record If...?，把这样得到的
不定积分概念及其基本运算性质
备课本 Lesson Preparation ______--______学年第____学期 Academic Year - Semester 课程名称_______________________ Course 教材名称及版本_______________________ T extbook and Edition 授课班级_______________________ Class 教师姓名_______________________ Teacher 审核人_______________________ Approver
填写说明 1、此备课本用来书写教案，适用于所有专职教师、兼职教师和兼课教师。 2、所有承担教学任务的教师需书写纸质版教案，如因使用多媒体教学需要和教学任务繁重，可用电子版教案，但格式必须按纸质版格式，且所有教案的书写应与学期授课计划相符合。 3、备课过程中的各个环节和要素可根据实际授课内容进行填写。如： 授课课题：（教学章、节、标题或项目名称） 教学目标和要求：（教学目标一般说应包含知识教学、能力发展和思想教育三方面内容，教学要求是指识记、理解、简单应用、综合应用等层次） 教学重点和难点：教学重点，是为了达到确定的教学目的而必须着重讲解和分析的内容；教学难点，是就学生的接受情况而言的，学生经过自学还不能理解或理解有困难的地方，即可确定为教学难点。 教学方法：（讨论、启发、演示、辩论、讲练结合、案例教学、情境模拟等） 教学手段：（多媒体教学、录像带、挂图、幻灯片等） 授课时间：第周 课时累计： 教学过程：（体现教学步骤，包括时间分配和教学内容教学进程）作业布置：（含思考题、讨论题） 课后反思：（因为课后反思是教案实施效果追记，课前还不能打印，只能课后用笔手写） 4、备课本的审核人为各教研室（项目中心）主任。
不定积分概念及公式
5．1不定积分的概念 一． 原函数的概念 定义1：设)(x f 是定义在区间上的已知函数，若存在一个函数)(x F 对于该区间上的每一点都有：)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=。则：)(x F 为)(x f 的一个原函数。 例：,3)(23x x ='则：3x 是23x 的一个原函数，另外由于 2323233)3(,3)1(,3)1(x x x x x x ='+='-='+，。。。。。。 即：,3,1,1333+-+x x x 。。。。。。等等也都是23x 的原函数。 即：C x +3（C 常数）全为23x 的原函数。 所以，有下面定理。 定理：一个函数)(x f ，若有一个原函数)(x F ，则必有无穷多个。而这写原函数只相差一个常数。C x F +)(是)(x f 的全体原函数。 例：设x e x cos -是)(x f 的原函数，求：)(x f '。 解：由原函数概念可知，若x e x cos -是)(x f 的原函数 则有 )(sin )cos (x f x e x e x x =+='-， 所以 =')(x f )sin ('+x e x =x e x cos + 二． 不定积分的定义 定义2。设函数)(x F 为函数)(x f 的一个原函数，则)(x f 的全部原函数C x F +)(（C 为任意常数）称为函数)(x f 的不定积分。记
作：?dx x f )(。即：?dx x f )(C x F +=)(。 )(x f ：被积函数，dx x f )(：被积表达式，x ：积分变量，?：积分号，C ：积分常数。 存在原函数的函数为：可积函数。求已知函数的不定积分，只要求出它的一个原函数，再加一个C （任意常数）。 例：求积分dx x ?23 解：233)(x x =' ∴dx x ?23C x +=3 例：求积分?xdx cos 解： x x cos )(sin =' ∴ ?dx cos C x +=sin 例：求积分dx e x ? 解： x x e e =')( ∴ dx e x ?C e x += 例：求积分dx x ?1 解： (x x 1)ln ='，)0(>x )0(,1)1(1])[ln(<=-?-='-x x x x dx x ?1C x +=ln 不定积分?（互逆）求导数。
不定积分的概念与性质
§4.1 不定积分的概念与性质 阶段练习题(A) 一、选择题 1.下列等式中正确的是( ). (A)d( ()d )()f x x f x =?; (B)d [d ()]()d d f x f x x x =?; (C)d ()()f x f x =?; (D)()d ()f x x f x C '=+?. 2.设函数 (),x f x a =()(0,1)ln x a g x a a a =>≠,则( ). (A) ()g x 是()f x 的不定积分; (B)()g x 是()f x 的导数; (C) ()f x 是()g x 的原函数; (D)()g x 是()f x 的原函数. 3. ()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x '=( ). (A) 1x ; (B) ln x x x C -+; (C)2 1x - ; (D)x e . 二、填空题 1. ( 5 sin d )x x x '=? . 2.d(arctan )x =? . 3. ()f x 的原函数是2ln ,x 则3()d x f x x '=? . 4.设 21(),cos f x x = 则()d f x x '=? ,d ()d d f x x x =? ,()d f x x =? . 5.设 ()d ,x x f x x xe e C =-+?则()d f x x '=? . 6.设()f x 的一个原函数为1 ,x 则()f x '= . 7.过点(0,1)且在横坐标为 x 的点处的切线斜率为3x 的曲线方程为 . 8.设 22(cos )sin ,f x x '=且(0)0,f =则()f x = . 9.21 ( 1)dcos cos x x -=? . 三、解答题 求下列不定积分: 1. x ; 2.2 1 (1x x - ?; 3.21d 1x x e x e -+?; 4.221d sin cos x x x ?; 5. 327d 3x x x --?; 6.4x ; 7. 221d (1)x x x +?; 8.2sin d 2 x x ?; 9. 2 cot d x x ?; 10.d 1cos 2x x -? ; 11. 22d 1x x x +?; 12.2d x x e x ?.