矩阵连乘最佳加括号方式-动态规划算法

矩阵连乘最佳加括号方式－动态规划算法

一、问题描述

给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n个矩阵的连乘积A1A2…A n。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

（1）单个矩阵是完全加括号的；

（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C 的乘积并加括号，即A=(BC)。

例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB的标准算法中，需要进行pqr次数乘。

为了说明在计算矩阵连乘积时，加括号方式对整个计算量的影响，先考察3个矩阵

{A1,A2,A3}连乘的情况。设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。加括号的方式只有两种：（（A1A2）A3），（A1（A2A3）），第一种方式需要的数乘次数为10×100×5＋10×5×50＝7500，第二种方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。第二种加括号方式的计算量时第一种方式计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大的影响。于是，自然提出矩阵连乘积的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵{A1,A2,…,A n}（其中矩阵A i的维数为p i-1×p i，i＝1,2,…,n），如何确定计算矩阵连乘积A1A2…A n的计算次序（完全加括号方式），使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

穷举搜索法的计算量太大，它不是一个有效的算法，本实验采用动态规划算法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。

二、算法思路

动态规划算法的基本思想是将待求解问题分成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，动态规划法经分解得到的子问题往往不是相互独立的，前一子问题的解为后一子问题的解提供有用的信息，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。

本实验的算法思路是：

1、计算最优值算法MatrixChain()：建立两张表（即程序中的**m和**s，利用二维指针存放），一张表存储矩阵相乘的最小运算量，主对角线上的值为0，依次求2个矩阵、3个矩阵…、直到n个矩阵相乘的最小运算量，其中每次矩阵相乘的最小运算量都在上一次矩阵相乘的最小运算量的基础上求得，最后一次求得的值即为n个矩阵相乘的最小运算量；另一张表存储最优断开位置。

2、输出矩阵结合方式算法Traceback()：矩阵结合即是给矩阵加括号，打印出矩阵结合方式，由递归过程Traceback()完成。分三种情况：

（1）只有一个矩阵，则只需打印出A1；

（2）有两个矩阵，则需打印出（A1A2）；

（3）对于矩阵数目大于2，则应该调用递归过程Traceback()两次，构造出最优加括号方式。

三、实验源程序

建立一个矩阵的类Matrix。

Matrix.h代码

#ifndef MATRIX_H

#define MATRIX_H

class Matrix

{

public:

Matrix(); //构造函数

~Matrix(); //析构函数

bool Run(); //运行接口函数

private:

int W; //记录矩阵的个数

int **m; //存放最优值，即最小运算量

int **s; //断开位置

int *p; //存放

bool Input(); //处理输入

bool MatrixChain();//计算最优值算法

void Traceback(int i,int j,int **s); //输出矩阵加括号的方式};

#endif

Matrix.cpp代码

#define N 50

#include

#include

#include "Matrix.h"

//构造函数，作变量初始化工作，为指针分配内存空间

Matrix::Matrix()

{

W=0;

m = new int*[N];

s = new int*[N];

for(int i=0; i

{

m[i] = new int[N];

s[i] = new int[N];

}

p = new int[N];

}

//析构函数，释放内存

Matrix::~Matrix()

{

for(int i=0; i

{

delete []m[i];

delete []s[i];

}

delete []m;

delete []s;

delete []p;

}

//处理键盘输入

bool Matrix::Input()

{

int w;

cout<<"矩阵个数：";

cin>>w;

W = w;

cout<<"输入矩阵A1维数"<<"：";

cin>>p[0]>>p[1];

for(int i=2 ; i<=W ; i++)

{

int m = p[i-1];

cout<<"输入矩阵A"<

cin>>p[i-1]>>p[i];

if(p[i-1] != m)

{

cout<

exit(1);

}

//cout<

}

if(p!=NULL)

return true;

else

return false;

}

//计算最优值算法

bool Matrix::MatrixChain()

{

if(NULL == p)

return false;

for(int i=1;i<=W;i++)

m[i][i]=0;

for(int r=2;r<=W;r++)

for(int i=1;i<=W-r+1;i++)

{

int j=i+r-1;

m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];

s[i][j] = i;

for(int k=i+1;k

{

int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];

if(t

{

m[i][j] = t;

s[i][j] = k;

}

}

}

return true;

}

//输出矩阵结合方式，加括号

void Matrix::T raceback(int i,int j,int **s)

{

if(i == j)

{

cout<<"A"<

}

else if(i+1 == j)

{

cout<<"(A"<

}

else

{

cout<<"(";

T raceback(i,s[i][j],s);

T raceback(s[i][j]+1,j,s);

cout<<")";

}

}

bool Matrix::Run()

{

if(Matrix::Input())

{

if(Matrix::MatrixChain())

{

Matrix::T raceback(1,W,s);

cout<

return true;

}

else

return false;

}

else

return false; }

main.cpp代码

#include "Matrix.h"

void main()

{

Matrix m;

m.Run();

}

矩阵连乘最佳加括号方式-动态规划算法

矩阵连乘最佳加括号方式－动态规划算法 一、问题描述 给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n个矩阵的连乘积A1A2…A n。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C 的乘积并加括号，即A=(BC)。 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB的标准算法中，需要进行pqr次数乘。 为了说明在计算矩阵连乘积时，加括号方式对整个计算量的影响，先考察3个矩阵 {A1,A2,A3}连乘的情况。设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。加括号的方式只有两种：（（A1A2）A3），（A1（A2A3）），第一种方式需要的数乘次数为10×100×5＋10×5×50＝7500，第二种方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。第二种加括号方式的计算量时第一种方式计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大的影响。于是，自然提出矩阵连乘积的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵{A1,A2,…,A n}（其中矩阵A i的维数为p i-1×p i，i＝1,2,…,n），如何确定计算矩阵连乘积A1A2…A n的计算次序（完全加括号方式），使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 穷举搜索法的计算量太大，它不是一个有效的算法，本实验采用动态规划算法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。 二、算法思路

动态规划算法原理与的应用

动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日

摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数

矩阵连乘(数据结构)

动态规划——矩阵连乘的问题 《问题的引出》 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次 按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。 枚举显然不可，如果枚举的话，相当于一个“完全加括号问题”，次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长，必然不行。 《建立递归关系》 子问题状态的建模（很关键）：令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。 显然如果i=j，则m[i][j]这段中就一个矩阵，需要计算的次数为0； 如果i>j，则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j 之间游荡，所以i<=k

所以计算顺序如上右图：相应的计算顺序对应代码为13-15行 m[1][n]即为最终求解，最终的输出想为（（A1（A2 A3））（（A4 A5）A6））的形式，不过没有成功，待思考... 1#include 2using namespace std; 3const int MAX = 100; 4//p用来记录矩阵的行列，main函数中有说明 5//m[i][j]用来记录第i个矩阵至第j个矩阵的最优解 6//s[][]用来记录从哪里断开的才可得到该最优解 7int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX]; 8int n;//矩阵个数 9 10void matrixChain(){ 11for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0; 12 13for(int r=2;r<=n;r++)//对角线循环 14for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//行循环 15int j = r+i-1;//列的控制 16 //找m[i][j]的最小值，先初始化一下，令k=i 17 m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; 18 s[i][j]=i; 19//k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值 20for(int k = i+1;k

矩阵连乘问题(动态规划)

矩阵连乘问题（动态规划） 一、实验目的与要求 1、明确矩阵连乘的概念。 2、利用动态规划解决矩阵连乘问题。 二、实验题： 问题描述： 给定n个矩阵｛A1,A2,...,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 三、实验代码 #include using namespace std; const int MAX = 100; //p用来记录矩阵的行列，main函数中有说明 //m[i][j]用来记录第i个矩阵至第j个矩阵的最优解 //s[][]用来记录从哪里断开的才可得到该最优解 int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX]; int n;//矩阵个数 int matrixChain(){ for(int i=0;i<=n;i++) m[i][i]=0; for(int r=2;r<=n;r++)//对角线循环 for(int i=0;i<=n-r;i++){//行循环 int j = r+i-1;//列的控制 //找m[i][j]的最小值，先初始化一下，令k=i m[i][j]=m[i+1][j]+p[i+1]*p[i]*p[j +1]; s[i][j]=i; //k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值 for(int k = i+1;k

经典算法——动态规划教程

动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。不存在一种万能的动态规划算法。但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。 多阶段决策过程最优化问题 ——动态规划的基本模型 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。 【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少? 【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下： S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3 S2: K=3，有： F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8 F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11 F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6

矩阵连乘问题算法分析与设计

矩阵连乘问题《算法分析与设计》

设计性实验报告 课程名称：《算法分析与设计》矩阵连乘问题实验题目：长：组员一：成 二：成员成员三：数学与计算机科学系别：系专业班级：指导教师：实验日期： 一、实验目的和要求

实验目的 熟悉动态规划算法设计思想和设计步骤，掌握基 本的程序设计方法，培养学生用计算机解决实际问题的能力。 实验要求 1、根据实验内容，认真编写源程序代码、上机调试程序，书写实验报告。 2、本实验项目考察学生对教材中核心知识的掌握程度和解决实际问题的能力。 3、实验项目可

以采用集中与分散实验相结合的方式进行，学生利用平时实验课时间和课外时间进行 实验，要求在学期末形成完整的项目程序设计报告。 二、实验内容提要 矩阵连乘问题给定n个矩阵{A,A,…,A}， 其中，Ai与Ai+1是可乘的，n21A,A,…,A。由于矩阵乘法满足结n-1。考查这n个矩阵的连乘积i=1,2，…，n12合律，故计算矩阵的连乘积可以有 许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反 复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可 递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=（BC）。 三、实验步骤下面考虑矩阵连乘积的最优计算次序问题的动态规划方法。（1）分析最优解的结构（最优子结构性质）设计求解具体问题的动态规划算法的第一步是刻画该问 题的最优解结构特征。对于矩阵乘积的最优计算次序问题也不例外。首先，为方便起见，降- 1 - 矩阵乘积Ai Ai+1…Aj简记为A[i:j]。

动态规划讲解大全(含例题及答案)

动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么

动态规划矩阵连乘算法

问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,A n，其中A i与A i+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数

((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系： 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。 当i=j时，A[i:j]=A i，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n 当i

解0-1背包问题的动态规划算法

关于求解0/1背包问题的动态规划算法 摘要：本文通过研究动态规划原理，提出了根据该原理解决０／１背包问题的方法与算法实现， 并对算法的正确性作了验证．观察程序运行结果，发现基于动态规划的算法能够得到正确的决策方案且比穷举法有效． 关键字：动态规划；０／１背包；约束条件；序偶；决策序列；支配规则 1、引 言 科学研究与工程实践中，常常会遇到许多优化问题，而有这么一类问题，它们的活动过程可以分为若干个阶段，但整个过程受到某一条件的限制。这若干个阶段的不同决策的组合就构成一个完整的决策。0/1背包问题就是一个典型的在资源有限的条件下，追求总的收益最大的资源有效分配的优化问题。 对于0/1背包问题，我们可以这样描述：设有一确定容量为C 的包及两个向量C ’=（S 1，S 2，……，S n ）和P=（P 1，P 2，……，P N ），再设X 为一整数集合，即X=1，2，3，……，N ，X 为SI 、PI 的下标集，T 为X 的子集，那么问题就是找出满足约束条件∑S i 〈=C ，使∑PI 获得最大的子集T 。在实际运用中，S 的元素可以是N 个经营项目各自所消耗的资源，C 可以是所能提供的资源总量，P 的元素可是人们从各项项目中得到的利润。 0/1背包问题是工程问题的典型概括，怎么样高效求出最优决策，是人们关心的问题。 2、求解问题的动态规划原理与算法 2．1动态规划原理的描述 求解问题的动态规划有向前处理法向后处理法两种，这里使用向前处理法求解0/1背包问题。对于0/1背包问题，可以通过作出变量X 1，X 2，……，X N 的一个决策序列来得到它的解。而对于变量X 的决策就是决定它是取0值还是取1值。假定决策这些X 的次序为X n ，X N-1，……，X 0。在对X 0做出决策之后，问题处于下列两种状态之一：包的剩余容量是M ，没任何效益；剩余容量是M-w ，效益值增长了P 。显然，之后对X n-1，Xn-2，……，X 1的决策相对于决策X 所产生的问题状态应该是最优的，否则X n ，……，X 1就不可能是最优决策序列。如果设F j （X ）是KNAP （1，j ，X ）最优解的值，那么F n （M ）就可表示为 F N （M ）=max(f n (M),f n-1(M-w n )+p n )} （1） 对于任意的f i (X),这里i>0，则有 f i (X)=max{f i-1(X),f i-1(X-w i )+p i } （2） 为了能由前向后推而最后求解出F N （M ），需从F 0（X ）开始。对于所有的X>=0,有F 0（X ）=0，当X<0时，有F 0（X ）等于负无穷。根据（2），可求出0〈X 〈W 1和X 〉=W 1情况下F 1（X ）的值。接着由（2）不断求出F 2，F 3，……，F N 在X 相应取值范围内的值。 2．2 0/1背包问题算法的抽象描述 (1)初始化各个元素的重量W[i]、效益值P[i]、包的最大容量M ； (2)初始化Ｓ0； (3)生成S i ；

矩阵连乘问题

一、问题描述给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB 的标准算法中，需要进行pqr次数乘。为了说明在计算矩阵连乘积时，加括号方式对整个计算量的影响，先考察3个矩阵{A1,A2,A3}连乘的情况。设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。加括号的方式只有两种：（（A1A2）A3），（A1（A2A3）），第一种方式需要的数乘次数为10×100×5＋10×5×50＝7500，第二种方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。第二种加括号方式的计算量时第一种方式计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大的影响。于是，自然提出矩阵连乘积的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵{A1,A2,…,An}（其中矩阵Ai的维数为pi-1×pi，i ＝1,2,…,n），如何确定计算矩阵连乘积A1A2…An的计算次序（完全加括号方式），使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。穷举搜索法的计算量太大，它不是一个有效的算法，本实验采用动态规划算法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。 二、算法思路动态规划算法的基本思想是将待求解问题分成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，动态规划法经分解得到的子问题往往不是相互独立的，前一子问题的解为后一子问题的解提供有用的信息，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。本实验的算法思路是： 1、计算最优值算法MatrixChain()：建立两张表（即程序中的**m和**s，利用二维指针存放），一张表存储矩阵相乘的最小运算量，主对角线上的值为0，依次求2个矩阵、3个矩阵…、直到n个矩阵相乘的最小运算量，其中每次矩阵相乘的最小运算量都在上一次矩阵相乘的最小运算量的基础上求得，最后一次求得的值即为n个矩阵相乘的最小运算量；另

算法分析复习题目及答案

一、选择题 1、二分搜索算法是利用 （A）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（A）。 A、找出最优解的性 质B、构造最优解C、算出最优解D、定义最优解3、最大效益优先是 （ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4、在下列算法中有时找不到问题解的是（B）。 A、蒙特卡罗算 法B、拉斯维加斯算法C、舍伍德算法D、数值概率算法5.回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树 6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的 是（B）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是（C）。 A运行速度快B 占用空间少C时间复杂度低D代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是 （ D ）。 A棋盘覆盖问题 B 选择问题C归并排序D0/1背包问题 9.实现循环赛日程表利用的算法是（A）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 10、下列随机算法中运行时有时候成功有时候失败的是（C） A数值概率算法B舍伍德算法C拉斯维加斯算法D蒙特卡罗算法 11．下面不是分支界限法搜索方式的是（D）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（D）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13.备忘录方法是那种算法的变形。（B） A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法14．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为 （B）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n）15．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（B）。 A、最小堆 B、最大堆 C、栈 D、数组16．最长公共子序列算法利用的算法是 （B）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（A）。 A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 18.下面是贪心算法的基本要素的是（C）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解 19.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素 （D） A.满足显约束的值的个 数 B. 计算约束函数的时间C.计算限界函数的时间 D. 确定解空间的时间

矩阵连乘问题

目录： 矩阵连乘问题： 1. 描述矩阵连乘问题 2. 分析矩阵连乘问题以及对递归式的推导（1）直接递归思路 （2）备忘录思路 （3）动态规划思路 3. 伪代码的方式描述算法： （1）直接递归算法 （2）备忘录算法 （3）动态规划算法 4. 把算法转换成程序实现的过程及结果（1）直接递归算法程序 （2）备忘录算法程序 （3）动态规划算法程序

1.描述矩阵连乘问题： 给定n 个矩阵{n A A A ?,2,1}，其中i A 和1+i A 是可乘的，i=1,2,…,n-1。考察这n 个矩阵的连乘积n A A A ?,2,1。由于矩阵乘法具有结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说连乘积已完全加括号，则可依次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A 是完全加括号的，则A 可表示为2个完全加括号的矩阵连乘B 和C 的乘积并加括号，即A=（BC ）。 矩阵A 和B 可乘的条件是矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数。若A 是一个p ×q 的矩阵，B 是一个q ×r 的矩阵，那么C=A ×B 就是一个p ×r 矩阵。它的计算是三重循环的，计算量是pqr 。如果加括号后矩阵的量是不同的，所以我们的问题就是要讨论如何给连乘的矩阵加括号才能使矩阵的计算量最少。 穷举搜索法：对于n 个矩阵的连乘积，设有不同的计算次序P(n)。由于可以先在第k 个和第k+1个矩阵之间将原矩阵序列分为两个矩阵子序列，k=1,2,...,n-1；然后分别对这两个矩阵子序列完全加括号；最后对所得的结果加括号，得到原矩阵序列的一种完全加括号方式。由此可得P(n)的递归式如下： 1 n=1 P （n ）= ∑-=-1 1 )()(n k k n P k P n>1 解此递归方程可得，P(n)=C(n-1),而C(n)是一个指数增长的函数。因此穷举搜索法不是一个有效的算法。以下将用三种方法来解决矩阵连乘问题的最优加括号方式以及最优解。 2. 分析矩阵连乘问题以及对递归式的推导 将矩阵连乘积j i i A A A ?+,1,简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]的最优计算次序。这个问题的一个关键特征是：计算A[1:n]的最优次序包含的计算矩阵子链A[1:k]和A[k+1:n]的次序也是最优的。这是因为：定义矩阵A i 的维数为p i-1×p i ,则A[i:k]的计算次数为p i-1×p k ，A[k+1,j]的计算次数为p k ×p j ，而这两个总的矩阵最后相乘时的计算量是固定的，为p i-1×p k ×p j 。所以，矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。 （1）、直接递归的思路：记计算A[i:j]，1≤i ≤j ≤n ，所需最少数乘次数为m[i][j],则原问题的最优质为m[1][n]。由分析得知：m[i][j]可以递归的定义为： 0 i=j m[i][j]= }]][1[]][[{min 1j k i j k i p p p j k m k i m -≤≤+++ i

浅谈我国动态规划算法研究与应用

动态规划算法研究与应用 1.引言 动态规划被认为是组成运筹学其中的一部分，也被当成为进行运算决定时最好的一种数学方式。在1950年左右，美国相关方面的几位数学家，对阶段决策期间关于优化的问题做了大量的研究，并发布著名的最优化理论，将众多的阶段变成了一个一个单一的问题，并分别进行解答，最后，发明了能够处理这种相关优化方面事情新的解决措施——动态规划。到了1957年，创造出了Dynamic Programming这一名著，被称为该领域创作第一人[1]。 在数学和计算机科学领域，动态规划算法对于求解最优解的问题方便快捷。动态规划方法经常用来解决生活中的实际问题，这些问题往往可以分解为很多个子问题，每个子问题都有一个对应解，其中的临界值就是我们所要求得的最优解。动态规划并非一种数学算法，而是用于最优化解题的一种技巧和方法。它非但不具有一个标准的数学方程式，不能够推导出清晰明确的解题步骤，更不具备万能性。对于要解决的若干问题，一定要建立在正确理解的基础上具体问题具体分析，用我们现有的数学知识和丰富的想象力创建模型，结合日常的技巧分析求解。客观人为的介入时间和空间因素，只要可以分为若干子问题的多状态过程，就可以用此方法快速求解。 2.动态规划算法简介 动态规划诞生之后，很快就在在工业生产、金融管理、工程技术、和资源最大化利用等领域得到了好评。在处理路线规划、物品进出库管理、资源最优化利用、更换设备、顺序、装载等问题，动态规划算法相比于其他算法更有优势而且更加便捷。 2.1基本原理 其主要的理论可以被理解成是将求解的划分成若干个子问题，并将其称作为N，然后这些子问题又有N个解的情况，其中这些可行解之中一定会有一个最优解，研究动态规划也就是希望能够找到最优解[2]。 如何能够合理的推导出基本的最优化方程式和找出唯一的临界值是研究动

矩阵连乘实验报告

华北电力大学科技学院 实验报告 实验名称矩阵连乘问题 课程名称计算机算法设计与分析 专业班级：软件12K1 学生姓名：吴旭 学号：121909020124 成绩： 指导老师：刘老师实验日期：2014.11.14

一、实验内容 矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,A n。 二、主要思想 由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为： (1)单个矩阵是完全加括号的； (2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号 的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。 运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。按以下几个步骤进行 1、分析最优解的结构 设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在A k和A k+1之间将矩阵链断开，1n,则其相应的完全加括号方式为((A1…A k)(A k+1…A n))。依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n],然后将计

算结果相乘得到A[1:n]。 2、建立递归关系 设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，1i n，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。 当i=j时，A[i:j]=A i为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。 当i

常见动态规划算法问题策略分析

常见动态规划算法问题 策略分析

目录 一、动态规划策略 (1) 1.动态规划介绍 (1) 2.求解动态规划问题步骤 (1) 二、几种动态规划算法的策略分析 (1) 1.装配线调度问题 (1) 2.矩阵链乘问题 (2) 3.最长公共子序列（LCS） (3) 4.最大字段和 (4) 5.0-1背包问题 (4) 三、两种解决策略 (5) 1.自底向上策略 (5) 2.自顶向上（备忘录）策略 (5) 3.优缺点分析 (5) 四、总结 (6)

一、动态规划策略 1.动态规划介绍 动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多 阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。 基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的 求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部 解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。 依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。 由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在 一个二维数组中。 与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建 立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。 2.求解动态规划问题步骤 （1）确定最优解结构 （2）递归定义最优解的值 （3）自底向上计算最优解的值 （4）重构最优解 二、几种动态规划算法的策略分析 1.装配线调度问题 分析：首先确定最优解结构，分析问题可知大致分为两种情况：

贪心算法与动态规划的比较

贪心算法与动态规划的比较 【摘要】介绍了计算机算法设计的两种常用算法思想：贪心算法与动态规划算法。通过介绍两种算法思想的基本原理，比较两种算法的联系和区别。通过背包问题对比了两种算法的使用特点和使用范围。 【关键字】动态规划；贪心算法；背包问题 1、引言 为了满足人们对大数据量信息处理的渴望，为解决各种实际问题，计算机算法学得到了飞速的发展，线性规划、动态规划、贪心策略等一系列运筹学模型纷纷运用到计算机算法学中，产生了解决各种现实问题的有效算法。虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的、能够用于解决许多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。本文针对部分背包问题和0/ 1 背包问题进行分析，介绍贪心算法和动态规划算法的区别。 2、背包问题的提出 给定n种物品( 每种物品仅有一件) 和一个背包。物品i的重量是w i，其价值为p i，背包的容量为M。问应如何选择物品装入背包，使得装入背包中的物品的总价值最大,每件物品i的装入情况为x i，得到的效益是p i*x i。 ⑴部分背包问题。在选择物品时，可以将物品分割为部分装入背包，即0≤x i≤1 ( 贪心算法)。 ⑵0/ 1背包问题。和部分背包问题相似，但是在选择物品装入时要么不装，要么全装入，即x i = 1或0。( 动态规划算法) 。 3、贪心算法 3.1 贪心算法的基本要素 能够使用贪心算法的许多例子都是最优化问题，每个最优化问题都包含一组限制条件和一个优化函数，符合限制条件的问题求解方案称为可行解；使优化函数取得最佳值的可行解称为最优解。此类所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到(这是贪心算法与动态规划的主要区别) 。 3.2贪心策略的定义 贪心策略是指从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得出最优值( 或较优解) 的一种解题方法。贪心策略总是做出在当前看来是最优的选择，也就是说贪心策略并不是从整体上加以考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而许多问题自身的特性决定了该问题运用贪心策略可以得到最优解或较优解。(注：贪心算法不是对所有问题都能

动态规划算法分析实验报告

六、附录 A #include #include #include #include #define MAX 100 #define n 12 #define k 5 int c[n][n]; void init(int cost[]) { int i,j; for(i=0;i<13;i++) { for(j=0;j<13;j++) { c[i][j]=MAX; } } c[1][2]=9; c[1][3]=7;c[1][4]=3; c[1][5]=2; c[2][6]=4; c[2][7]=2; c[2][8]=1; c[3][6]=2; c[3][7]=7; c[4][8]=11; c[5][7]=11;c[5][8]=8; c[6][9]=6; c[6][10]=5; c[7][9]=4; c[7][10]=3; c[8][10]=5;c[8][11]=6; c[9][12]=4; c[10][12]=2; c[11][12]=5; } void fgraph(int cost[],int path[],int d[]) { int r,j,temp,min; for(j=0;j<=n;j++) cost[j]=0; for(j=n-1;j>=1;j--) { temp=0; min=c[j][temp]+cost[temp]; for(r=0;r<=n;r++) { if(c[j][r]!=MAX)

{ if((c[j][r]+cost[r])=2;i--) { path1[i]=d[path1[i+1]]; }