解
三 角 形
◆知识点梳理
(一)正弦定理:
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===(其中R 表示三角形的外接圆半径) 适用情况:(1)已知两角和一边,求其他边或其他角; (2)已知两边和对角,求其他边或其他角。 变形:① 2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R
C =
②sin 2a A R =
,sin 2b B R =,sin 2c C R
= ③
sin sin sin a b c
A B C
++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =
(二)余弦定理:2
b =B a
c c a cos 22
2
-+(求边),cosB=ac
b c a 22
22-+(求角)
适用情况:(1)已知三边,求角;(2)已知两边和一角,求其他边或其他角。
(三)三角形的面积:①Λ=?=
a h a S 21;②Λ==A bc S sin 2
1
; ③C B A R S sin sin sin 22
=; ④R
abc S 4=;
⑤))()((c p b p a p p S ---=;⑥pr S =(其中2
a b c
p ++=,r 为内切圆半径)
(四)三角形内切圆的半径:2S r a b c
?
=++,特别地,2a b c r +-=斜直
(五)△ABC 射影定理:A c C a b cos cos ?+?=,… (六)三角边角关系:
(1)在ABC ?中,A B C ++=π;sin()A B +=sin C ;cos()A B +=cos C -
cos
2A B +=sin 2C ; 2
cos 2sin C B A =+
(2)边关系:a + b > c ,b + c > a ,c + a > b ,a -b < c ,b -c < a ,c -a > b ;
(3)大边对大角:B A b a >?>
◆考点剖析
(一)考查正弦定理与余弦定理的混合使用
例1、在△ABC 中,已知A>B>C,且A=2C, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.
例1、解:由正弦定理,得
C c A a sin sin = ∵A=2C ∴C
c
C a sin 2sin =
∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c
c
cocC 28-= ①
由余弦定理,得
C
C c C ab b a c 2
2
2
222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②
入②,得 )(44
524516舍或???==??????
?=
=a c a c ∴516524=
=c a ,
例2、如图所示,在等边三角形中,,AB a =O 为三角形的中心,过O 的直线交AB 于M ,
交AC 于N ,求22
11
OM ON +
的最大值和最小值. 例2、【解】由于O 为正三角形ABC 的中心,∴3
AO =, 6MAO NAO π∠=∠=,设MOA α∠=,则233
ππ
α≤≤
, 在AOM ?中,由正弦定理得:sin sin[()]6
OM OA
MAO ππα=
∠-+, ∴36sin()6OM πα=+,在AON ?中,由正弦定理得:36sin()
6
ON π
α=-,
∴2211OM ON +222
12[sin ()sin ()]66
a ππαα=++-2
2121(sin )2a α=+, ∵233ππα≤≤,∴3sin 14
α≤≤,故当2πα=时2211
OM ON +
取得最大值218a , 所以,当α=2,33or ππ时23sin 4α=,此时22
11
OM ON
+取得最小值215a . 变式1、在△ABC 中,角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,,已知bc ac c a ac b -=-=2
22,且,
(1)求∠A的大小;
(2)求
c
B
b sin 的值 变式1、解(1)∵b
c ac c a ac b -=-=2
22,∴bc a c b =-+222
在△ABC 中,由余弦定理得
2
1
22cos 222==-+=bc bc bc a c b A ∴∠A=060
(2)在△ABC 中,由正弦定理得a
b B 0
60sin sin =
∵0
260,=∠=A ac b ∴2
360sin 60sin sin 002===ca b c B b
变式2、在ABC ?中,A B 、为锐角,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,且
510
sin ,sin 510
A B =
= (I )求A B +的值; (II )若21a b -=-,求a b c 、、的值。 变式2、解(I )∵A B 、为锐角,510
sin ,sin 510
A B =
= ∴ 2
225310
cos 1sin ,cos 1sin A A B B =-=
=-= 253105102
cos()cos cos sin sin .A B A B A B +=-=
?-?= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
(II )由(I )知34
C π
=,∴ 2sin 2C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==得5102a b c ==,即2,5a b c b == 又∵ 21a b -=- ∴ 221b b -=- ∴ 1b =
∴ 2,5a c =
=
(二)考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用
例3、如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以AB 为一边作等边三角形ABC 。问:点B 在什么位置时,四边形OACB 面积最大?
例3、解:设AOB α∠=,在△AOB 中,由余弦定理得:
2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-??∠ 2212212cos 54cos αα=+-???=- 于是,四边形OACB 的面积为
S=S △AOB + S △ABC 213sin 24
OA OB AB α=?+ 13
21sin 4cos )2αα=???+
- 5353
sin 32sin()434πααα=-+=-+ 因为0απ<<,所以当32ππα-=,56πα=,即56
AOB π
∠=时,
四边形OACB 面积最大.
例4、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,
7,5,2
7
2cos 2sin 42
==+=-+c b a C B A . (1)求角C 的大小; (2)求△ABC 的面积.
例4、解:(1)由2
7
2cos 2cos 4,272cos 2sin 422C C C B A -=-+得
∴ 4cos 2
C -4cosC +1=0
解得 21
cos =C ∵0°<C <180°,∴C=60° ∴ C =60°
(2)由余弦定理得C 2=a 2+b 2-2ab cos C 即 7=a 2+b 2
-ab ①
又a +b =5 ∴a 2+b 2
+2ab =25 ②
由①②得ab =6
∴ S △ABC =2
3
3sin 21=C ab
变式3、已知向量(,)m a c b =+u r ,(,)n a c b a =--r
,且0m n ?=u r r ,其中,,A B C 是△ABC 的内角,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小;
(2)求sin sin A B +的取值范围.
变式3、解:(1)由0m n ?=u r r 得()()()0a c a c b b a +-+-=222
a b c ab ?+-=
由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-=
== ∵0C π<< ∴3
C π
=
(2)∵3
C π
=
∴23
A B π
+=
∴sin sin A B +=2sin sin(
)3A A π+-22sin sin cos cos sin 33
A A A ππ=+- 33sin 22A A =+313(cos )22A A =+ 3)6
A π
=+
∵203A π<<
∴5666
A πππ<+< ∴1sin()126
A π
<+≤ ∴33)326A π<+≤即3
sin sin 32
A B <+≤
(三)考查三角形形状的判断
例5、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12,最小角的正弦值为
3
1。 (1) 判断△ABC 的形状; (2) 求△ABC 的面积。 例5、解:(1)Θ b=acosC ,
∴由正弦定理,得sinB=sinAcosC, (#)
ΘB=)(C A +-π,
∴ sinB=sin(A+C),从而(#)式变为sin(A+C)= sinAcosC ,
∴cosAsinC=0,又A ,C ),0(π∈∴cosA=0,A=2
π,∴△ABC 是直角三角形。
(2)Θ△ABC 的最大边长为12,由(1)知斜边a =12,又Θ△ABC 最小角的正弦值为31,∴Rt △ABC 的最短直角边为1231
?=4,另一条直角边为28 ∴S
△ABC
=2842
1
??=162
变式4、在△ABC 中,若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. (1)判断△ABC 的形状;
(2)在上述△ABC 中,若角C 的对边1=c ,求该三角形内切圆半径的取值范围。 变式4、解:(1)由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+ 可得12
sin
22
=C
0cos =∴C 即C =90° ∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形
(2)内切圆半径 ()c b a r -+=
21
()1sin sin 2
1
-+=B A
2
1
221
4sin 22-≤
-??? ?
?+=πA ∴内切圆半径的取值范围是???
?
??-212,0
例7、在△ABC 中,已知2a b c =+,2
sin sin sin A B C =,试判断△ABC 的形状。
所以a b c ==,△ABC 为等边三角形。
变式8、在△ABC 中,cos 2B 2=a +c 2c
,(a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为 A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形或直角三角形 D .等腰直角三角形
∴a 2+c 2-b 22ac =a c
,∴a 2+c 2-b 2=2a 2,即a 2+b 2=c 2,
∴△ABC为直角三角形.答案:B
变式9、△ABC中,若sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状。
变式9、解:等腰直角三角形;
(四)考查应用:求角度、求距离、求高度
例6、在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处()海里的B处有一艘走私船,在A 处北偏西75°的方向,距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/每小时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
问:缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
解三角形题型分类解析 类型一:正弦定理 1、计算问题: 例1、(2013?北京)在△ ABC 中,a=3, b=5 , sinA=2,贝U sinB= ________ 3 a + b + c = sin A sin B sin C 例2、已知.'ABC中,.A =60 , 例3、在锐角△ ABC中,内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小; 2、三角形形状问题 例3、在ABC中,已知a,b,c分别为角A, B, C的对边, a cos A 1)试确定-ABC形状。 b cosB 2)若—=c°s B,试确定=ABC形状。b cos A 4 )在.ABC中,已知a2 ta nB=b2ta nA,试判断三角形的形状。 5)已知在-ABC中,bsinB=csinC,且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。 例4、(2016年上海)已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二:余弦定理 1、判断三角形形状:锐角、直角、钝角 在厶ABC中, 若a2b2c2,则角C是直角; 若a2b2 ::: c2,则角C是钝角; 若a2b2c2,则角C是锐角. 例1、在厶ABC中,若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ , 2、求角或者边 例2、(2016 年天津高考)在△ABC 中,若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=. 例3、在△ ABC中,已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ,求三角形的最大内角.
例4、在厶ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大的角和sinC? 3、余弦公式直接应用 例5、:在也ABC中,若a2=b2+c2+bc ,求角A 例6、:(2013重庆理20)在厶ABC中,内角A B, C的对边分别是a,b,c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2. (1)求C 例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a ? b ? c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中,a2c^b^ . 2ac (1)求/ B的大小; (2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值. 类型三:正弦、余弦定理基本应用 例1.【2015高考广东,理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = <::'3 , 1 n sin B = —,C = 一,则b =. 2 6 例 2. (a c) J=1,贝q B等于。 ac 例3.【2015高考天津,理13】在厶ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为. 4 1 例 4.在厶ABC中,sin(C-A)=1 , sinB= ,求sinA=。 3 例5.【2015高考北京,理12】在厶ABC 中, c=6,则sin2A = sin C
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? , 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?, 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈,() 32 61g t t t =--+为减函数,且102g ??= ??? , 所以当03 x π <<时, ()1 1,02 t g t <<<,从而()'0f x <; 当 3 2 x π π << 时,()1 0,02 t g t << >,从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选:A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题. 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足,222b c a bc +-=,
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2).
解三角形题型总结 题型一:正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、,若,2a A B ==, 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若 ( ) C a A c b cos cos 3=-,则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =a 2,则=a b A . B . C D 5.ABC ?中,3 π = A ,BC =3,则ABC ?的周长为( ) A . 33sin 34+??? ? ?+πB B . 36sin 34+??? ??+πB C .33sin 6+??? ??+πB D .36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中,已知3,1,60===?ABC S b A o ,则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______
1.(10分) 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC ∥AD ,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=600 ,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决 定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过450 时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米(结果保留根号)? 2. 如图,山顶建有一座铁塔,塔高CD =20m ,某人在点A 处,测得塔底C 的仰角为45o ,塔顶D 的仰角为60o ,求山高BC (精确到1m ,参考数据:2 1.41,3 1.73≈≈) 3.(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4.(8分)某市为缓解城市交通压力,决定修建人行天桥,原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ,后考虑到安全因素,将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处,使0 30=∠ADC (如图所示). (1)求调整后楼梯AD 的长; (2)求BD 的长. (结果保留根号) 5.(8分)为促进我市经济快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中,需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ,∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位) 6.(8分)(2013?恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D 在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米,到达B 处,测得“香顶”N 的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:, ).
数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1.已知sin α,sin()10 αβ-=-,,αβ均为锐角,则β=( ) A . 512 π B . 3 π C . 4 π D . 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意,可得22 π π αβ- <-< ,利用三角函数的基本关系式,分别求得 cos ,cos()ααβ-的值,利用sin[(]sin )ααββ=--,化简运算,即可求解. 【详解】 由题意,可得α,β均为锐角,∴-2π <α-β<2 π. 又sin(α-β),∴cos(α-β). 又sin α= 5,∴cos α=5 , ∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =5×10 -5×10??- ? ??? =2.∴β=4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题,其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式,合理构造sin[(]sin )ααββ=--,及化简与运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 2.将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关 于y 轴对称,且1π2f ω?? =- ??? ,则当ω取最小值时,函数()f x 的解析式为( ) A .()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B .()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C .()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D .()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义:设 P(x,y),记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式: 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式: 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式: si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式:① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R,证明:sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明:cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ,求cos( )的值. 2 ?若(0,—), tan 2,求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 , sin() 2,求芽的值.
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1 2?若sin2 2,求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ,①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型:①知三个条件 (知三个角除外),求其他(角、边、面积、周长等 ② 知两个条件,求某个特定元素或范围; ③ 知一边及其对角,求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中,若acosA bcosB ,试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形: b c a a c cosA ,其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系:在 △ ABC 中, ②若a b c ,则a b c ;③等边对等角,大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形:a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R ( R 是厶ABC 外接圆的半径). 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式: S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程:① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式:① a b si nA sin B cosA cosB .
解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理: 一、 内角和定理及诱导公式: 1.因为A B C π++=, 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-; sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-; sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=,cos sin 22 A B C +=,………… 2.大边对大角 3.在△ABC 中,熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°; (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.
四、面积公式: (1)12a S ah = (2)1()2 S r a b c =++(其中r 为三角形内切圆半径) (3)111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法: (1)已知两角和一边(如已知,,A B 边c ) 解法:根据内角和求出角)(B A C +-=π; 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b (2)已知两边和夹角(如已知C b a ,,) 解法:根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ; 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ; 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. (3)已知三边(如:c b a ,,) 解法:根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ; 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ; 根据内角和定理求角)(B A C +-=π (4)已知两边和其中一边对角(如:A b a ,,)(注意讨论解的情况) 解法1:若只求第三边,用余弦定理:222 2cos c a b ab C =+-; 解法2:若不是只求第三边,先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B (可能出现一解,两解或无解的情况,见题型一); 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π;. 先看一道例题: 例:在ABC ?中,已知0 30,32,6===B c b ,求角C 。(答案:045=C 或0135)
三角函数与解三角形专项练习 1.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos 2c A b a =-. (1)求角C ; (2)若D 是边BC 的中点,11cos 14 B =,21AD =,求AB C 的面积S . 2.如图,四边形OACB 中,,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边,且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ (1)证明:2b c a +=;
(2)若22OA OB ==,且b c =,设()0AOB θθπ∠=<<,当θ变化时,求四边形OACB 面积的最大值. 3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成,1AB =米,如图所示.小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后,以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内,落点记为F .记AOE θ∠=, (1)用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ; (2)当小球从A 到F 所用的时间最短时,求cos θ的值. 4.在ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=;①3=2ABC BA BC S →→?△;①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个,作出解答.
(1)求角B 的值; (2)若ABC 为锐角三角形,且1b =,求ABC 的面积的取值范围. 5.已知ABC 的面积为 (Ⅰ)b 和c 的值; (Ⅱ)sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ;条件②:A C =,7cos 9B =-.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 6.在ABC 中,7cos 8 A =,3c =,且b c ≠,再从条件①、条件②中选择一个作为已知,求: (1)b 的值;
解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1