80个高中数学易错题
2017年高考备考：高中数学易错点梳理
一、集合与简易逻辑
易错点1 对集合表示方法理解存在偏差
【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI
剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I
【问题】2: 已知22
{|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI
剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。
反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。
易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集
【问题】: 已知2
{|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。
错解：[-1，0）
剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2]
反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性
【问题】: 已知1∈{2a +,2
(1)a +, 2
33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =--
剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2
(1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2
33a a ++=1；均不符合题意。
正确答案：0a =
反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明
【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。
错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ”
剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I
反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误①概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；②审题不够细心。 易错点5 充分必要条件颠倒出错
【问题】:已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件错解：选B
剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。 正确答案：C 反思：对于两个条件,A B ，如果A B ?，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件，如果A B ?，则A 是B 的充要条件。判断充要条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。
易错点6 对逻辑联结词及其真值表理解不准
【问题】: 命题p ：若a 、b ∈R ，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)，则
A“p q 或”为假
B“p q 且”为真
C p q 真假
D p q 假真
错解一：选A 或B
剖析：对真值表记忆不准，本题中p q 假真，因此“p q 或”为真，而“p q 且”为假。 错法二：选C
剖析：基础不牢，在判断命题,p q 真假时出错。
正确答案：D
反思：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法： “p q 或”——有真则真；“p q 且”——有假则假；“p 非”——真假相反。 易错点7 否定全称、特称命题出错 【问题】写出下列命题的否定：
① p ：对任意的正整数x, 2
x x ≥ ；
② q ：存在一个三角形，它的内角和大于0
180； ③ r:三角形只有一个外接圆。
错解：①p ?：对任意的正整数x, 2
x x <；
②q ?：所有的三角形的内角和小于0
180； ③:r ?存在一个三角形有且只有一个外接圆。 剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。 正确答案：①p ?：存在正整数x, 使2
x x <；
②q ?：所有的三角形的内角和都不大于0
180； ③:r ?存在一个三角形至少有两个外接圆。
反思：全称命题:,()p x M p x ?∈，它的否定:,()p x M p x ??∈?，特称命题:,()p x M p x ?∈，它的否定
:,()p x M p x ??∈?。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命
题的否定，不仅要否定结论()p x ，而且还要对量词“??和”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
二、函数与导数
易错点8 求函数定义域时条件考虑不充分 【问题】: 求函数y =2
231x x --+0
(1)x +的定义域。
错解：[-3，1]
剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为0
(1)x +=1对任意实数成立。 正确答案：)(
()3,11,1---U
反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真数大于零；④零的零次幂没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集。
易错点9 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”
【问题】已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]()
2
2
x f x f y +=的值域。
错解：设3log t x =，[][]1,9,0,2x t ∈∴∈Q ，2
66y t t ∴=++，[]0,2t ∈Q ，[]6,22∴函数的值域是。
剖析：知识欠缺，求函数()[]()
2
2
x f x f y +=定义域时，应考虑2
19
19
x x ≤≤??
≤≤?. 正确答案：[]6,13函数的值域是
反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：
①若已知()f x 的定义域为],a b ??,其复合函数[()]f g x 的定义域可由不等式()a g x b ≤≤解出即可；②若已知
[()]f g x 的定义域为],a b ?? ,求()g x 的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）
。 易错点分析10 判断函数奇偶性时忽视定义域
【问题】1: 判断函数2(1)(1)(1)
x x y x x -+=-的奇偶性。
错解：原函数即21
x y x
+=，∴为奇函数
剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。 正确答案：非奇非偶函数。
【问题】2: 判断函数()f x =
的奇偶性。
错解：()()f x f x -=Q ，∴为偶函数
剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。 正确答案：既奇且偶函数。
反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x 都有()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；如果对定义域内任意x 都有()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，如果对定义域内存在0x 使00()()f x f x -≠-，则()f x 不是奇函数；如果对定义域内存在0x 使00()()f x f x -≠，则()f x 不是偶函数。
易错点11 求复合函数单调区间时忽视定义域
【问题】: 求函数2
0.5log (43)y x x =+-的增区间。
错解一：∵外层函数为减函数，内层函数2
43u x x =+-减区间为3[,)2+∞，∴原函数增区间为3[,)2
+∞。 剖析：基础不牢，忽视定义域问题
错解二：∵2
430x x +->，函数定义域为()1,4-，又内层函数2
43u x x =+-在 3(1,]2-为增函数，在3[,)2
+∞为
减函数，∴原函数增区间为3(1,]2
-。
剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。 正确答案：3[,4)2
反思：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。 易错点12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论
【问题】: 函数2
()(1)2(1)1f x m x m x =-++-的图象与x 轴只有一个交点，求实数m 的取值范围。 错解：由0?=解得03m m ==-或
剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑10m -=的情况。 正确答案：{}3,0,1-
反思：在二次型函数2
y ax bx c =++中，当0a ≠时为二次函数，其图象为抛物线；当0,0a b =≠时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意2
x 项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：
20ax bx c ++>解集为R ?0,0a >?<或a=b=0,c>0 20ax bx c ++>解集为??0,0a
易错点13 用函数图象解题时作图不准
【问题】: 求函数2()f x x =的图象与直线()2x
f x =的交点个数。
错解：两个
剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。 正确答案：三个
反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。 易错点14 忽视转化的等价性
【问题】1: 已知方程2
310mx x -+=有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数m 的取值范围。
错解：∵方程2
310mx x -+=有且只有一个根在区间（0，1）内，∴函数2
31y mx x =-+的图象与x 轴在（0，1）
内有且只有一个交点，∴(0)(1)0f f <，解得2m < 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到△=0情况。 正确答案：m<2且m=9/4 【问题】2:函数|1||
|ln --=x e
y x 的图象大致是（ ）
剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。
②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。 正确答案：D
反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。 易错点15 分段函数问题
【问题】1:.已知()211
()1x
a x x f x a
x ?-+
剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视()f x 在分界点附近函数值大小关系。
正确答案：3
,2)2
???
【问题】2:设函数2
,0,0,()(4)(0),(2)22,
0.x bx c x x f x f f f x ?++≤≤=-=-=-?>?若，求关于x 的方程
x x f =)(解的个数。
错解：两个
剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程
x x f =)(分两种情况来解。
正确答案：三个
反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，
同时还要关注分界点附近函数值变化情况。 易错点16 函数零点定理使用不当
【问题】若函数()f x 在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线，且()f x 在（-2,2）内有一个零点，则f(-2)·f(2)的值 （ ） A 大于0 B 小于0 C 等于0 D 不能确定 错解：由函数零点存在定理知，f(-2)·f(2)<0，故选B
剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数()f x 在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则
f(-2)·f(2)<0，否则f(-2)·f(2)≥0.
正确答案：D
反思：函数零点定理是指如果函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有()()0f a f b <，那么函数()f x 在区间(,)a b 内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。 易错点17 混淆两类切线的概念
【问题】: 若直线y = kx 与曲线3
2
32y x x x =-+相切试求k 的值。（提示y=kx 即过原点的切线） 错解：2
362y x x '=-+Q ，∴斜率2k =，
剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。 正确答案：1
24
k k ==-
或 反思：曲线在点P 处的切线”P 为切点且P 在曲线上，而“过点P 的切线”仅能说明点P 在曲线的切线上。 易错点18 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
【问题】:函数3
2
2
()f x x ax bx a =+++在x=1处有极值10，求,a b 的值。 错解：由(1)10,(1)0f f '==解得4,113,3a b a b ==-=-=或
剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把0()f x 为极值的必要条件当作充要条件。
正确答案：a=4,b=-11
反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是00()0()f x f x x ''=且在两侧异号。。
易错点19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
【问题】:若函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。
错解：由2
()=310f x ax '-<在R 上恒成立，∴0120a a
，解得0a <
剖析：概念模糊，错把()f x 在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上0a =时满足题意。 正确答案：0a ≤
反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
易错点20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【问题】: 已知函数f (x )的导函数f′(x )的图象如图所示，则y = f (x )的图象最有可能的是______.
错解：选,,A B D
剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于(0)(2)0f f ''==，且两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当02x x <>和时，(x)0f '>，
当02x <<时，(x)0f '<，所以函数(x)f 在(,0)-∞∞和(2,+)上为增函数，在(0,2)上为减函数。
正确答案：C
反思：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
易错点21求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例
()2112
x x
a f x ?-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数()1
f x - 剖析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用
()()0f x f x +-=（或()00f =）求得a=1.
（2）由1a =即
()2121x x f x -=+，设()y f x =,则()211x y y -=+由于1y ≠故121x y y
+=-，112log y
y
x +-=，而
()2121x x f x -=+()211,121
x =-∈-+所以()()11
12log 11x
x f x x +--=-<<
反思：（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R
可省略）。 （2）应用
1()()f b a f a b -=?=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。
【练3】函数()()111f x x x -≥的反函数是（ ）
A 、()2221y x x x =-+<
B 、()2221y x x x =-+≥
C 、
()221y x x x =-< D 、()221y x x x =-≥
答案：B
三、数列
易错点22 由n S 求n a 时忽略对“1n =”检验
【问题】:已知数列｛n a ｝的前n 项和2
1n S n n =-+，求n a 。
错解：由n 1=n n a S S --解得=22n a n -
剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了n 1=n n a S S --成立的条件n≥2，实际上当n=1时就出现了S 0，而S 0是无意义的，所以使用n 1=n n a S S --求n a ，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个n a 表示，尚需检验。 正确答案：*
1
(1)22(2,)n n a n n n N =?=?
-≥∈?
反思：在数列问题中，数列的通项n a 与其前n 项和n S 之间关系如下1
*
1(1)(2,)
n n n S n a S S n n N -=?=?
-≥∈?，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛n a ｝的n a 与n S 关系时，先令1n =求出首项1a ，然后令2n ≥求出通项1n n n a S S -=-，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令2n ≥求出通项1n n n a S S -=-，也不对1n =进行检验。
易错点23 忽视两个“中项”的区别
【问题】: 2
b a
c =是,,a b c 成等比数列的 （ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分有不必要条件 错解： C
剖析：思维不缜密，没有注意到当2
b a
c = 时，,,a b c 可能为0。 正确答案：B
反思：若,,a b c 成等比数列，则b 为a 和c 的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “2
b a
c =”仅是“b 为a 和c 的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
易错点24在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。 【问题】已知数列{}n a 是等差数列，且11232,12a a a a =++=
（1）求数列
{}n a 的通项公式（2）令()n n n b a x x R =∈求数列{}n b 前项和的公式。
剖析：本题根据条件确定数列{}n a 的通项公式再由数列{}n b 的通项公式分析可知数列{}n b 是一个等差数列和一个等比数列构成的
“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得2n a n =
（2）由（1）得2n n
b nx =令n s =232462n x x x nx ++++K （Ⅰ）则()23124212n n n xs x x n x nx +=+++-+K （Ⅱ）
用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得
()231122222n n n x s x x x x nx +-=++++-K 当
1x ≠()1
1211n
n n x x s nx x x +??-??=
---????
当1x =时()24621n s n n n =++++=+K 综上可得：
当1x ≠()1
1211n
n n x x s nx x x +??-??=---????
当1x =时()24621n s n n n =++++=+K 反思：一般情况下对于数列{}n c 有n n n c a b =其中数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列，则其前n 项和可通过在原数列的
每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练】已知1221n n n n n n
u a a b a b ab b ---=+++++K (),0,0
n N a b +∈>>当a b =时，求数列{}n
a 的前n 项和n
s
答案：1a
≠时()()()
2122
1221n n n
n a n a a a s a +++-+-+=-当1a =时()32
n
n n s +=
.
易错点25:不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。
例、求=
n
S ++++++321121111…n
+++++
Λ3211
． 剖析：本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余
哪些项规律不清而导致解题失误。
解：由等差数列的前n 项和公式得2)1(321+=
++++n n n Λ
，∴)1
1
1(2)1(23211+-=+=++++n n n n n Λ，n 取1，2，3，…，就分别得到3211,211,
11+++，…，∴=n S )1
1
1(2)4131(2)3121(2)211(2+-++-+-+-n n Λ
1
2)111(2+=
+-=n n
n ． 反思：“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个
数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求
n
n 21
6314212112
222++++++++Λ，方法还是抓通项，即)2
1
1(21)2(1212+-=+=+n n n n n n ，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：1
1++=
n n a n ，
求其前n 项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
【练】求和121222-+=n S ＋141422-+＋161622-+＋…＋1
)2(1
)2(22-+n n ．
答案：+-++-++-+=715115*********n
S …+1211211+--+n n ＝1
22++n n n
易错点26 等比数列求和时忽视对q 讨论
【问题】:在等比数列｛n a ｝中，n S 为其前n 项和，且333S a =，求它的公比q 。
错解： 3133(1)
=31a q S a q
-=-Q ，解得1q=-2
剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q 是否等于1进行讨论，导致失误。
正确答案：1q=-q=12
或
反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n 项和
n S 为分段函数，其中当q=1时，1n S na =。而这一点正是我们解题中被忽略的。
易错点27 用错了等差、等比数列的相关公式与性质
【问题】:已知等差数列｛n a ｝的前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和3m S 。 错解一：170
剖析：基础不实，记错性质，误以为23,,m m m S S S 成等差数列。 错解二：130
剖析：基础不实，误以为23,,m m m S S S 满足32m m m S S S =+。
正确答案：210
反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。 易错点28 用错位相减法求和时项数处理不当
【问题】:求和21
135(21)n n S a a n a -=++++-L 。
剖析：①考虑不全面，未对a 进行讨论，丢掉1a =时的情形。
②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。 ③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。
正确答案：212(1)
12(1)21(1)1(1)1n n n
n a s a a n a a a a a -?=?=?--++≠?---?
反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为S n ，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n 项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共n 项，有时只有1n -项。另外，如果公比为字母需分类讨论。
易错点29利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始） 【问题】等差数列{}n a 的首项10a >，前n 项和n s ，当l m ≠时，m l s s =。问n 为何值时n s 最大?
剖析：等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正
整数集这个限制条件。 解析：由题意知n s =
()()21112
22n n d d f n na d n a n -??
=+
=
+- ??
?此函数是以n 为变量的二次函数，因为10a >，当l m ≠时，m l s s =故0d <即此二次函数开口向下，故由()()f l f m =得当2
l m x +=
时()f x 取得最大值，但由于n N +
∈，故若l m +为偶数，当2
l m
n
+=
时，n s 最大。 当l m +为奇数时，当1
2
l m n +±=时n s 最大。
反思：数列的通项公式及前n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想
及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数且没有常数项，反之满足形如2n
s an bn =+所对
应的数列也必然是等差数列的前n 项和。此时由
n s an b n =+知数列中的点,n s n n ??
???
是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n 项和n n s ca c =-所对应的数列必为一等比数列的前n 项和。
【练】 设{}n a 是等差数列，n s 是前n 项和，且56s s <，678s s s =>，则下列结论错误的是（）
A 、0d
< B 、70a = C 、95s s > D 、6s 和7s 均为n s 的最大值。
答案：C （提示利用二次函数的知识得等差数列前n 项和关于n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答）
易错点30解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 【问题】已知关于的方程2
30x x a -+=和2
30x x b -+=的四个根组成首项为
3
4
的等差数列，求a b +的值。 剖析：注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。
解析：不妨设
34
是方程230x x a -+=的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程2
30x x a -+=的另一根是此等差数列的第四项，而方程2
30x
x b -+=的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：3579
,
,44,44
故2735,a b =
=从而a b +=31。 反思：等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差
数列
{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+；对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?；若数列
{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列；若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n
项的和，*N k
∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列等性质要熟练和灵活应用。
【练14】已知方程2
20x x m -+=和220x x n -+=的四个根组成一个首项为
4
的等差数列，则
m n
-=（） A 、1 B 、
4
C 、
12
D 、38
答案：C
易错点31 数列中的最值错误
【问题】:在等差数列｛n a ｝中，125a =，916S S =，求此数列的前几项和最大。 剖析：①解题不细心，在用等差数列前n 和求解时，解得n=12.5，误认为n=12.5。 ②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出13a =0时，误认为只有13S 最大。 正确答案：1213a a 或
反思：数列的通项公式与前n 项和公式都是关于正整数n 的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n 为正整数的特点，有时即使考虑了n 为正整数，但对于n 为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。
四、三角函数
易错点32 求解时忽略角的范围
【问题】1: 在ABC ?中，sin A =5
3,cos B =5
13
，求cos A ，sin B 的值。 错解：cosA=±45，sinB=±
1213
剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。 正确答案：cosA=
45，sinB=1213
【问题】2: 在ABC ?中，A B 、
为锐角，且sin ,sin 510
A B =
=，求A B +的值。 错解： 先求出sin(A B +
)=
2，∵0A B π+∈（，），∴3=44
A B ππ
+或 剖析：知识残缺，由于A B 、为锐角，所以0A B π+∈（，）
。又由于正弦函数在0π（，）上不是单调函数，所以本题不宜求sin(A B +)，宜改求cos(A B +)或tan(A B +)。 正确答案：=
4
A B π
+
【问题】1: 在ABC ?中，已知
,B=
3
π
,求角A
错解：用正弦定理求得sin A =3=44
A ππ
或
剖析：基础不牢，忽视隐含条件b a ≥出错。
正确答案：=4
A π
反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。
易错点33 求关于sin ,cos x x 最值时忽视正、余弦函数值域
【问题】:已知1sin sin 3
x y +=
，求2
sin cos y x -的最大值。 错解：令in t s x =，得22
2sin cos (11)3
y x t t t -=---≤≤，通过配方、作图解得2sin cos y x -的最大值为43
剖析：本题虽注意到in s x 的值域，但未考虑到in s x 与sin y 相互制约，即由于-1≤siny ≤1，
∴in s x 必须同时满足1sin 1
1
1sin 13x x -≤≤??
?-≤-≤??
。 正确答案：
4
9
反思：求关于sin ,cos x x 最值的常规方法是通过令in t s x =（或cosx ）将三角函数的最值问题转化为关于t 的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，t 只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。 易错点34 三角函数单调性判断错误 【问题】:已知函数y=cos(
4
π
-2x)，求它的单调减区间。
错解： 2k π≤
4
π
-2x≤2k ππ+ 剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成y=cos(2x-4
π
)求解 正确答案：5(,)()88
k k k Z π
π
ππ+
+
∈
反思：对于函数)sin(?ω+=x A y 来说，当0ω>时，由于内层函数u x ω?=+是单调递增的，所以函数)sin(?ω+=x A y 的单调性与函数x y sin =的单调性相同，故可完全按照函数x y sin =的单调性来解决；但当0ω<时，内层函数u x ω?=+是单调递减的，所以函数)sin(?ω+=x A y 的单调性与函数x y sin =的单调性正好相反，就不能按照函数x y sin =的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x 的系数化为正数加以解决，对于
带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。 易错点35 图象变换的方向把握不准
【问题】: 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??
=- ?3??
的图象（ ） A 向右平移
π6个单位 B 向右平移π3个单位 C 向左平移π3个单位 D 向左平移π
6
个单位 错解一：C
剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。 错解二：D
剖析：基础不牢，弄错了平移方向。 正确答案：A
反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，sin sin()(0)y x y x w ?=→=+>平移的量为?，
sin sin sin()(0)y x y wx y wx w ?=→=→=+>平移的量为
w
?
。 易错点36没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。
例、已知()0,α
π∈，7
sin cos 13αα+=
求tan α的值。 剖析：本题可依据条件7
sin cos 13
αα+=，利用sin cos 12sin cos αααα-=±-可解得sin cos αα-的值，再通过解
方程组的方法即可解得sin α、cos α的值。但在解题过程中易忽视sin cos 0αα<这个隐含条件来确定角α范围，主观认为sin cos αα-的值可正可负从而造成增解。
解析：据已知7sin cos 13αα+=（1）有120
2sin cos 0169
αα=-<，又由于()0,απ∈，故有sin 0,cos 0αα><，从而
sin cos 0αα->即17sin cos 12sin cos 13αααα-=-=（2）联立（1）（2）可得125
sin ,cos 1313
αα==，可得
12
tan 5
α=。
反思：在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：
结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在
()0,π区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中
实际上由单位圆中的三角函数线可知若0,2πα
??∈ ???则必有sin cos 1αα+>,故必有,2παπ??
∈ ???
。
【练】已知()1
sin cos ,0,5
θθθπ+=∈，则cot θ的值是 。
答案：34
-
易错点37 由图象求函数解析式忽略细节
【问题】：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()(0,0)y A x B A ω?ω=++>>. (1)求这段时间的最大温差.
(2)写出这段曲线的函数解析式。
剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求?时，多数学生由于点的位置取得不当，致使求得的?值不好取舍。 正确答案：（1）20C o
（2）310sin(
)208
4
y x π
π
=+
+ 反思：由三角函数图象求)sin(?ω+=x A y （0,0A ω>>）的解析式一般分三个步骤：①由函数的最大（小）值求振幅A ；②由函数的周期求ω；③由曲线上的最高（最低）点求初相?的一般解，但?有范围限制时一定要注意在指定的范围内求解。
易错点38:对正弦型函数()sin y A x ωφ=+及余弦型函数()cos y A x ωφ=+的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没
有深刻理解其意义。 例、如果函数
sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8
x π
=-
对称，那么a 等于（ ）
A.
2 B.－2 C.1 D.－1
剖析：数()sin y A x ωφ=+的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y 轴平行，而对称中心是图象与x 轴的交点，学生对函
数的对称性不理解误认为当8
x
π
=-
时，y=0，导致解答出错。
解析：（法一）函数的解析式可化为
()21sin 2y a x φ=++，故y
21a +8
x π
=-
是函数的对称
轴，则它通过函数的最大值或最小值点即
sin cos 44a ππ????
-+- ? ?????
21a =+，解得1a =-.故选D
（法二）依题意函数为
()21sin 2arctan y a x a =++,直线8
x π
=-
是函数的对称轴,故有
2arctan ,82a k k z πππ??
?-+=+∈ ???
，即：3arctan 4a k ππ=+
，而arctan ,22a ππ??
∈-
???
故arctan 4
a
π
=-
，从而1a =-故选D.
（法三）若函数关于直线8
x π
=-
是函数的对称则必有
()04f f π??
=- ???
，代入即得1a =-。
反思：对于正弦型函数()sin y A x ωφ=+及余弦型函数()cos y A x ωφ=+它们有无穷多条对称轴及无数多个对称中心，它们
的意义是分别使得函数取得最值的x 值和使得函数值为零的x 值，这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。
【练】（1）已知函数)0,0)(sin()(π?ω?ω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,4
3(π
M 对称，且在区间]2,0[π上是单调
函数，求?和ω的值. 答案：2
,2
3
π
φ
ω=
=
或2。 （2设函数的
()()()sin 2f x x φπφπ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线8
x π
=
，求φ 答案：φ=34
π-
易错点39利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。
例、在ABC ?中，30,23,2B
AB AC ?===。求ABC ?的面积
剖析：【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角C ，则相应的三角形内角A 即可确定再利用
1
sin 2
s bc A ?=即可求得。但由于正弦函数在区间()0,π内不严格格单调所以满足条件的角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检
验，务必做到不漏解、不多解。
解析：根据正弦定理知：
sin sin AB AC
C B =
即232sin sin 30C ?
=得3sin 2
C =
，由于
sin30AB AC AB ?<<即满足条件的三角
形有两个故60C
?=或120?.则30A ?=或90?故相应的三角形面积为1
232sin 3032
s ?=
???=或1
232232
??=. 反思：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）
已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间
()0,π内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在ABC
?中，已知a,b 和A 解的情况如下：
（1） 当A 为锐角
（2）若A 为直角或钝角
【练】如果满足60ABC ?∠=，2AC =，BC k =的三角表恰有一个那么k 的取值范围是（ ）
A 、8
3、012k <≤ C 、12k ≥ D 、012k <≤或83k =答案：D
五、平面向量
易错点40 概念模糊 【问题】：下列五个命题：
① 向量12PP u u u u r 与
OA uu u
r 共线，则P 1、P 2、O 、A 必在同一条直线上； ② 如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③ 四边形P 1P 2OA 是平行四边形的充要条件是12PP u u u u r =
OA uu u
r ； ④ 若∣→
a ∣=∣
b ∣，则→
a 、
b 的长度相等且方向相同或相反； ⑤ 由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。
其中正确的命题有______个。
错解：选①错，向量12PP u u u u r 与OA uu u
r 共线，则直线P 1P 2与直线OA 可能平行；选②错，若a 为零向量，则命题不正确；选③错，12PP u u u u r =
OA uu u
r 则四点P 1，P 2，O ，A 可能共线；选④错，∣→a ∣=∣∣，只能说明→a 、的长度相等但确定不了方向；选⑤错；零向量与任何向量平行。
正确答案：0
反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。在复习时不仅要理解这些概念，而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异同点。
易错点41 忽视平面向量基本定理的成立条件 【问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是 ①a =（0，0），b =（1，-2）; ②a =（-1，2），b =（5，7）; ③a =（3，5），b =（6，10）; ④a =（2，-3），b =（4，-6）;
错解：选①或③或④ 正确答案：②
剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。
反思：如果→
a 、
b 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量
c ，有且只有一对实数λ1，λ2，使
c =λ1→
a +λ2
b 。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务
必要注意这两个定理的作用和成立条件。
易错点42向量与解三角形的交汇。
例、ΔABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3→OA ＋4→OB ＋5→OC=→0 。①求数量积，→OA ·→OB ，→OB ·→OC ，→OC ·→
OA ；②求ΔABC 的面积。
剖析：第1由题意可知3→OA 、4→OB 、5→
OC 三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三
角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。
解析：①∵|→OA|=|→OB|=|→OC|=1由3→OA ＋4→OB ＋5→OC=→0 得：3→OA ＋4→OB=－5→OC 两边平方得：9→OA 2＋24→OA ·→OB ＋16→OB 2=25→OC 2∴→OA ·→
OB
=0同理：由4→OB ＋5→OC=－3→OA 求得→OB ·→OC=－45 由3→OA ＋5→OC=－4→OB 求得→OA ·→OC=－35
②由→OA ·→
OB=0,故0AB s ?=12 |→OA||→OB|=12 由→OB ·→OC=－45 得cos ∠BOC=－45 ∴sin ∠BOC=－35 ∴0BC s ?=12
|→OB||→OC|sin ∠
BOC=310 ，由→OC ·→
OA=－35 得cos ∠COA=－35 ∴sin ∠COA=45 ∴0AC s ?=12 |→OC||→OA|sin ∠COA=25 即ABC s =0AB s ?＋0AC s ?＋
0BC s ?=12 ＋310 ＋25 =65
【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。 【练40】（1）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b,c ，已知a ,b,c 成等比数列，且cosB ＝
34
。（1）求cotA+cotC 的值；（2）
设3
2BA BC ?=u u u r u u u r ，求a c +的值。
答案：（13）3a c +=。
（2）已知向量a →
=（2，2），向量→b 与向量→
a 的夹角为4
3π
，且→a ·→b =－2，①求向量→
b ；
②若)2
cos 2,(cos ,)0,1(2C A c t b t =⊥=→
→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |
的取值范围.答案：①(1,0)b =-r 或(0,1)b =-r ||b c ≤+ 易错点43解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。 例、已知椭圆C ：22 142 x y +=上动点P 到定点(),0M m ,其中02m <<的距离PM 的最小值为1.（1）请确定M 点的坐标（2）试问是否存在经过M 点的直线l ,使l 与椭圆C 的两个交点A 、B 满足条件OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r （O 为原点）,若存在,求出l 的方程,若不 存在请说是理由。 剖析：此题解题关键是由条件OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r 知0OA OB ?=u u u r u u u r 从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达定理解答。 解析：设(),p x y ，由22142x y +=得22 214x y ??=- ???故() 22 2 214x PM x m ??=-+- ?? ?()22 21212242x x m m ??+-=-+- ???由于02m <<且22x -≤≤故当022m <≤时， 2 PM 的最小值为2 21m -=此时1m =，当224m <<时，2x =取得最小值为22421m m -++=解得1,3m =不合题 意舍去。综上所知当1m =是满足题意此时M 的坐标为（1，0） 。 （2）由题意知条件OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r 等价于0OA OB ?=u u u r u u u r ，当l 的斜率不存在时，l 与C 的交点为61,2??± ? ??? ，此时0OA OB ?≠u u u r u u u r ，设l 的方程为()1y k x =-，代入椭圆方程整理得()2222124240k x k x k +-++=，由于点M 在椭圆内部故0?>恒成立，由0OA OB ?=u u u r u u u r 知12120x x y y +=即()()222 122110k x x k x k +-++=，据韦达定理得2 122 412k x x k += +，2122 2412k x x k -=+代入上式得()()()222222 1244120k k k k k k +--?++=得24k =-不合题意。综上知这样的直线不存在。 反思：在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。 此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。 【练】已知椭圆的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点2F 为圆心，过另一焦点1F 的圆被右准线截的两段弧长之比2:1,) 2,1 P 为此平面上一定点，且121PF PF ?=u u u r u u u u r .（1）求椭圆的方程（2）若直线()10y kx k =+>与椭圆交于如图两点A 、B ，令()()120f k AB F F k =?>u u u r u u u u r 。求函数()f k 的值域答案： （1）22 142 x y +=（2）()0,8 易错点44 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别 【问题】：已知向量2(,)(2,3)3 a x x b x =+=-r r 与的夹角为钝角，求实数x 的取值范围为 错解：1 22 x -<< 剖析：概念模糊，错误地认为,a b r r 为钝角0a b ? 正确答案：1 202 x x - <<≠且 反思：,a b r r 为钝角0a b a b ? x x y y x y x y + 六、不等式 易错点45不等式性质应用不当 【问题】：已知0απ<<，4π- <β<2π ，求函αβ-的取值范围。 错解： ∵0απ<<，4π-<β<2π，∴0()42 ππ αβπ--<-<-，∴αβ-∈(,)42ππ 剖析：套用错误，不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减。 正确答案：5(,)24 ππ - 反思：不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解题时，务必要检验成立条件，不 能想当然套用，忽视了就会出错。 易错点36 忽视等号同时成立的条件，扩大了范围 【问题】：已知函数2 ()f x ax bx =+，且1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤，求(2)f -的取值范围。 错解：先由1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤求出a ，b 的范围，再用不等式性质求出(2)f -的范围为[5，10]。 剖析：知识残缺，多次使用同向相加性质，从而扩大了取值范围。 正确答案：利用待定系数法或线性规划求解，(2)f -的范围为[5，10]。 反思：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式。 易错点46 去分母时没有判断分母的符号 【问题】：解不等式 26 01 x x x ---＞ 错解：∵ 26 01 x x x ---＞， ∴260x x -->，解得{}2,3x x x -＜或＞ 剖析：基础不实，没有考虑分母1x -的符号，直接去分母，应对1x -进行分类讨论，或用数轴标根法求解。 正确答案：(2,1)(3,)-+∞U 反思：解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b,c>0?a c >b c ；a >b,c<0?a c 去分母将分式不等式转化为整式不等式，但在去分母之前必须对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论。 易错点47 解含参数不等式时分类讨论不当 【问题】：解关于x 的不等式212x a -≤- 错解一：原不等式等价于(2)212a x a --≤-≤-，解得31 2222 a a x - +≤≤- 剖析：基础不实，直接利用绝对值不等式的解集公式，而忽视对a-2进行分类讨论。 错解二：当20a -<时，原不等式不成立。 当20a ->时，原不等式等价于(2)212a x a --≤-≤-，解得312222a a x - +≤≤- 剖析：技能不熟，没有对20a -=进行讨论。 正确答案：当20a -<时，不等式解集是Φ；当20a -≥时，不等式解集是3122a a x x --?? ≤≤??? ? 反思：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不 漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。 易错点48 忽视均值不等式应用条件 【问题】1：若x<0，求函数f(x) =2 x x + 的最值。 错解:当x f(x)取得最小值剖析：基础不实，基本不等式a b +≥2 ab 成立条件为0,0a b >>，本题中x<0，不能直接使用公式。 正确答案：最大值为-，无最小值。 【问题】：设0x π<<，求函数4 ()sin sin f x x x =+的最小值。 错解：4()sin 4sin f x x x =+ ≥= 剖析：知识残缺，因为上述解法取等号条件是4 sin sin x x = ，sin 2x =±，而这是不可能的。 正确答案：最小值为5 【问题】3：设0,0a b >>，且1a b +=，求函数f(x) =23 a b +的最小值。 错解：∵ 2 3a b +=()a b + (23a b +)≥6 22 ab ab g ＝46，∴函数f(x)的最小值为46。 剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但两次使用均值不等式时取等号的条件不一样，因此取不到46。 正确答案：最小值为526+ 反思：均值不等式a b +≥2 ab （0,0a b >>）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。 在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；② 若是0,0a b >>不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。 易错点49 平面区域不明 【问题】：()()0312<-++-y x y x 表示的平面区域是（ ） 错解一：选A 计算错误 错解二：选B 思维不缜密 错解三：选D 审题粗心，未注意到不含等号。 正确答案：C 反思：一条直线:0(,l Ax By C A B ++=不全为零）把平面分成两个半平面，在每个半平面内的点（x ，y ）使 Ax By C ++值的符号一致。鉴于此，作不等式对应的平面区域方法是画线定界，取点定域，若含等号画实线，否则 画虚线。 易错点49 求目标函数最值时忽视y 的系数B 的符号 【问题】：若变量,x y 满足约束条件1, 0,20,y x y x y ≤?? +≥??--≤? 求目标函数2z x y =-的最大值。 错解：先作可行域，在平移直线:2l x y t -=得最优解（-1，1）,所以max 3z =- 剖析：识记错误，当y 的系数小于0时，使得直线l 在y 轴上截距最大的可行解，是目标函数取得最小值的最优解。 正确答案：3 反思：解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，动直线:l Ax By t +=在y 轴上的截距越大，目标函数 z Ax By =+值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B<0时，动直线:l Ax By t +=在y 轴上截距越大，目 标函数z Ax By =+值越小，截距越小，目标函数值越大。其中y 的系数B 的符号是 解题的关键，也是同学们经常忽略的地方。 七、立体几何 高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类 表： 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构 . 所以，数 学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论??等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 . 一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有 关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 . 1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确， 加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 . 2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体， 而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 . 1. 数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ） 1 1 1 1 1 1 A.a ≤ - 或 a ≥ B.a < C.- ≤ a ≤ D.a ≥ 2 2 2 2 2 2 【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0 , 又与试题的难易程 易错题的分类解析 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是 2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I 高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学中的易忘、易错、易混点梳理 高三数学复习的策略非常重要，如果在复习中心浮气躁、东一榔头西一棒，或者不根据自己的实际情况，盲目地随大流，都难以取得良好的复习效果。为了争取最佳的复习效果，在高三后期及时调整自己的复习方略是非常必要的。 确定复习策略的依据有两条，一是高考的考试大纲（或《考试说明》），二是自己的实际情况。复习工作的目的，就是努力使自己的数学水平达到考试大纲的要求。经常梳理自己的知识系统，结合自己的具体情况制定数学复习策略，及时调整数学复习方法，是每一位同学都需要重视的工作。只有摸清自己的易忘、易错、易混点，才能完善学科知识和能力结构，明确复习重点，做到查漏补缺。 系统地梳理知识，需要用心体会，耐心地将平时含糊不清、似是而非的概念、 公式彻底理清。如：异面直线上两点间的距离公式EF =正、负号如何确定；给定区间内，求二次函数的最值的讨论依据是什么； sin()y x ωφ=+的图形变换的顺序； 应用导数确定函数极值点、单调区间的基本步骤等等，这一些易忘点、易错点、易混点，需要自己及时“回到课本”逐一弄懂，千万不能一带而过，也不要以为记住概念和公式就万事大吉了。例如，梳理“数列求和”不但要求记住公式，还应该从公式的推导过程中去体会“倒序求和”、“错位相减求和”、“拆项求和”等方法和技巧，进而把握“归纳、递推” 、“化归、转化”等数学思想。数学思想方法是更高层次的抽象和概括，它能够进行广泛的迁移，形成解决数学问题的通性通法。又如整理“不等式的解法”时，如果只是机械地分类型罗列几种解法，那么遇到一个陌生的不等式，仍然没有办法。只有当我们把握了解不等式的思想方法才能变化自如，融会贯通。梳理知识还应该注意一题多解、一题多变，不断地比较和提炼，使方法最优化。 高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论 了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几 种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0( 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. 集合部分错题库 1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)} 3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a 2 }，若A B ，则实数a 的范围为 A.［6，+∞) B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 高中数学高考易错知识点归纳 忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊 情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式。因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况。 忽视圆锥曲线定义中条件致误 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件。如在双 曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|。如果不满足第一 个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是 双曲线的一支。 误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次 方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项 系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行或重合，也就是直线与双曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系。在直线 与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其 特殊性。 两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解 “分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质 特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基 本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理。 排列、组合不分致误 为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决.建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性 的是组合问题。 混淆项系数与二项式系数致误 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到 高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011?江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，?=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且 高中数学错题精选一：三角部分 1．△ABC 中，已知cosA= 135，sinB=5 3 ，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、65 16 - 2．为了得到函数??? ? ? -=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3 π 3．若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. 121 n - D. 不能确定 4．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是…………………( ) A. ]3, 0[π B. ]127, 12[ ππ C. ]65,3[ππ D. ],6 5[ππ 5．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为（ ） A 、),2(+∞ B 、),1(+∞ C 、)2,1( D 、)1,1(- 6．已知53sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ <<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12 543--或 7．曲线y=2sin(x+)4 πcos(x-4 π)和直线y=2 1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、 P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 8．函数的图象的一条对称轴的方程是（） 9．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π 3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得 函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+ π 3 ) B ． y=sin(－2x － π3 ) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π 3 ) 10．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ） A 、]4 ,4 [π ππ π+- k k （z k ∈） B 、)](43 ,4[z k k k ∈++ πππ π C 、)](2 2,4 2[z k k k ∈+ + π ππ π D 、)](2 ,4 [z k k k ∈+ + π ππ π 11．已知奇函数()[]上为，在01 -x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β) C 、f(sin α)＜f(cos β) D 、f(sin α)＞ f(cos β) 高中数学错题精选二：不等式部分 1、若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤- 21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥ 2 1 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。 2、已知函数y =㏒2 1(3x )52 +-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤-6 B -60＜a ＜-6 C -8＜a ≤-6 D －8≤a ≤-6 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。 3、f(x)=︱2x —1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2 a -＜2c D 22+a c ＜2 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。 4、已知实数x 、y 满足x 2+y 2=1，则(1－xy)(1+xy)( ) A.有最小值 2 1 ，也有最大值1 B.有最小值 4 3 ，也有最大值1 C.有最小值 4 3 ，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值 正确答案：B 。 错误原因：容易忽视x 、y 本身的范围。 5、已知21,x x 是方程)(0)53()2(2 2R k k k x k x ∈=+++--的两个实根，则2 22 1x x +的最大值为 （ ）高中数学易错题分类及解析
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