2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第四节 数列求和

第四节 数列求和

授课提示：对应学生用书第98页

[基础梳理]

1．等差数列的前n 项和公式

S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1

＋n （n －1）2

d ． 2．等比数列的前n 项和公式

S n ＝???

na 1，q ＝1，

a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.

3．数列求和方法 (1)公式法求和：

使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法．

(2)错位相减法：

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．

(3)倒序相加法：

如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法：

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法：

一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式

(1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，

则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1

)； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1

n ＋k

)； (3)1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n ；

(4)log a (1＋1

n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝

n （n ＋1）

2

. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n .

(4)12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）

6

.

(5)13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2.

[四基自测] 1．(基础点：裂项求和)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1

n （n ＋1）

，则S 5等于( )

A ．1

B ．5

6 C.1

6

D ．130

答案：B

2．(易错点：错位相减法求和)1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝________(x ≠0且x ≠1)．

答案：1－x n （1－x ）2－nx n

1－x

3．(易错点：分组转化法求和)(2－1)＋(22－2)＋…＋(210－10)＝________． 答案：211－57

4．(基础点：并项求和)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________． 答案：9

授课提示：对应学生用书第99页

考点一 分组、并项转化法求和

挖掘1 分组转化求和/ 互动探究

[例1] (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )

A ．2n ＋n 2－1

B ．2n ＋

1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －2 [解析] S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n

＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n ＋2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )＋2(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2（1－2n ）1－2

＋2×n （n ＋1）2－n

＝2(2n －1)＋n 2＋n －n ＝2n ＋1＋n 2－2. [答案] C

(2)直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N ＋.

数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1

4|A n B n |2. ①求数列{a n }的通项公式；

②若b n ＝???2n －1（n 为奇数），

a n

（n 为偶数），求数列{b n }的前n 项和T n .

[解析] ①由题意知，圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ，圆C n 的半径r n ＝2a n ＋n ，

所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2

n －d 2n ＝2a n ＋n －n ＝2a n ， 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1. ②当n 为偶数时，

T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n （n －1）2＋2（1－2n ）1－4

＝n 2－n 2＋23(2n

－1)．

当n 为奇数时，n ＋1为偶数，

T n ＋1＝（n ＋1）2－（n ＋1）2

＋23(2n ＋1

－1)

＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1

－1)．

而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n ，

所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n

－2)． 所以

T n ＝?????n 2－n 2＋23（2n －1）（n 为偶数），n 2＋n 2＋13（2n －2）（n 为奇数）.

[

[例2] (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ (－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．76 C ．46 D ．－76

[解析] 因为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，所以S 15＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S 22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S 31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76. [答案] D

(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ? ??

??

2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝

( )

A.

2 019×2 020

2

B.2 020×2 021

2

C.2 019×2 0192

D.2 020×2 0202

[解析] a n ＝n 2sin ? ????

2n ＋12π＝??

?－n 2 （n 为奇数），n 2 （n 为偶数），

∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝－12＋22－32＋42－…－2 0192＋2 0202＝(22－12)＋(42

－32)＋…＋(2 0202－2 0192)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 020＝2 020×2 021

2

.

[答案] B [破题技法] 方法 解读 适合题型

并项转化法 常见的有首末并项、隔项并项、分段并项、周期并项 并项后的数列构成一个特殊数列 周期结合起来．

一个数列通项公式为a n ＝2sin n

2π，求S 10.

解析：T ＝4，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，

∴S 10＝a 9＋a 10＝a 1＋a 2＝2sin π2＋2sin 2

2π＝2.

考点二 裂项相消法求和

挖掘1 裂项为差/ 互动探究 [例1] (1)(2020·广州天河一模)数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝1

＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1

a 99

＝( )

A.99

98 B ．2 C.9950 D.99100

[解析] 对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝

(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2，则

1

a n

＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1

a 99

＝

2×??????? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????199－1100＝2×? ????1－1100＝9950.故选C. [答案] C (2)(2020·安徽安庆二模)已知等比数列{a n }满足：S 1＝1，S 2＝4. ①求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；

②设b n ＝1

（n ＋1）log 3a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

[解析] ①设等比数列{a n }的公比为q ，

∵S 1＝1，S 2＝4，

∴a 1＝1，a 1(1＋q )＝4，解得q ＝3， ∴a n ＝3n －1.

∴S n ＝3n －13－1＝12

(3n

－1)．

②b n ＝1（n ＋1）log 3a n ＋1＝1（n ＋1）n ＝1n －1

n ＋1

，

∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n

n ＋1

.

[破题技法] 1.裂项相消法就是将数列的通项拆分成两个式子的差，然后通过累加抵消掉中间的许多项的求和方法，此种方法适用于通项可以分裂成两式之差，尤其是分母为等差数列的两项之积的类型的数列求和问题．破解此类题的关键点： (1)定通项，即根据已知条件求出数列的通项公式．

(2)巧裂项，即根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式．

(3)消项求和，即通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和． 2．为了准确裂项、消项，一般先试裂、试消． 裂项注意系数“配平”，消项时，前面剩多少项，最后就剩相同的项数． 挖掘2 裂项为和/自主练透

[例2] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝(－1)n －14n

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

[解析] (1)由于等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，所以S n ＝na 1＋

n （n －1）

2

×2＝n 2－n ＋na 1，故S 1＝a 1，S 2＝2＋2a 1，S 4＝12＋4a 1.由于S 1，S 2，S 4成等比数列．故(2＋2a 1)2＝a 1(12＋4a 1)，解得a 1＝1，故a n ＝2n －1.

(2)由(1)可知b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －1·4n （2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1

(12n －1

＋

12n ＋1)，当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋(15＋17)－…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1

＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(12n －1＋12n ＋1)＝2（n －1）2（n －1）＋1＋(12n －1＋1

2n ＋1)＝2n ＋22n ＋1

.

所以T n ＝?????2n 2n ＋1，n 为偶数，

2n ＋22n ＋1，n 为奇数.

[破题技法] 本题每项不能分解成两项之差，结合条件中公式的特点，运用裂项前和裂项后相等进行检验，故将每项分解成两项之和，裂项相消法的实质是将数列中的每项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，可能是和式或差式．

考点三 错位相加减法

挖掘1 错位相减求和/ 互动探究

[例1] (1)12＋12＋38＋…＋n

2n 的值为__________．

[解析] 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n

2n ，①

得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n

2

n ＋1，②

①－②得， 12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12??????1－? ????12n 1－12

－n 2n ＋1，

∴S n ＝2n ＋1－n －22n ＝2－

n ＋22n . [答案] 2－n ＋2

2n

(2)(2020·湖北武汉模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋2＝14S n ＋3

2. ①求数列{a n }的首项a 1和公比q ；

②若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

[解析] ①∵S n ＋2＝14S n ＋3

2，

∴S 3＝14S 1＋32，S 4＝14S 2＋32，

两式相减得：a 4＝1

4a 2，

∴q 2＝14，又q ＞0，则q ＝12.

又由S 3＝14S 1＋3

2，

可知：a 1＋a 2＋a 3＝14a 1＋3

2，

∴a 1(1＋12＋14)＝14a 1＋3

2， ∴a 1＝1.

②由①知a n ＝(1

2)n －1.

∴b n ＝n

2

n －1，

∴T n ＝1＋22＋322＋…＋n

2n －1，

12T n ＝12＋2

22＋…＋n －12n －1＋n 2n .

两式相减得12T n ＝1＋12＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12

n －1－n

2n .

∴T n ＝4－n ＋2

2

n －1.

[破题技法] 1.如果数列{a n }是一个由等差数列{b n }及等比数列{c n }对应项之积组成的数列，即a n ＝b n ·c n ，则其前n 项和S n 的求解常用错位相减法．破解此类题的关键点：

(1)巧分拆，即将数列的通项公式分拆为等差数列与等比数列积的形式，并求出公差和公比．

(2)构差式，即写出S n 的表达式，再乘以公比或除以公比，然后将两式相减． (3)后求和，根据差式的特征准确进行求和．

2．在S n 两边同乘以公比q 时，要保证q ≠1，两式相减时，要找q 的同次项相减． 挖掘2 错位相加法/互动探究

[例2] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝(1

4)n (n ∈N ＋)，记T n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n ·4n －1，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求5T n －4n a n . [解析] T n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n ·4n －1， 4T n ＝a 1·4＋a 2·42＋a 3·43＋…＋a n ·4n ， 两式相加得，

5T n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42(a 2＋a 3)＋…＋4n －1(a n ＋a n －1)＋4n a n ，

由a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝(14)n

(n ∈N ＋)，

则5T n ＝1＋4×14＋42×(14)2＋…＋4n －1×(1

4)n －1＋4n a n ＝n ＋4n a n ，所以5T n －4n a n ＝n . [破题技法] 本题是类比课本推导等比数列求和公式的错位相减法，学生大部分就照搬课本方法，但是做不出来，因为此题稍微做了创新．注意题目中的条件，突破通法通性，运用错位相加法，即可求得结论．教学中应注重揭示问题的本质，无论是错位相减还是错位相加都是错位相消法．

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)

专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

高考理科数学复习题解析 数列求和

高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．

2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第四节 数列求和

第四节 数列求和 授课提示：对应学生用书第98页 [基础梳理] 1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1 ＋n （n －1）2 d ． 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 3．数列求和方法 (1)公式法求和： 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法． (2)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)倒序相加法： 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法： 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式 (1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)， 则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1 )； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1 n ＋k )； (3)1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a (1＋1 n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式

(新课标)高考数学总复习：考点15-数列求和(含解析)

考点15 数列求和 1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知 {}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =， 则数列1n a ??????的前5项和为( ) （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． 【思路点拨】求出数列 {} n a 的通项公式是关键． 【规范解答】选C ．设1 n n a q -=，则36361199(1)111q q q q q q --?=?-=---， 即33 918,2q q q =+?=∴=，11112()2n n n n a a --∴=?=，5 51 1()31211612T -∴==-． 2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比2q = ，Sn 为{an}的前n 项和． 记 *21 17,. n n n n S S T n N a +-= ∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = ． 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、基本不等式等基础知识． 【思路点拨】化简 n T 利用基本不等式求最值． 【规范解答】 , )2(,2 1])2(1[,2 1])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--= --= + ∴ ], 17)2()2(16[ 2 11)2(2 1])2(1[2 1])2(1[171211-+?-= --- --?= n n n n n n a a a T ∵ , 8)2()2(16 ≥+n n 当且仅当16)2(2=n 即216n =，所以当n=4，即04n =时，4T 最大． 【答案】4 3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,, n a a a 中的每一项都不为0． 证明： {}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有

高考数学数列求和练习

数列求和练习1 1. 已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且 a 1=b 1=2,a 4+b 4=27,s 4-b 4=10. (1)求数列与的通项公式; (2)记S n 、T n 分别为数列{a n }{b n }的前n 项和，求S n 、T n 2. 设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式. 3. 设为数列的前项和，，，其中是常数． （1） 求及； （2） 若对于任意的，，，成等比数列，求的值 {}n a n n S {}n b {}n a {}n b {}n a n n S {}n S n n T 22n n T S n =-n ∈ *N 1a {}n a n S {}n a n 2 n S kn n =+*n N ∈k 1a n a *m N ∈m a 2m a 4m a k

4.等比数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式 及前项和。 5.已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a {}n a 142,16a a =={}n a 35,a a {}n b {}n b n n S

6.已知数列满足， . （1） 令，证明：是等比数列； (2)求的通项公式。 7.若数列的递推公式为1111 3,2()n n a n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。 8.已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式n a 。 9.数列{a n }中，a 1=1, a n+1=2a n +2n . {}n a *1 1212,,2 n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝ ＝1n n n b a a +=-{}n b {}n a

高考数学专题复习数列求和

第4讲数列求和 一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，

∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数 是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以

高三数学数列求和专项复习

高中数学数列求和专题复习 1．公式法求和 （ 1 ）等差数列前项和公式 （ 2 ）等比数列前项和公式时 时 （ 3 ）前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和注意事项（ 1 ）弄准求和项数的值； （ 2 ）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。 例 1 ．求数列的所有项的和 例 2 ．求和 ( ) 2 ．分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如： 的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和：，… 例 2．求数列 1 ，，，…，的所有项的和。

例 3 ．已知数列中，，求。 练习 1 、求和： 练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 . 练习 3 、已知： .求 . 练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 （Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求数列 3 ．并项法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 S n . 例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 . 例 2 、在各项均为正数的等比数列中，若 的值 . 例 3 ．数列中，，求。 例 64．数列中，，，求及。 4 ．错位相减法求和 例 1 、 练习 1 、已知数列

练习 2 、已知数列，求数列的前 n 项和。 练习 3．求和（）。 5 ．裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有： 若是公差为的等差数列，则； ； ； ； * ； 例 1 ．求和。 例 2 ．求和。 练习1、数列 { } 的前 n 项和为，且满足 （ I ）求与的关系式，并求 { } 的通项公式； （ II ）求和

高三数列列项求和和放缩法专题

（一）数列通项公式的求法 8.(1)和型: )(1n f a a n n =++ 基本思路是，由)(1n f a a n n =++得)1(21+=+++n f a a n n ，相减，得奇数项成等差，偶数项成等 差，分别求奇数项通项，偶数项通项。 例如：数列{}n a 中相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b =____． (2)积型：)(1n f a a n n =?+ 基本思路是，由)(1n f a a n n =?+，得)1(21+=?++n f a a n n ，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反． 例如：已知数列}{n a 中，11=a ，n n n a a )2 1(1=?+，则数列}{n a 的通项公式为________． 特别地： (1)如果数列}{n a 从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列}{n a 为等和数列。 递推公式为：?? ?=+=+c a a a a n n 11 （c 为常数），则n n a a =+2．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶 数项也相等． (2)如果数列}{n b 从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列}{n b 为等积数列。 递推公式为：?? ?=?=+p b b b b n n 11 （p 为常数），则n n a a =+2，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶 数项也相等． 9.周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例如：已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则56a =______. 10.取对数法 形如r n n pa a =+1，一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 例如.设正项数列{}n a 满足11=a ，2 12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 11.换元法：适用于含有根式递推关系式 类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。 例如.已知数列}{n a 中，111 (14116 n n a a a +=+=，，求数列}{n a 的通项公式.

高考理科数学二轮复习训练-数列求和

专题复习检测 A 卷 1．(2019年福建泉州模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n － 1·n ，则S 17＝( ) A ．8 B ．9 C ．16 D ．17 【答案】B 【解析】S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 【答案】A 【解析】因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60.所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·60 2 ＝390，即n ＝13. 3．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．30 【答案】C 【解析】∵a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，∴数列{a n }是首项为－5，公差为2的等差数列．∴a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.数列{a n }的前n 项和S n ＝n (－5＋2n －7)2＝n 2－6n .令a n ＝2n －7≥0，解 得n ≥7 2.∴n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n .则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5 ＋a 6＝S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.故选C ． 4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1 n . 第二步：将数列的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．(n ＋1)2 B ．(n －1)2 C ．n (n －1) D ．n (n ＋1) 【答案】C

高三数学教案 第七讲数列求和

第七讲 数列求和 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.设 4710 310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ D ） A.2(81)7n - B.12(81)7n +- C.3 2(81)7n +- D.4 2(81)7n +- 2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n 项和Sn=100,则n=（ B ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3.）数列 {} n a 的前n 项和为 n S ，若 1 (1)n a n n = +，则5S 等于（ B ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．1 30 4.设Sn 是等差数列｛an ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6 S 12＝ A.310 B.13 C.18 D.1 9 解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112 1615273 12669010S a d d S a d d +===+,故选A 5.已知数列 } {n a 、 } {n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ， *11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ） A ．55 B ．70 C ．85 D ．100 解：数列 } {n a 、 } {n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ， *11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210 b b b a a a +++= 11119 b b b a a a ++++ +， 111(1)4 b a a b =+-=，∴ 11119 b b b a a a +++++ =4561385+++ +=，选C. 6.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列 } 1{ +n a n 的前n 项和的公式是 解：1(1)n n y nx n x -'=-+，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n -1-(n+1)2n

2020年高考数学(理)之数列专题07数列的求和(错位相减法求和)(解析版)

数列 07 数列的求和（错位相减法求和） 、 具体目 1. 掌握等差、等比数列的求 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非 等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和 . 二、知识概述： 求数列前 n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 35 等差： S n n(a 1 a n ) 2 na 1 n(n 1)d 2 d ； 等比： S n na 1 a 1(1 q n ) (q 1q (q 1） 公比是字母时需要讨论 . 1） （ 理 ） 无穷递缩等比数列时， a 1 1q 2） 掌握一些常见的数列的前 n 项和公 式： 23 n 2 1 ； 2 4 6 2n n ； 1 2 22 2 2 3 2 n n 1 2n 1 ；1 3 2 3 3 3 2 n 2 ；

3）倒序相加法求和：如果一个数列 a n ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个 常数， 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法 . （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前 n 项和即可用此法来求 . q 倍错位相减法： 若数列 c n 的通项公式 c n a n b n ，其中 a n 、b n 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以 组成这个数列的等比数列 的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫 q 倍错位相减法． 温馨提示： 1. 两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合 . 2. 关注相减的项数及没有参与相减的项的保留 . （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一 项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并 . f n ,n 2k 1,k N 形如： a n b n 其中 a n 是等差数列 ， a n b 是等比数列 g n ,n 2k,k N 2 2 2 2 2 2 6)合并求和：如求 1002 992 982 972 22 12 的和 . 7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项 常见拆项： 错位相减法例题解析】 2n 【解析】由 S n 1 1 2 1 31 n 2 4 8 1 1 1 得： 1 2 2 3 3 n 2 22 23 两边同乘以 1 得： 2 1 1 1 1 1S n 1 1 2 2 3 3 4 (n 2 22 23 24 将（ 1）—（ 2）得： 1 S n 1 11 L 2 2 22 23 1. 【2018 优选题】求和： S n 1 1 2 2 1 4 1 1 1 2n1 1 n 21 n （1） 1 1 1) n n n 1 （2 2 2 1 1 n 2n 2 n 1 2n 1 1 1 n(n 1) n n 1 1 (2n 1)(2n 1) 1 1 1 2 2n 1 2n 1 1 n(n 1)(n 2) 11 2 n(n 1) 1 (n 1)(n 2) n .

公开课高三理科数学第一轮数列求和复习

数列求和课例的教学设计 一教学目标: 研究近几年的高考试卷,发现数列与不等式,三角函数,向量等知识的综合应用往往出现在高考中的最后两题,成为学生的丢分题,从而加强数列综合应用的教学显得尤为重要.根据学生的认知水平和数列求和在新课程理念的要求,确定教学目标如下：◆知识目标： ①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位 相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1; ②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和; ③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非 特殊数列求和问题。 ◆能力目标： 培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。 ◆情感目标： 培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 二教材重、难点 数列求和是一个很重要的内容,前面已学习了等差与等比数列求前n项和的公式,但是不少题目是不能直接套用公式的,有些需要用一些特殊的方法,如课本上介绍的“高斯求和法”（“倒序相加法”）、“错位相减法”等．常用的数列求和法主要有下面几种：1．直接用等差与等比求前n项和的公式法；2．折项或并项求和法；3．奇偶求和法；4．裂项求和法；5．错位相减法；6.猜想归纳法．本节课是高三第一轮复习中数列求和的第一节,从而分析变换通项以及用局部和整体的思想来选择恰当的方法对非特殊的数列求和是本节课的重点与难点. 三教学方法、手段 通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 四学情分析 本人执教的学校是省重点中学,所教的班级是高三年级的实验班,学生具有较好的数学功底, 具备一定的独立思考、合作探究能力,因此本节课采用学生主讲、教师点评的授课方式,既能充分发挥学生主观能动性,又能充分暴露学生认知过程中的错误,更重要的是能达到预期的教学目的,获取理想的教学效果. 五学法指导 为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法： （1）自主性学习法,（2）探究性学习法,（3）巩固反馈法, 六时间安排 ◆复习引入（约10分钟） ◆例题讲解（约10分钟） ◆学生评析（约18分钟） ◆学生小结（约2分钟） 七板书设计： 数列求和（一）例题解答板书学生演练 1．公式法…例1: 例1:2等 常见重要公式 (2) 2．拆并项求和法, （一）主要知识： 1．等差数列的前n项和公式：S n＝＝．2．等比数列的前n项和公式： ①当q＝1时，S n＝②当q≠1时，S n＝＝．③)1 ( 2 1 1 + = =∑ = n n k S n k n ④)1 2 )(1 ( 6 1 1 2+ + = =∑ = n n n k S n k n ⑤2 1 3)]1 ( 2 1 [+ = =∑ = n n k S n k n （二）主要方法： 若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?（秒杀，提信心）请说明方法： ①n a n 3 =②n n a3 =③1 2 3- + =n a n n ④)1 (+ =n n a n ⑤ )1 ( 1 + = n n a n ⑥n n n a3? =

2009高考数学一轮复习——等比数列与数列求和

2009高考数学一轮复习——等比数列与数列求和 一、解决等比数列有关问题的常见思维方法： (1)方程的思想(“知三求二”问题)。 (2)分类的思想。 二、数列求和的方法： 1.已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =_______. 解析：由已知得q 7 = a a 10=128=27，故q=2.∴a n =a 3·q n －3 =3·2 n －3 . 答案：3·2n －3 2.（2006北京卷）如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ） （A ）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 解析：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B 3. （2006全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6 S 12＝ （A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1 9 解析：由等差数列的求和公式可得 3116 1331,26153 S a d a d S a d += ==+可得且0d ≠ 所以 6112 161527312669010 S a d d S a d d += = = +,故选A 4. 设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q. 思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q 于是)3(54 1,081) 1()2() 2(65601)1()1(801) 1(1 1211==∴>∴>=????? ??=--=---n n n n n q a a q q q q q a q q a 又得 3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a q a q n 及得 代入 5. 已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=* +a N n a S n n (1)设)(21* +∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列

高考数学数列求通项公式和及求和

数列汇总一、通项公式 二、数列求和 补充： 22 2233 (1)(21)(1) 2,2 64 n n n n n n n +++ +++=+++= 23 11 1 () f n

一．通项 类型1：等差求通项思想：叠加求通项，用于11()()n n n n a a f n a a f n ---=?=+型； 例1：已知数列|n a |满足)2(3,111 1≥+==--n a a a n n n （I ）求;,32a a （II ）证明：2 1 3-=n n a 变式1：设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = 变式2：在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a =（ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 类型2：等比求通项思想：叠乘求通项，用于 11 ()()n n n n a f n a a f n a --=?=?型； 例2：在数列{}n a 中，111, (2),1 n n a n a n a n -==≥-则?n a = 变式1：设{}n a 是首项为1的正项数列， 122 1(1)0(1,2)n n n n n a na a a n +++-+== 则它的通项公式是 n a =_____ 变式2：在数列{}n a 中，已知21 1,,n n a S n a ==求通项n a ； 类型3： 已知n S 求通项n a ： { 112 ,1n n s s n n s n a --≥== ， 例3：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，* 12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 变式1：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，142n n S a +=+．（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； 变式2：若2log (1)n S n +=，则?n a = 变式3:正项数列{}n a 满足：11,a =n S 是其前n 项之和，且12 1n n n S S a +++=，求n n S a 、；

高中数学高考题型数列求和题目以及答案

高中数学高考题型数列求和题目以及答案 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝ n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2. 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 方法一 分组转化法求和 1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． [解题技法] 1．分组转化求和的通法 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和． 2．分组转化法求和的常见类型