第9章 中子输运方程-分布的平衡

涡量输运方程

粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。 1、粘性流体运动的涡量输运方程 为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。推导过程如下： 其Lamb型方程是： 引入广义牛顿内摩擦定理： Lamb型方程变为： 对上式两边取旋度，得到： 整理后得到： 这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于：

（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为： 这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。 （2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为： 张量形式为。 （3）对于二维流动，上式简化为： 2、粘性流体运动的有旋性 理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为： 根据场论知识，有：

代入上式，得到： 如果流动无旋，则： 这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。 但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。 3、粘性流体旋涡的扩散性 粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。 以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为：

定态薛定谔方程讲义

定态薛定谔方程 一、定态Schr?dinger 方程 2 2(,)[()](,)2i r t V r r t t m ψψ?=-?+? (1) 在一般情况下，从初始状态ψ(r,0)求 ψ(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V 不显含时间 t （在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。 ()V r 与t 无关时，可以分离变量 令(,)()()r t r f t ψψ= 代入(1)式 2 2()1[()]()()()2i df t V r r f t dt r m ψψ=-?+ E = 其中E 是即不依赖于t ，也不依赖于r 的常量，这样 ()()df t i Ef t dt = (2) 2 2[()]()()2V r r E r ψψμ -?+= (3) ——定态薛定谔方程 由(2)解得 Et i ce t f -=)( 其中c 为任意常数。把常数c 放到()E r ψ 里面去，则 (,)()i Et E r t r e ψψ-= (4) 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/?按照德布罗意关系E=h ν=?ω，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E ，所以这种状态称为定态，波函数ψ(r,t)称为定态波函数。 定态有两个含义：1、(,)()i Et E r t r e ψψ-= ；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的依 据） 空间波函数()E r ψ 可由方程 2 2[()]()()2E E V r r E r m ψψ-?+= 和具体问题()E r ψ 应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger 方程，()E r ψ 也可

蒙特卡洛方法在中子输运中的应用

《中子输运理论与数值方法》课程作业 ——蒙特卡洛方法

目录 1. 前言 (3) 2. 蒙特卡洛方法概述 (3) 2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 (3) 2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 (3) 2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性 (3) 2.2.2 蒙特卡洛方法的误差 (3) 2.3 蒙特卡洛方法的特点 (3) 2.4 蒙特卡洛方法的主要应用围 (3) 3. 随机数 (3) 3.1 线性乘同余方法 (3) 3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 (3) 3.2.1 伪随机数的均匀性 (3) 3.2.2 伪随机数的独立性 (3)

4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用 (3) 4.1 屏蔽问题模型 (3) 4.2 直接模拟方法 (3) 4.2.1 状态参数与状态序列 (3) 4.2.2 模拟运动过程 (3) 4.2.3 记录结果 (3) 4.3 蒙特卡洛方法的效率 (3) 5. 蒙特卡洛方法应用程序—MCNP (3) 5.1 MCNP简述 (3) 5.2 MCNP误差的估计 (3) 5.3 MCNP效率因素 (3) 6. 结论 (3) 参考文献 (3) 1.前言 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域

蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用

蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用 目录 蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用 (1) 1蒙特卡罗方法简介 (3) 1.1蒙特卡罗方法的基本原理 (3) 1.2 蒙特卡罗方法的误差 (4) 2 随机变量的抽样方法 (4) 2.1 直接抽样方法 (5) 2.1.1 离散型随机变量的抽样 (5) 2.1.2 连续型随机变量的抽样 (5) 2.2 挑选抽样法 (5) 2.3 复合抽样法 (6) 3 蒙特卡罗方法模拟中子输运过程 (6) 3.1 源抽样 (6) 3.2 输运距离的抽样 (7) 3.3 碰撞核素的抽样值 (7) 3.4 反应类型的抽样值 (7) 3.5 反应后中子状态的确定 (7) 3.5.1 弹性散射 (7) 3.5.2 非弹性散射 (8) 3.5.3 裂变反应 (8) 4 蒙特卡罗方法的减方差技巧 (8) 4.1 权 (8) 4.2 统计估计法 (9) 4.3 权窗 (10) 5 蒙特卡罗方法求解通量 (10) 5.1 通量的定义 (10) 5.2 点通量的计算 (11) 5.3 面通量的计算 (11) 5.3.1 统计估计法 (11) 5.3.2 加权法 (12) 5.4 体通量的计算 (12) 5.4.1 统计估计法 (12) 5.4.2 径迹长度法 (13) 5.4.3 碰撞密度法 (13) 5.4.4 几种体通量计算方法的比较 (14) 5.5 最终结果的统计 (14) 6 蒙特卡罗方法求解k eff (15) 6.1 有效增值因子k eff的定义 (15) 6.2 蒙特卡罗方法求解k eff (15)

6.2.1 吸收估计法 (15) 6.2.2 碰撞估计法 (15) 6.2.3 径迹长度估计法 (16)

三维蒙特卡洛中子输运及燃耗程序Scale5.1使用手册说明书V1.0

SCALE5.1程序简介初稿 作者：周波 中科院上海应用物理研究所 2017年

前言 编写内容主要是方便新手对程序的了解和认识，部分内容也是根据自己的理解进行编写，由于时间原因以及认识或多或少可能存在的不足，有些地方肯定写的不周全甚至会有一些个人理解上的错误，对于引用文献的内容已标注相应的参考文献，读者可以参阅原文进行理解，希望大家多批评指正。

目录 SCALE5.1程序简介V0.1 (1) 前言 (2) 1简介 (4) 2主要功能模块、控制模块 (4) 3多群截面的处理 (7) 3.1共振能群截面处理 (7) 3.1.1共振截面处理的由来： (7) 3.1.2共振处理方法 (8) 3.1.3等价理论 (9) 3.1.4子群方法 (10) 3.1.5超细能群与连续能量 (10) 3.1.6共振处理在不同堆型中的影响 (11) 3.2S CALE中共振截面处理模块及多群截面库生成过程 (13) 3.3S CALE程序共振处理方法的发展史 (14) 3.4双重不均匀处理现状 (15) 6 SCALE功能改进及现状 (16) 6.1SCALE6.0的新模块及功能 (16) 6.1.1连续点截面模式 (16) 6.1.2三维屏蔽计算模块MAVRIC的添加 (16) 6.1.3新的三维JAVA用户界面 (18) 6.1.4 Triton/NEWT模块的改进 (19) 6.1.5 可视化界面（GeeWiz）的拓展 (20) 6.1.6 TSUNAMI-3D的改进 (20) 6.1.7 HTML格式输出拓展 (20) 6.1.8 临界事故报警系统（CAAS）分析 (21) 6.1.9其他方面的改进 (21) 6.2 SCALE6.1程序功能及改进 (21) 6.2.1临界安全 (21) 6.2.2屏蔽分析 (22) 6.2.3燃耗、衰变计算 (22) 6.2.4反应堆物理 (23) 6.2.5灵敏度及不确定分析 (23) 6.2.6核数据 (23) 6.2.7图形化界面 (24)

实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法

实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法 一．实验目的 1．掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。 2．掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理，会调用相应的子程序求解具体问题。 二．实验内容 1．问题描述 以/2ω/()m ω为长度单位，一维谐振子的哈密顿量为 2 202d H x dx =-+, 其本征值为21n E n =+，本证波函数为 2 /2)()n n x H x ?=-， 其中()n H x 为厄米多项式，满足递推关系 11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。 用矩阵方法求 2 22d H x x dx =-++ 的本证能量和相应的波函数。 2．问题分析 H E ψψ= 0()|j j j t c ψ?∞ ==>∑ 0||i i j i j i j c E c x Ec ??∞ =+<>=∑ 11|j j j x ???-+>=>>

11||||j j j j x x ????-+<>= <>= 0010010 112111,211,11,1 n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------?????????????????????????=??????????????????????? ? 3．程序编写 子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集（第二版）》第三章 徐士良，P97 4．实验要求 ◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。 ◆取n=8，给出H 的全部特征值和相应的特征向量。 5．实验步骤 ● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。 ● 创建新工作区shiyan03。 ● 创建新项目xm3。 ● 创建源程序文件xm3.f90，编辑输入源程序文本。 ● 编译、构建、运行、调试程序。 6．实验结果 程序设计：

蒙特卡洛方法在中子输运中的应用

《中子输运理论和数值方法》课程作业 ——蒙特卡洛方法 目录 1. 前言 (2) 2. 蒙特卡洛方法概述 (2) 2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 (3) 2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 (3) 2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性 (3) 2.2.2 蒙特卡洛方法的误差 (4) 2.3 蒙特卡洛方法的特点 (5) 2.4 蒙特卡洛方法的主要使用范围 (6) 3. 随机数 (6) 3.1 线性乘同余方法 (8) 3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 (8) 3.2.1 伪随机数的均匀性 (8) 3.2.2 伪随机数的独立性 (9) 4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的使用 (9) 4.1 屏蔽问题模型 (9) 4.2 直接模拟方法 (10) 4.2.1 状态参数和状态序列 (10) 4.2.2 模拟运动过程 (11) 4.2.3 记录结果 (14) 4.3 蒙特卡洛方法的效率 (15) 5. 蒙特卡洛方法使用程序—MCNP (15) 5.1 MCNP简述 (15) 5.2 MCNP误差的估计 (17) 5.3 MCNP效率因素 (18) 6. 结论 (18)

参考文献 (18) 1.前言 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验和研制中得到了使用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但和一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的使用领域日趋广泛。蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域实际问题的计算，都可以利用蒙特卡洛方法予以实现。 粒子输运过程可以用玻耳兹曼方程加以描述，然而，以此基础上发展起来的近似数值方法如扩散近似法、离散坐标方法在处理截面和能量相关以及散射各向异性介质、复杂几何条件问题时碰到了较大困难。而蒙特卡洛方法在处理这类问题时得心应手，有很强的解题能力，并且近似较少，接近于真实情况。 粒子辐射问题计算通常有输运方程法、蒙特卡洛法(MC法)、实验测量法以及经验法等几种方法。蒙特卡洛计算法又称随机抽样法或统计试验法，是基于计算机模拟的思想，抓住物理过程的数量和几何特征，进行数字模拟试验，该方法是求解辐射输运问题的一种相当成熟和有效的方法，而且它对于各种复杂问题，具有良好的通用性，实用性相当广泛，几乎涉及核科学的各个领域。本文主要介绍蒙特卡洛的概念、原理和使用及研究现状。 2. 蒙特卡洛方法概述 蒙特卡洛方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验和研制中得到了使用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但和一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的使用领域日趋广泛。 蒙特卡洛方法的主要组成部分有： (1)概率密度函数(pdf)— 必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数；

boltzmann方程与输运现象 (1)

0f f f f dk f v r k dt t τ -????+?+=-???Blotzmann 方程及其应用 1. Blotzmann 方程 （1） 即 0f f f f F f v r k t τ -????+?+=-??? （2） 2. 静态电阻率 在均匀静电场E 下，对于均匀材料，分布函数f 只与k 有关，（2）式变为： 0f E f f e k τ?=+?? （3） 在低场下，F eE k τ<<，作为近似， f f k k ??≈ ?? 则001f f E f e e v E k ττε ??=?=??? （4） 电流密度：031 ()()4f J e e v E vdk τπε ?= -??? （5） 设样品各项同性：0J E σ= 所以， 22003()4f e v n dk στπε???=?- ???? ? （6） 其中，n 为电场强度方向单位矢量，在各项同性的假设下2 2 ()3 v v n ?=，并且，样 品温度远小于费米温度，0 ()F f δεεε ?- ≈-?,在这种情况下： 2222 03323 ()()121212F F k Fermi Surface e e dS v dk v d e vdS στδεετδεεεππετπ=-=-?= ??? （7） 所以：222 03* 412F F F F ne e v k m τστππ== （8） （（8）式利用：*F F m v k =，并且3 23F k n π=）

3. 电导率随频率和波矢的变化 外加电场为交变场：()0e i q r t E E ω?-=，并设01f f f =+ 从Boltzmann 方程出发，经过适当近似后： 0111()f f f f eE v r k t τ ???-?+?+=-??? （9） 设()1()e i q r t f k ωφ?-=，并代入上式解得： 0()()1() f v E e k i q v τεφτω???=--? （10） 同前面的方法类似： 203()41() f e v v E J dk i q v τπετω????=- ??--???? （11） 设样品各向同性： 2203()41()f e v n dk i q v στπετω????=- ? ?--??? ? （12） 从上式不难看出，当0q →（长波近似）和0ω→（静态）时，0σσ→ 由于电磁波为横波，设?q qz =，00?E E x =，代入（12）： 2 203(,)41() x z f v e q dk i qv σωτπετω??? =- ??--??? （13） 利用0 ()F f δεεε ?- ≈-?，在球坐标下： 22222 3sin cos 1(,)sin 41(cos )F F F F F F Fermi Surface v e q k d d i qv v θφσωτθθφπτωθ=--? （14） 令cos θη=； 1F F F i qv s i ττω =- 2 22 1 3 11(,)4(1) 1F F F F v k e q d i s πτησωηπτωη--=-+? （15） 其中221 2311211ln 11s s d s s s s ηηη---+?? =+??+-?? ?

输运方程的本征值问题

输运方程本征值 无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)'' t E v t E f E E E t dE d φφφφ∞Ω?=????Σ?+Σ→→∫∫?r r r ??r ?? （1） (,,,)E t φφ=r ?其中 简记为 1(,) '''''t E f d dE v t φφφφ?=????Σ+Σ?∫∫?r ? （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源 都包括在内。 把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２） 可以简记为 1v t φφ?=?L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φ?=r ?r ? ， 代入（2），并用(,,) ()E T t ?r ?除两边，得到： {} ''''' T v f d dE T T ?????????Σ+ΣΩ=∫∫? 左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故 {} ''''' T v f d dE T T ???λ? ?????Σ+ΣΩ==∫∫? 这就把原方程分离成了两个方程 T T λ?= （4） ） v λ ??=L (5a) （4）的解是 0 t T T e λ= (6)

其中的λ是方程（5）的本征值。这样我们就把求解与时间 有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与 本征函数问题。 容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面 Σ增加了v λ；当0λ=时，两者没有差别。当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未 变，只能是俘获截面增大）。物理上是相应于一个超临界 系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。 由于这虚拟俘获 v λ符合1v 律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。 也可以采用k 本征值，此时方程为 ' 111'''' ()''''4 t s f v t f dE d E dE d k ????χν?π ?+??+Σ?=Σ+Σ∫∫∫∫??? （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂 变源进行人为调整） 采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得 能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。 除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的 第三章。 注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。

大学物理-一维定态薛定谔方程的应用

一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院

势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U

() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱

建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=

利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，

第四节输运方程

第四节 系统 控制体 输运公式 一、系统 系统：就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。 系统的特点： 1、从流体中取出的一定质量的流体； 2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点） 0d d t m ； 3、系统的体积和形状可以随时间改变。 4、在系统的边界上可以有能量交换。 二、控制体 控制体(control volume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V 。是为了研究问题方便而取定的。边界面S 称为控制面。 控制体的特点： 1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。 2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。 3、在控制面上可以存在质量及能量交换。

三、输运方程（雷诺输运定理） 引言：为什么需要雷诺输运定理？ 看下图 如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？ 根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。 系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。 为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。 绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这就是雷诺输运定理。整个思路是：板受到的力，

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 （一）一维运动自由粒子的薛定谔方程 波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程． 将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程： ψ-=?ψ?)/iE (t 即ψ=?ψ?E t i （16.3.1） ψ=?ψ ?22)/ip (x 2 ψ=ψ ?-2222p ????? ?????<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v 方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程． 请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式?． 这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明． （二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程?? 上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即 〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4） 将此式代入（16.3.3）式得： 22 2dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -= 两边除以ψ=uf 得： 22 2dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -= 此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即 ? 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版. ? 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版. ? 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.

涡量输运方程

1、粘性流体运动的涡量输运方程 为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。推导过程如下： 其Lamb型方程是： 引入广义牛顿内摩擦定理： Lamb型方程变为： 对上式两边取旋度，得到： 整理后得到： 这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于： （1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为： 这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。 （2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为： 张量形式为。 （3）对于二维流动，上式简化为：

2、粘性流体运动的有旋性 理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为： 根据场论知识，有： 代入上式，得到： 如果流动无旋，则： 这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。 要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。 但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。 3、粘性流体旋涡的扩散性 粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。 以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为：