习题反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法
⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞
+a dx x )(?和
?
∞
+a
dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况.
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则
当?∞
+a dx x )(?收敛时?
∞+a
dx x f )(也收敛；
当?
∞
+a
dx x f )(发散时?∞
+a
dx x )(?也发散.
证 当?∞
+a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K
dx x A A ε
?<
?'
)(.
于是
≤
?'
A A
dx x f )(ε?
A A dx x K )(，
所以?
∞+a
dx x f )(也收敛；
当?
∞+a
dx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
00>?ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：
εK dx x f A A ≥?'
)(.
于是
≥?'A A dx x )(?0)(1
ε≥?'
A A dx x f K ，
所以?∞
+a dx x )(?也发散.
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)
()(lim
=+∞→x x f x ?.则当?∞
+a dx x f )(发散
时，?∞
+a dx x )(?也发散；但当?∞
+a dx x f )(收敛时，?∞
+a dx x )(?可能收敛，也可能发散.
例如21)(x x f =
，)20(1
)(<<=p x
x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有
?∞
+1
)(dx x f 收敛，而对于?∞
+1)(dx x ?，则当21<
发散.
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且+∞=+∞→)
()(lim
x x f x ?.则当?∞
+a dx x f )(收
敛时，?∞
+a dx x )(?也收敛；但当?∞
+a dx x f )(发散时，?∞
+a dx x )(?可能发散，也可能收敛.
例如x
x f 1)(=
，)21
(1)(>=
p x x p
?，则
+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞
+1
)(dx x f 发散，而对于?∞
+1)(dx x ?，则当
12
1
≤
p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）.
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K
x p
()≤
，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； ⑵ 若f x K
x
p ()≥，且p ≤1，则?∞+a dx x f )(发散.
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且
lim ()x p x f x l →+∞
=，
则
⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则?∞
+a dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则?
∞
+a
dx x f )(发散.
证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ?取为
p x
1
. ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴
1
1
3
21
x e
x dx x
-++-+∞
?ln ; ⑵
?
∞
++1
3
1tan arc dx x
x
; ⑶
1
10
++∞
?x x dx |sin |
;
⑷
x x dx
q p
11
++∞
?（+
∈R q p ,）.
解 （1）当+∞→x 时，
1
ln 1
23++--x e
x x
～
2
31
x ，
所以积分1
1
321
x e x dx x -++-+∞
?ln 收敛.
（2）当+∞→x 时，
3
1arctan x
x +～32x π， 所以积分?
∞
++131tan arc dx x
x
收敛. （3）因为当0≥x 时有
x
x x +≥+11
sin 11，
而积分dx x
?∞
++0
11
发散，所以积分110
++∞?x x dx |sin |发散. （4）当+∞→x 时，
p
q
x
x +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x
dx q
p
11
++∞
?收敛，在其余情况下积分 x x dx q
p
11
++∞
?发散. ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛与f x dx ()-∞+∞
?收敛是等价的. 证 显然，由f x dx ()-∞+∞
?收敛可推出)
cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛，现证明当0)(≥x f 时
可由)cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛推出f x dx ()-∞+∞
?收敛.
由于)cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛，可知极限
+∞
→A lim =)(A F +∞→A lim
?
-A
A
dx x f )(
存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，
0>?ε，00A ?>，0,A A A ≥'?：ε<-)'()(A F A F ，
于是0,A A A ≥'?与0',A B B ≥?，成立
≤?'
A A
dx x f )(ε<-)'()(A F A F
与
≤?--B
B dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，
这说明积分?∞
+0)(dx x f 与?∞-0
)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞
?收敛.
⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：
⑴ ln ln ln sin x x xdx 2+∞?; ⑵ sin x x dx
p 1+∞?（+
∈R p ）; ⑶ ?∞+1tan arc sin dx x
x x p （+
∈R p ）; ⑷ sin()x dx 20
+∞?; ⑸ ?∞+a n m
xdx x q x p sin )()
( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式，
q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点.）
解 （1）因为?=A
xdx A F 2sin )(有界，x
x ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim =+∞→x x
x ，
由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin x
x
xdx 2
+∞
?收敛； 由于
≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x x
x
-=，而积分 ?∞
+2
ln ln ln dx x x 发散，?∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分?∞+2sin ln ln ln dx x x
x 发散，即积分ln ln ln sin x
x
xdx 2
+∞
?条件收敛. （2）当1>p 时，
p p
x x x 1sin ≤
，而?∞+11dx x
p 收敛，所以当1>p 时积分 sin x
x dx p
1
+∞
?绝对收敛； 当10≤
xdx A F 1sin )(有界，
p x
1
在),1[+∞单调，且01
lim
=+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p
1+∞?收敛；但因为当10≤
分?∞+1
|
sin |dx x x p
发散，所以当10≤
x dx p
1
+∞
?条件收敛. （3）当1>p 时，
≤
p
x x
x arctan sin p
x 2π
，而?∞
+1
1
dx x
p 收敛，所以当1>p 时积分
?
∞
+1
tan arc sin dx x x
x p
绝对收敛；
当10≤
xdx A F 1sin )(有界，
p
x
x
arctan 在),1[+∞单调，且0arctan lim
=+∞→p x x x ，由Dirichlet 判别法，积分?∞+1arctan sin dx x x
x p 收敛；但因为当10≤
+1
sin arctan dx x x
x
p
发散，所以当10≤
arctan sin
dx x
x
x p
条件收敛. （4）令2x t =，=
?∞
+02)sin(dx x ?∞
+0
2sin dt t
t ，由于?∞
+0
2sin dt t
t 条件收敛，可知积分
sin()x dx 20+∞
?条件收敛.
（5）当1+>m n 且x 充分大时，有
x x q x p n m sin )()(2x
K
≤，可知当1+>m n 时积分?
∞
+a
n m xdx x q x p sin )
()
(绝对收敛. 当1+=m n 时，因为?=A
xdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，
)
()
(x q x p n m 单调且0)()(lim
=+∞
→x q x p n m x ，由Dirichlet 判别法可知?∞+a n m
xdx x q x p sin )
()(收敛；但由于当
+∞→x 时，
)
()(x q x p n m ～x a ，易知?∞+1sin )()
(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分?
∞
+a
n m xdx x q x p sin )
()
(条件收敛. 当1+ →) () (lim ，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分? ∞ +a n m xdx x q x p sin ) () (发散. ⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5. 定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得 ⑴ f x K b x p ()()≤ -，且p <1，则f x dx a b ()?收敛； ⑵ f x K b x p ()()≥-，且p ≥1，则f x dx a b ()?发散. 证 （1）当p <1时，积分?-b a p dx x b ) (1 收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε，0>?δ，),0(',δηη∈?： K dx x b b b p ε ηη <-?--' ) (1. 由于 ≤ ?--' )(ηη b b dx x f εηη <-?--' ) (b b p dx x b K ，所以f x dx a b ()?收敛. （2）当1≥p 时，积分?-b a p dx x b ) (1 发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>?ε，0>?δ，),0(',δηη∈?： K dx x b b b p 0' ) (1 εηη ≥-?--. 由于 ≥ ?--' )(ηη b b dx x f 0' ) (εηη ≥-?--b b p dx x b K ，所以f x dx a b ()?发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且 lim()()x b p b x f x l →- -=， 则 ⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b ()?收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b ()?发散. 证 （1）由lim()()x b p b x f x l →- -= （+∞<≤ 0>?δ，),(b b x δ-∈?：p x b l x f ) (1 )(-+< ， 再应用定理8.2.'3的（1）. （2）由lim()()x b p b x f x l →- -= （+∞≤<≥l p 0,1），可知 0>?δ，),(b b x δ-∈?：p x b l x f ) (2)(-> ， 再应用定理8.2.'3的（2）. 定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b ()()?收敛： ⑴（Abel 判别法） f x dx a b ()?收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界； ⑵（Dirichlet 判别法）? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在[,)a b 上 单调且0)(lim =- →x g b x . 证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b ()?收敛，由Cauchy 收敛原理， 0>?ε，0>?δ，),(,b b A A δ-∈'?： G dx x f A A 2)(ε < ? ' . 由积分第二中值定理， ? ' A A dx x g x f )()(?? ' ?'+?≤A A dx x f A g dx x f A g ξ ξ )()()()( ??' +≤A A dx x f G dx x f G ξξ )()(εε ε=+<2 2. （2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'?，有 M dx x f A A 2)( ' .因为0)(lim =- →x g b x ， 0>?ε，0>?δ，),(b b x δ-∈?，有M x g 4)(ε <.由积分第 二中值定理， ? ' A A dx x g x f )()(??' ?'+?≤A A dx x f A g dx x f A g ξ ξ )()()()( |)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εε ε=+<2 2. 所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有?∞ +a dx x g x f )()(收 敛的结论. ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 12301 x x dx () -?; ⑵ ln x x dx 201 1 -?; ⑶ 1 2202 cos sin x x dx π?; ⑷ 10 2 -?cos x x dx p π; ⑸ |ln |x dx p 0 1 ?; ⑹ x x dx p q ---?1101 1(); ⑺ ?---1 11|ln |)1(dx x x x q p . 解 （1）因为 3 2 ) 1(1x x -～ 3 2 1 x )0(+→x ， 3 2 ) 1(1 x x -～ 3 1)1(1x - )1(-→x ，所以 积分1 12 3 01 x x dx () -?收敛. （2）因为1ln lim 21--→x x x 2 1 =，且对任意10<<δ，01ln lim 2 0=-+→x x x x δ，即当0>x 充分小时，有 δ x x x 1 1ln 2<-，所以积分ln x x dx 2011-?收敛. （3）因为 x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2 )2 (1x -π)2(-→πx ，所以积分1 22 2 cos sin x x dx π?发散. （4）因为p x x cos 1-～2 21-p x )0(+→x ，所以当3 -?cos x x dx p π 收敛，当3≥p 时积分10 2 -?cos x x dx p π 发散. （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+ →p x x x δ，即当0>x 充分小时，有δ x x p 1ln < ；且 p x ln ～p x --)1(1)1(-→x .所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 0 1 ?收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01 ?发散. （6）11)1(---q p x x ～ p x -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～ q x --1) 1(1 )1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---?1101 1()收敛，在其余情况下积分 x x dx p q ---?1101 1()发散. （7）|ln |)1(11x x x q p ---～ q x --) 1(1 )1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 112 10=---- + →x x x x q p p x ，即当0>x 充分小时，有 2 1111 ln )1(p q p x x x x ---< -，所以当1,0->>q p 时积分?---1 011|ln |)1(dx x x x q p 收 敛，在其余情况下积分?---1 011|ln |)1(dx x x x q p 发散. ⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x x dx p q ---?11 01 ln (+∈R q p ,); ⑵ 1 122 3 x x x dx ()() --+∞ ?; ⑶ ln() 10 ++∞ ?x x dx p ; ⑷ ? ∞ +0tan arc dx x x p ; ⑸ ?2 /0 tan πdx x x p ; ⑹ x dx p x --+∞ ?10e ; ⑺ 1 x x dx p q ++∞ ?; ⑻ ?∞ +2 ln 1 dx x x q p . 解（1）x x x dx p q ---?110 1 ln ?-=2 101ln dx x x p ?--2101 ln dx x x q ?---+12 111ln dx x x x q p . 当0>p ，0>q 时积分?-210 1ln dx x x p 与积分?-2101 ln dx x x q 显然收敛，且当-→1x 时， =---x x x q p ln 11()[]()[] () )1(1ln 1 )1(11)1(11 1-+--+---+--x x x q p ～q p x x q p -=---1)1)((， 即? ---12 11 1ln dx x x x q p 不是反常积分，所以积分x x x dx p q ---?1 101ln 收敛. （2）= --?∞ +0 3 2 )2()1(1dx x x x ?--1 03 2 ) 2()1(1dx x x x ?--+21 3 2 ) 2()1(1dx x x x ?∞ +--+2 3 2 ) 2()1(1 dx x x x . 因为 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 1 31 2 1x ? -)0(+→x ， 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 2)1(1-- x )1(-→x ， 所以积分?--103 2 )2()1(1dx x x x 收敛； 因为 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 2)1(1-- x )1(+→x ， 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 13 )2(1 2 1-?x )2(-→x ， 所以积分?--213 2 )2()1(1dx x x x 收敛； 因为 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 13)2(1 2 1-?x )2(+→x ， 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～ 3 41 x )(+∞→x ， 所以积分?∞ +--2 3 2 ) 2()1(1dx x x x 收敛. 由此可知积分1 1223 x x x dx ()() --+∞ ?收敛. （3）=+?∞ +0 ) 1ln(dx x x p + + ?10 ) 1ln(dx x x p ?∞ ++1 ) 1ln(dx x x p . 由 p x x )1ln(+～11-p x )0(+→x ，可知当2 )1ln(dx x x p 收敛，当2≥p 时，积分?+ 10 ) 1ln(dx x x p 发散； 当1>p 时，0)1ln(lim 213=??? ? ????+?-+∞→p p x x x x ，即当0>x 充分大时，有 2 131 ) 1ln(-<+p p x x x ，其中 1213>-p ，可知当1>p 时，积分?∞++1) 1ln(dx x x p 收敛，当1≤p 时，积分?∞ ++1 ) 1ln(dx x x p 发散； 综上所述，当21< ∞ ++0 ) 1ln(dx x x p 收敛，在其余情况下积分? ∞ ++0 ) 1ln(dx x x p 发散. （4）?∞+0 tan arc dx x x p ?=10tan arc dx x x p ?∞++1tan arc dx x x p . 由 p x x arctan ～11-p x )0(+→x ,可知当2 tan arc dx x x p 收敛； 由 p x x arctan ～p x 2π)(+∞→x ，可知当1>p 时积分?∞+1 tan arc dx x x p 收敛. 所以当21< ∞+0 tan arc dx x x p 收敛，在其余情况下积分 ? ∞ +0 tan arc dx x x p 发散. （5）?2 /0 tan πdx x x p ?=4 /0 tan πdx x x p ? +2/4 /tan ππdx x x p . 由 p x x tan ～2 11 -p x )0(+→x ，可知当2 3< p 时积分?4/0tan πdx x x p 收敛，当 2 3≥ p 时积分?4/0tan πdx x x p 发散； 由p x x tan ～12 2() 2 p p x ππ-)2 (-→ π x ，可知积分?2 /4 /tan ππdx x x p 收敛. 所以当2 3 /0 tan πdx x x p 收敛，当2 3 ≥ p 时积分 ?2 /0 tan πdx x x p 发散. （6）x dx p x --+∞ ?10e ?--=1 01e dx x x p ?∞ +--+11e dx x x p . 由于积分?∞ +--11e dx x x p 收敛，及x p e x --1～ p x -11)0(+→x ，所以当0>p 时 积分x dx p x --+∞ ?10e 收敛，当0≤p 时积分x dx p x --+∞ ?10e 发散. （7）10 x x dx p q ++∞ ??+=101dx x x q p ?∞ +++11dx x x q p . 当q p =时，显然积分1 0x x dx p q ++∞ ?发散； 当q p ≠时，由于 q p x x +1～),min(1q p x )0(+→x ，q p x x +1～) ,max(1 q p x )(+∞→x ， 所以当1),min( 0x x dx p q ++∞ ?收敛，其余情况下积 分1 x x dx p q ++∞ ?发散. （8）设1>p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有2 11ln 1 + p x x x ，因为 12 1 >+p ，可知积分?∞ +2 ln 1 dx x x q p 收敛. 设1 11ln 1 +>p q p x x x ，因为 12 1 <+p ，可知积分?∞ +2 ln 1 dx x x q p 发散. 设1=p ，令t x =ln ，则 ?∞ +2 ln 1dx x x q p ?∞+=2ln q t dt ，由此可知当1>p 或 1,1>=q p 时积分?∞ +2 ln 1dx x x q p 收敛，在其余情况下积分?∞ +2 ln 1dx x x q p 发散. ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x dx p -+∞+?1 2 01; ⑵ x x x dx q p sin 11 ++∞ ? (p ≥0); ⑶ ?∞ +0 sin cos e dx x x p x ; ⑷ ?∞ +0 sin 2sin e dx x x p x ; (5) ?1 021 cos 1dx x x p ； (6) ?∞+? ? ? ?? +11sin dx x x x p (0>p ). 解（1）x x dx p -+∞ +?120 1?+=-10 211dx x x p ?∞+-++12 1 1dx x x p . 由211x x p +-～p x -11)0(+→x ，2 1 1x x p +-～p x -31)(+∞→x ，可知当20< +?120 1收敛，在其余情况下积分x x dx p -+∞+?1 2 01发散. （2）当1- x x x -<+1 1|sin |，可知积分x x x dx q p sin 11++∞?绝对收 敛. 当p q p <≤-1时，因为?=A xdx A F 1 sin )(有界，当x 充分大时p q x x +1单 调减少，且01lim =++∞→p q x x x ，由Dirichlet 判别法，积分?∞++11sin dx x x x p q 收敛； 但因为积分?∞ ++11|sin |dx x x x p q 发散，所以当p q p <≤-1时积分sin x x dx p 1+∞?条 件收敛. 当p q ≥时，由于n →∞时22sin 1q n p n x x dx x πππ ++? 不趋于零，可知积分 x x x dx q p sin 11 ++∞ ?发散. （3）?∞ +0 sin cos e dx x x p x ?=10sin cos e dx x x p x ?∞++1 sin cos e dx x x p x . 由p x x x e cos sin ～p x 1)0(+→x ，可知当1 收敛，在其余情况下积分?10 sin cos e dx x x p x 发散. 当1 ?∞ +1 sin | cos |e dx x x p x 发散；当0≤p 时，易知积分?∞ +1 sin cos e dx x x p x 发散. 当10< 1cos 1 sin - e xdx e A x ， p x 1单调减少，且 01 lim =+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法；可知积分?∞ +1 sin cos e dx x x p x 收敛. 综上所述，当10< +0 sin cos e dx x x p x 条件收敛，在其余情况下积分?∞ +0 sin cos e dx x x p x 发散. （4）?∞ +0 sin 2sin e dx x x p x ?=10sin 2sin e dx x x p x ?∞++1 sin 2sin e dx x x p x . 由p x x x e 2sin sin ～1 2 -p x )0(+→x ，可知当2 收敛，在其余情况下积分?10 sin 2sin e dx x x p x 发散. 当21< +1 sin | 2sin |e dx x x p x 收敛；当1≤p 时，易知积分?∞ +1 sin |2sin |e dx x x p x 发散；当0≤p 时，易知积分?∞+1 sin 2sin e dx x x p x 发散. 当10≤ π )1(sin 02sin k k x xdx e ，可知 ? A x xdx e 0 sin 2sin 有界，且 p x 1单调减少，01 lim =+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法，可知积分 ?∞ +1 sin 2sin e dx x x p x 收敛. 综上所述，当21< +0 sin 2sin e dx x x p x 绝对收敛，当10≤ +0 sin 2sin e dx x x p x 条件收敛，在其余情况下积分?∞+0 sin 2sin e dx x x p x 发散. （5）令21 x t = ，则 ?=1 021cos 1dx x x p tdt t p cos 1211 2 3?∞+-. 于是可知当1 21cos 1dx x x p 绝对收敛；当31<≤p 时积分 ?1 021cos 1dx x x p 条件收敛，当3≥p 时积分?1021cos 1dx x x p 发散. （6）当1>p 时，因为p p x x x x 11sin ≤??? ??+，可知积分?∞+? ?? ?? +11sin dx x x x p 绝对收敛. 当10≤ + + ??? ??+26 1sin πππ πn n p dx x x x p n ? ?? ? ? +?>2321πππ，而级数 ∑ ∞ =? ?? ? ? +121n p n ππ发散，所以积分?∞ +? ?? ? ? +1 1sin dx x x x p 发散；又因为 =+?∞+dx x x x p 1)1 sin(dx x x x x x p ?∞++1sin 1cos cos 1sin ，注意到当x 充分大时，p x x 1sin 与p x x 1cos 都是单调减少的，由Dirichlet 判别法可知积分?∞+??? ??+1 1sin dx x x x p 收敛，所以积分?∞+??? ?? +1 1sin dx x x x p 条件收敛. 10．证明反常积分?∞ +04sin sin xdx x x 收敛. 证 对任意A A A >>'"，由分部积分法， ?=" ' 4sin sin A A xdx x x ?-"' 42 )(cos 4sin A A x d x x " ' 244cos sin A A x x x ???? ??-=?-+"'244cos cos A A dx x x x ?"' 342sin cos A A dx x x x . 显然，当+∞→A 时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反 常积分?∞ +04sin sin xdx x x 收敛. 11．设f x ()单调，且当x →+0时f x ()→+∞，证明：f x dx ()01 ? 收敛的必要条件是lim ()x xf x →+ =00. 证 首先由f x ()的单调性，对于充分小的10< ?≤≤ x x dt t f x f x 2 )()(2 0. 由Cauchy 收敛原理，?=+ →x x x dt t f 2 00)(lim ，于是得到 0)(lim 0=+ →x xf x . 12．设? ∞ +a dx x f )(收敛，且)(x xf 在),[+∞a 上单调减少，证明: 0)()(ln lim =+∞ →x f x x x . 证 首先容易知道当+∞→x 时，)(x xf 单调减少趋于0，于是有 0)(≥x xf ，且 ?=?≤≤ x x dt t t tf x f x x 1)()()(ln 210? x x dt t f )(. 然后由Cauchy 收敛原理，0)(lim =?+∞ →x x x dt t f ，于是得到 0)()(ln lim =+∞ →x f x x x . 13．设f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞ =0，证明：若'f x ()在[,)0+∞上连续，则反 常积分'+∞ ?f x x dx ()sin 20收敛. 证 首先由分部积分法， ?∞ += 2sin )('xdx x f ?∞ +0 2)(sin x xdf ?∞ +-=0 2sin )(xdx x f . 由于?=A xdx A F 02sin )(有界，f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞ =0，由 Dirichlet 判别法，可知积分?∞ +02sin )(xdx x f 收敛，从而积分'+∞ ?f x x dx ()sin 20收 敛. 14. 设? ∞+a dx x f )(绝对收敛，且lim ()x f x →+∞ =0，证明f x dx a 2()+∞ ?收敛. 证 首先由lim ()x f x →+∞ =0，可知a A >?，A x >?，有1)( +a dx x f )(绝对收敛，于是由比较判别法， 积分f x dx a 2()+∞ ?收敛. 15． 若f x dx a 2()+∞ ?收敛，则称f x ()在[,)a +∞上平方可积（类似可定义无界函数 在[,]a b 上平方可积的概念）. ⑴ 对两种反常积分分别探讨f x ()平方可积与f x ()的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成 立. 解 （1）?∞ +a dx x f )(收敛不能保证f x dx a 2()+∞ ?收敛，例如：x x x f sin )(= ， 则?∞ +1 )(dx x f 收敛，但?∞ +1 2)(dx x f 发散； f x dx a 2()+∞ ?收敛不能保证?∞ +a dx x f )(收敛，例如：x x f 1 )(=，则 ?∞ +1 2)(dx x f 收敛，但?∞ +1 )(dx x f 发散. （2）f x dx a 2()+∞ ?收敛不能保证?∞ +a dx x f )(绝对收敛，例如：x x x f sin )(= ，则?∞+12 )(dx x f 收敛，但?∞+1)(dx x f 不是绝对收敛的； ?∞ +a dx x f )(绝对收敛不能保证f x dx a 2()+∞ ?收敛，例如： ?? ?? ?+ ∈=∞ =其他 0]1,[)(2 3 n n n n x n x f ，则?∞+1)(dx x f 绝对收敛，但?∞+12)(dx x f 发散. （3）由)](1[21)(2x f x f +≤，可知?b a dx x f )(2收敛保证?b a dx x f )(绝对收敛； 但?b a dx x f )(绝对收敛不能保证?b a dx x f )(2收敛，例如：x x f 1)(= ，则 ?10)(dx x f 绝对收敛，但?102 )(dx x f 发散. 16. 证明反常积分 sin sin x x x dx p ++∞ ?1 当p ≤ 1 2 时发散，当121<≤p 时条件收敛，当p >1时绝对收敛. 证 当p >1时，对充分大的x ，有 x x x p sin sin +p x 2≤，由于积分?∞+1 2 dx x p 收敛，可知积分sin sin x x x dx p ++∞ ?1 绝对收敛. 当10≤ ) sin (sin sin sin sin 2x x x x x x x x x p p p p +-=+. 这时积分?∞ +1 sin dx x x p 收敛；积分?∞ ++12) sin (sin dx x x x x p p 当121<≤p 时收敛，当2 1 0≤ ++434 sin sin π πππn n p dx x x x 1 )1(122++?≥p p n ππ，因为级数 1 )1(11 ++∑ ∞ =p p n n π 发散，所以积分?∞ ++1 sin sin dx x x x p 发散. 综上所述，当121<≤p 时，积分sin sin x x x dx p ++∞?1条件收敛；当2 1 0≤ x x dx p ++∞ ?1 发散. 当0≤p 时，因为有?+ ++224 2sin sin π πππn n p dx x x x 2224sin 2n n x dx π πππ++>?π16 2>，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sin sin x x x dx p ++∞ ?1 发散. （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14) 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21< =p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤ p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛； 2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6. 无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一、教学目标分析 在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。 二、学情/学习者特征分析 学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。 三、学习内容分析 1.本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。 2．本节主要内容 1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则 4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析 教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。 4.课时要求：2课时 四、教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。 五、教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。 六.教学环境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动。 七、教学过程 一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 J dx x f u a u =? +∞→)(lim 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ?+∞ =)(，并称 dx x f a ?+∞ )(收敛．如果极限J dx x f u a u =? +∞→)(lim 不存在，亦称 dx x f a ?+∞ )(发散． 类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f b u u b ? ?-∞→∞-= 对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义： ,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ???+∞ ∞ -∞-+∞ +=其中a 为任一实数， 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注： dx x f a ? +∞ )(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线 )(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ． 例1 讨论无穷积分.1) 10 2? +∞ +x dx ，.1)22 ?∞+∞-+x dx ，.)302 ?+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：? +∞ 1 ) 1p x dx ， ;)(ln )22?+∞p x x dx 二、无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数= )(u F ? u a dx x f )(在 +∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分 ? +∞a dx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要 G u u >21,，便有 ε<= -? ? ?2 1 2 1 )()()(u u u a u a dx x f dx x f dx x f ． 目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14) 判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< 无穷积分的敛散判别法 摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结． 关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散 The convergence and divergence method of infinite integral Abstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence 前言 我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是 被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法． 1 无穷积分的定义 定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限 l i m ()u u a f x d x J →∞=? 则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 ()a f x dx J +∞ =? 并称()a f x dx +∞? 收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()a f x dx +∞? 发散． 类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分： ()()lim b u b u f x dx f x dx →∞-∞=?? 对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义： ()()()b a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞-∞ =+??? ， 其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23 数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary 内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分 目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10. 无穷积分敛散性的判别法 郑汉彬 摘 要：无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的—个先决条件。由于判别方法比较多,学生不易掌握,从而是数学分析的一个难点,也一直是一个重要的研究课题。本文就一些常见和不常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判别法判定无穷积分的敛散性。 关键词：无穷积分；瑕积分；收敛性；判别法 无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条件。由于判断方法比较多,不易掌握,从而是数学分析和高等数学的一个难点。最原始的判别方法是对积分区间无穷型的反常积分先将积分限视为有限的积分区间,按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,再用极限去判定原积分是否收敛。 本文以文献中相关定理为基础,并对相关的文献资料中给出的无穷积分敛散性判定方法的相关理论进行总结及一定的改进和补充,使之能够更广泛地应用于无穷积分敛散性判定中,对比了各种类型的无穷积分敛散性判定方法的应用以及在应用过程中应注意的一些巧妙方法,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误。 1 无穷积分的敛散性 定义1 设函数)(x f 在 ),[+∞a 上有定义,且对)(,x f a b >?在上],[b a 可积,当 ()lim b a b f x dx J →+∞=? 存在,称此极限J 为函数)(x f 在区间),[+∞a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为 ()a J f x dx +∞ =? 这时称积分 ? +∞ a dx x f )(是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分? +∞a dx x f )(发散. 2 无穷积分敛散性的判别法 如何判断一个无穷积分的敛散性,这是无穷积分理论的重要内容之一。对此,我们首先建立一个收敛准则,然后再介绍几种常有的敛散性判别法。 柯西收敛准则 因为无穷积分 ? +∞ a dx x f )(的收敛问题即是极限? +∞→A a A dx x f )(lim 的存在问题,所以由极限的柯西收敛 第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n +q p 时积分1
积分敛散性的判断
习题反常积分的收敛判别法
数项级数敛散性判别法。(总结)
习题反常积分的收敛判别法
无穷积分的性质与收敛判别法
正项级数敛散性地判别方法
反常积分的收敛判别法
无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)
积分敛散性的判断
习题8.2反常积分的收敛判别法
无穷积分的敛散判别法
数项级数敛散性判别方法
反常积分的敛散性判定方法
无穷积分敛散性判别法
反常积分
关于数项级数敛散性的判定
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳