第二课时 函数的概念(二)
第二课时函数的概念(二)
课标要求素养要求
1.会判断两个函数是否为同一函数.
2.能正确使用区间表示数集.
3.会求一些简单函数的值域.
1.通过对区间概念的理解及判断两个函
数为同一函数，提升数学抽象素养.
2.通过求一些简单函数的值域，提升逻
辑推理、数学运算素养.
新知探究
设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的
“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200
公里/时与350公里/时之间.
问题1如何表示列车的运行速度的范围？
提示我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200 问题2还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？ 提示还可以用区间表示为(200，350)，这就是我们今天要学习的知识. 1.区间注意区间端点的开闭 设a，b∈R，且a 定义名称符号数轴表示 {x|a≤x≤b}闭区间[a，b] {x|a {x |a ≤x (a ，b ] {x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤a } (－∞，a ] {x |x R (－∞，＋∞) 2.同一个函数 函数的三要素完全相同 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.常见函数的值域 (1)一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的定义域为R ，值域是R . (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ， 当a >0时，值域为????? 4ac －b 24a ，＋∞ ， 当a <0时，值域为? ? ??－∞， 4ac －b 24a . 拓展深化 [微判断] 1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(√) 2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.(×) 提示 两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同. 3.函数y ＝1＋x 2的值域为(1，＋∞).(×) 提示 y ＝1＋x 2的值域为[1，＋∞). [微训练] 1.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( ) x x<22≤x≤3x>3 y －10 1 A.{y|－1≤y≤1} C.{y|2≤y≤3} D.{－1，0，1} 解析由表格知，对应的y的值为－1，0，1，故选D. 答案 D 2.区间[1，2)表示的集合为________. 解析根据区间的定义，可表示为{x|1≤x<2}. 答案{x|1≤x<2} 3.已知函数f(x)＝2x－3，x∈A的值域为{－1，1，3}，则定义域A为________. 解析函数f(x)＝2x－3的值域为{－1，1，3}，令f(x)分别等于－1，1，3，求出对应的x分别为1，2，3，则由x组成的集合{1，2，3}，即为定义域A. 答案{1，2，3} [微思考] 1.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？ 提示不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定. 2.区间与集合有什么联系？ 提示区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致. 题型一区间的应用 【例1】把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1 (4){x|0 解(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；(2){x|x<0}＝(－∞，0)；(3){x|－1 规律方法用区间表示数集的方法： (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 【训练1】(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________. (2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________. 解析(1){x|x≥0且x≠2}＝[0，2)∪(2，＋∞). (2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞). 答案(1)[0，2)∪(2，＋∞)(2)(－1，＋∞) 题型二同一函数的判断 【例2】(1)下列各组函数： ①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1； ②f(x)＝ x x，g(x)＝ x x ； ③f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5). 其中表示同一函数的是________(填序号). 解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；②f (x )与g (x )的对应关系不同，不是同一函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的对应关系不同，不是同一函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；⑤f (x )与g (x )的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数. 答案 ⑤ (2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否为同一函数，并说明理由. 解 不相同.对于函数y ＝ x －1·x ＋1，由?????x －1≥0， x ＋1≥0， 解得x ≥1，故定义域为 {x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤ －1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数. 规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形. 【训练2】 (1)下列各组函数是同一函数的是( ) A.y ＝1，y ＝x x B.y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4 C.y ＝|x |，y ＝(x )2 D.y ＝x ，y ＝3 x 3 (2)下列各组函数是同一函数的是________(填序号). ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 0与g (x )＝1 x 0；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t ) ＝t 2－2t －1. 解析 (1)A ，B ，C 中的两函数定义域均不相同，故选D. (2)①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一函数； ②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1 x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数. 答案 (1)D (2)②③ 题型三 求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝x －1； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y ＝ 2x ＋1 x －3 ； (4)y ＝2x －x －1. 解 (1)(直接法)∵x ≥0，∴x －1≥－1，∴y ＝x －1的值域为[－1，＋∞). (2)(观察法)∵x ∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x 代入y ＝x 2－2x ＋3得y ＝11，6，3，2，∴y ＝x 2－2x ＋3的值域为{2，3，6，11}. (3)(分离常数法)y ＝ 2x ＋1x －3 ＝ 2（x －3）＋7 x －3 ＝2＋ 7x －3，显然7x －3 ≠0，所以y ≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (4)(换元法)设t ＝ x －1，则t ≥0，且x ＝t 2 ＋1，所以y ＝2(t 2 ＋1)－t ＝2? ?? ??t －142＋15 8， 由t ≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为???? ?? 158，＋∞. 规律方法求函数值域的常用方法 (1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域. (2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法. (3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域. (4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域. 【训练3】求下列函数的值域： (1)y＝16－x2； (2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)； (3)y＝ x x＋1 ； (4)y＝2x＋41－x. 解(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤16－x2≤4，即函数y＝16－x2的值域为[0，4]. (2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2，11]. (3)(分离常数法)∵y＝ x x＋1 ＝1－1 x＋1 ， 且定义域为{x|x≠－1}，∴1 x＋1 ≠0，即y≠1. ∴函数y＝x x＋1 的值域为{y|y∈R，且y≠1}. (4)(换元法)令t＝1－x(t≥0)，则x＝1－t2， 则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)， 结合图象可得函数的值域为(－∞，4]. 一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养. 2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合. 3.同一函数的概念的理解 (1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同. 二、素养训练 1.函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为() A.(5，9) B.[5，9] C.{5，7，9} D.{5，6，7，8，9} 解析由题意知，函数的定义域为{2，3，4}，依次代入y＝2x＋1得y＝5，7，9，所以函数的值域为{5，7，9}.故选C. 答案 C 2.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝(x)2；②f(x)＝x，g(x)＝3 x3；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)； ④f(x)＝x2＋3x－1，g(t)＝t2＋3t－1. 其中是同一函数的是() A.没有 B.仅有② C.有②④ D.有②③④ 解析对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同. 答案 C 3.函数f(x)＝ 1 1＋x2 (x∈R)的值域是() A.[0，1] B.[0，1) C.(0，1] D.(0，1) 解析因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<1 x2＋1 ≤1，所以函数的值域为(0，1]，故选C. 答案 C 4.下列函数中值域为(0，＋∞)的是() A.y＝x B.y＝1 x C.y＝1 x D.y＝x 2＋1 解析y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝1 x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1 的值域为[1，＋∞)，故选B. 答案 B 5.将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1){x|x<2}； (2){x|x＝0或1≤x≤5}； (3){x|x＝3或4≤x≤8}； (4){x|2≤x≤8且x≠5}； (5){x|3 解 (1){x |x <2}可以用区间表示为(－∞，2)；用数轴表示如图①. (2){x |x ＝0或1≤x ≤5}可以用区间表示为{0}∪[1，5]；用数轴表示如图②. (3){x |x ＝3或4≤x ≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]；用数轴表示如图③. (4){x |2≤x ≤8且x ≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]；用数轴表示如图④. (5){x |3 图⑤ 基础达标 一、选择题 1.函数f (x )＝x ＋2 x －2 的定义域是( ) A.[－2，2) B.[－2，2)∪(2，＋∞) C.[－2，＋∞) D.(2，＋∞) 解析 x 应满足?????x ＋2≥0， x －2≠0，即x ≥－2，且x ≠2. ∴函数f (x )＝x ＋2x －2 的定义域是[－2，2)∪(2，＋∞).故选B. 答案 B 2.下列各组函数为同一函数的是( ) A.f (x )＝x ，g (x )＝x 2 x B.f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0 C.f(x)＝（x）2 x，g(x)＝ x （x）2 D.f(x)＝x2－9 x＋3 ，g(x)＝x－3 解析 A.因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；C.这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.故选C. 答案 C 3.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是() A.1 B.0 C.－1 D.2 解析∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1， f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1， ∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1. 答案 A 4.函数y＝x－1 x＋1 (x≥0)的值域为() A.[－1，1) B.[－1，1] C.[－1，＋∞) D.[0，＋∞) 解析由题知y＝x－1 x＋1＝ x＋1－2 x＋1 ＝1＋ －2 x＋1 .∵x≥0， ∴x＋1≥1，∴0< 1 x＋1 ≤1， ∴－2≤－2 x＋1 <0，∴－1≤1＋ －2 x＋1 <1. ∴函数y＝x－1 x＋1 的值域为[－1，1).故选A. 答案 A 5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.4个 解析 由2x 2－1＝1，得x 1＝1，x 2＝－1；由2x 2－1＝7，得x 3＝－2，x 4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”. 答案 B 二、填空题 6.下列各对函数中是同一函数的是________(填序号). ①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0； ②f (x )＝（2x ＋1）2与g (x )＝|2x ＋1|； ③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )； ④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2. 解析 ①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f (x )＝ （2x ＋1）2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定 义域和对应关系相同，是同一函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不相同，不是同一函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数. 答案 ②④ 7.函数y ＝ 6－x |x |－4 的定义域用区间表示为________. 解析 要使函数有意义，需满足?????6－x ≥0， |x |－4≠0， 即?????x ≤6， x ≠± 4， ∴定义域为(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]. 答案(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6] 8.在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a 解析由题意知，当x∈[－2，1]时，f(x)＝－1； 当x∈(1，2]时，f(x)＝x2－2∈(－1，2]. 所以当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－1，2]. 答案[－1，2] 三、解答题 9.求下列函数的值域： (1)y＝5x＋4 x－1 ； (2)y＝x－1－2x； (3)y＝2－－x2＋4x. 解(1)y＝5x＋4 x－1 ＝ 5（x－1）＋9 x－1 ＝5＋9 x－1 ，且9 x－1 ≠0，∴y≠5，∴函数的值域 是{y|y≠5}. (2)令t＝1－2x(t≥0)，∴x＝－1 2t 2＋12， ∴y＝－1 2t 2－t＋12＝－12(t＋1)2＋1， 当t≥0时，y≤1 2，∴函数的值域为 ? ? ? ? ? －∞，1 2. (3)y＝2－－x2＋4x＝2－－（x－2）2＋4，∵0≤－（x－2）2＋4≤4＝2， 所以y＝2－－x2＋4x的值域为[0，2]. 10.已知函数f (x )＝12x 2－x ＋3 2，是否存在实数m ，使得函数的定义域和值域都是[1，m ](m >1)？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 解 存在.理由如下： f (x )＝12x 2－x ＋32＝1 2(x －1)2＋1的对称轴为x ＝1，顶点(1，1)且开口向上. ∵m >1，∴当x ∈[1，m ]时，y 随x 的增大而增大， ∴要使f (x )的定义域和值域都是[1，m ]，则有?????f （1）＝1， f （m ）＝m ， ∴12m 2－m ＋3 2＝m ，即m 2－4m ＋3＝0， ∴m ＝3或m ＝1(舍) ∴存在实数m ＝3满足条件. 能力提升 11.已知f (x )＝ 1－x 1＋x (x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R )，则f (g (x ))＝________. 解析 f (g (x ))＝1－g （x ）1＋g （x ） ＝ 1－（x 2－1）1＋（x 2－1） ＝2－x 2 x 2(x ≠0). 答案 2－x 2 x 2(x ≠0) 12.对于函数f (x )，若f (x )＝x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))＝x ，则称x 为f (x )的“稳定点”，函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f (x )＝x }，B ＝{x |f (f (x ))＝x }. (1)求证：A ?B ； (2)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，若A ＝{－1，3}，求集合B . (1)证明 若A ＝?，则A ?B 显然成立. 若A ≠?，设t ∈A ， 则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ， 从而A ?B ，故A ?B 成立. (2)解 因为A ＝{－1，3}，所以f (－1)＝－1，且f (3)＝3. 即?????（－1）2－a ＋b ＝－1， 32＋3a ＋b ＝3， 所以?????a －b ＝2，3a ＋b ＝－6，所以?????a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝x 2－x －3. 因为B ＝{x |f (f (x ))＝x }， 所以(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ， 所以(x 2－x －3)2－x 2＝0， 即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0， 所以(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0， 所以x ＝±3或x ＝－1或x ＝3. 所以B ＝{－3，－1，3，3}. 创新猜想 13.(多空题)若对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________，f (－1)＝________. 解析 对?x ∈R ，有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1， 令x ＝1，则2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，则2f (－1)－f (1)＝－2.② 由①②解得f (1)＝2，f (－1)＝0. 答案 2 0 14.(多空题)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域为 ________，值域为________. 解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合. 答案[－2，4]∪[5，8][－4，3] 第二课时函数的概念(二) 课标要求素养要求 1.会判断两个函数是否为同一函数. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的值域. 1.通过对区间概念的理解及判断两个函 数为同一函数，提升数学抽象素养. 2.通过求一些简单函数的值域，提升逻 辑推理、数学运算素养. 新知探究 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的 “中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200 公里/时与350公里/时之间. 问题1如何表示列车的运行速度的范围？ 提示我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200 {x |a ≤x a } (a ，＋∞) {x |x ≤a } (－∞，a ] {x |x 0时，值域为????? 4ac －b 24a ，＋∞ ， 当a <0时，值域为? ? ??－∞， 4ac －b 24a . 拓展深化 [微判断] 1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(√) 2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.(×) 提示 两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同. 3.函数y ＝1＋x 2的值域为(1，＋∞).(×) 提示 y ＝1＋x 2的值域为[1，＋∞). [微训练] 1.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( ) 1．2．1函数的概念（教学设计） 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？ 问题2：x y =与x x y 2 =是同一函数吗？ 观察对应： 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方 求正弦 求平方 乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。 高一函数的概念教学设计 一、教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间 的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。 二、教学重点与难点： 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2、教学用具：投影仪. 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 1.2.1 函数的概念 第二课时 函数概念的应用 【教学目标】 1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准； 2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域． 3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。 【教学重难点】 教学重点 能熟练求解常见函数的定义域和值域． 教学难点 对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解． 【教学过程】 1、创设情境 下列函数f (x )与g(x )是否表示同一个函数？为什么？ （1）f (x )＝ (x －1) 0；g(x )＝1 ； （2） f (x )＝x ；g(x )＝x 2； （3）f (x )＝x 2；g(x )＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f (x ) ＝|x |；g(x )＝x 2． 2、讲解新课 总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 3、典例 例1 求下列函数的定义域： （1）11+?-=x x y ； （2）232531 x x y -+-=； 分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 解 ： （1）由???≥+≥-,01,01x x 得???-≥≥, 1,1x x 即1≥x ，故函数11+?-=x x y 的定义域是1[，)∞+． （2）由?????≥-≠-,05,0322x x 得?????≤≤-±≠, 55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3， 故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}． 点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个： ① 分式中，分母不等于零． ② 偶次根式中，被开方数为非负数． ③ 对于0x y =中，要求 x ≠0． 变式练习1求下列函数的定义域： （1）x x x y -+=||)1(0 ；（2）x x x y 121 32+--+=． 5.1函数与它的表示法(2) 教材分析： 本节内容是在上节课的基础上引导学生进一步认识函数的概念和自变量的取值范围，为 今后学习反比例函数和二次函数的性质做好知识准备，对学生函数性质接受有很重要的作用，因此本节内容在教材中有着承上启下的作用． 教学设想： 本节课主要采用小组探究式、师生合作的学习方式，让学生通过观察和动手操作得到 结论．通过问题引导学生对函数的概念进行再认识，紧接着探究函数的取值范围，在探究过 程中采用小组合作交流，教师适时点拨的形式，鼓励学生大胆发言，培养学生思维的全面性．教学目标： 知识与技能：1、通过对实例的探究，进一步了解函数的概念. 2、会根据具体情境写出函数的解析式并确定自变量的取值范围. 过程与方法：经历探索确定函数自变量范围的方法，培养学生操作、归纳、推理能力，让学生接触并解决一些现实生活中的问题，逐步培养学生的应用能力． 情感态度和价值观:通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数 学的热情和兴趣，操作活动中，培养学生的合作精神． 教学重难点： 重点：确定函数解析式及自变量的取值范围. 难点：确定自变量的取值范围. 课前准备 教具准备 PPT课件 课时安排：2课时 教学过程： 情景导入： 这节课我们进一步研究上一节课的三个例子，思考下列问题： (1)在这些问题中，自变量可以取值的范围分别是什么? (2)对于自变量在它可以取值的范围内每取一个值,另一个变量是否都有唯一确定的值与 它对应? (3)由此你对函数有了哪些进一步的认识? 【设计意图】： 通过师生相互交流可以帮助学生建立学习信心,为解决后来的问题降低了难度． 合作探究一：函数的定义 回忆七年级学的函数概念：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每—个值，y都有唯一的值与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量. . 《函数的概念》的教学设计 浙江省义乌市第三中学陈向阳 【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（ A 版）》的第一章 1.2.1 函数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函 数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。 函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接 的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又 互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。本节的内容较多，分二课时。本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单 函数的定义域及值域的求法、区间表示等。（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函 数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等） 【学情分析】 学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变 量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为 薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难 度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数 1, 当 x是有理数时 f ( x) 如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但0, 当x是无理数时 如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。因此，用集合与对应的思想来理解函数，对 函数概念的再认识，就很有必要。由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还 是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x) ”不甚其解。教师应在 教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而 理解问题的本质，归纳总结出结论。 【学法指导】 本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号 f(x) 的学习，借助具体函数来理解符号y=f(x) 的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符 号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。 【教学目标】 知识目标——通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及 函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。 能力目标——培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳 概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与 “数”结合并相互转化的数学思想。 函数的概念第二课时教学设计 A【教学目标】 1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准； 2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域． 3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。 B【教学重难点】 教学重点 能熟练求解常见函数的定义域和值域． 教学难点 对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解． C【教学过程】 1、创设情境 下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？ （1）f(x)＝(x－1)0；g(x)＝1；（2）f(x)＝x；g(x)＝x； 、（3）f(x)＝x2；g(x)＝(x+1)2；（4）f(x)＝|x|；g(x)＝． 2、讲解新课 总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 3、典例 例1求下列函数的定义域： （1）y?x?1?x?1；（2）y?1 x2?3?5?x2； 分析：一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 解：（1）由??x?1?0,?x?1,得?即x?1，故函数y?x?1?x?1的定义域是[1，??)．x?1?0,x??1,?? 2???x?3?0,?x??,（2）由?得?即?5≤x≤5且x≠±， 2???5?x?0,???x?5, 故函数的定义域是{x|?≤x≤且x≠±3}． 点评：求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个： ①分式中，分母不等于零． ②偶次根式中，被开方数为非负数． ③对于y?x0中，要求x≠0． （专业的、优秀的、实惠的教育辅导机构） y?(x?1)0 x|?xy?2x?3?1 2?x? 变式练习1求下列函数的定义域：（1）；（2）1x． ?x?1?0,?x??1,(x?1)0解（2）由?得?故函数y?是{x|x<0，且x ≠?1}．x|?x?x?0,?|x|?x?0, 1.2.1函数的概念（第2课时） （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法 通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点 重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则. （三）教学方法 启发式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、应用知识，提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力. （四）教学过程 备选例题 例1 求下列函数的定义域 （1）2112 y x =-+； （2）2 2 4 x y x -=-； （3）1 ||y x x = +； （4）2y ； （5）1 ||3 y x =-； （6）y (a 为常数). 【解析】（1）x ∈R ； （2）要使函数有意义，必须使x 2 – 4≠0，得原函数定义域为{x | x ∈R 且x ≠±2}； （3）要使函数有意义，必须使x + |x |≠0，得原函数定义域为{x | x ＞0}； （4）要使函数有意义，必须使10, 40, x x -≥?? -≥?得原函数的定义域为{x | 1≤x ≤4}； （5）要使函数有意义，必须使240, ||30;x x ?-≥?-≠? 得原函数定义域为{x | –2≤x ≤ 2}； （6）要使函数有意义，必须使ax – 3≥0，得 当a ＞0时，原函数定义域为{x | x ≥3a }； 当a ＜0时，原函数定义域为{x | x ≤3 a }； 当a = 0时，ax – 3≥0的解集为?，故原函数定义域为?. 1.2.1 函数的概念 第二课时 函数概念的应用 A 【教学目标】 1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准； 2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域． 3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。 B 【教学重难点】 教学重点 能熟练求解常见函数的定义域和值域． 教学难点 对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解． C 【教学过程】 1、创设情境 下列函数f (x )与g(x )是否表示同一个函数？为什么？ （1）f (x )＝ (x －1) 0；g(x )＝1 ； （2） f (x )＝x ；g(x )＝x 2； （3）f (x )＝x 2；g(x )＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f (x ) ＝|x |；g(x )＝x 2． 2、讲解新课 总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 3、典例 例1 求下列函数的定义域： （1）11+?-=x x y ； （2）232531 x x y -+-=； 分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 解 ： （1）由???≥+≥-,01,01x x 得???-≥≥, 1,1x x 即1≥x ，故函数11+?-=x x y 的定义域是1[，)∞+． （2）由?????≥-≠-,05,0322x x 得? ????≤≤-±≠,55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3， 故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}． 点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个： ① 分式中，分母不等于零． ② 偶次根式中，被开方数为非负数． ③ 对于0x y =中，要求 x ≠0． 函数的概念教学设计 一、教学目标 1、 知识与技能 通过丰富的实例，让学生 ①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应； ②了解构成函数的三要素； ③理解函数概念的本质； ④理解f(x)与f(a)（a 为常数）的区别与联系； ⑤会求一些简单函数的定义域。 2．过程与方法 在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。 3、 情感、态度与价值观 让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。 二、教学重点、难点 重点：函数的概念以及构成函数的三要素； 难点：函数概念的形成及理解。 三、学法与教学方法 1、学法：采用学生动手实践、独立思考、自主探究与合作交流相结合的学习方式。 2、教学方法：有效教学的课堂模式 四、教学过程 （一）创设情景、提出问题 提问1：初中时函数的概念是如何定义的？ [设计意图：通过提问，学生复习了初中函数的概念，为提问2打下铺垫，为引入本节课题，并为学习高中阶段函数的概念作好准备。] 生：一般地,设在一个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数. 提问2：①y=1是函数吗？②y=x 与 x x y 2 是相同的函数吗？ 【学情预设：学生可能回答的不尽相同】 [设计意图：通过提问，学生发现利用初中的概念很难回答这两个问题，从而理解了从更深的高度学习函数概念的必要，从而引出了本节课题。] （二）师生互动、探究新知 1、函数的有关概念 师：下面我们共同看生活中的三个例子 例1：一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律是h=130t-5t2. 例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况． 例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八 五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化． 对于这三个实例，我分别提出一个问题请同学们思考： 问题1：从炮弹发射到炮弹落地的时间内，集合A中是否存在某一时间t, 在B中没有高度h与之相对应？是否有两个或多个高度与之相对应？ 问题2：从1979-2001年，集合A中是否存在某一时间t,在B中没有面积S 与之相对应？是否有两个或多个面积与之相对应？ 问题3：从1991-2001年，集合A中是否存在某一时间t,在B中没有恩格 《函数的概念》教学设计 人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》第一章 概述： 《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢？从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题. 注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力. 运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析 【教材内容分析】 1.教材的地位及作用 函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，学习了本小节后，为以后学习其他类型的函数打下扎实的基础。由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。 2.学情分析 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。 【教学目标分析】 根据上述教材内容分析，并结合学生的学习心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明： 第二课时分段函数与映射 【选题明细表】 知识点、方法题号 分段函数的解析式11,13 分段函数的求值2,5,8,10,12 分段函数的图象4,12 映射1,3,6,7,9 1.下列各对应中,构成映射的是( D ) 解析:选项A,C中集合A中的元素1,在集合B中有2个元素与之对应;选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应,所以都不是映射,只有D项符合映射的定义.故选D. 2.下列给出的函数是分段函数的是( B ) ①f(x)= ②f(x)= ③f(x)= ④f(x)= (A)①②(B)①④(C)②④(D)③④ 解析:对于②取x=2,f(2)=3或4,对于③取x=1,f(1)=5或1,所以②③都不合题意.故选B. 3.a,b是实数,集合M={,1},N={a,0},映射f:x→x即将集合M中的元素x映射到N中仍是x,则a+b 的值等于( A ) (A)1 (B)0 (C)-1 (D)±1 解析:由已知得b=0,a=1,所以a+b=1.故选A. 4.函数y=x|x|的图象是( D ) 解析:因为y=x|x|=根据二次函数图象可知D正确,故选D. 5.(2018·德州高一检测)已知函数f(x)=则f(1)-f(3)等于( B ) (A)-2 (B)7 (C)27 (D)-7 解析:f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17, f(3)=32+1=10,所以f(1)-f(3)=7.故选B. 6.下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( D ) (A)A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x| (B)A={x|x≥0},B={y|y>0},f:x→y= (C)A=N,B=N*,f:x→y=|x-1| (D)A=R,B={y|y≥0},f:x→y=x2-2x+2 解析:A中当x=0时,y=0?B.同理B错,C中,当x=1时,y=0?B,故C不正确;由于x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,故D正确. 7.已知A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},从A到B的映射f:(x,y)→(x+y, x·y),A中元素(x,y)与B中元素(4,-5)对应,则此元素为. 解析:依题意可得 所以或 答案:(5,-1)或(-1,5) 8.设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是. 解析:当x0≤0时,由-x0-1>1,得x0<-2, 当x0>0时,由>1,得x0>1. 所以x0的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-2)∪(1,+∞) 9.集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+ f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数是( B ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)8 解析:(1)a,b都对应0时,f(a)+f(b)=0,有一个; (2)a,b两个一个对应1,一个对应-1时,f(a)+f(b)=0,有两个,所以共有3个.故选B. 10.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是 . 解析:由题意得f(x)=结合函数f(x)的图象得值域是(-∞,1]. 答案:(-∞,1] 《函数的概念》的教学设计 浙江省义乌市第三中学 陈向阳 【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A 版）》的第一章1.2.1函 数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。 函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。本节的内容较多，分二课时。本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等） 【学情分析】 学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数 ?? ?=是无理数时 当是有理数时 当x x x f ,0,1)( 如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要。由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。 【学法指导】 本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助具体函数来理解符号y=f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。 【教学目标】 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数 学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳 概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。第二课时 函数的概念(二)
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