广西贵港市2015-2016学年高二3月月考试题数学(文科)试题
2016年春季期高二年级月考（一）数学（文科）试卷
（完卷时间120分钟；满分150分）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．设集合{}
2
320M x x x =++>，集合?
??
?
??≤=4)2
1(x x N ，则 M N =（ ）
A ．{}
2x x ≥- B ．{
}1
x x >-
C ． {}
2x x ≤-
D ．R
2. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．
A ． 2
B
． C
D
3．已知命题:p “,10x x e x ?∈--≤R ”，则p ?为 （ ）
A ． ,10x x e x ?∈--≥R
B ．,10x
x e x ?∈-->R C ．,10x x e x ?∈-->R D ． ,10x x e x ?∈--≥R 4．若)4
sin(
2cos 2απ
α-=，且()2
π
απ∈，，则sin 2α的值为（ ）
A ．78-
B
．8- C ．1
D
．8 5．已知①1-=x x ,②2-=x x ,③3-=x x , ④4-=x x 在如右图所示的程序框图中，如果输入10=x ，而输出4=y ，则在空白处可填入
（ ）．
A ．①②③
B ．②③
C ．③④
D ．②③④
6.已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==，则公差=d
A
． B ．4 C ．8 D ．16
7．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( )
A ．
310 B ．58 C ．710 D ．2
5
8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A ．1+．2
C ．
22
+．32
9．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y －5＝0与圆x 2+y 2=4
相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于
A. B ． C D ．1
10．已知函数???
??<-≥=2
,)1(2,2
)(3
x x x x x f ，若关于x 的方程
()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )．
A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．(0,1]
D ．(1,0)-
正视图
俯视图
侧视图
11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点
为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（） A ．5 B ．3 C ．3 D ．2
12．已知()f x 为定义在(0,)+∞上
的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1
(2>-x f x
f x 的解集为（ ）．
A ． (0,1)
B ．(1,2)
C ．(1,)+∞
D ．(2,)+∞
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13. 已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a
⊥=-=且则=x
14.已知实数,x y 满足?
????≥≥≤+x
y x y x 21
2，且数列4,,2x z y 为等差数列，则实数z 的最大值是
15．在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若210
121012=-S S
，则2013S 的值等于
16.以下命题正确的是： ．
①把函数3sin(2)3
y x π
=+
的图象向右平移6π
个单位，可得到3sin 2y x =的图象；
②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得
的P 点到O 的距离大于1的概率为12
π
-；
③为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；
④已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为08.023.1?+=x y ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． （1）求角A 的大小
(2)若3a =，求ABC ?的周长最大值．
18.（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A 、B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．
（1）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长； （2）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求b a >的概率．
19.（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，1CD =，60O
BCD ∠=，BD CD ⊥，正方形ADEF ，且面ADEF ⊥面ABCD ． （1）求证：BD ⊥平面ECD ． （2）求D 点到面CEB 的距离．
20． (本小题满分12分) 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 经过点)3,0(，离心率为21，且1F 、2
F 分别为椭圆的左右焦点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点)0,4(-M 作斜率为)0(≠k k 的直线l ，交椭圆C 于B 、D 两点，N 为BD 中点，请说明存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆经过N 点，（不要求求出实数k ）．
21.(本小题满分12分)已知a ∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； (2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值．
A
本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲
如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于CD 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．
（1）求证：,,,B D H F 四点共圆；
（2）若2,AC AF ==，求BDF ?外接圆的半径．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.
（1）求圆C 的参数方程；
（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-.
(1)若()2f x >，求实数x 的取值范围； (2)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．
2016年春季期高二年级月考（一）数学（文科）答案
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1. D
2. B
3. C
4. A
5. D
6. B
7.D
8.A
9.B 10. B 11. D 12.C
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13. 2 14.3 15.2013- 16. ①④ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
（1）解：由(2)cos cos b c A a C -=及正弦定理，得C A A C B cos sin cos )sin sin 2(=- ……3分C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=∴，B A C A B sin )sin(cos sin 2=+=∴，
),0(,π∈B A ，0sin ≠∴B ，21cos =
∴A ，3
π
=A ………6分 (2)解：由（I ）得3
A π
∴=
，由正弦定理得
sin sin sin b c a B C A ====
所以;b B c C ==，ABC ?
的周长3)3
l π
=+++
……9分
3cosBsin )33
π
π
=++
+33cosB =++ 36sin(B )6π=++2(0,)3
B π
∈
当3
B π
=
时，ABC ?的周长取得最大值为9．………12分
18.（本小题满分12分）
解：（1）A 班样本数据的平均值为1
(911142031)175
++++=………………3分 由此估计A 班学生每周平均上网时间17小时；B 班样本数据的平均值为
1
(1112212526)195
++++=由此估计B 班学生每周平均上网时间较长． ……6分 （2）A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为：9，11，14， B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为：11，12，21， 从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，
分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），……………9分
其中b a >的情况有（14，11），（14，12）两种，故b a >的概率9
2
=
p ．……2分
19.（本小题满分12分）（1）证明：∵四边形ADEF 为正方形 ∴ED AD ⊥，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ?平面ABCD =AD ，∴ED ⊥平面ABCD ……3分∴ED BD ⊥又∵
BD CD ⊥, ED CD D ?= ∴BD ⊥平面ECD ……6分
（2）解：1CD =，60O
BCD ∠=，BD CD ⊥， 又∵ 正方形ADEF ∴2CB =
，CE =
BE =
cos BCE ∠=
=
∴122CEB S ?=
?=
……8分 Rt BCD 的面积等于
112BCD S ?=?=9分
由得（I ）ED ⊥平面ABCD ∴点E 到平面BCD 的距离为2ED =……10分
∴11.323
D CEB
E CDB V V --==
=132h =?[
∴19h = 即点D 到平面CEB
的距离为19
． …………12分
20．(本小题满分12分)
解：（1）∵椭圆经过点)3,0(，离心率为
2
1
， ∴????
?
????+===2
22321c b a b a c ，解得3,1,2===b c a ．∴椭圆C 的方程为13422=+y x ．……4分 （2）证明：设),(11y x B ，),(22y x D ，线段BD 的中点),(00y x N ．由题意可得直线l 的方程为：
)4(+=x k y ，且0≠k ．联立??
???+==+)4(13
42
2x k y y x ，化为12)4(432
22=++x k x …………6分 0126432)43(2222=-+++k x k x k ，由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=?k k k ，可得4
1
2<
k ，且0≠k ．∴22214332k k x x +-=+2
2214312
64.k k x x +-=．…………8分 ∴2
2
2143162k
k x x x o +-=+=，204312)4(k k x k y o +=+= 假设存在实数k ，使得1F 2F 为直径的圆过N 点，即1
2F N F N ⊥，则12.1F N F N k k =-，
A
∵22
22004141
4316431211k k k k k k x y k N
F -=++-+=+=，2202202121234161203134F N
k
y k k k k x k k +===-----+ ∴
224121
14203
k k k k ?=----，化为42804030k k +-=，设2t k =，则2804030t t +-= ∴关于t 的方程存在正解，这样实数k 存在．即存在实数k ，使以1F 2F 为直径的圆过N 点．12分 21.(本小题满分12分)
解 (1)当1=a 时，6126)(2+-='x x x f ，所以6)2(='f .又因为f (2)＝4，所以切线方程为86-=x y . ………4分[来源:学科网]
(2)记)(a g 为f (x )在闭区间]||2,0[a 上的最小值．
))(1(66)1(66)(2a x x a x a x x f --=++-='．令0)(='x f ，得到a x x ==21,1.
当1>a 时，
比较0)0(=f 和)3()(2
a a a f -=的大小可得?
?
?>-≤<=3),3(3
1,0)(2
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