概率论第二章练习答案

《概率论》第二章练习答案

一、填空题：

”2x c S 1

1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的

0 其匕

'-

观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。

2

2.设连续型随机变量的概率密度函数为：

ax+b 0

f (x)=

I 0 其他

1

且EX=丄，贝U a = -2 , b = 2 。

3 ------------------- ----------------------

3. 已知随机变量X在［10 , 22 ］上服从均匀分布，则EX=」6 ________________ , DX= 12

4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22

5. 已知X的密度为(x)二ax?"b

Y

01

0 . x ::

1

1 1

(x ) =P(X?),则

3 3

6.

7. 1 1

(X〈一)= P ( X〉一)一

1

(ax b)dxjQx b)

联立解得:

dx

若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1

——'J

设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：,

丨1, x ：： 0

0 岂

x ：：： 1，则

P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99

8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二

x _100

x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他)

需要更换的概率为_____

厂100 8/27 _________ x> 100

9.设随机变量X服从(n, p)分布，已知EX= 1.6 ,DX= 1.28 ,则参数n=

P= o

EX = np = 1.6

DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2

10.设随机变量x服从参数为(2, p)的二项分布，丫服从参数为(4, p)的二项分

5

布，若P (X> 1)=-，贝U P (Y> 1)=—65/81 _____________ o

9

解:

13.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X- 2的期望E (Z)

= 3EX-2=3x2-2=4 。

14 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X)= 2 .

D (X) = 2 .

.?.冬=2(冬=0舍)

15.若随机变量E服从参数入=0.05的指数分布，则其概率密度函数为:

丄0.05e^.05x x^O ,

做x)=」' ;E E = 20 ; D E = 400 o

0 X ￡ 0 ,

16.设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为巩.仮讣占晋今伽

17.某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为P3⑷=0.168031

解: X ~ b(300,0.01)

P(X =4) = f300 !* 0.014 * 0.99296,

<4丿

利用泊松定理作近似计算：

:(x)

=

其它

P ( > 150) [P( > 150)] 150100 , 100 150

=1-F(150)=1- p dx=1 —

100 x x 3 2 3 8

=()=■100

=1 ?一1 上

3 3

11 .

4 ) 12.

5 $ 4

p(X -1) p(X 1) p(X =0)

9 9

2 4 2 1

q q , p =-

随机变量X?N (2，2)，且P (2V X V

=0.3，贝U P (X V 0) = _0.2 _

设随机变量X服从参数为1的指数分布，

数学期望E(X +e"X)= 4/3 ________

一小时内使用电话的用户数服从■二np=300 0.01 =3的泊松分布

18通常在n比较大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布的公式，其期望

为 ■ - np ，方差为 ■-叩

19 . X ~ N(P,

。（将X 标准化后查标准正态分布表） 、单项选择：

1.设随机变量X 的密度函数为： 4

f （x ）-① 1.4=EX=0.6X 1+O.4X 2

② DX =E X （EX ）2

联系①、②解得X 1=1, X F 2

5.现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取 3张, 则此人得奖金额的数学期望为 （） A. 6 元 B. 12 元 C. 7.8 元 D. 9 元 设?表示得奖金额，则其分布律为:

6 （ 3张2元的）9 （ 2张2元，1张5元的）12 （ 1张2元，2张5元的）

「 3

, 0

则使P(x>a)=P(x

A * 4；

B. 4 2

C.

解：根据密度函数的非负可积性得到：

2.设F 1 (X )与F 2 (X )分别为随机变量 -bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取( 3「 2 c 2 「 a=— , b = — B. a=— , b= 5

5

3 一 1 — 3 n _1 u_

a — —, b=

D. a — , b=

2 2 2

F( + ■ - )=a F 1 (+ ：- )-BF 2 什)=1 =■ a - b =

1 C.

3. 已知随机变量的分布函数为 X 与X 2的分布函数，为使F （X ） A ）

=aF i (x) 2

3 _ 3

2

，则：（B

1

1

D 、A — B=-

1 1 A 、A=— B= n B 、A=— B=

2

2

解：要熟悉arctgx 的图像

4.设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和％,而且Xv 夫，X 取值X 的概率为0.6， 又

已知E （X ）= 1.4，D （X ）= 0.24，则X 的分布律为 （）

x 0 1

P 0.6 0.4 x n n +1 p

0.6

0.4

x 1 2 p 0.6 0.4

x a b p 0.6 0.4

C. 7.8 元 A. C.

B

D.

故期望值为：7.8

6. 随机变量X 的概率分布是:

10. ____________________________________ 若随机变量X 的可能取值充满区间 ______________________________ ，那么

变量的概率密度函数。 A . ［0 ,二］ B. ［0.5

二,

2 1 C 8 C 2

1 2

C 8C 2

3

C

10 3

C

10

X 1 : 1 3 4

1

1 ,

P

—a

b

6

4

1 ,1 1 ,2

A a=—b=_

B

、a=—, b=—

6

4

12

12

7.

下列可作为密度函数的是： (B 贝U: ( D

)

1 . 5

1 . 1 C 、 a= , b= D 、 a=_ , b=_

12

12

4

3

A 、?(x)=円 1 +x 2

L 0

(x_a)

B ?(x)=J e

I 0

x 0 x _0

x a

其它

C

:

(x)

sin x x ［0,

二］

一 1 ：： x :: 1

依据密度函数的性质:

;：

(x) 一 0

(x ) dx=1进行判断得出：B 为正确答案

8. 设X 的概率密度为?(x)，其分布函数F ( x )，则(D )成立。

A 、P(x "3)=F(x)

B 、0< ，(x)冬 1

C 、P (x

=护(x)

D

、P (x ：： ：：) _ F(x)

厂x

9. 如果 x~%x)，而?(x) = y 2—x

-0

0乞x 辽1

1 < x 乞

2 ,贝U P( x 乞 1.5) =( C 其它

1.5

A 、 (2 - 2

/V

5

dx X)

1.5

C 、0.875

D 、.二一(2-x)dx

Sinx 可以作为一个随机

(B )

［二，1.5 二］

B 为正确答案

3 C 8

D :

(x)

C. [0,1.5 二]

D. -0

进行判断得出: x ) dx = 1

依据密度函数的性质：

11.某厂生产的产品次品率为5%每天从生产的产品中抽5个检验，记X为出现次

品的个数，贝U E(X)为______ 。( D )

A . 0.75 B. 0.2375 C. 0.487 D. 0.25

此题X服从二项分布b(5,0.05),EX=np=5*0.05=0.25

12.设X服从二项分布，若(n+ 1)

P不是整数，则K取何值时，P

(X= K)最大？ (D )

A. K=(n+ 1) P

B. K=(n+ 1) P—i

C. K= nP

D. K= [ (n+ 1) P ]

解：根据二项分布的正态近似知，当X接近于EX=np时取到最大值，由于(n+ 1) P不是

整数，因此需要寻找最接近np的整数。

13 .设X服从泊松分布，若■不是整数，则K取何值时，P (X= K)最大？

(B )

A.工一

B. [ ]

C. 一1

D.工-+ 1

解：根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知：

当EX=时取到最大值，因为■不是整数，而K必须为整数，因此需要对■取整

14. X ~ N(0,1)，Y=2X-1,则Y~( C )

A、N （0，1）B 、N （1，4）C 、N （-1，4）D 、N （-1，3）

15.已知随机变量X

服从参数为2的指数分布，则其标准差为：(C )

A . 2 B. 1/4 C. 1/2 D.

2

随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/2

16.当满足下列( )条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。

(D )

A . n—? , np —?(二项分布的泊松近似)B. n—?, p— 0

17.设X ?N（10,25）,已知门0（1） ,.0.8413，门0（2）： 0.97725，则卩八"和宀■ 20?的

概率分别为[C ]

A. 0.0228,0.1587

B. 0.3413,0.4772

C. 0.1587,0.0228

D. 0.8413,0.97725

三、计算题：

1.设随机变量X的密度函数是连续型函数，其密度函数为：

AX 0j v X< 1

Bf(x) [ —X 1 v X< 2

0 其它

试求：(1)常数A Bo (2)分布函数F (x) (3) P (* v x今)

解：(1)由X为连续型随机变量，

H" OQ 同时： 「f (x)dx =1 = A ? 2B =5 ……② —oO

①、②式联系解得：A=1，B=2

(2)F(x) = J x f (t)dt,

—oO

② F ( x ) 解：① P (X <5)=

② ③

3. 设随机变量X 的密度函数为:

ax - 0

f(x):

=ex + b 2 < x <4

0 其他 已知 EX = 2,

3

P (1

a 、

b 、e 的值

4

2 4

解:("① o ax dx /ex b )dx 七 6c

② EXj^dx 'ex 2 bx)dx 吟 拿 6严

2 3 3 5 3

③ p(1 ：： X :: 3) axdx 亠 I (ex b)dx 二一a -c b = 一 ‘1 ‘2 22 4

4?假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X （单位：t ）,

已知X 服从［2000,4000］上的均匀分布，设每出售这种商品1t ，可为国家挣得外汇3万元, 但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费 1万元，问应组织多少货源，才能使

国家的收益最大？

解: Y :每年该商品的出口量 R :收益

当 o ：：X E1,F （X ）二 x 0tdt

当 1 ：： x 岂 2, F (x)二

「xdx+ J x

(2—t)dt =丄 +(2t —h 2

)

x?〕x 2

1 2

-1;

当 x>2 时，F(x)=1.

1

3 3 1

(3)P(「：：X 乞一)=F (一)—

F(；)

=2 一 _丄(一)2

2 2 2 亠 2 (i )2

2x

Xx"，求: 其它

① P （ X 乞0.5）

2.设已知X~

1

X 的密度函数：-f （x ）=」応,2°°°兰X 兰4°°0 ,

［

0,其他

? ? ? y=3500时，利益最大

5.设某种商品每周的需求量 X 服从区间［10 , 30］上均匀分布，而经销商店进货量 为［10，30］中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500元，若供大于求，则削价 处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商 品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于 9280元，试确定最小进货量？ 解：设进货量为a,则利润为：

若 EMa _9280 即：-7.5 : +350： +5250》9280

2

解得：202

< : < 26

3

???取最小二=21

1

上式：x _ f (x)=丿 20

2

6.某高级镜片制造厂试制成功新镜头， 准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测 设备

仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：①

直接进口，② 租用设备，③ 与

外商合资。不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表：

已知产品出口价为200元/件，如果畅销可销3.5万件，中等可销2.5万件，滞销只售 0.8万件，按以往经验，畅销的可能性为 0.2，中等的为0.7，滞销的为0.1，请为该厂作 出最优决策。

解：设B 二销量，A 1二自制，A 2二进口 ， A 3二租赁，A 4二合资

最优决策的含义是：利润最大化 总成本=固定成本+销售量*可变成本

A 3为最优方案，即租用设备。

7.某书店希望订购最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下:

假定每本新书的订购价为4元，销售价为6元，剩书的处理价为2元，试确定该书店订 购新书的数量。

解：分析：当订货量大于需求量时，则多出的每本处理后亏损 2元；当订货量小于需求量

10 _x _30 其他

的时候，则卖出去一本就可以获利 2元。 针对不同的需求量和订货量的收益表如下：

订 需 求 50

200

100

150

量

y 收

益

概

0.2 0.4

0.3 率

0.1

y1 100 100 100

50 100

y2 0 200 200

100 200

y3 -100 100 300

150 300

y4 -200 0 200

200

400

故订100本较合理。

8. 若连续型随机变量X 的概率是

已知 EX = 0.5 , DX= 0.15，求系数 a, b, c 。

解：

解方程组得：a =12

b- -12 c = 3

9. 五件商品中有两件次品，从中任取三件。设 E 为取到的次品数，求E 的分布律、

数学期望和方差。

解：E 的分布律为

E E = 1.2 ; D E = 0.36

10. 某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成 绩72分，96分的以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的 概率。

2

解：X~N (72,二)

96 —72 24

P(X -96) = 1 - 0( ) = 1 -门0( ) = 0.023 二 2.3% s

CT

CJ

24

24

即：：:」。(仝)=0.977,=空=2— c -12

CT

CT

11. 假设一电路有3个不同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间 都服从参数为■ >0的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电 路不能

正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。

解：设Xi 表示第i 个电气之元件无故障工作的时间，i=1,2,3,则X 1X 2X 3独立且同分布，

设G (t )是T 的分布函数。 当 t<0 时，G( t ) =0

12. 设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度 X~N( 200, 182),求：① 取出的

该材料的强度不低于180的概率；② 若某项工程要求所用的材料强度要以 99%勺概率保 证不低于150，问这批 材料是否合乎要求？解： ① P(X .180^ 0.8665

②

P(X _150) =0.9973 大于0.99，故这批材料合要求

13. 生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现有 2件废品， 则这20件产品中，废品不少于3件的概率为多大？

解： =“20件产品中废品数目” ,l ~b(20,0.1) “初步检查已发现有2件废品” =“ > 2” “废品数不少于3件” =“ >3”

p=0.1 q=Q9 n=20.

14. 某公司作信件广告，依以往经验每送出

100封可收到一家定货。兹就80个城市

中的每一城市发出200封信。求(1)无一家定货的城市数；(2)有三家定货的城市数。

解：设发出200封信后有E 家定货，则Es B (200，0.01 )

E 近似服从参数为’二np =2的泊松分布

P ( E =3) = —e^ : 0.1804

3! 3

(1) 无一家定货的城市数为 80 0.1353=10.82 (2) 有三家定货的城市数为 80 0.1804=14.43

15. 某企业准备通过考试招收300名职工，其中招正式工280人、临时工20人， 报考人数为1657人，考试满分是400分。考后得知，考试平均成绩为166分，在360 分以上的高分考生有31人。求：

(1) 为录取到300人，录取分数线应设定到多少？ (2) 某考生的分数为256分，他能否被录取为正式工？

(设成绩服从正态分布, 叫(0.97) ：? 0.835，:?：%(0.91) : 0.819，叮 1(2.08) 0.981 )

解: (1)

因此，分数线应定在 250.9分。(2)

P (X 256) 1 -P (X E256) = 1 -:\( 5

~ 66

) = 1 -0.835 = 0.165 」故该考生

93.3 1657

分布函数为: x _0 x ::

=20丄

= e

0!

:0.1353

F(x)

能被录为正式工

概率论与数理统计第四版第二章习题答案

概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为

（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ??

概率论第二章练习答案

《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0

4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100

概率论与数理统计第二章答案

第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0

第二章_概率论解析答案习题解答

第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤

求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为

第一章概率论习题解答附件

教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-

概率论第三版第2章答案详解

两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e

P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以:

概率论与数理统计习题及答案__第一章

《概率论与数理统计》习题及答案 第 一 章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

第一章 概率论的基本概念习题答案

第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?

11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.

概率统计第二章答案

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第二章 随机变量及其分布 教学要求： 一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌 握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质， 并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数. 三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布． 重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布． 练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律 1．填空、选择 (1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量?? ?=，，出现正面 ，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间 ]22 1 ，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果 {}81 80 1= ≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i 其中0>c 是常数， 则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）1 1 +=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数 2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 解：从1～5中随机取3个共有103 5=C 种取法. 以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3 {}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则

概率论第二章练习答案概要

《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 03 1 ) ， 则a = , b = ??? +=+?==+∞ ∞ -101 33 1 3 1311 dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（?联立解得： 4 723=-=b a ，

6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________， P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2） ，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p

概率论第一章习题解答

00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；

(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？

《概率论》第二章习题

第二章 事件与概率 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 解：这五个字母自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则 42)(,52)(121== A A P A P ，2 1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。 利用乘法公式，所求的概率为 ()()()() 12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30 1 121314252=????= 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，依题意所求概率为P （B|A ），则 ()7 6 8/78/6)()(=== A P A B P A B P . 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废 品}，显然B A ?，则 () 1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 2 2/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 21 /)(/2 2112 2---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ?，则 () ,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2 11/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 2/)(/2 1122 11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=( ) ) 1() 12(/2 2 11---= +-M M m M m C C C C M m m M m .

概率论与数理统计第一章测试题

第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆

概率论与数理统计答案 第四版 第2章(浙大)

1、考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元， 若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。 解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20 P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988 P（X=5）=0.0010 P（X=20）=0.0002 X 0 5 20 P 0.9988 0.0010 0.0002 2.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律. 解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有=10种取法，数量不多可以枚举来解此题。 设样本空间为S S=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝ 易得，P｛X=3｝=；P｛X=4｝=；P｛X=5｝=； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 方法二：X的取值为3,4,5 当X=3时，1与2必然存在，P｛X=3｝= =; 当X=4时，1,2,3中必然存在2个，P｛X=4｝= =； 当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个，P｛X=5｝= =； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 (2)将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律. 解：P｛X=1｝= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点） = =； P｛X=2｝= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点）

概率论第二章练习答案

For personal use only in study and research; not for commercial use 《概率论》第二章 练习答案 螂 一、填空题: "2x 莁 1 .设随机变量X 的密度函数为f(x)=丿 1 的观察中事件(XW —)出现的次数，则 P (Y = 2)= ___________________ 2 P(X J)「￡xdx 二 2 0 2 1 2 3 1 9 袇 P —F (3)2 螃 2.设连续型随机变量的概率密度函数为: -ax+b 0

莇 DX= 12 4.设 为随机变量，E =3, E 2 =11，则E （4： 10） 羀 D (4 10)=16D # =16 E 2 (E )2 32 100 r x -100 、 X ，某一个电子设备内配有 3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不 、0（其他） 需要更换的概率为 8/27 二 4E 10 =22 蒇 5.已知X 的密度为（X ）二 ax + b 广 0 c x < 1 其他，且 1 1 P ( X 二)=P(X>-) , r (x ) dx=1 1 ax b ) dx 二 /ax b ) 3 联立解得: dx 肇 6?若f （x ）为连续型随机变量 X 的分布密度，则 J 「f （x ）dx= _1 ~ |*"^0 羆 7.设连续型随机变量旳布函数F （X ）=X 2/； 丨1, x ：： 0 0 乞 x ：：： 1，则 蚄 P ( E =0.8 ) = _; P(0.2 ：： ：： 6) = 0.99 螄 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 （X ）=

概率统计第二章

一、教学目的与要求 1、掌握随机变量的概念，离散型随机变量的分布列，会用Ch1求事件概率的方法，求随机变量的分布列； 2、熟悉随机变量的数学期望，方差的概念，会应用分布列求数学期望、方差；掌握数学期望，方差的性质； 3、掌握二维随机变量的分布，边际分布的概念，会应用联合分布列求边际分布，会计算二维随机变量的数字特征，会判定随机变量的独立性与相关性。 4、掌握随机变量函数分布的求法，会求随机变量函数的数字特征。 二、教学重点与难点 重点是分布列的求法，期望与方差的计算。 难点是二维随机变量联合分布列的求法，期望与方差性质的应用。

§2.1一维随机变量及分布列 一．随机变量及其分类 1．概念 在Ch1里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能会注意到在某些例子中，随机事件与实数之间存在某种客观的联系。例如袋中有五个球（三白两黑）从中任取三球，则取到的黑球数可能为0，1，2本身就是数量且随着随机试验结果的变化而变化的。又如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有 P(ξ=k)= C p q q=1-p 并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。 例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定 若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）； 若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。 为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。 一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系 在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。 在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，

概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

概率论与数理统计课后习题答案 第二章 1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 35 35 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分 布律； （2） X 的分 布函数并作图； (3) — 133{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 31331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35 C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为

（2） 当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235 当1≤x <2时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函 数 0, 022 ,0135 ()34,12351,2x x F x x x

概率论答案_李贤平版_第二章

第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋， 然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回 时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ??? ??=--≥=,0,11, 1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有 )1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98， 而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。