数值计算方法-复习-第五章

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。

数值分析总复习提纲教材

数值分析总复习提纲 数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。 一、误差分析与算法分析 误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算 截断误差根据泰勒余项进行计算。 基本的问题是 (1)1 ()(01)(1)! n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。 例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。 解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知 211(01)2!!(1)! n x x n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+ 当x=1时，1 111(01)2! !(1)! e e n n θθ=+++ ++ <<+ 故3 (1)(1)!(1)! n e R n n θ=<++。 当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时， e≈2.718 285。 2、绝对误差、相对误差及误差限计算 绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。 基本的计算公式是： ①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx ② *()()()ln r e x e x dx e x d x x x x ==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,)) ((,))(,) f x x f x x f x x εδ=

北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

数值分析复习提纲

数值分析（英）复习提纲 考试以基本概念为主，书上以前布置的计算机题目都不作要求。 第一章Solving equations 1.1 THE BISECTION METHOD (a) 熟练掌握二分法; (b) 对于给定解的误差精度要求能够熟练计算所需二分法步数，参考书上28页内容。 习题5,6 1.2 FIXED-POINT ITERATION (a) 熟练掌握不动点迭代方法求方程的根；掌握不动点迭代方法的线性收敛性与收敛率; 此节书后习题不作要求。 1.4 NEWTON’S METHOD （a）熟练掌握方程求根的NEWTON’S METHOD：Example 1.11, 1.12, 1.13 （b）对于重根熟练掌握Theorem 1.12, Theorem 1.13 习题2,5,7 第二章Systems of Equations 2.2 THE LU FACTORIZATION （a）掌握矩阵LU分解方法； （b）会使用LU分解方法求线性方程组的解:Example 2.5, 2.6, 2.7 2.3 SOURCES OF ERROR 本节只要掌握矩阵范数的定义，参阅90页 2.4 THE PA = LU FACTORIZATION 熟练掌握2.4.2 Permutation matrices, 2.4.3 PA = LU factorization: Example 2.16, 2.17, 2.18 习题4 2.5 ITERATIVE METHODS 熟练掌握Jacobi Method，Gauss–Seidel Method. 习题2

第三章Interpolation 3.1 DATA AND INTERPOLATING FUNCTIONS： （a）熟练掌握Lagrange interpolation （b）熟练掌握Newton’s divided differences 习题1,2,5 3.2 INTERPOLATION ERROR 熟练掌握定理3.4, Example 3.8, 习题1,2,4 第四章Least Squares 4.1.1 Inconsistent systems of equations 熟练掌握Normal equations for least squares：Example 4.1, Example 4.2 习题1,2 第五章Numerical Differentiation and Integration 5.1 NUMERICAL DIFFERENTIATION 熟练掌握一阶导数的Two-point forward-difference formula，Three-point centered-difference formula 熟练掌握二阶导数的Three-point centered-difference formula for second derivative 习题1,2,5,8,9 5.2 NEWTON–COTES FORMULAS FOR NUMERICAL INTEGRATION 熟练掌握Composite Trapezoid Rule，Example 5.8，习题1 第六章Ordinary Differential Equations 6.1.1 Euler’s Method (a) 熟练掌握Euler方法（6.7）: Example6.2 习题5 6.2.2 The explicit Trapezoid Method 熟练掌握The explicit Trapezoid Method（6.29）：Example6.10 习题1

数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

数值计算方法复习资料

实用文档 文案大全《数值计算方法》复习资料 第一章数值计算方法与误差第二章非线性方程的数值第三章线性方程组的数值第四章插值与第五数值积分与第六常微分方程的数值解 自测 课程的性质与任务 数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。 第一章数值计算方法与误差分析 一考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。 二复习要求 1. 知道产生误差的主要来源。 2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及 它们之间的关系。 3. 知道四则运算中的误差传播公式。

实用文档 文案大全三例题 例1设x*= ?=3.1415926… 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有 即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字； 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限 x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有 3位有效数字. a1=2，相对误差限?r= =0.002 5 实用文档 文案大全x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有 效数字，a=9，相对误差限?r＝＝0.000 056 x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数 字，相对误差限为?r＝＝0.000 000 56 由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？ 解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近 似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是?＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln2?0.693。

数值计算方法复习提纲

数值计算方法复习提纲 第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计； 2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系； 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。 1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字 绝对误差 E （x ）=x-x * 绝对误差限ε εε+≤≤-**x x x 相对误差 ***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-= 有效数字 m n a a a x 10.....021*?±= 若 n m x x -?≤ -102 1 *，称*x 有n 位有效数字。 有效数字与误差关系 （1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （2） *x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(1 1021 )(--?≤ n r a x E 。 选择算法应遵循的原则 1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播；

例 ?= 10 1dx e x e I x n n e I nI I n n 11101 - =-=- △!n x n =△x 0 2、 简化计算步骤，减少运算次数； 3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免 第二章 线性方程组的数值解法 1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法； 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。 本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解 ?? ??? ? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111) 两类方法，第一是直接解法，得到其精确解； 第二是迭代解法，得到其近似解。

数值分析期末考试复习题及其答案.doc

数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分

②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(

《数值分析》总复习题-2013年-附部分答案

工程硕士《数值分析》总复习题（2013年用） [由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用] 疑课上的笔记整理，如有错漏，欢迎指出；碍于本人水平有限，部分题目未有解答。祝各位考试顺利！ 一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ): a) 对 e = 2.718281828459045…,取* x = 2.71828 ( 答: 6 位 (因为它是按四舍五入来的) ) b) 数学家祖冲之取 113355 作为π的近似值. ( 答: 7 位 ( 按定义式 621113355 10 1415929.31415926.3-?≤-=-ΛΛπ 推得 ) ) c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 5 位, 1 位, 7 位。 2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) (见书P.5) 答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算 的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差 b) 舍入误差 (不超过60字) (见书P.6) 答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示， 这就要求进行“舍入”，这时所产生的误差就是舍入误差。 c) 算法数值稳定性 (不超过60字) (见书P.9) 答：是指算法在执行过程中，某阶段所产生的小误差在随后的阶段中不会被 积累或放大，从而不会严重降低全部计算的精确度。 3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3 x 时的相对误差约等于x 的相对 误差的3倍。 (参考书P.7例1.2.3)

数值计算方法期末复习答案终结版

一、 名词解释 1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。 2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。如果近似值*x 的误差限是1 102 n -?，则称*x 准确到小数点后n 位， 并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。 3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。 4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈r r ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x r ，若||||x r 满足 （1）||||0x ≥r ，且||||0x =r 当且仅当0x =r ； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=r ||||x r ； （3）对任意,n x y R ∈r r r ，都有||||||||||||x y x y +≤+r r r r 则称||||x r 为向量x r 的范数。 5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段 线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ?作为()f x 的近似的方法。 6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值* x 的相对误 差，记为* ()r e x ，即** () ()r e x e x x = 7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。若||||A 满足 （1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ； （3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。 8． 算子范数：设A 为n 阶方阵，||||?是n R r 中的向量范数，则0 |||| ||||||||max x Ax A x ≠=r r 是一种矩 阵范数，称其为由向量范数||||?诱导出的矩阵范数，也称算子范数。

数值分析作业答案(第5章)part2

.证明： (1).如果A 是对称正定矩阵，则1-A 也是对称正定矩阵 (2).如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成L L A T =，其中L 是具有正对角元的下三角矩阵。 证明： (1).因A 是对称正定矩阵，故其特征值i λ皆大于0，因此1-A 的特征值1 -i λ也皆大于0。因此 1-i λ也皆大于0，故A 是可逆的。又 111)()(---==A A A T T 则1-A 也是对称正定矩阵。 (2).由A 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解 U L A ~ =。又 022211111 1222 11111DU u u u u u u u u u U n n nn =? ???? ???? ???????? ?=????????? ?? ?=M O ΛΛO 其中D 为对角矩阵，0U 为上三角矩阵，于是 0~ ~DU L U L A == 由A 的对称性，得 ~ T T T L D U A A == 由分解的唯一性得 ~ L U T = 从而 ~~ T L D L A = 由A 的对称正定性，如果设),,2,1(n i D i Λ=表示A 的各阶顺序主子式，则有 011>=D d ，01 >= -i i i D D d ，n i ,,3,2Λ=

故 2 12 12 1 2 121D D d d d d d d d d d D n n n =?????? ? ?????? ?????????????? ?=????????????=O O O 因此 T T T LL D L D L L D D L A ===)(21~ 2 1~ ~2 121~ ， 其中2 1~ D L L =为对角元素为正的下三角矩阵。 .用列主元消去法解线性方程组 ??? ??=++-=-+-=+-6 1531815331232 1321321x x x x x x x x x 并求出系数矩阵A 的行列式(即A det )的值。 解 ?? ?? ??????----?→?-=???? ??????----?→??? ??? ?????----??→?- =-=?113/110053/7101513 186 76/3118/176/7053/7101513 186111153312151318)(323 2 18 1 21312 1m b A m m r r 所以解为33=x ，22=x ，11=x ，66det -=A 。

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的ＬU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； ５、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ）； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ ６、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 )，=]4,3,2,1,0[f ( ０ )； 7、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 （ 1 2+-n a b ); １０、已知f （１）＝2,f (2)=３,ｆ(４)＝5.９，则二次Ne ｗton 插值多项式中x 2系数为 ( ０.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该

数值分析知识点

第一章绪论（1-4） 一、误差来源及分类 二、误差的基本概念 1.绝对误差及绝对误差限 2.相对误差及相对误差限 3.有效数字 三、数值计算的误差估计 1.函数值的误差估计 2.四则运算的误差估计 四、数值计算的误差分析原则 第二章插值（1.2.4-8） 一、插值问题的提法（定义）、插值条件、插值多项式的存在唯一性 二、拉格朗日插值 1.拉格朗日插值基函数的定义、性质 2.用拉格朗日基函数求拉格朗日多项式 3.拉格朗日插值余项（误差估计） 三、牛顿插值 1.插商的定义、性质 2.插商表的计算 3.学会用插商求牛顿插值多项式 四、等距节点的牛顿插值 1.差分定义、性质及计算（向前、向后和中心） 2.学会用差分求等距节点下的牛顿插值公式 五、学会求低次的hermite插值多项式 六、分段插值 1.分段线性插值 2.分段三次hermite插值 3.样条插值 第三章函数逼近与计算（1-6） 一、函数逼近与计算的提法（定义）、常用两种度量标准（一范数、二范数\平方逼近） 二、基本概念 连续函数空间、最佳一次逼近、最佳平方逼近、内积、内积空间、偏差与最小偏差、偏差点、交错点值、平方误差 三、学会用chebyshev定理求一次最佳一致逼近多项式，并估计误差（最大偏差） 四、学会在给定子空间上通过解方程组求最佳平方逼近，并估计误差（平方误差） 五、正交多项式（两种）定义、性质，并学会用chebyshev多项式性质求特殊函数的（降阶）最佳一次逼近多项式 六、函数按正交多项式展开求最佳平方逼近多项式，并估计误差 七、一般最小二乘法（多项式拟合）求线性拟合问题 第四章数值分析（1-4） 一、数值求积的基本思想及其机械求积公式

数值计算方法期末考试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+=

单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=?

数值计算方法复习知识点

2015计算方法复习 1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组 2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项 3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性 4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速 5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 6. 会最小二乘法多项式拟合 7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式 第1章、数值计算引论 (一)考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 (二) 复习要求 1.了解数值分析的研究对象与特点。 2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三）例题 例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。 例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为 )1ln(2++-x x 。 例3. 3 *x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍. 第2章、非线性方程的数值解法 (一)考核知识点 对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。 (二) 复习要求 1.了解求根问题和二分法。 2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。 3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。 5.了解弦截法。 （三）例题 1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) (A) (B) 11,1112-=-= +k k x x x x 迭代公式21211,11k k x x x x +=+=+迭代公式

《数值分析》第五章答案

习题5 1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式：?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式：?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈，??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??，),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ ， 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+，)2 ()2(b a f b a H +'=+'，则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ， ),(b a ∈ξ 于是 2．考察下列求积公式具有几次代数精度： （1） ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ； （2） )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。 解： （1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右； 当x x f =)(时，左21= ，右=2 1 210=+，左=右； 当2 )(x x f =时，左=3 1 ，右=1，左≠右，代数精度为1。

吉林大学 研究生 数值计算方法期末考试 样卷

1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2)

3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解：

5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值

6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b)

7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ，使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度；利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求

) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ，并求)2(f 的近 似值（保留四位小数）。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ，并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表

《数值计算方法》复习资料

《数值计算方法》复习资料 第一章数值计算方法与误差分析 第二章非线性方程的数值解法 第三章线性方程组的数值解法 第四章插值与曲线拟合 第五章数值积分与数值微分 第六章常微分方程的数值解法 自测题 课程的性质与任务 数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。 第一章数值计算方法与误差分析 一考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。 二复习要求 1. 知道产生误差的主要来源。 2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及 它们之间的关系。 3. 知道四则运算中的误差传播公式。 三例题

例1设x*= π=3.1415926… 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有 即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字； 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 009 0009 000.00 解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限 x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有 效数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5

《数值分析》考试大纲

《数值分析》考试大纲 一、参考教材 1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，清华大学出版社，2008年第5版。 2.数值分析，曾繁慧，中国矿业大学出版社，2009。 二、考核要求 理解并熟练掌握误差概念，理解算法的数值稳定性、算法复杂度等误差的定性分析；理解非线性方程求根的数值计算原理，掌握二分法、不动点迭代法等方程求根的数值方法，会分析迭代法的收敛性与收敛阶，重点掌握牛顿迭代法；理解线性方程组的数值解法原理，掌握基本算法，理解直接法的稳定性与复杂度、方程组的病态性，理解掌握迭代法的收敛性；理解插值原理，熟练掌握离散数据的插值方法；理解三种函数逼近的准则，会求连续函数的最佳一致逼近及最佳平方逼近、离散数据的最小二乘逼近；理解数值微积分的原理，掌握基本数值方法及复化计算；掌握一阶常微分方程初值问题的基本数值解法。 三、考试内容、比例 （一）绪论10% （1）绝对误差、相对误差、有效数字的概念； （2）一元函数、二元函数数值计算的误差估计； （3）算法的数值稳定性、算法复杂度，计算的有效算法，减小误差、控制误差的方法。 （二）非线性方程数值解法15% （1）非线性方程求根的原理及方法，会确定方程的有根区间； （2）二分法原理、二分法解方程； （3）不动点迭代法原理、步骤，收敛性与收敛阶定理，迭代计算及误差分析；重点是迭代法的收敛性与收敛阶； （4）迭代的加速方法：Aitken加速方法，Steffenson加速方法； （5）牛顿迭代法原理、算法及其收敛性； （6）改进的牛顿迭代法：简化牛顿法、牛顿下山算法和割线法，求重根的修正牛顿法。 （三）线性方程组的数值解法20%

（1）高斯消去法的原理、可行性及算法的运算量，熟练应用高斯消去法计算； （2）理解小主元的不稳定性及主元素的思想，掌握列主元消去算法； （3）理解消元过程的矩阵解释，了解常用的矩阵分解，掌握LU算法，理解平方根法、追赶法的稳定性与复杂度； （4）掌握向量与矩阵的范数及矩阵的条件数，理解方程组的病态概念，掌握方程组的误差分析方法； （5）理解迭代法的思想，熟练掌握雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法与SOR 迭代法；理解迭代法的思想，掌握收敛性定理，会判别迭代法的收敛性。 （四）插值法15% （1）理解插值问题、插值多项式的存在惟一性； （2）掌握拉格朗日插值多项式、插值基函数及插值余项，会计算； （3）掌握差商概念与性质，熟练掌握牛顿插值多项式及插值余项，会计算； （4）理解埃尔米特插值问题与原理； （5）理解高次插值的危害，理解分段低次插值思想，理解三次样条插值问题及原理。 （五）函数与数据的逼近15% （1）理解函数逼近概念、原理，辨析三种逼近准则； （2）理解切比雪夫正交多项式及其性质、最佳一致逼近原理，会求最佳一致逼近； （3）理解勒让德正交多项式及其性质、最佳平方逼近准则，法方程及其解的存在唯一性，会求最佳平方逼近解； （4）理解最小二乘逼近原理，法方程及其解的存在唯一性，会求最小二乘解。 （六）数值积分与数值微分15% （1）理解数值积分的必要性，了解插值型积分的原理，掌握代数精度概念； （2）熟练掌握低阶的牛顿-柯特斯公式及其余项、代数精度，并会计算； （3）高斯公式与代数精度、与正交多项式的关系，掌握低阶高斯公式的计算；