锐角三角函数特殊值表及巧记方法
巧记方法:
一
备注:实际上每两行一记是很简单的。比如:sin 和cos的数值是倒过来的;
tan和cot的数值是倒过来的。
每一行中都有一个“0”和一个“1”,
但tan和cot在由小到大的顺序,最大的不存在。
巧记方法:
二
备注:如图所示。
还可以按矩形的对角线来相对应。
都是交叉对应。
巧记方法:
三
备注:记出了sin和cos之后,tan怎么办呢?可以直接用刚才算出的sin和cos值相除得出
tan的对应值。
再用它的相反的顺序直接写出cot的值。
25.2锐角三角函数(2) 教学目标 :1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点: 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点: 进一步体会三角函数的意义. 教学方法:自主探索法。 教学准备:一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程: 一:.创设问题情境,引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法 ) 提示:让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点,30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB 的长度,BE 的长度,因为DE=AB ,所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1:我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°= 2 1. sin30°表示在直角三角形中,30°角的对边与 斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边为a , 所以sin30°= 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°= 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a
特殊角三角函数值表: 函数名 在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有 正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y 正弦(sin):角α的对边比斜边余弦(cos):角α的邻边比斜边 正切(tan):角α的对边比邻边余切(cot):角α的邻边比对边 特殊函数人倒数关系: tanα ?cotα=1sinα ?cscα=1cosα ?secα=1特殊函数人商数关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα 特殊函数人平方关系:sinα2+cosα2=11+tanα2=secα21+cotα=cscα2 以下关系,函数名不变,符号看象限 sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 以下关系,奇变偶不变,符号看象限 sin(90°-α)=cosα cos(90°-α)=sinα tan(90°-α)=cotα cot(90°-α)=tanα sin(90°+α)=cosα cos(90°+α)=sinα tan(90°+α)=-cotαcot(90°+α)=-tanα 特殊三角函数人积化和差的关系: sinα ?cosβ=(1/2)*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα ?sinβ=(1/2)*[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα ?cosβ=(1/2)*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα ?sinβ=(1/2)*[cos(α+β)-cos(α-β)] 特殊三角函数 - 和差化积公式 sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]
三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦(sin) 余弦(cos) 正切(tan或t g) 余切(cot或ct g) 正割(sec) 余割(csc) 表格参考资料来源:现代汉语词典[1]. 函数关系 倒数关系:①;②;③ 商数关系:①;②. 平方关系:①;②;③.
诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及的三角函数值之间的关系:
记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限[2].即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:
课题:锐角三角函数之间的关系和特殊角 学习目标: 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值,能够用它们进行计算。 自主学习 一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α 二..平方关系:1.推导:=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角,且5 3sin = α,则αcos = . 3、已知α为锐角,且13 12cos =α,则=αsin . 三.商数关系:1.推导:αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角,且5 3sin =α,那么=αtan . 3、已知α为锐角,且13 5cos =α,那么=αtan . 4、已知α为锐角,且2tan =α,则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角:根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。 合作再探 一、填空(正弦和余弦、正切和余切互化) ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角,且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角,且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角,且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中,有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°,则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中,∠C=?90,∠A ∶∠B=1∶2,则sinA 的值
特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入 教师提问:一个直角三角形中,一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的? 在学生回答了这个问题后,教师再复述一遍,提出新问题:两块三角尺中有几个不同的锐角?是多少度?分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 提醒学生:求时可以设每个三角尺较短的边长为1,?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值. 探究新知 (一)特殊值的三角函数 学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结. 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表:
教师讲解上表中数学变化的规律:对于正弦值,分母都是2, 2, 分子按角度增加分别为.对于正切,60?度的正切 ,即是下 一个角的正切值. 要求学生记住上述特殊角的三角函数值. 教师强调:(sin60°)2用sin 260°表示,即为(sin60°)·(sin60°). (二)特殊角三角函数的应用 1.师生共同完成课本第79页例3:求下列各式的值. (1)cos 260°+sin 260°. (2)cos 45sin 45?? -tan45°. 教师以提问方式一步一步解上面两题.学生回答,教师板书. 解:(1)cos 260°+sin 260°=(12 )2+2=1 (2)cos 45sin 45?? -tan45° 2.师生共同完成课本第80页例4:教师解答题意: (1)如课本图28.1-9(1),在Rt △ABC 中,∠C=90, ,,求∠A 的度数. (2)如课本图28.1-9(2),已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a .
教师分析解题方法:要求一个直角三角形中一个锐角的度数,可以先求它的某一个三角函数的值,如果这个值是一个特殊解,那么我们就可以求出这个角的度数. 解:(1)在课本图28.1-9(1)中, ∵sinA=3 6 BC AB = 2, ∴∠A=45°. (2)在课本图28.1-9(2)中, ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°. 教师提醒学生:当A、B为锐角时,若A≠B,则 sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB. 随堂练习 学生做课本第80页练习第1、2题. 课时总结 1、学生要牢记下表: 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2
九年级下册《锐角三角函数的计算》教案 九年级下册《锐角三角函数的计算》教案 一、教学目标 1.通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动,学会用计算器求一个锐角的三角函数值。 2.经历利用三角函数知识解决实际问题的过程,促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。 3.感受数学与生活的密切联系,丰富数学学习的成功体验,激发学生继续学习的好奇心,培养学生与他人合作交流的意识。 二、教材分析 在生活中,我们会经常遇到这样的问题,如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等,要解决这样的问题,往往要应用到三角函数知识。在上节中已经学习了30°,4°,60°角的三角函数值,可以进行一些特定情况下的计算,但是生活中的问题,仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值解决是不可能的。本节让学生使用计算器求三角函数值,让他们从繁重的计算中解脱出,体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。 三、学校及学生状况分析
九年级的学生年龄一般在1岁左右,在这个阶段,学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势,但在很大程度上,学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动理解抽象的逻辑关系。另外,计算器的使用可以极大减轻学生的负担。因此,依据教材中提供的背景材料,辅以计算器的使用,可以使学生更好地解决问题。 学生自小学起就开始使用计算器,对计算器的操作比较熟悉。同时,在前面的程中学生已经学习了锐角三角函数的定义,30°,4°,60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算,具备了学习本节的知识和技能。 四、教学设计 (一)复习提问 1.梯子靠在墙上,如果梯子与地面的夹角为60°,梯子的长度为3米,那么梯子底端到墙的距离有几米? 学生活动:根据题意,求出数值。 2.在生活中,梯子与地面的夹角总是60°吗? 不是,可以出现各种角度,60°只是一种特殊现象。 图1(二)创设情境引入题 如图1,当登缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 。已知缆车的路线与平面的夹角为∠A=16 °,那么缆车垂直上升的距离是多少? 哪条线段代表缆车上升的垂直距离? 线段B。
特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算,求值,解直角三角形和今后的学习中,常常会用到,所以一定要熟记.要在理解的基础上,采用巧妙的方法加强记忆.这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的,既便遗忘了,自己也能推算出来,切莫死记硬背. 那么怎样才能更好地记熟它们呢?下面介绍几种方法,供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识,利用你手里的一套三角板,就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值.我们不妨称这种方法为“三角板”记法. 首先,如图所标明的那样,先把手中一套三角板的构造特点弄明白,记清它们的边角是什么关系. 对左边第一块三角板,要抓住在直角三角形中,30°角的对边是斜边的一半的特点,再应用勾股定理.可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系,就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值,如:001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值,还应抓住60°角是30°角的余角这一特点. 在右边那块三角板中,应注意在直角三角形中,若有一锐角为45°,则此三 角形是等腰直角三角形,且两直角边与斜边的比是1∶1 住:00sin 45cos 452 == ,00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记,同时巩固了三角函数的定义. 二、列表法:
说明:正弦值随角度变化,即0? →30?→45? →60? →90?变化;值从 0→2 1 →22→23→1变化,其余类似记忆. 三、口诀记忆法 口诀是:“一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦是二,切是三,分子根号不能删.”前三句中的1,2,3;3,2,1;3,9,27,分别是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2,正切的分母为3.最后一句,讲的是各函数值中分子都加上根号, 不能丢掉.如tan60°= =tan45°1=.这种方法有趣、简单、易记. 四、规律记忆法:观察表中的数值特征,可总结为下列记忆规律: ①有界性:(锐角三角函数值都是正值)即当0°<α<90°时, 则0<sin α<1; 0<cos α<1 ; tan α>0 ; cot α>0。 ②增减性:(锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大;余弦、余切值随角度的增大而减小),即当0<A <B <90°时,则sinA <sinB ;tanA <tanB ;cosA >cosB ;cotA >cotB ;特别地:若0°<α<45°,则sinA <cosA ;tanA <cotA ;若45°<A <90°,则sinA >cosA ;tanA >cotA . 例1.tan30°的值等于( )
锐角三角函数 计算 1、2sin30°-2cos60°+tan45° 2、sin 272°+sin 2 18° 3、6tan45°-2cos60° 4、 12+2sin60° 5、2cos30°-tan60° 6、sin30°·cos30°-tan30° 7、 cos 245°+tan30°·sin60° 8、4+??? ?12-1-2cos60°+(2-π)0. 9、2cos30°-tan45°-(1-tan60°)2 30° 45° 60° sinA cosA tanA
10、 cos45°sin45°+2sin60°tan60°-1tan30° +tan45°; 11、 sin45°+cos30°3-2cos60° -sin60°(1-sin30°); 12、sin 260°tan45°-? ????-1tan60°-2+(tan30°)0. 13、(-1) 2 011-? ????12-3+? ????cos68°+5π0+||33-8sin60°.