2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题
答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.
一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >.
2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为： u v ，， 都有. 3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. 92 4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设 1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为 ( >. 5．设333 3 1111 12399S = ++++ ，则4S 的整数部分等于( >. 6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 . 7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1 y x = 9．若 1 12 y x x =-+- 的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题<共4题，每题20分，共80分） 11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程 20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值. 12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点. <第8题） <第10题） 13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点 A 任作直线交抛物线2 23 y x = 于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ； <2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60o，试求所有满足条件的直线 PQ 的函数解读式. 14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=?， 2AB AC =．点P 在△ABC 内，且 352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积． 中国教育学会中学数学教学专业 委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答 案 一、选择题 1．A 解：由于71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以 3223126123621262612 61260 662126024. a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（） 2．B 解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=??+=?，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=??-+=? ，对任何实数 u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得 <第13题） <第12题） <第14题） 3．C 解：由题设可知1 y y x -=，于是 341y y x yx x -==， 所以 411y -=， 故1 2 y = ，从而4x =．于是92x y +=． 4．C 解：如图，连接DE ，设1DEF S S ?'=，则 14 23S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．由于11S S '>，所以1324S S S S >． 5．A 解：当2 3 99k =，，，时，由于 ()()()32111112111k k k k k k k ?? <=-??-+-?? ， 所以 33 31111115111239922991004 S ??<=+ +++ <+-< ????. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4． 二、填空题 6．3＜m ≤4 解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以 122x x -<， 164m ?=-≥0， 即 () 2 121242x x x x +-<，164m ?=-≥0，所以 1642m -<， 164m ?=-≥0， 解之得 3＜m ≤4. <第4题） 7．1 9 解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41 369 =. 8．6 解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 由于点C D ，在双曲线1 y x = 上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又由于2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（）， 所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（）， 即224OC OD -=6. 9． 3 2 解：由1x -≥0，且12x -≥0，得1 2 ≤x ≤1． 22213113122()2222416 y x x x = +-+-=+--+． 由于 13124<<，所以当3 4 x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x = 或1时，2y 取到最小值1 2 ，故22b =． 所以，223 2 a b +=． 10．84 解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则 22235a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以 FE AF CB AC =，即1212 b a b -= ，故 <第8题） <第10题） 12()a b ab +=． ② 由①②得 2 222122524a b a b ab a b +=++=++（）（） ， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=． 三、解答题 11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且 α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， 两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=， 所以 2123αβ+=??+=?，； 或232 1.αβ+=-??+=-?， 解得 11αβ=-??=?，； 或53.αβ=-??=-? ， 又由于[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（）， 所以 012 a b c ==-=-，，；或者 8156a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29. 12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，， ，. 由于AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. <第12题） 又由于点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥， 所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点. 13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）. 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q ，的坐 标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由 223y kx t y x =+?? ?=?? ， ， 得 22 03 x kx t --=， 于是 3 2P Q x x t =-，即 23 P Q t x x =-. 于是 222323 P P Q Q x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又由于 P Q x PC QD x =-，所以BC PC BD QD =. 由于∠BCP =∠90BDQ =?，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ . <2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知 ∠ABP =∠30ABQ =?，BC =3a ，BD =3b ， 所以 AC =32a -，AD =23b -. 由于PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是 PC AC DQ AD =，即3223a a b b -=-， <第13题） 所以3a b ab +=． 由<1）中3 2P Q x x t =-，即32ab -=-，所以3332ab a b =+=，， 于是可求得2 3.a b == 将3b = 代入22 3y x =，得到点Q 的坐标<3，12）. 再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3 k =- 所以直线PQ 的函数解读式为3 1y x =- +. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为31y x =- +，或31y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =?，所以2BQ DQ =. 故 2 22(1)Q Q Q x x y =++. 将2 23 Q Q y x = 代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=. 所以 3 Q x = 或 3. 又由 (1>得332 2 P Q x x t =-=-，32 P Q x x k +=. 若3Q x = ，代入上式得 3P x =-， 从而 23()3P Q k x x =+=-. 同理，若3Q x =， 可得32 P x =- ， 从而 23 ()3P Q k x x =+=. 所以，直线PQ 的函数解读式为31y x =-+，或31y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得 QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2 AB AC =，所以相似比为2. 于是 224 AQ AP BQ CP ====． 60 QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?. 由:2:1 AQ AP=知，90 APQ ∠=? ，于是3 PQ==． 所以222 25 BP BQ PQ ==+，从而90 BQP ∠=?． 于是 222 ()28 AB PQ AP BQ =++=+ . 故 2 16 sin60 282 ABC S AB AC AB ? + =??==． 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。 2018年全国高中数学联赛竞赛 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.设集合{1,2,3,99}A =…，{2|},{|2}B x x A C x x A =∈=∈，则B C I 的元素个数为______. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30?且不大于60?，则这样的点Q 所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为______. 4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12F F 、，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P 。已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ?的面积为______. 5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ππ==，则不等式组121()2x f x ≤≤??≤≤? 的解集为______. 6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______. 7.设O 为ABC ?的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则sin BAC ∠的值为______. 8.设整数数列1210,,,a a a …满足1012853,2a a a a a =+=，且 1{1,2},1,2,,9i i i a a a i +∈++=…， 则这样的数列的个数为______。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）已知定义在R + 上的函数()f x 为 3|log 1|,09,()49x x f x x -<≤??=?->?? 设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围。 10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a …满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和。证明： 1）对任意正整数n ，有n a < 2）对任意正整数n ，有11n n a a +<。 11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线2 4y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB ?的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）。若PF 平分APB ∠，求||PF 的所有可能值。 加试（A 卷） 一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b ?…，,A B 均为正实数，满足 ,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤=…，且 1212n n b b b B a a a A ≤……。 二、（本题满分40分）如图，ABC ?为锐角三角形，AB AC <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为 ABC ?的外接圆?BAC 和?BC 的中点，F 为ABC ?的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ⊥。 证明：若BN EM =，则DF FG ⊥。（答题时请将图画在答卷纸上） １ 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。 2018全国高中数学联赛（B卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.设集合A={2,0,1,8} ，B={2a|a^A}，则AUB的所有元素之和是 ______________ . 2?已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为1.在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45。，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为_____________ . 3. ___________________________________________________________________________ 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc + def是奇数的概率为_____________________________ . 4. __________________________________________________________ 在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n =（3,1）是丨的一个法向量.已知数列{a n}满足：对任意正整数n,点（a n+,a n）均在I上.若a2 =6，则a-ia2a3a4a5的值为 __________________________________________________ . 5. 设。.戶满足tan（?+—） = -3，tan（0 —巴）=5，则tan（a -P、的值为 3 6 6. 设抛物线C: y2 =2x的准线与x轴交于点A，过点B（-1,0）作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A 作丨的平行线，与抛物线C交于点M , N，则△KMN的面积为________ . 7.设f （x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间［1,2］上严格递减，且满足f （二）=1, f （2二） =0， 0兰x兰1 则不等式组《一一'的解集为______________ . ［0 兰f（x）兰1 8.已知复数乙厶：满足| Z| AZ |=| Z31,|乙Z2 Z3 r，其中r是给定实数，则△?匕?生的实部 Z2 Z3 Z1 是______ （用含有r的式子表示）. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. （本题满分16分）已知数列{a n} : a1=7,勺」=a n? 2, n =1,2,3,….求满足耳-42018 a n 10. （本题满分20分）已知定义在R ■上的函数f （x）为 | Iog3x -1|,0 ::: X 乞9, 4 -、、x,x 9. 11. （本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A B与C、D分别是椭圆 2 2 x y C:二2=1（a b 0的左、右顶点与上、下顶点.设P、Q是C上且位于第一象限的两点，满足 a b OQ//AP , M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 证明：线段OQ、OR、BC能构成一个直角三角形. ir 冬二f ” \ c—r ■X? 加试（B卷） 9 的最小正整数n. f (x)二 设a,b, c是三个互不相同的实数，满足 f (a) = f (b) = f (c)，求abc的取值范围 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分 2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___. 七年级（上）数学竞赛试题 班级 姓名 得分: 一、填空题（每小题3分，共30分） 1、有理数在数轴上的位置如图1所示，化简 2、已知：5||=a ，且0=+b a ，则_______=-b a ； 3、若0232=--a a ，则______6252 =-+a a 4、 已知x=5时，代数式ax 3+ bx －5的值是10，当x=－5时，代数式ax 3+bx+5= 。 5.（-2124 +7113 ÷24113 －38 ）÷1512 = 。 6. 已知 与是同类项，则＝＿＿。 7、.有一列数，按照下列规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，7，……这列数的第200个数是__________. 8、._______2019 20181431321211=?+?+?+? 9、某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为 人。 10、某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班四道题都对的同学至少有 人. 二、选择题（每小题3分，共24分） 11、(－0.125)2018×(－8)2019的值为（ ） （A ）－4 （B ）4 (C)－8 (D)8 12、若,,,a b c m 是有理数，且23,2a b c m a b c m ++=++=，那么b 与c （ ） （A ）互为相反数 （B ）互为倒数 （C ）互为负倒数 （D ）相等 13.有理数a 等于它的倒数，则a 2016是（ ） 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 2018年七年级下学期数学竞赛试题 (含参考答案) 一. 选择题(每小题4分,共32分) 1.若a<0 , ab<0 , 那么51---+-b a a b 等于( ) A . 4 B .-4 C . -2a+2b+6 D. 1996 2.数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2018厘米的线段AB,则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A.2018 或2018 B . 2018或 2018 C . 2018 或2018 D . 2018 或2018 3.已知{ a x b y ==是方程组 { 527 2=+=+y x y x 的解, 则a-b 的值为( ) A . 2 B . 1 C. 0 D. -1 4.两个10次多项式的和是( ) A. 20次多项式 B. 10次多项式 C. 100次多项式 D. 不高于10次的多项式 5.若a<3 , 则不等式(a-3)x 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1 相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC ++=，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列，则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . （2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？ () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ，试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 七年级“希望杯”竞赛试卷 (考试时间90分钟，满分100分) 一、选择题(每小题只有一个正确选项，每小题3分，共10题，总共30分) 1．x 是任意有理数，则2x x + 的值( ). A ．大于零 B ． 不大于零 C ．小于零 D ．不小于零 2.某超市为了促销，先将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写上“××节大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电的原价为（ ） A. 2150元 B.2200元 C.2250元 D. 2300元 3.设0a b c ++=，abc ＞0，则 b c c a a b a b c +++ ++的值是（ ） A ． 3- B. 1 C. 31-或 D. 31-或 4.把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图（1）所示的立方体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A ．21 B.24 C.33 D.37 5.某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。如果每只老虎每天吃肉 4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉 （ ） A. 625千克 B. 725千克 C.825千克 D.9 25千克 6.假设有2016名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1…… 的规律报数，那么第2010名学生所报的数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、不存在 8. 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有 ………………（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 9. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米=10-9米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ） A 、0.5×10-9米 B 、5×10-8米 C 、5×10-9米 D 、5×10-10米 10、已知a 、b 都是正整数,那么以a 、b 和8为边组成的三角形有（ ） A 3个 B 4个 C 5个 D 无数个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： 2016 20151 431321211?++?+?+? = 。 12.平时我们常说的“刹那间……”，在梵文书《僧袛律》里有这样一段文字：“一刹那者为一念， 二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜（24小时）有三十须臾。”那么，一刹那．．． 是 秒。 13. 当ｘ＝﹣2时，37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是 。 14.对于任意有理数a b c d 、、、，我们规定a c b ad bc d =-，如果21x - 281≤-，那么x 的取 值范围是 。 15.m 为正整数，已知二元一次方程组210 320 mx y x y +=?? -=?有整数解，即x 、y 均为整数，则 2________m =。 16. 如图（3），已知AB ∥CD ，且0 40,70B D ∠=∠=，那么 ____________DEB ∠=。 （1） A B C D E （3） 2018~2019学年度第二学期 七年级数学竞赛试题 一、选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 1.下面四个所给的选项中，能折成如图给定的图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．若定义“⊙”：a ⊙b=b a ，如3⊙2=23=8，则3⊙等于（ ） A ． B ．8 C ． D ． 3．已知x+y=7，xy=10，则3x 2+3y 2=（ ） A ．207 B ．147 C ．117 D ．87 4．一天有个年轻人来到李老板的店里买了一件礼物，这件礼物成本是18元，标价是21元．结果是这个年轻人掏出100元要买这件礼物．李老板当时没有零钱，用那100元向街坊换了100元的零钱，找给年轻人79元．但是街坊后来发现那100元是假钞，李老板无奈还了街坊100元．现在问题是：李老板在这次交易中到底损失（ ） A ．179元 B ．97 C ．100元 D ．118元 5．如图，直线a ∥b ，那么∠x 的度数是（ ） A ．72° B ．78° C ．108° D ．90° 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 6．若()()1532 -+=++mx x n x x ，则m 的值为___________。 7．已知44 33553,5,2===c b a ，则a ，b ，c 的大小关系（从小到大排列，用“＜”连接） __________________。 8．如果代数式53 5-++cx bx ax ，当x=﹣2时该式的值是7，那么当x=2时该式的值是__________。 9.若()0862 =+++-y y x ，则xy=__________。 10． 如图的号码是由14位数字组成的，每一位数字写在下面的方格中，若任何相邻的三个数字之和都等于14，则x 的值等于__________。 11． 已知多项式162++px x 是完全平方式，则p 的值为___________。 12．己如，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB=BD ，BC=CE ，CA=AF ，连DE 、EF 、FD ，则△DEF 的面积为___________。 13．如图所示，∠E=∠F=900，∠B=∠C ，AE=AF ，结论：①EM=FN ，②CD=DN ，③∠FAN=∠EAM ；④△ACN ≌△ABM ，其中正确的有________________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题6分，共24分) 14．计算：)3()5()3 1(6122-?-+-?-- 15．解方程： 1151413121=? ?????????????? ??-x 第12题图 第13题图 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1 33221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ， 21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤ 益师艺术实验学校2018年下学期学科竞赛试卷 七年级数学 （时量90分钟满分100分） 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．下列各组算式中，其值最小的是（） A．﹣3 B．﹣（﹣3）C．|﹣3| D．﹣ 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2018厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数有（） A．2016或2017 B．2017或2018 C．2018或2019 D．2019或2020 3．设M=x2+8x+12，N=﹣x2+8x﹣3，那么M与N的大小关系是（）A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定 4．数学的符号语言简练、准确；而文字语言通俗易懂，但有时不够精炼，甚至容易引起歧义，下面4句文字语言没有歧义的是（） A．a与b的平方的和B．a，b两数相差8 C．a除以b与c的和D．a与b的和的平方 5．今年某月的月历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，这三个数在月历中的排布不可能是（） A．B．C．D． 6．已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣3、1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x，如果点P到点A、点B的距离之和为6，则x的值是（） A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣4或2 7．一位油漆匠站在梯子的某一阶上，他看出在他所站阶下面的阶数是上面阶数的两倍．当他下降4阶后，在他所站阶下面的阶数与上面的阶数相等．则梯子的阶数是（）A．21 B．24 C．25 D．37 8．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（） A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．在数﹣5，﹣3，﹣1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是．10．当x=﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，这时，代数式9b﹣6a+2=． 11．一列数a1，a2，a3，…，a n，其中a1=，a2=，a3=，…，a n=，则 2018年重庆市初一数学竞赛试卷 (满分120分,时间120分) 一、填空题：（每小题4分，共32分） 1.计算：=+-?-- -)221 (213122 ; 2.计算：2002)2002 1 1()4 11()3 11()2 11(- ??-?-?-? ; 3.分解因式：（x-3）（x-5）-3= ; 4.方程312=--x x 的解是 ; 5.四个连续正整数的倒数之和等于 20 19 则这四个正整数分别是 ; 6.在长度分别为1cm,2cm,3cm,…,6cm 的6条线段落中，任取其中三条构成一个三角形，那么最多可以构成不同的三角形 个。 7.符号[x]表示不超过x 的最大整数，{x}表示x 的正的小数部分，那么方程2[x]+5{x}+3=0的解为 。 二、选择题：（每小题4分，共32分） 1、如果x<-2，则x +-11等于（ ） （A ）x+2 (B)-(x+2) (C)x (D)-x 2、已知2)(,111m n n m n m n m -+= -则的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3、任意两个质数的和一定是（ ） （A ）偶数 （B ）质数 （C ）合数 （D ）不能确定 4、已知ΔABC 中，∠C=32°，∠A 、∠B 的外角平分线分别交对边的延长线于D 、E 两点，且AC=AD ，则∠E=（ ） （A ）10° （B ）16° （C ）20° （D ）24° 5、已知的值为则1 ,0134 2 2 +=+-a a a a （ ） （A ） 21 （B ）52 （C ）91 （D ）7 1 6、已知m,n 为自然数，且294m=n 3,则m 的最小值是（ ） 2018年七年级数学竞赛入围试卷 （满分：120分，时间：80分钟） 一、选择题（每小题5分，共30分）： 1、已知数轴上三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、－1，那么1+a 表示（ ） （A ）A 、B 两点的距离 （B ）A 、C 两点的距离 （C ）A 、B 两点到原点的距离之和 （D ）A 、C 两点到原点的距离之和 2、王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a 元，稍后又买回3只羊，平均每只b 元，后来他以每只 2 b a +的价格把羊全部卖掉了，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（ ） （A ） b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与a 、b 的大小无关 3、两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（ ） （A ）273 （B ）819 （C ）1199 （D ）1911 4、某班级共48人，春游时到杭州西湖划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金（ ） （A ）188元 （B ）192元 （C ）232元 （D ）240元 5、若a 与它的绝对值的和为零，则a a 2-=（ ） （A ）a （B ）-a （C ）-3a 元 （D ）3a 6、两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的容积之比为m :1，另一个瓶子中酒精与水的容积之比是n :1，把两瓶溶液混在一起，混合液中酒精与水的容积之比是 （ ） （A ）2n m + （B ）) (3)(222n m n mn m +++ （C ）n m n m ++2 2 （D ）22++++n m mn n m 二、填空题（每小题5分，共40分）： ２６ 中 等 数 学 ２０ １ ８ 年 全 国 高 中 数学 联 合 竞 赛 中图分类号 ： Ｇ４２４ ７９ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ００５ ６４ １ ６ （ ２０１８ ） １ １ ００２６ ０６ ８． 设整数数列 ａ ｉ ， ａ２ ， ， 。 满足 ： … 第 一 试 ， 一 、 填空题（ 每小题 ８ 分， 共 ６４ 分 ） １． 设集合 ＾ ＝ ｛ １ ， ２ ． ． ． ， ， ９９ ｜ ， Ｂ ＝ ＼ ２ｘ ｘ ＾ Ａ ＼ ， Ｃ － ＼ ｘ ２ｘ Ａ ＼ ． 则ｆｉ ｎ ｅ 的元素个数为 ２． 设点 ／ ＞ 到平面 ａ 的距离为Ｖ ５ ， 点 （ ？ 在 平面 ａ 上 ， 使得直线 与平面 ａ 所成 角 不小于 ３０ 。 且不大于 ６０ 。 ． 则这样的点 所构成 的区域的面积为 ． ３ ． 将 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４ 、 ５ 、 ６ 随机排成一 行 ， 记 为ａ 、 ６ 、 ｃ 、 《 ｆ 、 ｅ 、 ／ 则 ａ６ ｃ ＋ ｃ ｅｆ ／ 是偶数 的 概 率为 ４． 在平面直角 坐标 系 中， 椭 圆 Ｃ ： ％ ＋ ＆ ＝ ｌ （ ａ ＞ ６ ＞ ０ ） 的 左、 右焦点 分别 为 ａ 〇 心、 Ｆ２ ， 弦 Ｓ ７＼ Ｃ／Ｆ 分别平行于 ＊ 轴 、 ｙ 轴 ， 且交 于点 Ｒ 已知线段 ／ ＾ 、 朽 、 ／ ＾ 、 ／＾ 的长分别 为 １ 、２ 、３ 、６． 则 的面积为 ． ５． 设／（ ＊ ） 是定义在 Ｒ 上的 以 ２ 为周期 的偶函数 ， 在区间 ［ ０ ， １ ］ 上严格递减 ， 且满足 ／（ ７Ｃ ） ＝ ｌ ， ／（ ２７ｔ ） ＝ ２ ． 则不等式组 １ ＾ ＊ ＾ ２ ， １ 矣／〇 ） 矣２ 的解集为 ６． 设复数 ｚ 满足 Ｉ ｚ ＝ １ ， 使得关于 ＊ 的方 程ｚａ ＋ ２ｚ＊ ＋ ２ ＝ ０ 有实根． 则这样 的复数ｚ ２ 的和为 ？ ７． 设 为△ＡＢＣ 的外心． 若 ＡＯ ＾ ＝ ＡＢ ＋ ２ ＡＣ ， 则ｓｉ ｎ Ｚ： 似 Ｃ 的值为 ． 且 ａ ｉ ＋ １ ６ Ｕ ＋ ａ ￡ ， ２ ＋ ａ Ｊ （ ｉ ＝ ｌ ， ２ ， … ， ９ ） ． 则这样的数列的 个数为 ？ 二、 解答题 （ 共 ５６ 分） ９． （ １６ 分） 已 知定义在 Ｒ ＋ 上的函数 ｆ ｌｏｇ３ ％ － １ ， ０ ＜％ 矣９ ； ／（ ＊ ） ＝ 厂 １ ４ － ａ ／ 尤 ， ｘ ＞ ９ ． 设（ ＊ 、 ６ 、 ＜ ； 为三个互不相同 的实数 ， 满足 ／（ ａ ） ＝ ／（ ６ ） ＝ ／（ ｃ ） ． 求 Ｍｅ 的取值范围 ． １ ０ ．（２０分 ）已知实数列ａ ｉ，ａ２，… 满足对任意正整数 ￣ 均有 ａ ｎ （ ２Ｓ ｎ＾ ａ ｎ ） ＝ １ ， 其中 表示数列 的前 ｎ 项和． 证明 ： （ １ ） 对任意正整数 ／ Ｉ ， 均有 ａｎ ＜ ２ Ａ ； ⑵ 对任意正整数 ？ 均有 ａ？ ａ ？ ＋ ｆ １ ． １１ ． （ ２０ 分） 在平面直角 坐标系 中 ， 为抛物线 ｙ２ ＝ ４＊ 的 过点Ｆ （ １ ， ０ ） 的 弦 ， △ ＡＯＢ 的外接圆与抛物线交于点 Ｐ （ 不 同于 点０ 人５ ） ？ 若 平分Ｚ 求 仲 的 所有可能值 ． 加 试 一 、 （ ４０ 分） 设 ７１ 为正整数 ， ａ！ ， ａ２ ， ． ． ． ， ａｎ ， ｈ ，６ ２，… Ａ 及４ 、ｉｆ均为正实数 ，满足 ： ａ ； 斗 ， ａ； ＾４ “ ＝ １ ， ２ ， … ， ｎ ） ， 且 丛 ＾ｆ 证明 ． ：… ａ Ａ ｎ （ ｆｅ ！ ＋ ｌ ） （ ６２ ＋ ｌ ） － （ ６ ｎ ＋ ｌ ） Ｂ ＋ ｌ （ ｏ １ ＋ ｌ ） （ ａ２ ＋ ｌ ） － ＊ － （ ａ ｎ ＋ ｌ ） Ａ＋ ＼ 二、 （ ４０ 分） 如 图 １ ， △ 狀Ｃ 为锐角 三角 形， ＡＳ ＜ ４Ｃ ， Ｍ 为边 ＢＣ 的 中点 ， Ｄ、 Ｅ 分别为 △ Ａ５Ｃ 的 外接 圆 弧 ２、 ＆ 的 中 点 ， ｆ 为 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)
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