高三数学第二轮专题复习(4)三角函数
高三数学第二轮专题复习系列(4)
三角函数
一、本章知识结构：
二、高考要求
1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）
3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。
5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。 三、热点分析
1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.
2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。
3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议
应用
同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用
应用 应用
应用
本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能
力。
(2)对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。
(3)三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研
究方法进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比学习，加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。
(4)由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的
知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。（2003年高考应用题源于此）
5.重视数学思想方法的复习，如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现，因此复习中要
重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋（k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.
6.加强三角函数应用意识的训练，1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生
对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.
7.变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变
换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律. 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.
8.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动，有关三角形中的正、余弦定理.解三角形等
内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，从1996年和1998年的高考试题就可看出，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关.
9.在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中
不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.
在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。
另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。
五、典型例题
两角和与差的三角函数
【例1】已知3
,34π
βαππβαπ-<-<-<
+<，求βα-2的范围。 解：设βα-2=)()(βαβα-++B A ，（A 、B 为待定的系数），则
βα-2=βα)()(B A B A -++
比较系数 2
32
1
12???
????=
=???
?-=-=+B A B A B A ∴βα-2=)(23)(21βαβα-++ 从而可得：6
2πβαπ<
-<-
【例2】设},2
3
|{},,10||,35|{Z k k B Z k k k A ∈==∈≤==πββπαα，求B A 的解的终边相同
的角的集合。
解：先写出A 与B 的交，再写出终边相同的角的集合。
设B A ∈0α，则B A ∈∈00αα且；所以παπα20102
3
, 3
5
k k == ∴21233
5k k =，即2110
9
k k =，由于Z k k ∈≤11,10|| ∴10,02±=k ；因此}15,0{π±=B A
因此所有与B A 的角的终边相同的角的集合为}Z k ,2k ,2|{∈±==ππγπγγ或k 【例3】已知 αβαβαπ
βπ
2222sin 2
1
sin sin 2sin 2sin 34
6-
=-<
≤-，试求，的最值。 解：∵4
πβ6π<≤-
∴-22
sin 21<
≤β，21sin 02<≤β ∴1sin 202<≤β ∵23222sin sin sin βαα=- ∴03212≤- 即???????<<-≤≤≤??????<--≥-1sin 3 10sin 1sin 32 01sin 2sin 30sin 2sin 322 ααααααα或 ∴ 1αsin 3 2 0αsin 31<≤≤<-或 y=4 1)21(sin sin 21)sin 2sin 3(21sin 21sin 22222--=--=-αααααβ 当sin α∈[ 32 ，1]时函数y 递增，∴当sina=23 时 y min =92-； 当sin α∈(31- ，0)时，函数y 递减，∴当sin α=0时，y min =2 1 ∴ 故当)sin 2 1(sin ,9 2)sin 2 1(sin 3 2sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值。 【例4】求值 () ? +??+?+?10cos 110tg 60tg 110cos 40cos 2 解：()()2 5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23 10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=? ??=??+?=??-?+?=? ?? ? ? ???+?+?=??+?+?=·原式 【例5】已知2π＜β＜α＜4π3,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－5 3 ,求sin2α的值_______. 解法一：∵ 2π＜β＜α＜4π3,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4 π3, ∴sin(α－β)=.5 4 )βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+= -- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］ =sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .6556)53(1312)54(135-=-?+-?= 解法二：∵sin(α－β)= 13 5 ,cos(α+β)=－54, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－65 72 sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－65 40 ∴sin2α=65 56 )65406572(21-=-- 【例6】不查表求sin 220°+cos 2 80°+3cos20°cos80°的值. 解法一：sin 2 20°+cos 2 80°+3sin 2 20°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－2 1cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220° =1－ 43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 2 20°+cos 2 80°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 2 80°+3sin20°cos80°=4 1. 【例7】设关于x 的函数y=2cos 2 x －2acosx －(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=2 1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 解：由y =2(cos x －2 a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )?? ? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a ∵f (a )= 21,∴1－4a =21?a =8 1 ?［2,+∞) 故－22 a －2a －1=2 1，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. 【例8】求值： ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子? ? ?+??+ ?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ??+?=20cos 10cos 20sin 2? ? +?= 20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ? ?=??+?= ， 原式的分母＝? ? +?= ??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ?? ?+?= 80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ? ?=??+?= ， 所以，原式＝１． 【例9】已知5 4 βsin αcos ,53βcos αsin =+=+，求βαsin cos 的值． 解1：令γ2 π β-= ，则原题等价于： 已知5 4 γcos αcos ,53γsin αsin =+=+，求γcos αcos 的值． 两式分别和差化积并相除得：4 3 2γαtan =+，所以 ()2572γαtan 12γαtan 1γαcos 22 =? ?? ? ? ++? ?? ?? +-=+. 分别将已知两式平方并求和得：()2 1 γαcos -=-, 所以，()()()100 11γαcos γαcos 21 γcos αcos -=-++= . 解2：由54βsin αcos ,53βcos αsin =+=+平方相加得：()2 1 βαsin -=+． 上述两式平方相减得：()25 7 βαsin 2α2cos β2cos - =-+-． 将上式前两项和差化积，得：()()()25 7 βαsin 2βαsin βαsin 2-=-+-+， 结合()21βαsin - =+，可解得：()257 βαsin -=-． 所以，()()()βαsin βαsin 21 βsin αcos --+= 100 11-=． 【例10】已知函数()x x m x f cos sin 2-= 在区间?? ? ??2π,0上单调递减，试求实数m 的取值范围． 解：已知条件实际上给出了一个在区间?? ? ??2π,0上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ?? ? ??2π,0，且21x x <，则不等式()()21x f x f >恒成立， 即 > -11cos sin 2x x m 2 2 cos sin 2x x m -恒成立． 化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2 π 021<< 221cos cos sin 2x x x x m --< 上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间??? ?????? ? ?--<2π0cos cos sin 21221x x x x m . 由于()2 sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin 4cos cos sin 2212 1 212121211 221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 22 1212121x x x x x x x x +??? ?? += 2tan 2tan 2tan 2tan 122121x x x x +? ?? ??+= 且当2 π021<< 2,2021< 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan 1212121>?? ? ??-??? ??-=??? ??+-??? ?? +x x x x x x , 有 22 tan 2tan 2tan 2tan 122121>+? ? ? ? ? +x x x x , 故m 的取值范围为]2,(-∞. 【例11】 ,27,3=nC t C B A c b ABC = c a a 的对边，已知 、、分别为角、、中，△ .,2 3 3的值求的面积为又△△b a S ABC ABC += 解：∵ A+B+C=π， ① °得由° .22 2)27(60cos 2,2760,3=-+==∴=ab b a c C tgC ②°得由 .2 3 360sin 21,233== ab S ABC ?? ???== -+④③由①、②得方程组6,4 492 2ab ab b a ,4121 )(32= ++b a 得×④③ 2 11 = +b a ∴ 【例12】在?ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，设b c a 2=+，求2 ctg 2 ctg C A ·的值 解：由条件，2b a c =+，依据正弦定理，得 ()()2 cos 2sin 22cos 2sin 4sin sin sin 2sin sin 2sin 22C A C A C A C A C A C A C A R B R -+=+++=++=· 在02 sin ≠+?C A ABC 中， ∴2 cos 22cos C A C A +=- 2 sin 2sin 22cos 2cos 22sin 2sin 2cos 2cos C A C A C A C A -=+ ∴2cos 2cos 2sin 2sin 3C A C A =∴ 32 sin 2sin 2cos 2cos =C A C A ； 即32C ctg 2A ctg = 三角函数的图象与性质 【例1】试确定下列函数的定义域 ⑴1sin 1log 2-=x y ；⑵) 1cos 2lg(sin )4(--=x x x tg y π 解：⑴要使函数有意义，只须满足条件 ??? ? ?? ??? ≠>≥-0sin 0sin 1 01sin 1log x x x 解得：},2652|{},622|{Z k k x k x Z k k x k x ∈+<≤+∈+≤<πππππππ ⑵要使函数有意义，只须满足条件 ???????? ?≠<≠≥-1 1-2cosx 00 1)-lg(2cosx 0 sin )4(x x tg 有意义π 解得},322|{Z k k x k x ∈+<<πππ 【例2】求函数x x x x x x y 2sin 2cos cos 3cos sin 3sin 233++= 的最小值 解：∵sin sin cos cos 333 3 x x x x + ()()()()[]( )() [] ()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2cos 4cos 12cos 21 4cos 2cos 2cos 21 4cos sin cos 2cos cos sin 21 cos 4cos 2cos sin 4cos 2cos 21 cos cos 3cos sin sin 3sin 322222222=+=+=-++=++-= += ∴??? ?? +=+=+= 42sin 22sin 2cos 2sin 2cos 2cos 23πx x x x x x y 当2142sin --=??? ?? +最小值时，y x π 【例3】已知函数f(x)=2asin 2 x －23asinxcosx+a+b －1，（a 、b 为常数，a<0），它的定义域为[0, 2 π ]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。 解：f(x)=2asin 2 x －23asinxcosx+a+b －1 =a(1－cos2x)－3asin2x+a+b －1 =－2asin 12)6 π2(-+++b a x ∵0≤x ≤ π2 ∴π6≤2x+π6≤π6 7 ∴1)6π 2sin(21≤≤+-x ∵a<0 ∴a ≤－2asin ()26x +π ≤－2a ∴3a+b －1≤－2asin ()26 x +π +2a+b －1≤b －1 ∵值域为[－3,1] ∴???-=-+=-31311b a b ∴?? ??? =-=2 34b a 【例4】已知函数)2 ||,0,0)(sin()(π ω>?+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）. （1）求)(x f 的解析式； （2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的3 1 （纵坐标不变），然后再将所得图象 向x 轴正方向平移 3 π 个单位，得到函数y =g (x )的图象.写出函数y =g (x )的解析式并用列表作图的方法画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：（1）由已知，易得A=2． ππ3)3(200=-+=x x T ，解得3 1,6=∴=ωπT ． 把（0，1）代入解析式)3 sin(2?+=x y ，得 1sin 2=?．又2 π ?< ，解得6 π?= ．∴)6 3 sin(2π +=x y 为所求． (2)压缩后的函数解析式为)6 sin(2π +=x y 再平移， 得)6π3sin(2)(+- =x x x g )6 πsin(2-=x x 6π 32π 6 7π 35π 6 7π 6 π- x 0 2 π π 2 3π π2 )6 sin(2π- x 0 2 0 -2 【例5】求函数x x x y sin 23sin 3sin 2-+-=的最值，并写出使函数y 取得最值的x 的集合。 解：令31sin 2≤≤-=u x u ，则， ∴函数11 12-+=+-=u u u u u y ≥-=211 当且仅当u =1时，y 最小值=1 函数y 取得最小值的x 的集合? ??? ??∈+=Z k k x x ，2 2π π 又函数[]3111，在∈-+=u u u y 是单调递增的 证明如下：1312≤≤≤u u ()()??? ? ? ?--=-+-=--+ =-21212 112212211211 11 1u u u u u u u u u u u u u u y y ∵u u 12< ∴u u 120-< 11 01101102 121<<<<<< u u u u ，， ∴y y y y 12120-<<，即，∴[]3111，在∈-+=u u u y 是单调递增的 ∴当u =3时，函数3 121313=-+=最大值y 函数y 取得最大值的x 的集合? ?? ? ?? ∈-=Z k k x x ，2 ππ2 【例6】ABC ?中，已知三内角A 、B 、C 依次成等差数列，求C A 2 2cos cos +的取值范围。 解：由已知得?=+?=12060C A B ， 22cos 122cos 1cos cos 22C A C A +++= +()12cos 2cos 2 1 ++=C A ()()1cos cos +-+=C A C A ()C A --=cos 2 1 1 ()()4 5cos 211211cos 2 1 120120<--≤∴≤-<-∴?<- 即C A 22cos cos +的取值范围为?? ????4521， 【例7】已知3 200π βαβα=+≥≥，且，，问当βα、分别取何值时， ()β2sin 21 2 αtan 2αcot απcos 1----= y 取最大值，并求出此最大值。 解：βα αααα2sin 21 sin cos 1sin cos 12cos 1---++= y βαα2sin 21cos sin -=·()βα2sin 2sin 21-= ()()βαβα-+=sin cos ()βαπ -=sin 3 2cos ()βα--=sin 21 32323203203 200π βαππβπαπβαβα≤ -≤-≤≤≤≤∴= +≥≥，，，，且， 此时，由??? ????-=-=+232πβαπβα解得???????==12712 πβπα 【例8】在ΔA BC 中，求2 sin 2sin 2sin 222C B A ++的最小值.并指出取最小值时ΔA B C 的形状，并说明理由. 解：令2 sin 2sin 2sin 222 C B A y ++=2cos 12cos 12cos 1C B A -+ -+-= )cos cos (cos 2 123C B A ++-= )2sin 212cos 2cos 2(21232B C A C A -+-+-= ∵在ΔA BC 中，2 22B C A -=+π，∴2sin 2cos B C A =+ 又12 cos ≤-C A . ∴)2sin 212sin 2(21232 B B y -+-≥ 12sin 2sin 2+-=B B 4 3)212(sin 2+-=B 当??? ????==-21 2sin 12cos B C A 时，y 取得最小值43； 由12cos =-C A 知A =C ，由212sin = B 知?=302 B ，B=60°； 故A =B=C=60°， 即y 取最小值 4 3 时，ΔA BC 的形状为等边三角形. 【例9】已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π)－3sin 2 x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［ 12π，12 π7］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x + 3π)－3sin 2 x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3 π)－3sin 2 x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3 π ) ∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x + 3π =2k π－2 π，即x =k π－12π5 (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +3 π)=1，又x ∈［2π7,2π］, ∴2x +3π∈［3π,2π3］,∴2x +3π=6 π 5，则 x =4 π ，故f -－1(1)=4 π . 【例10】已知α、β为锐角，且x (α+β－2 π)＞0,试证不等式f (x )=)αsin βcos ()βsin αcos (+x x ＜2 对一切非零实数都成立. 证明：若x ＞0，则α+β＞2 π ， ∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2 π, ∴0＜sin( 2π －α)＜sin β.0＜sin(2 π－β)＜sin α， ∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α, ∴0＜ βsin cos α ＜1,0＜α βsin cos ＜1, ∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2. 若x ＜0,α+β＜ 2 π , ∵α、β为锐角，0＜β＜ 2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π ,0＜sin β＜sin(2 π－α), ∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin( 2 π－β),∴sin α＜cos β,∴βsin α cos ＞1, αsin βcos ＞1, ∵f (x )在(－∞,0)上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立. 【例11】设z 1=m +(2－m 2 )i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围. 解法一：∵z 1=2z 2， ∴m +(2－m 2 )i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴? ??+=-=θλθ sin 222cos 22 m m ∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2 θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－8 9 . 当sin θ= 41时λ取最小值－8 9 ，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z 1=2z 2 ∴?? ?? ?+=-=θsin 2λ22θ cos 22 m m ∴??? ???? --= =2λ22θsin 2θcos 2 m m , ∴4 )λ22(4222--+ m m =1. ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2 ,则0≤t ≤4, 令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2 －8λ,则??????? ??≥≥≤-≤≥?0 )4(0)0(42 λ4300 f f 或f (0)·f (4)≤0 ∴???? ?? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥0λ2λ2λ043λ4 5 89λ或或 ∴－ 8 9 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－8 9 ，2］. 【例12】如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程： ?? ???-=-=-==20021sin 4sin cos cos gt v L h t v L S θαθ α 由①②整理得：v 0cos θ= .2 1 αsin θsin ,αcos 0gt t L v t L +-= ∴v 02 +gL sin α=41g 2t 2+22t L ≥22 22412t L t g ?=gL 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh = 2 1mv 02 , ① ② ∴v 02 =2gh ,∴L ≤) αsin 1(2)αsin 1(20-= -g gh g v =200(m) 即L max =200(m),又41g 2t 2=22 2 22t L t h S =+. ∴θcos 22αcos αcos ,20?==== g L gh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°. 【例13】如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数： y =A sin(ωx +φ)+b ；(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式. 解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)； (2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象. ∴ ω π221? =14－6,解得ω=8π ,由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8 π x +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π.综上所求的解析式为 y =10sin(8 π x + 4 3 π)+20,x ∈［6,14］. 【例14】已知函数()b x a x x x f ++?? ? ? ? -+?? ? ? ? +=cos 6πsin 6πsin （R b a ∈,，且均为常数）， （1）求函数()x f 的最小正周期； （2）若()x f 在区间??? ?? ?-0,3 π上单调递增，且恰好能够取到()x f 的最小值2，试求b a ,的值． 解：研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数 关系式进行化简，最好化为一个角（形如?+wx ）、一种三角函数的形式． （1） ()b x a x x x f ++?? ? ? ? -+?? ? ? ? +=cos 6πsin 6πsin b x a x ++=cos 6 π cos sin 2 b x a x ++=cos sin 3()b x a +++=θsin 32 （其中θ由下面的两式所确定：3 3θcos ,3 θsin 2 2 += +=a a a ） 所以，函数()x f 的最小正周期为π2． （2） 由（1）可知：()x f 的最小值为b a ++-32，所以，232=++-b a ． 另外，由()x f 在区间?? ? ?? ?-0,3π上单调递增，可知：()x f 在区间?? ? ?? ?-0,3 π上的最小值为 ??? ??-3πf ，所以，?? ? ??-3πf =232=++-b a ． 解之得：2,1=-=b a 【例15】设R x ∈，试比较()x f =x cos cos 与()x g =x sin sin 的大小关系． 解：观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们 可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等． 初步判断便可以确定：()x f 、()x g 都是周期函数，且最小正周期分别为π、π2．所以，只需考虑[]π,π-∈x 的情形． 另外，由于()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的x 的范围继续缩小？ 事实上，当[]0,π-∈x 时，()x f >0，()x g 0≤恒成立，此时，()x f >()x g ． 下面，我们只需考虑[]π,0∈x 的情形． 如果我们把()x f 看作是关于x cos 的余弦函数，把()x g 看作是关于x sin 的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性． ?? ? ??-=x x sin 2πcos sin sin 至此为止，可以看出：由于 x sin 2 π -和x cos 同属于余弦函数的一个单调区间， （即x sin 2π-，x cos ∈[]π,0） ，所以，只需比较x sin 2 π -与x cos 的大小即可． 事实上， （ x sin 2π-）—x cos =x sin 2π-—x cos =??? ? ? +-4πsin 22πx 022π>-≥ 所以，利用余弦函数在[]π,0上单调递减，可得： x sin sin 综上，()x g <()x f ． 点评：本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助．是一道很有训练价值的好题． 六、专题练习 【两角和与差的三角函数练习1】 一、选择题 1.已知方程x 2 +4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2 π,2π)，则tan 2βα+的值是 ( ) A.2 1 B.－2 C. 3 4 D. 2 1 或－2 二、填空题 2.已知sin α= 53，α∈(2 π ，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________. 3.设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4 π )=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+ β)=_________. 三、解答题 4.不查表求值: . 10cos 1) 370tan 31(100sin 130sin 2? +?+?+? 5.已知cos(4 π +x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 6.已知α－β= 38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)4β4π(sin 42 αsin 2 αcsc )απcos(12-----的最大值及最大值时 的条件. 7.如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积. 8.已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10 43 2log 2 1 ++x x 的 最小值，并求取得最小值时x 的值. 【参考答案】 一、选择题 1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－ 2π,2π)∴α、β∈(－2 π,θ),则2β α+∈(－2π,0), 又tan(α+β)= 342 tan 12tan 2)tan(,3 4)13(14tan tan 1tan tan 2 =β+α-β +α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 2 2 2 β αtan 32βα-+++=0.解得tan 2 βα+=－2. 答案：B 二、填空题 2.解析：∵sin α= 5 3,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21 可得tan β=－2 1, 247) 3 4()43(1) 34(43β2tan αtan 1βtan αtan )β2αtan(.34)2 1(1) 21 (2βtan 1βtan 2β2tan 22 2= -?-+---=?+-=--=---?= -= 答案： 24 7 3.解析：α∈(4π3,4π),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=5 3 . 65 56 )βαsin(. 6556 13554)1312(53)β4π3sin()4παsin()β4π3cos()4παcos()]β4π 3()4παcos[(] 2 π )β4π3()4παsin[()βαsin(. 13 12 )β4π3cos(,135)β4π3sin().π,4π3(β4π3).4π,0(β,54)4παsin(= +=?+-?-=+?-++?--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=-∴即 答案： 65 56 三、解答题 4.答案：2 752853)54(25 7) 4πcos() 4π sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 5 4)4πsin(,π24π3π5,π4712π17. 25 7 )4π(2cos 2sin ,53)4πcos(:.522=-?=++=-+=- +=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 又解 2 )3π 22αsin(22)21()π322αsin(4.3π22α4π 38α24βα,π38βα22 βαcos 2βαsin 42)2βsin 2α (sin 2)2 βsin 2121(42αcos 2αcos 22αsin 2)2β2πcos(14 2αsin 1)αcos 1(2αsin ) 4β 4π(sin 42 αsin 2αcsc )απcos(1:.62 2 22---=--?-=∴-=-=-∴=---+=-+=--?=----+=-----= t t 令解 π≠αk （k ∈Z ）,3 22322π - π≠π-α∴ k （k ∈Z ） ∴当 ,2ππ23π22α-=-k 即3ππ4α+=k （k ∈Z ）时,)π3 2 2αsin(-的最小值为－1. 7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得 Q ( 33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－3 3sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－3 3 sin θ) =3 3(3sin θcos θ－sin 2 θ) =33(23sin2θ－2 θ2cos 1-) =33(23sin2θ+21cos2θ－2 1) = 33sin(2θ+6 π)－63. ∵0＜θ＜ 3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6 π )≤1. ∴sin(2θ+ 6 π )=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63， 此时，θ=6 π ，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2 +(3)2 =(sin α+cos β)2 +(cos α+sin β)2 =2+2sin(α+β)≤4.∴u 2 ≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤ 5.x =2 3 2-t . .2 1 ,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42. 82 24142142104325.05.05 .0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+ =+=++= ∴x x t y M M y M t t t t t t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当 【两角和与差的三角函数练习2】 一、选择题 1．下列各三角函数式中，值为正数的是 （ C ） （A ）s i n （）-π4 （B ）c o s 250 （C ）t g ()'- 69010 （D ）ctg 113 π 2．α是第四象限的角，则下列三角函数的值为正的是 （ B ） （A ）s in α （B ）c o s α （C ）tg α （D ）ctg α 3．）（3 14cos π -的值为 （ B ） （A ） 21 （B ）2 1- （C ）23 （D ）23- 4．已知s in α=54 - ，α是第三象限角，则tg α2 = （ C ） （A ）±2 （C ）±12 （C ）-2 （D ）-1 2 5．若αsin =5 4 ，且α为锐角，则s i n 2α的值等于 （ B ） （A ） 2512 （B ）2524 （C ）2512- （D ）25 24- 6．若α= 20，β= 25，则)1)(1(βαtg tg ++的值为 （ B ） （A ）1 （B ）2 （C ）12+ （D ）13+ 7．已知)25 ,23(ππ∈x ，则=-x s i n 1 （ C ） （A ）)42sin(2π+x （B ）)42sin(2π+-x （C ）)42sin(2π-x （D ）)4 2sin(2π --x 8．α= s i n c o s ,s i n c o s 14141616 62 +=?=-b c ，则成立的是 （ D ） （A ）a 9．函数x x y cos sin -=的定义域是 （ B ） A ．()Z k k k ∈??? ??++ππππ24524， B ．()Z k k k ∈??? ???++ππππ24524， C ．()()Z k k k ∈?? ????++πππ1224 ， D ．()Z k k k ∈?? ? ???++ππππ2 4 ， 10．已知α是第一象限角，且,2 αcos 2αsin >则2α 是 （ C ） （A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）第三象限角 （D ）第二象限角 11．若αβ,Z k k k ∈?? ? ? ? ++∈,232,2ππππ，且αβ>，则下列关系正确的是 （ B ） （A ）s i n s i n αβ> （B ）s i n s i n αβ< （C ）s i n s i n αβ = （D ）不正确 12．函数?? ? ?? ? --=)26 π sin(23lg x y 的单调递减区间是 （ D ） （A ）)(4π3π,3ππz k k k ∈????? ? ++ （B ）)(3ππ,4ππz k k k ∈?? ? ??? +- （C ）)(π,3 π π4π3z k k k ∈? ? ??? ?++ （D ）)(3ππ,4ππz k k k ∈?? ? ?? + - 15．下面三条结论：①存在实数α，使s i nc o s αα=1成立；②存在实数α，使s i n c o s αα+=3 2成立；③若cos αcos β=0，则s i n s i n ,αβ=0其中正确结论的个数为 （ A ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 16．函数y x x x =+∈30s i n c o s ([,])π的值域是 （ B ） （A ）[-2，2] （B ）[-1，2] （C ）[-1，1] （D ）[-3，2] 三 角 函 数 考点1：三角函数的有关概念； 考点2：三角恒等变换；（两角和、差公式，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式） 考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心） 考点4：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换） 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，则sin θ= ． 练习1．已知角α的终边上一点的坐标为（3 2cos ,32sin π π），则角α的最小正值为（ ） A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法： 例2.设(0,)2πα∈，若3 sin 5α=)4 πα+=（ ） A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1．若πtan 34α??-= ??? ，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12 - Ｃ．12 Ｄ．2 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3． cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324 θππ ≤≤，则cos2θ的值是 ． 3．化简求值 例3.已知α为第二象限角，且sin α，求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习：1。已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ．15 D ．35 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=， 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数 2018年6月 考纲要求： 基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x , y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ?? - ??? 内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x = 1, sin tan .cos x x x = （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 考向一三角恒等变换 样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边， 它们的终边关于y轴对称.若 1 sin 3 α=，则cos() αβ -=___________. 【答案】 7 9 - 三角函数专题训练 19．（本小题满分12分） 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且， （Ⅰ）若sin sin A B +=6，求A ； （Ⅱ）若ABC ?的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围． 17．（本小题共12分） 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示． （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==．记()n m x f ?= （I ）若32f ()α=，求23 cos()πα-的值； （Ⅱ）在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足 ()2cos cos a c B b C -=，若13f (A )+= ，试判断?ABC 的形状． 17、海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。（假设游船匀速行驶） （1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）（5分） （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。（7分） 19．解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且， 所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =， 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________. 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质 ①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π ) 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 专题一珍爱生命一、知识结构图 ，（1）--------- ---- （2）----------------- （3）----------------- 3. （4）------------------- 二、请找出此专题与九年级思想品德的哪些内容有联系？ 三、必记部分 1、人的生命的独特性突出表现在_____________,更多表现在____________._____________.___________________________________ 四、考点强化训练 一、单项选择题 1．据报道，在广东，野味餐厅随处可见，仅广州市一天的蛇肉交易量就达100吨。人们把野生动物作为餐桌上的佳肴，能吃上野生动物甚至成为一些地方人们身份的象征。对此，你的态度是( ) ①吃野生动物是个人的事，别人无可厚非②每种生命都有其存在的价值和意义，生命需要关爱③生命丰富多彩，人类是自然界的一部分，野生动物是人类的朋友④如果随意践踏地球上的生命，就是在破坏人类赖以生存的生态环境，最终受伤害的还是人类自己 A.①②④ B.①②③ C.①③④ D. ②③④ 2. 2012年6月3日，刚到广州不久的周冲，路过某小区时，发现一个三四岁的小女孩脖子卡在四楼窗台，情况十分危急，周冲二话不说，不顾危险，从三楼阳台爬出，一手抓牢防盗窗，一手托举住小女孩，在众人帮助下，最终救下了小女孩。这告诉我们( ) A．小女孩的生命比周冲的生命更重要 B．要延伸生命的价值，就一定遭遇危险 C．当他人的生命遇到困境时，要尽自己所能伸出援助之手 D．小女孩太调皮，对自己的生命不尊重 3. 2014年3月31日是第19个全国中小学生安全教育日，其主题是“强化安全意识，提升安全素养”。下列属于对学生进行安全教育的内容的有( ) ①要珍爱生命、遵守交通规则②受到侵害时，要为了尊严而奋不顾身③当他人处于危难中要机智施救④传授遭遇突发事件时自护自救的方法 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D. ②③④ 4．右面是小海在“安全连着你我他”主题探究活 动中出示的图片。其中能体现安全意识强、珍爱 生命的做法是( ) A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③ 5．从金字塔、万里长城到鸟巢，从计算机、航天飞 机到探月计划……这些人类智慧的结晶无不体 现出人类伟大的创造力。这告诉我们( ) ①人类是地球的主人，主宰着一切②人类最具有智慧和创造力 ③只有人类能改变自己的命运④这是人类生命独特性的突出表现 A．②④B．①③C．③④D．②③ 6．有的人活泼好动，有的人文静内向；有的人伶牙俐齿，有的人拙于口舌；有的人八面玲珑，有的人纯朴憨厚。这说明( ) ①人的生命具有独特性②每个人的生命都是独一无二的③我们应当展示自己独特的风格特点④人类的生命最具有智慧 A.①②④ B.①③④ C.②③④ D. ①②③ 7．从呱呱坠地至今天，我们的生命已经走过了十几个春秋。实现人生的意义，追求生命的价值要( ) A．脚踏实地，从一点一滴做起B标新立异，追求个性的独立 C．好高骛远，在梦想中度过一生D．知足常乐，得过且过 8．丁晓兵，战时敢舍身，平时能忘我；王百姓，排掉炸弹1.5万枚；华益慰，“值得托付生命的人”……他们用不同的形式实现着自己的人生价值。可见( ) ①人生的价值在于创造和奉献②只有干轰轰烈烈的大事才能体现人生的价值③做好本职工作是实现人生价值的重要基础④生命的价值靠一点一滴的行动实现 A. ①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 二、问答题 9．阅读材料，回答问题。 材料一：九年级(1)班的小青经常关心父母，是父母的贴。“小棉袄”；小强乐观开朗、幽默大方，是同学的“开心果”；小明经常参加捐款、义工等活动，是困难人员的“爱心小天使”……他们在给别人带来快乐的同时，也体验着成长的快乐与价值。 材料二：2014年7月1日凌晨，广州白云区兴泰国际五金市场便民超市前，一名持刀歹徒抢劫摩托司机伤人后逃逸，沈俊江、沈勇波等人见义勇为，追赶歹徒，最终将其制服。但沈俊江却在勇猛擒凶的过程中身负重伤，经抢救无效身亡。2014 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ?? ?? 二、方法总结： 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝ － 等。 （3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。 （5）引入辅助角。asin θ＋bcos θ＝sin (θ＋)，这里辅助角所在象限由a 、b 的符号确定，角的值由tan ＝确定。 2.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 考点1 定义域与值域 2 β α+2 β α-2 2 b a +????a b ()()() sin()(00)“”“”sin sin cos 12 1332y A x A y x x x ω?ω=+>>=利用单位圆、三角函数的图象求三角函数的定义域、值域、零点是常用的方法． 求复合函数，的定义域、零点、值域等，基本方法是转化，即转化为基本初等函数的定义域、零点、值域等． 求三角函数值域的常． ． 用方法：转化为二次函数；利用，的有界性；．换元． 考点2 奇偶性、周期性与对称性 sin()2 123y A x T ω?π ω =+=有关三角函数的单调性、周期性等问题通常需要先进行化简，然后求解． 求三角函数的周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解． 判断三角函数的奇偶性的两种基本方法：图象． ． ．法和定义法． 高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理 1角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ① 终边为一射线的角的集合： x|x 2k ② 终边为一直线的角的集合： xx k 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式：1 aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，1为弧长 (2) 扇形的面积公式 :S 1 -IR R 为圆弧的半径，1为弧长。 2 (3) 三角函数定义： 角 中边上任意一点P 为(x,y)，设|OP| r 则： sin — ,cos r x J r tan y r=寸孑圧 x 女口：公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明 (4)特殊角的三角函数值 ③两射线介定的区域上的角的集合: x2k ④两直线介定的区域上的角的集合： x k x k ,k Z ? k 360', k Z ,k Z = | ，k Z ； 反过来，角 的终边上到原点的距离为 r 的点P 的坐标可写为：P r cos ,r sin 4 x 4 4 sin cos tan - -si n + cos -ta n - + si n -cos -ta n + -si n -cos + tan 2 . -si n + cos -ta n 2k + + si n + cos + tan sin con tan 2 + cos + sin + cot 2 + cos -si n -cot 3 2 -cos -si n + cot 3_ 2 -cos + sin -cot 三角函数值等于 的同名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符 号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 的异名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符号； 即:函数名改变，符号看象限： sin x 比如 cos 一 x 4 cos x cos x sin 一 (6)三角函数线：(判断正负、比较大小，解方程或不等式等) 如图，角 的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边0P 于点T ，贝U (7)同角三角函数关系式： ③ 平方关系：sin 2 a cos 2 a 1 ①倒数关系： tan acota 1 ②商数关系: tana ^ina cosa (8)诱导公试 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 三角函数 2018年6月 考纲要求： 基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x , y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ?? - ?? ?内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x = 1, sin tan .cos x x x = （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 考向一三角恒等变换 样题1 （20XX年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边， 它们的终边关于y轴对称.若 1 sin 3 α=，则cos() αβ -=___________. 【答案】 7 9 - 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 2017年05月09日三角函数复习题 一．解答题（共16小题） 1．已知点P（3m，﹣2m）（m＜0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．2．已知α为三角形一角，且sinα+cosα=． （1）求tana的值； （2）求． 3．已知关于x的方程2x2﹣（+1）x+m=0的两根为sin θ、cos θ，θ∈（0，2π），求： （1）+的值； （2）m的值． 4．已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．5．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间[﹣，]上单调性并求出的值域． 6．已知函数f（x）=2cos2x﹣1，x∈R． （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅲ）设g（x）=f（﹣x）+cos2x，求g（x）的值域． 7．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点． （Ⅰ）数a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 8．已知函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx，x∈[，π]． （1）若sinx=，求函数f（x）的值； （2）求函数f（x）的值域和对称轴． 9．设函数． （Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值． 10．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+ （Ⅰ）求函数f（x）=0时x的集合； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值． 11．（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值； （2）化简求值：． 12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的单调递增区间． 13．已知函数f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+cos（+φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（）． （I）求ω和φ的值； （II）求函数y=f（2x），x∈[0，]的值域． 14．已知函数 （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间； （Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值． 15．已知．（1）求函数f（x）的单调区间； （2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，数m的取值围．高三三角函数专题复习(题型全面)
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