矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用
201700060牛晨晖
在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则
1.1矩阵的加法与减法
1.1.1运算规则
设矩阵，，
则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！
注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质
满足交换律和结合律
交换律；
结合律．
1.2矩阵与数的乘法
1.2.1运算规则
数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．
特别地，称称为的负矩阵．
1.2.2运算性质
满足结合律和分配律
结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．
分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵
满足矩阵方程，求未知矩阵．
解由已知条件知
1.3矩阵与矩阵的乘法
1.3.1运算规则
设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即
．
(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
设矩阵
计算
解是的矩阵．设它为
可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）
(1) 结合律．
(2) 分配律（左分配律）；
（右分配律）．
(3) ．
1.3.4方阵的幂
定义：设A是方阵，是一个正整数，规定
，
显然，记号表示个A的连乘积．
1.4矩阵的转置
1.4.1定义
定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得
到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或
．
例如，矩阵的转置矩阵为．
1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）
(1)
(2)
(3)
(4) ，是常数．
1.4.3典型例题
利用矩阵
验证运算性质：
解；
而
所以
．
定义：如果方阵满足，即，则
称A为对称矩阵．
对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式
1.5.1定义
定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各
元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记
作或．
1.5.2运算性质
(1) （行列式的性质）
(2) ，特别地：
(3) （是常数，A的阶数为n）
思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？
不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．
例如，则．
于是，而
2光伏逆变器的建模
光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换
与控制的核心。光伏逆变器的性能不仅影响到光伏系统是否运行稳定、安全可靠，也是影响整个系统使用寿命的主要因素。本节将分析主流光伏逆变器的拓扑结构和建模方法。
2.1系统拓扑结构
光伏并网逆变器按照不同的分类方式可分为多种类型。如按照交流侧接线数可分为单相逆变器和三相逆变器，如按照并网方式可分为隔离型光伏逆变器和非隔离型光伏逆变器。在欧洲，相关标准要求光伏逆变器可以采用非隔离型；而在美国，光伏逆变器必须采用隔离型的；我国目前尚没有在此方面的明确要求。
按照能量变换级数来分，光伏并网系统主要包括单级变换、两级变换和多级变换三种拓扑结构。为方面理解后续利用矩阵相关知识建模，下面对这三种拓扑结构的特点做简要介绍。
1)单级变换拓扑结构
单级变换拓扑结构与前者相比，只有DC/AC逆变部分，该逆变器一般采用单相半桥、全桥电压型逆变器或者三相全桥电压型逆变器。这种类型的光伏逆变器具有结构简单、成本低廉等优点。由于该系统只有一级功率转换电路，所有控制目标都要通过这一级功率转换单元实现，因而增加了控制系统的复杂性。
图1为一典型的单极变换单相光伏逆变器的拓扑结构。这种光伏逆变器一般会安装工频变压器。变压器可以有效降低输出侧电压，也可以起到有效隔离绝缘的效果，具有可靠性高、维护量少、开关频率
低和电磁干扰小等特点。
逆变器
变压器
光伏组件
图1 单级单相光伏逆变器拓扑图
2)
两级变换拓扑结构
两级变换拓扑结构一般由DC/DC 变换器和DC/AC 逆变器两部分组成。前者一般采用比较常见的BOOST 电路、BUCK-BOOST 电路或CUK 电路等，用来实现光伏阵列输出功率的最大功率跟踪的功能，DC/AC 一般采用单相或三相的并网逆变器实现并网、有功调节、无功补偿或者谐波补偿等相关功能。
图2为一典型的两级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。第一级是DC/DC 变换环节，其拓扑类型为boost 电路，目的是把光伏组件输出的不稳定直流低电压提升到可并网的稳定直流高电压。第二级是DC/AC 逆变环节，由单相全桥的可逆PWM 整流器构成，这一级的功率开关可以采用MOSFET 或IGBT 。
升压变换器逆变器
光伏组件
图2 两级变换单相光伏逆变器拓扑图
3)
多级变换拓扑结构
采用高频变压器绝缘方式的多级变换拓扑结构通过采用带有整流器的高频率变压器来提升输入电压，具有体积小、重量轻、成本低等优点，常用于并网型太阳能发电设备之中。
图3为一典型的带高频变压器的多级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。这种拓扑结构由于需要经过三级能量变换，通常效率相对较低，并且由于高频电磁干扰严重，必须采用滤波和屏蔽等相关措施。
逆变器
逆变器
整流器变压器
光伏组件
图3 带高频变压器的多级式光伏逆变器拓扑图
2.2典型光伏逆变器的建模
与两级式光伏逆变器相比，单级式光伏逆变器只有一个能量变换环节，结构紧凑、元器件少，能量转换效率更高。目前，单级式三相光伏并网逆变器在大中型光伏电站的建设中得到了大规模的应用。本节选取此类光伏逆变器作为典型进行建模分析。
如图4所示，三相光伏逆变器一般由防反冲二极管、直流母线稳压电容、DC/AC 逆变环节、逆变器输出滤波器组成。
o
图4 三相光伏并网发电系统电路图
假定三相电感且其等效电感、电阻值分别为L 1=L 2=L 3=L 和
R 1=R 2=R 3=R 。三相全桥都是理想的开关管。光伏发电系统在三相静止
坐标系下的数学模型如下：
??????
???=++?=++?
=++?dc c c c c
dc b b b b
dc a a a a
u S e Ri dt di L u S e Ri dt di L u S e Ri dt di L
(2.1)
式中：
i a 、i b 、i c ——三相并网逆变器的输出电流； e a 、e b 、e c ——三相电网电压； S a 、S b 、S c ——开关函数； u dc ——直流母线电压；
考虑直流母线中电流的稳压作用，则有
)(b c b b a a pv dc
i S i S i S i dt du C
++-=
(2.2)
式中：
C ——直流母线稳压电容； i pv ——光伏阵列输出电流。
将公式2.2进行同步矢量旋转变换，则得到dq 坐标系下的三相光伏并网发电系统的模型为：
?
?????
??
?+-=+---=+-+-=C i S i S C i dt du L u S L e i L Ri dt
di L u S L e i L Ri dt di q q d d pv dc dc q q d q q
dc d d q d d
2)
(3ωω
(2.3)
式中：
i d 、i q ——逆变器输出电流d 、q 轴（有功、无功）分量； e d 、e q ——电网电压d 、q 轴分量；
S d 、S q ——触发三相逆变桥的开关信号d 、q 轴分量； ω——电网电压的角频率，即dq 坐标系的旋转速度。
公式2.3中两个电流方程写成矩阵形式为：
d d d dc d q q q dc q i i S u
e R L d L i i S u e L R dt ωω????????
-??=+-??????????--??????????
(2.4)
对公式2.4两边取拉式变换得
()()()() ()()()() d d d dc d q q q dc q I s I s S U s E s R L Ls I s I s S U s E s L R ωω????????-??=+-??????????--?
????????? (2.5)
令*()d U s =()d dc S U s ，*()q
U s =()q dc S U s ，相应时域中有*
d u =d dc S u ，*q u =q dc S u ，则公式2.5可写为
**()()()() ()()() ()d d d d q q q q U s I s I s E s R L Ls I s I s E s L R U s ωω????????-????=++????????????????????
(2.6)
公式2.6的时域表达式为：
** d
d d d q q q q u i i
e R L d L i i e L R dt u ωω????????
-????=++????????????????????
(2.7) 3 随机矩阵相关理论
3.1 随机矩阵相关理论和要点
随机矩阵理论(random matrix theory ，RMT)的研究起源于原子核物理领域。Wigner 在研究量子系统中得出结论，对于复杂的量子系统，随机矩阵理论的预测代表了所有可能相互作用的一种平均。偏离预测的那部分属性反映了系统中特殊非随机的性质，这为了解和研究潜在的相互作用和关系提供了理论支撑。RMT 以矩阵为单位，可以处理独立同分布(independent identically distributed ，IID)的数据。RMT 并不对源数据的分布、特征等做出要求(如满足高斯分布，为Hermitian 矩阵等)，仅要求数据足够大(并非无限)。故该工具适合处理大多数的工程问题，特别适合用于分析具有一定随机性的海量数据系统。随机矩阵理论认为当系统中仅有白噪声、小扰动和测量误差时，系统的数据将呈现出一种统计随机特性；而当系统中有信号源(事件)时，在其作用下系统的运行机制和内部机理将会改变，其统计随机特性将会被打破。单环定律(Ring Law)、Marchenko-Pastur 定律(M-P Law)均是RMT 体系的重大突破。在这些理论基础上，可进一步研究随机矩阵的线性特征根统计量(linear eigenvaluestatistics,
LES)，而平均谱半径(mean spectral radius)则是LES所构造出的一个具体对象。
3.2 随机矩阵理论对电力系统的支撑
全球正在经历由信息技术时代(IT 时代)向数据技术时代(DT时代)的过渡，数据正逐步成为电力系统等大型民生系统的战略资源。数据的价值在于其所蕴含的信息而并非数据本身，信息提取(information extraction)相关技术是数据增值业务的核心。智能电网的最终目标是建设成为覆盖电力系统整个生产过程，包括发电、输电、变电、配电、用电及调度等多个环节的全景实时系统。而支撑智能电网安全、自愈、绿色、坚强及可靠运行的基础是电网全景实时数据的采集、传输和存储，以及对累积的海量多源数据的快速分析。
数据化是智能电网建设的重要目标，也是未来电网的基本特征。智能电网是继小型孤立电网、分布式互联大电网之后的第三代电网，其网络结构错综复杂。同时，用户侧的开放致使新能源、柔性负荷、电能产消者(如EV)大规模介入电网，这也极大地加剧了电网运行机理和控制模型的复杂性。传统的通过对个体元器件建模、参数辨识及在此机理模型上进行仿真的手段不足以认知日益复杂的电网；而另一方面，随着智能电网建设进程的不断深入，尤其是高级测量体系(advanced meteringinfrastructure，AMI)和信息通信技术(informationcommunication technology，ICT)的发展，数据将越来越容易获取，电网运行和设备监测产生的数据量将呈指数级增长。然
而，各电力部门普遍存在如下问题：
1）从如此之多的数据中，能得到些什么？2）不同部门的数据为什么且如何混合在一起？3）坏(异常、缺失、时间不同步)数据如何处理？上述的典型问题也是现阶段信息化建设所呈
现的“重系统轻数据”模式的结果。该模式忽略了最重要的(也是理论要求最深的)数据资源利用环节，即将收集来的“数据原料”转换成驱动力，以数据驱动(data-driven/model-free)为主要方式及时、准确地认知系统，故难以满足系统决策制定(decision-making)的需求。
从数据的角度出发，海量(volume)、多样(variety)、实时(velocity)、真实(veracity)的4 Vs 数据是未来电网数据的发展趋势，而4 Vs 数据的复杂性所引起的维数灾难(curseof imensionality)等问题将不可避免地产生且日益严峻。
而随机矩阵是元素为随机变量(random variable)的一类矩阵，随机矩阵理论(random matrix theory，RMT)主要研究随机矩阵的特征根和特征向量的一些统计分析性质，其核心为线性特征根统计量(linear eigenvalue statistic，LES)。随机矩阵知识与电力系统的广泛结合将有的放矢的缓解这一问题。
4 结论与展望
本文第二部分简要介绍了矩阵基本知识在新能源领域建模的应用情况。由此可见，矩阵基本知识已经广泛应用与电力系统的各个领
域多年。但近年来，随着新能源装机容量日益增长与新能源远距离传输消纳问题的日益凸显。包括随机矩阵在内的新兴相关知识与电力系统人工智能网络的结合日渐紧密。随机矩阵理论和基于此的随机矩阵建模给电力系统认知提供了一种全新的视角，该部分知识将有效地利用系统中的大数据资源，同时避开经典模型方案极难回避的一些问题。虽然当前基于随机矩阵理论的电网相关分析和应用才起步；但长远来看，该部分知识将很有可能成为电网认知的主要驱动力。另一方面，数据驱动方法可以和常规基于模型分析方法相结合。最终，将形成一套统计指标联合经典指标的电力系统认知体系，以用于电网运行态势的实时评估。更进一步，该指标体系中多种指标可作为媒介，即深度学习的输入，为结合矩阵知识的人工智能在电网中的应用提供一种思路。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
矩阵的各种运算详解.
一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有 命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。
命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价： （1） （2） （3） （4） 三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组 若记 则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： (2) 其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵 则 ， 这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式 成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为 将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利. 四、矩阵的转置 定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或 ). 即若 则
数组运算法则
认识一维数组和二维数组。理清概念很重要，不要混淆数组、数组公式。 第一，一维数组和二维数组的定义 单行或单列的数组，我们称为一维数组。 多行多列（含2行2列）的数组是二维数组。 第二，数组和数组公式的区别 数组，就是元素的集合，按行、列进行排列。 数组公式：就是包含有数组运算的公式。ctrl+shift+enter，三键结束，这个过程就是告诉excel请与数组运算的方式来处理本公式，反馈一个信息，就是在公式的外面添加一对花括号。 第三，一维数组和二维数组的运算规律 1、单值x与数组arry运算 执行x与arry中每一个元素分别运算并返回结果，也就是与arry本身行列、尺寸一样的结果。 比如：2*{1,2;3,4;5,6}，执行2*1、2*2、2*3……2*6运算，并返回3行2列的二维数组结果{2,4;6,8;10,12}，如下图所示： 数组中行和列分别用逗号、分号来间隔。逗号表示行，行之间的关系比较紧密，用逗号分割；列之间，关系相对比较疏远一点，用分号分割。 又比如："A"&{"B","C"}返回{"AB","AC"}。"A"={"B","A","C"}返回{FALSE,TRUE,FALSE} 2、同向一维数组运算 执行arry1与arry2对应位置的元素分别运算并返回结果。要求arry1与arry2尺寸必须相同，否则多余部分返回#N/A错误。 比如： {1;2;3}*{4;5;6}返回{4;10;18}； {1,2,3,4}*{4,5,6}返回{4,10,18,#N/A}，如下图所示： 3、异向一维数组运算 arry1的每一元素与arry2的每一元素分别运算并返回结果，得到两个数组的行数*列数个元素，也就是M行数组与N列数组运算结果为M*N的矩阵数组。 比如：{1;2;3}*{4,5,6,7,8}，执行1*4、1*5、……1*8、2*4、2*5……3*8，返回{4,5,6,7,8;8,10,12,14,16;12,15,18,21,24}
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA
矩阵的基本运算法则
矩阵的基本运算法则 1、矩阵的加法 矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ?矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）： （1）交换律：+=+A B B A （2）结合律：()()++++A B C =A B C 注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。 2、数与矩阵相乘 数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ?矩阵，λ和μ为数）： （1）结合律：()λμλμ=A A （2）分配律：()λμλμ+=+A A A （3）分配律：()λλλ+=+A B A B 注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。 3、矩阵与矩阵相乘 矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）： （1）交换律：≠AB BA （不满足） （2）结合律：()()=AB C A BC （3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B （4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA 4、矩阵的转置 矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）： （1）()T T =A A
（2）()T T T +=+A B A B （3）()T T λλ=A A （4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式 由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）： （1）T =A A （2）n λλ=A A （3）=AB A B 6、共轭矩阵 共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）： （1）+=+A B A B （2）λλ=A A （3）=AB AB 7、逆矩阵 方阵的逆矩阵满足下述运算规律： （1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A （2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111 λλ--=A A （3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A 参考文献： 【1】线性代数（第五版），同济大学
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201７0０0６0牛晨晖 在数学中,矩阵就是一个按照长方阵列排列得复数或实数集合、矩阵就是高等代数学中得常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中、在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学与量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵得运算就是数值分析领域得重要问题。将矩阵分解为简单矩阵得组合可以在理论与实际应用上简化矩阵得运算。在电力系统方面,矩阵知识已有广泛深入得应用,本文将在介绍矩阵基本运算与运算规则得基础上,简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面得应用情况,并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统得紧密结合。 1矩阵得运算及其运算规则 1。1矩阵得加法与减法 1、1、1运算规则 设矩阵,,?则 ?简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置得元素相加减！?注意:只有对于两个行数、列数分别相等得矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算就是可行得. 1。1、２运算性质 满足交换律与结合律
交换律;?结合律. １.2矩阵与数得乘法 ?１。2、１运算规则?数乘矩阵Ａ,就就是将数乘矩阵A中得每一个元素,记为或.?特别地,称称为得负矩阵。 1。2、2运算性质?满足结合律与分配律?结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)Ａ＝λA+μA.?分配律:λ(A＋B)＝λＡ+λＢ. 1、2、3典型举例?已知两个矩阵 满足矩阵方程,求未知矩阵、?解由已知条件知 1、３矩阵与矩阵得乘法 ?１。3.1运算规则?设,,则A与B得乘积就是这样一个矩阵: (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即. (2) C得第行第列得元素由A得第行元素与B得第列元素对应相乘,再取乘积之与、 1、3、2典型例题
矩阵乘积的运算法则的证明
矩阵乘积的运算法则的证明 矩阵乘积的运算法则 1 乘法结合律：若n m C A ?∈,p n C B ?∈ , q p C C ?∈，则C AB BC A )()(=. 2 乘法左分配律：若A 和B 是两个n m ?矩阵，且C 是一个p n ?矩阵，则BC AC C B A +=+)(. 3 乘法右分配律：若A 是一个n m ?矩阵，并且B 和C 是两个p n ?矩阵，则BC AC C B A +=+)(. 4 若α是一个标量，并且A 和B 是两个m n ?矩阵，则B A B A ααα+=+)(. 证明 1 ①先设n 阶矩阵为)(ij a A =,)(ij b B =, )(ij c C =,)(ij d AB =,)(ij e BC = )(ij f ABC =,)()(ij g BC A =,有矩阵的乘法得： 故对任意n j i 2,1,=有： =ij g 故)()(BC A C AB = ②再看 mn ik a A )(= ,np kj b B )(=,pq jt c C )(=, mp ij d AB )(= , nq kt e BC )(= , mq it g BC A )()(=, 有矩阵的乘法得： 故对任意的,2,1m i = ,2,1p j = ,2,1n k = q t 2,1=有： 6nt in t i t i e a e a e a +++= 2211 =ij g 故)()(BC A C AB = 证明 2 设ij A 表示矩阵A 的第i 行，第j 列上的元素，则有
=ij ij BC AC )()(+ 故证出矩阵乘法左分配律. 证明 3 同理矩阵乘法左分配律可得 = []ij C B A )(+ 故证出矩阵乘法左分配律. 证明 4 设????????????==mn m m n n mn ij a a a a a a a a a a A 2122221 11211)(，????????????==mn m m n n mn ij b b b b b b b b b b B 2 12222111211)(， 可得=+B A ????????????+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221 12222 2221211112 121111， =A α????????????mn m m n n a a a a a a a a a ααααααααα 212222111211，B α????????????=mn m m n n b b b b b b b b b ααααααααα 21 2222111211， B A αα+???? ??????? ?+++++++++=)()()()()()()()()(221122222221211112121111mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a ααααααααα ， 所以)(B A +α=B A αα+.
矩阵的定义及其运算规则
矩阵得定义及其运算规则 1、矩阵得定义 一般而言,所谓矩阵就就是由一组数得全体,在括号内排列成m行n 列(横得称行,纵得称列)得一个数表,并称它为m×n阵。 矩阵通常就是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列得矩阵可以简记为:,或 。即: (23) 我们称(23)式中得为矩阵A得元素,a得第一个注脚字母,表示矩阵得行数,第二个注脚字母j(j＝1,2,…,n)表示矩阵得列数。 当m＝n时,则称为n阶方阵,并用表示。当矩阵(a ij)得元素仅有一行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵,有相同得行数与相同得列数,而且它们得对应元素一一相等,即,则称该两矩阵相等,记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j得元素组成得对角线为主对角线,构成这个主对角线得元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧得元素全为零,而另外一侧得元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵。例如,以下矩阵都就是三角形矩阵: , ,, 。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中,如果只有得元素不等于零,而其她元素全为零,如: 则称为对角矩阵,可记为。如果在对角矩阵中所有得彼此都相等且均为1,如: ,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示,即: 当矩阵中所有得元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示。 4、矩阵得加法 矩阵A＝(a ij)m×n与B＝(b ij)m×n相加时,必须要有相同得行数与列数。如以C＝(c ij)m ×n表示矩阵A及B得与,则有: 式中:。即矩阵C得元素等于矩阵A与B得对应元素之与。 由上述定义可知,矩阵得加法具有下列性质(设A、B、C都就是m×n矩阵): (1)交换律:A＋B＝B＋A (2)结合律:(A＋B)＋C＝A＋(B＋C) 5、数与矩阵得乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵中得所有元素都乘上k之后所得得矩阵。如: 由上述定义可知,数与矩阵相乘具有下列性质:设A、B都就是m×n矩阵,k、h为任意常数,则: (1) k(A＋B)＝kA＋kB (2)(k＋h)A＝kA＋hA
矩阵的运算及其运算规则1
矩阵的运算及其运算规则 一、矩阵的加法与减法 1、运算规则 ，，设矩阵则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！加减法运算才有意义，列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），注意：只有对于两个行数、即加减运算是可行的． 2、运算性质（假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律 ；交换律 ．结合律二、矩阵与数的乘法 运算规则、1 ．中的每一个元素，记为或数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A
的负矩阵．特别地，称称为 2、运算性质 满足结合律和分配律μA．)A =A)(μ； (λ+μλA+)A=结合律： (λμλ．λ分配律：λ (A+B)=λA+B 典型例题例6.5.1 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵．由已知条件知解 三、矩阵与矩阵的乘法 运算规则、1 是这样一个矩阵：A与B的乘积设，，则 相同，即BA相同，列数与（右矩阵）． (1) 行数与（左矩阵）
的第行元素与B列的元素由的第列元素对应相乘，再取 (2) C行第A的第乘积之和．典型例题 设矩阵例6.5.2 计算 解的矩阵．设它为是
，行矩阵，和：想一想设列矩阵的行数和列数分别 是多少呢 只有一个元素．的矩阵，即1 ×1是的矩阵，3×3是课堂练习
，求．1 、设，B左乘A道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为2 、在第1，运算还能进行吗？请BA在右边，即A右乘B或B右乘A．如果交换顺序，让在左边，算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运 算． ，比较两个计算结果， 3、设列矩阵，求和，行矩阵能得出什么结论吗？ ，设三阶方阵 4、，三阶单位阵为，和试求 A并将计算结果与比较，看有什么样的结论．解：题 1 第 ．题2第 对于