2015全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】
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2012全国高中数学联赛挑战极限--------[平面几何试题]
1. 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A ,B 所作割线交圆于C ,D 两点,
C 在P ,
D 之间,在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .求证:∠DBQ =∠PAC .
2、如图,M ,N 分别为锐角三角形ABC
P A B C
D Q
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(35届IMO 预选题)
4. 如图,给定凸四边形ABCD ,180B D ∠+∠<,P 是平面上的动点,
令()f P PA BC PD CA PC AB =?+?+?. (Ⅰ)求证:当()f P 达到最小值时,P A B C ,,,四点共圆;
(Ⅱ)设E 是ABC ?外接圆O 的AB 上一点,满
足:3AE AB =,31BC EC =-,1
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ECB ECA ∠=∠,又,DA DC 图1
是O的切线,2
AC()
f P的最小值.
5. 在直角三角形ABC中,90
∠=?,△
ACB
ABC的内切圆O分别与边BC,CA,AB 相切于点D,E,F,连接AD,与内切圆O相交于点P,连接BP,CP,若90
∠=?,
BPC
求证:AE AP PD
+=.
5
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6. 给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分别是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分别为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分别为M ,N . (1)若A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:
EM FN EN FM
?=?;
(2)若 EM FN EN FM
?=?,是否一定有
A ,
B ,
C ,
D 四点共圆?证明你的结论.
.
O
R
Q
N F
E
D C
B
A P
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7. 如图,已知△ABC 内切圆I 分别与边AB 、BC 相于点F 、D ,直线AD 、CF 分别交圆I 于另一点H 、K .
求证:
3FD HK
FH DK
?=?.
I
K
H F
D
C
A