高二数学选修4-5不等式选讲课后作业及答案
不等式选讲课后练习
第一节 不等式与绝对值不等式 第一课时 不等式基本性质
1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,,则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．c
b d a > 2．下列不等式成立的是 ( )
A ．log 32 B ．log 32 C ．log 23 D ．log 23 A ．0>-a b B ．03 3 <+b a C ．02 2 <-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα,则下列各式中恒成立的是 ( ) A ．02<-<-βα B ．12-<-<-βα C ．01<-<-βα D ．11<-<-βα 5．设11.->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． b a 1 1< B ．b a 11> C ．2b a > D ．b a 22> 6．若0,0<<< d b c a > C ． d b c a +>+ D ．a-c>b-d 7．已知3328,8460<<< a 与ac a b +的大小关系是 . 9．若b a R c b a >∈,,,，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ① b a 1 1< ②22b a > ③1 122 +>+c b c a ④c b c a > 10．已知{}正实数∈b a ,且b a ≠,比较b a a b 2 2+与b a +的大小. 11．已知31<+<-b a 且42<- 12．实数z y x ,,满足122 -=+-z y x x 且012 =++y x ,试比较z y x ,,的大小. 第二课时 基本不等式 1．设+∈R y x ,,且满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值为 ( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2 2．设+∈R y x ,且5=+y x ，则y x 33+的最小值为 ( ) A ．10 B ．6 C ．4 D ．18 3．等比数列{}n a 的各项均为正数,公比1≠q ，设759 3,2 a a Q a a P =+= ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P = D ．无法确定 4．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a 则 ( ) A ．21≤ ab B ．2 1≥ab C ．222≥+b a D ．32 2≤+b a 5．已知在ABC ?中，2,1==BC B ，则C 的最大值是 ( ) A ． 6π B ．2π C ．4π D ．3 π 6．“1=a ”是“对任意正数12,≥+x a x x ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 7．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 8．已知0,0>>b a ，且12=+b a ，则2 2 42b a ab S --=的最大值为 . 9．已知0,0>>y x 且满足6=+y x ，则使不等式 m y x ≥+9 1恒成立的实数m 的取值范围为 . 10．已知y x b a ,,,都是正数,且1=+b a ，求证:xy ay bx by ax ≥++))(( 11．已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数,且y x y b x a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a , 12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形休闲区1111D C B A 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). （1）若设休闲区的长和宽的比 x C B B A =1 11 1,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式. （2）要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应如何设计? 第三课时 三个数的算术几何不等式 1．设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A ．(∞-,lg6] B ．(∞-,3lg2] C ．[lg6,+∞) D ．[3lg2,+∞) 2．若实数y x ,满足0>xy ，且22 =y x ，则2 x xy +的最小值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．若c b a ,,为正数,且1=++c b a ，则c b a 1 11++的最小值为 ( ) A ．9 B ．8 C ．3 D ．3 1 4．已知632=++z y x ，则z y x 842++的最小值为 ( ) A ．3 B ．2 C ．12 D ．12 5．当5 10≤≤x 时，函数)51(2 x x y -=的最大值为 ( ) A ．251 B ．31 C ．675 4 D ．无最大值 6．设+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，若)11 )(11)(11(---=c b a M ，则必有 ( ) A ．810<≤M B ．18 1 <≤M C ．81<≤M D ．8≥M 7．若0,0>>y x 且42 =xy ，则y x 2+的最小值为 . 8．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即2 b a b a +=*,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 . 9．设正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231 , 231,231+++c b a 的最小值为 . 10．求函数)2 50()25()(2 <<-=x x x x f 的最大值. 11．已知y x ,均为正数，且y x >求证：3221 22 2+≥+-+y y xy x x 12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值 . 第四课时 绝对值三角不等式 1．已知实数b a ,满足0 A ．b a b a ->+ B ．b a b a -<+ C ．b a b a -<- D ．b a b a +<- 2．设1,1< A ．2>-++b a b a B ．2<-++b a b a C ．2=-++b a b a D ．不能比较大小 3．若关于x 的不等式a x x <++-32的解集为?,则实数a 的取值范围为( ) A ．(∞-,1] B ．(∞-,1) C ．(∞-,5] D ．(∞-,5) 4．不等式a a x x 3132 -≥-++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A ．[1-,4] B ．(∞-,1-]∪[4,+∞) C ．(∞-,2-]∪[5,+∞) D ．[2-,5] 5．若不等式a x x ≥-+622 对于一切实数x 均成立,则实数a 的最大值是 ( ) A ．7 B ．9 C ．5 D ． 11 6．对于实数y x ,，若12,11≤-≤-y x ，则12+-y x 的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．7 7．已知13)(+=x x f ，若当b x <-1时，有),0(,,4)(+∞∈<-b a a x f ，则b a ,满足的关系为 . 8．若N n x ∈<,5，则下列不等式:①1lg 51lg +<+n n n n x ②1 lg 51lg +<+n n n n x ③1lg 51lg +<+n n n n x ④1 lg 51lg +<+n n n n x ，其中能够成立的有 .(填序号) 9．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解,则实数a 的取值范围是 . 10．已知函数41)(,23)(++-=--=x x g x x f ，若函数1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围. 11．已知函数1,13)(2 <-+-=a x x x x f .求证:)1)((2)()(+<-a f a f x f . 12．两个加油站B A ,位于某城市东akm 和bkm 处(b a <),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返 B A ,两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的? 第五课时 绝对值不等式的解法 1．若 1 1+>+x x x x ，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(1-,0) B ．[1-,0] C ．(∞-, 1-)∪(0,∞+) D ．(,∞-1-]∪[0,∞+ 2．若1>a ，则不等式1>+a x 的解集是 ( ) A ．{}a x a x -<<-11 B ．{} a x a x x ->-<11或 C ．? D ．R 3．已知集合{ } {} 312,0652 >-=≤+-=x x B x x x A ，则B A 等于 ( ) A ．[]3,2 B ．[)3,2 C ．(]3,2 D ．)3,1(- 4．若规定 bc ad d c b a -=，则不等式011 1log 2 的解集为 ( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0, 2) D ．(0,1)∪(1,2) 5．不等式 a x ax >-1 的解集为M ，且M ?2，则a 的取值范围为 ( ) A ．??? ??+∞,41 B ．??????+∞,41 C ．??? ??21,0 D ．?? ? ??21,0 6．已知)2(log ax y a -=在(0,1)上是增函数,则不等式3log 1log ->+x x a a 的解集为 ( ) A ．{}1- B ．{}1 C ．{}11-≠ D ．{} 1>x x 7．设2,,>-∈b a R b a ，则关于实数x 的不等式2>-+-b x a x 的解集是 . 8．在实数范围内,不等式112≤--x |的解集为 . 9．若关于x 的不等式0212 <++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 10．已知R a ∈，设关于x 的不等式4232+≥++-x x a x 的解集为A （1）若1=a ，求A （2）若R A =，求a 的取值范围. 11．已知实数b a ,满足:关于x 的不等式16422 2 --≤++x x b ax x 对一切R x ∈均成立. （1）请验证8,2-=-=b a 满足题意. （2）求出所有满足题意的实数b a ,，并说明理由. （3）若对一切2>x ，均有不等式15)2(2 --+≥++m x m b ax x 成立,求实数m 的取值范围. 12．已知关于x 的不等式1+>ax a 的解集为{} 0≤x x 的子集,求a 的取值范围. 第二节 证明不等式的基本方法 第一课时 比较法 1．设m b a ,,都是正数,且b a <,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． 1<++ a m b m a <++<1 2．“1>a ”是“ 11 ”的 ( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设b a B b a A R b a +=+= ∈+,,,，则B A ,的大小关系是 ( ) A ． B A ≥ B ．B A ≤ C ．B A > D ．B A < 4．已知下列不等式：①x x 232>+;②3 22355b a b a b a +>+;③)1(22 2 --≥+b a b a . 其中正确的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．设0,0>>b a ，下列不等式中不正确的是 ( ) A ．ab b a 22 2 ≥+ B ．2≥+b a a b C ．b a b a a b +≥+22 D ．b a b a +≤+111 6．在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中,313311,0,0a a b a b a ≠>=>=则5a 与5b 的大小关系为 ( ) A ．55b a > B ．55b a < C ．55b a = D ．不确定 7．已知x c x b x a x -= +==<<11 ,1,2,10，则其中最大的是 . 8．若x 是正数，且23 =-x x ，则x 与45的大小关系为 . 9．设)0,0(2,2121>>+=+= b a b a B b a A 则B A ,的大小关系为 . 10．已知0,0>>b a ，求证：b a a b b a +≥+ 11．若n m b a ,,,都为正实数,且1=+n m 求证：b n a m nb ma +≥+ 12．已知函数b ax x x f ++=2 )(，当q p ,满足1=+q p 时,证明：)()()(qy px f y qf x pf +≥+对于任意实数y x ,都成立的充要条件是10≤≤p . 第二课时 综合法与分析法 1．设0,0>>b a 且ab-(a+b)≥1,则 ( ) A ．)12(2+≥+b a B ．12+≤ +b a C ．2)12(+≤+b a D ．)12(2+>+b a 2．若101< A ．)lg(lg lg )(lg 2 2 x x x << B ．)lg(lg )(lg lg 2 2 x x x << C ．2 2 lg )lg(lg )(lg x x x << D ．2 2 lg )(lg )lg(lg x x x << 3．下列三个不等式中:①b a <<0；②0< a 1 1<立的充分条件有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 4．要证012 2 2 2 ≤--+b a b a ，只要证 ( ) A ．0122 2 ≤--b a ab 2 B ．02 14 42 2 ≤+- -+b a b a C ．01)2 ( 222 ≤--+b a b a D ．0)1)(1(22≥--b a 5．已知c b a ,,为三角形的三边且ac bc ab P c b a S ++=++=,2 2 2 ，则 ( ) A ．P S 2≥ B ．P S P 2<< C ．P S > D ．P S P 2<≤ 6．设1x 和2x 是方程042 =++px x 的两个不相等的实数根,则 ( ) A ．21>x 且22>x B ．421<+x x C ．421>+x x D ．41=x 且12=x 7．等式“ x x x x sin cos 1cos 1sin -= +”的证明过程:“等式两边同时乘以x x cos 1sin -得,左边1s i n s i n c o s 1s i n c o s 1s i n c o s 1s i n 2222==-=-?+=x x x x x x x x ，右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用了 的证明方法.(填“综合法”或“分析法”) 8．设z y x ,,为正实数,满足032=+-z y x ，则xz y 2 的最小值是 . 9．设c b a ,,都是正实数，1=++c b a ，则c b a ++的最大值为 . 10．用分析法证明:当0>x 时,x x 11．已知z y x ,,均为正数,求证：z y x xy z zx y yz x 111++≥++ 12．在某两个正数y x ,之间,若插入一个数a ，使y a x ,,成等差数列，若插入两个数c b ,，使y c b x ,,,成等比数列,求证：)1)(1()1(2 ++≥+c b a 第三课时 反证法和放缩法 1．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是 ( ) A ．任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面 B ．任意多面体没有一个是三角形的面 C ．任意多面体没有一个是四边形的面 D ．任意多面体没有一个是五边形的面 2．设z y x ,,都是正实数，x z c z y b y x a 1 ,1,1+=+=+=，则c b a ,,三个数 ( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 3．设y y x x N y x y x M y x +++=+++= >>22,2,0,0，则N M ,的大小关系是 ( ) A ．N M > B ．N M < C ．N M = D ．不确定 4．c b a ,,不全为零等价为 ( ) A ．c b a ,,均不为0 B ．c b a ,,中至多有一个为0 C ．c b a ,,中至少有一个为0 D ．c b a ,,中至少有一个不为0 5．设c b a ,,是正数，b a c R a c b Q c b a P -+=-+=-+=,,，则“0>??R Q P ”是“R Q P ,,”同时大于零”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．若R b a ∈,，且102 2=+b a ，则b a -的取值范围是 ( ) A ．[]10,0 B ．[]102,102- C ．[]10,10- D ．[] 52,52- 7．用反证法证明命题“若0)(2 ≠++-ab x b a ax ,则a x ≠且b x ≠”时应假设 . 8．在ABC ?中,若P AC AB ,=是ABC ?内一点，APC APB ∠>∠,求证:CAP BAP ∠<∠,用反证法证明时应分:假设 和 两类. 9．log 23与log 34的大小关系是 . 10．关于复数z 的方程)(0)2()(2 R a i z i a z ∈=+-+-，证明对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚根. 11．若n 是大于1的自然数,求证：213121112222<+???+++n 12．设n a a a ,,2,1???是正数，求证：12 212321322121 ) ()()(a a a a a a a a a a a a n n <+???+++???+++++ 第三节 柯西不等式与排序不等式 第一课时 二维形式的柯西不等式 1．已知),0(,),,0(,21+∞∈+∞∈x x b a ，使不等式212121))((x x ax bx bx ax ≥++成立的一个条件是( ) A ．1=+b a B ．12 2 =+b a C ．1==b a D ．2 1 2 2=+b a 2．已知R ∈θ，则θθcos 2sin 242++的最大值是 ( ) A ．32 B ．63 C ． 3 6 D ．6 3．已知n m b a ,,,均为正数，且2,1==+mn b a ，则))((an bm bn am ++的最小值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 4．已知123=+y x ，当2 2 y x +取最小值时，y x ,的值为 ( ) A ．???????==132133y x B ．??? ????= =133132y x C ．???????==4161y x D ．???????==6141y x 5．已知θ为锐角，b a ,均为正实数.则下列不等式成立的是 ( ) A ．θθ22222 sin cos )(b a b a +≤+ B ．θ θ22222 sin cos )(b a b a +≥+ C ．θθ22222 2 sin cos b a b a +=+ D ．θ θ2 2222 sin cos )(b a b a +<+ 6．若长方形ABCD 是半径为R 的圆的内接长方形,则长方形ABCD 周长的最大值为 ( ) A ．R 2 B ．R 22 C ．R 4 D ．R 24 7．若存在实数x 使a x x >-++1463成立,常数a 的取值范围为 . 8．已知2121,,,b b a a 为正实数，则≥++))( (2 2 112211b a b a b a b a . 9．函数106208)(22+--+-= x x x x x f 的最大值是 . 10．已知+∈R b a y x ,,,，且 1=+y b x a ，求y x +的最小值. 11．已知c b a ,,为正数,且满足c b a <+θθ2 2sin cos ，求证：c b a <+θθ2 2 sin cos 12．用柯西不等式推导点),(00y x P 到直线)0(0:2 2 ≠+=++B A C By Ax l 的距离公式. 第二课时 一般形式的柯西不等式 1．已知c b a ,,均大于0,，3 ,32 22c b a B c b a A ++++= ，则B A ,的大小关系是 ( ) A ．B A > B ．B A ≥ C ．B A < D ．B A ≤ 2．已知12 2 2 =++c b a ，若12+≤++x c b a 对任意实数c b a ,,恒成立,则实数x 的取值范围是 ( ) A ．1≥x 或3-≤x B ．13≤≤-x C ．1-≤x 或3≥x D ．31≤≤-x 3．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( ) A ．1 B ．n C ．2 n D ． n 1 4.设c b a ,,均为正数且9=++c b a ，则c b a 16 94++的最小值为 ( ) A ．81 B ．9 C ．7 D ．49 5．已知102 2 2 2 =+++d c b a ，则da cd bc ab +++的最小值为 ( ) A ．10 B ．10- C ．100 D ．100- 6．设非负实数n a a a ,,,21???满足121=+???++n a a a ，则n a a a y n --+???+-+-= 22 222221的最小值为( ) A ．12-n n B ．12+n n C ．1 21 -+n n D ．1222-n n 二、填空题(每小题8分,共24分) 7．设R z y x ∈,,且满足1432,12 22=++=++z y x z y x ，则=++z y x . 8．设z y x c b a .,,,,都是正数,且30,36,252 22222=++=++=++cz by ax z y x c b a ，则 z y x c b a ++++= . 9．设201221,,,a a a ???都是正数且1201221=+???++a a a 则2012 2201222 2 121222a a a a a a ++ ???++++的最小值为 . 10．已知R z y x ∈,,，且432=--z y x 求2 2 2 z y x ++的最小值. 11．已知实数d c b a ,,,满足3=+++d c b a ，56322 2 2 2 =+++d c b a ，求a 的最值. 12．若n 是不小于2的正整数，证明：2 2 21121413121174<--+???+-+- 第三课时 排序不等式 1．设n a a a ,,,21???都是正数，n b b b ,,,21???是n a a a ,,,21???的任意一个排列，则1 122111---+???++n n b a b a b a a 的最小值是 ( ) A ．1 B ．n C ．2 n D ．无法确定 2．已知c b a ,,为正数，abc Q c b a b a c a c b P =++++= ,2 22222，则Q P ,的大小关系是( ) A ．Q P > B ．Q P ≥ C ．Q P < D ．Q P ≤ 3．设321,,a a a 为正数，3212 3 1132321,a a a F a a a a a a a a a E ++=++= ，则F E ,的关系是 ( ) A ．F E < B ．F E ≥ C ．F E ≤ D ．F E > 4．)61 1 1()1311)(411)(11(+???-+ ++n 的取值范围是 ( ) A ．(21，+∞) B ．(61，+∞) C ．(4，+∞) D ．(23-n ，+∞) 5．一组实数为321,,a a a ，设321,,c c c 是另一组数321,,b b b 的任意一个排列,则332211c a c a c a ++的 ( ) A ．最大值为332211b a b a b a ++，最小值为132231b a b a b a ++ B ．最大值为133221b a b a b a ++，最小值为231231b a b a b a ++ C ．最大值与最小值相等为332211b a b a b a ++ D ．以上答案都不对 6．若2 0π γβα< <<<，则)2sin 22(sin 2 1 cos sin cos sin cos sin γβααγγββα++- ++=sib F 的符号为 ( ) A ．0>F B ．0 C ．0≥F D ．0≤F 7．已知c b a ,,为正实数,则)()()(2 2 2 2 2 2 ab c c ac b b bc a a -+-+- 0(填≥≤><,,,). 8．设b a ,都是正数,若a b b a Q a b b a P +=?? ? ??+??? ??=,2 2，则二者的关系是 . 9．设正数c b a ,,的乘积) (1)(1)(1, 1222b a c c a b c b a abc +++++=的最小值为 . 10．设n x x x ≥???≥≥21，n y y y ≥???≥≥21 ，求证:21 21 )()(i n i i i n i i z x y x -≤-∑∑== 其中n z z z ,,,21???是n y y y ,,,21???的任意一个排列. 11．已知+∈R c b a ,,,求证ab c ac b bc a b c a a c b c b a c b a 3 33222222222++≤+++++≤++ 12．利用排序原理证明切比雪夫不等式: 若n a a a ≤???≤≤21且n b b b ≤???≤≤21，则?? ? ????? ??≥∑∑∑===n i i n i i i n i i b n a n b a n 111111 第四节 数学归纳法证明不等式 第一课时 数学归纳法 1．某个命题:(1)当1=n 时,命题成立.(2)假设),1(+∈≥=N k k k n 时成立,可以推出2+=k n 时也成立,则命题对 成立. ( ) A ．正整数 B ．正奇数 C ．正偶数 D ．奇数 2．设)(21 2111)(+∈+???++++=N n n n n n f ，在利用数学归纳法证明时,从k n =到1+=k n 需添的项为( ) A ． 121+k B ．221+k C ．221121+++k k D ．2 21 121+-+k k 3．记凸k 边形的内角和为)(k f ，则凸1+k 边形的内角和A k f k f +=+)()1(，则=A ( ) A ． 2π B ．π C ．π2 D ．π2 3 4．在数列{}n a 中，121-= a ，前n 项和11-+=n S n ，先算出数列的前4项的值,再根据这些值归纳猜 想数列的通项公式是 ( ) A ．11-+= n a n B ．11-+=n n a n C ．n n a n -=2 D ．n n a n -+=1 5．已知93)72()(+?+=n n n f ，存在自然数m ，使得对任意+∈N n ，都能使m 整除)(n f ，则最大的m 的值为 ( ) A ．30 B ．26 C ．36 D ．6 6．在数列{}n a 中，3 1 1=a ，且n n a n n S )12(-=，通过求432,,a a a 猜想n a 的表达式为 ( ) A ． )1)(1(1+-n n B ．)12(21+n n C ．)12)(12(1+-n n D ．) 22)(12(1 ++n n 7．用数学归纳法证明 ),(2 1 2cos 212sin sin 1)12cos(3cos cos 21N n n n n n ∈≠-?+?=-+???+++πααααααα，在验证1=n 等式成立时,左边计算所得的项是 . 8．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n y x +能被y x +整除”,当第二步假设)1,(12≥∈-=+k N k k n 命题为真时,进而需证=n 时,命题亦真. 9．设平面内有n 条直线(2≥n ),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示这 n 条直线交点的个数,则=)4(f ;当4>n 时，=)(n f (用n 表示). 10．用数学归纳法证明:若+∈N n ，求证：n n n 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2 cos 3 2 α αα α α α = ??? 11．已知数列{}n a 满足1,021==a a ，当+∈N n 时，n n n a a a +=++12，求证:数列{}n a 的第14+m 项(+∈N m ) 能被3整除. 12．平面上有n 个圆,每两圆交于两点,每三圆不过同一点,求证这n 个圆分平面为22 +-n n 个部分. 第二课时 用数学归纳法证明不等式 1．用数学归纳法证明)1,(11121 2 ≠∈--=+???++++++a N n a a a a a n n ，在验证1=n 时,左边所得的项( ) A ．1 B ．2 1a a ++ C ．a +1 D ．2 1a a ++ 2．用数学归纳法证明),5(22 +∈≥≥N n n n n 成立时第二步归纳假设的正确写法是 ( ) A ．假设k n =时命题成立 B ．假设)(+∈=N k k n 时命题成立 C ．假设)5(≥=k k n 时命题成立 D ．假设)5(>=k k n 时命题成立 3．用数学归纳法证明“)(1 31312111+∈++???++++++=N n n n n n S n ”时，1S 等于( ) A ．21 B ．41 C ．3121+ D ．4 13121++ 4．利用数学归纳法证明不等式),2)((1 21 31211+∈≥<-+???+++N n n n f n 的过程,由k n =到1+=k n 时, 左边增加了 ( ) A ．1项 B ．k 项 C ．1 2 -k 项 D ．k 2项 5．设)(x f 是定义在正整数集上的函数,有)(k f 满足:当“2 )(k k f ≥成立时,总可推出2 )1()1(+≥+k k f 成立”. 那么下列命题总成立的是 ( ) A ．若9)3(≥f 成立,则当1≥k 时,均有2 )(k k f ≥成立 B ．若25)5(≥f 成立,则当5 C ．若49)7( )(k k f ≥成立 D ．若25)4(=f 成立,则当4≥k 时,均有2 )(k k f ≥成立 6．对于正整数n ，下列说法不正确的是 ( ) A ．n n 213+≥ B ．n n 1.019.0-≥ C ．n n 1.019.0-< D ．n n 9.011.0-≥ 7．设b a ,均为正实数，+∈N n ，已知b na a N b a M n n n 1 ,)(-+=+=，则N M ,的大小关系为 (提 示:利用贝努利不等式,令a b x = ). 8．已知)(131211)(+∈+???+++=N n n n f ，用数学归纳法证明2 )2(n f n >时，)2()2(1k k f f -+=________. 9．若数列{}n a 的通项公式2 )1(1 +=n a n ，记)1()1)(1(221n n a a a c -???--=，试通过计算321,,c c c 的值, 推测=n c ___________. 10．用数学归纳法证明:),1(!21+∈>>?? ? ??+N n n n n n 11．设函数x x x x f ln )(-=，数列{}n a 满足)(,1011n n a f a a =<<+. （1）证明:函数)(x f 在区间(0,1)上是增函数. （2）证明:11<<+n n a a 12．已知等比数列{}n a 的首项21=a ，公比n S q ,3=是它的前n 项和，求证:n n S S n n 1 31+≤+ 不等式课后作业参考答案 第一课时不等式基本性质参考答案ABDACC 7. (27,56) 8.:a2 10.【解析】因为-(a+b)=-b+ -a=+ =(a2-b2)·= =,因为a>0,b>0且a≠b,所以>0,故 +>a+b. 11.【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得所以2a+3b=(a+b)-(a-b). 因为-1 所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<. 12.【解析】x2-2x+y=z-1?z-y=(x-1)2≥0?z≥y; x+y2+1=0?y-x=y2+y+1= +>0?y>x,故z≥y>x. 第二课时基本不等式参考答案 DDACAA 7. [9,+∞)8. 21 2 9. 10.【证明】因为a,b,x,y都是正数, 所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)≥ab(2xy)+xy(a2+b2)=(a+b)2xy. 因为a+b=1,所以(a+b)2xy=xy,所以(ax+by)(bx+ay)≥xy. 【变式备选】已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证: ++≥9. 【证明】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1, 所以+ +=+ +=3+ ++≥3+2+2+2=9. 当且仅当a=b=c=时取等号.所以+ +≥9. 11.【解析】因为x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2, 当且仅当=时取等号.又(x+y)min =(+)2=18, 即a+b+2=18,①又a+b=10,② 由①②可得或 12.【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a2x=4000,得a=. 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160 =80+4160(x>1). (2)S≥80×2+4160=1600+4160=5760.当且仅当2=,即x=2.5时取等号,此时a=40,ax=100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. 第三课时三个数的算术几何不等式参考答案 BCACCD 7.34 38. a+(b*c)=(a+b)*(a+c) 9.1 10. f(x)=x(5-2x)2=×4x(5-2x)(5-2x) ≤=. 当且仅当4x=5-2x,即x=时,等号成立. 所以函数的最大值是. 11. 因为x>0,y>0,x-y>0, 2x+-2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ ≥3=3, 所以2x+≥2y+3. 12. 设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h, 由图(3)可有2h+x=, 所以h=(1-x),V=S底·h=6×x2·h=x2··(1-x)=2××××(1-x) ≤9×=. 当且仅当=1-x,即x=时,等号成立. 所以当底面边长为时,正六棱柱容器容积最大,为. 第四课时 绝对值三角不等式参考答案 1.【解析】选B.因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|, 又|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a|+|b|=|a-b|. 2.【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时, |a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2. 【变式备选】已知p,q,x ∈R,pq≥0,x≠0,则 2.(填不等关系符号) 【解析】当p,q 至少有一个为0时,≥2 . 当pq>0时,p,q 同号,则px 与同号 , =|px|+ ≥2. 故≥2 . 答案:≥ 3.【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x -2-x-3|=5, 又关于x 的不等式|x-2|+|x+3| 4.【解析】选A.由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为4,所以不等式|x+3|+|x-1|≥a 2 -3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2 -3a≤4,解得-1≤a≤4. 5.【解析】选C.令f(x)=x 2+|2x-6|, 当x≥3时,f(x)=x 2+2x-6=(x+1)2-7≥9; 当x<3时,f(x)=x 2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 综上可知,f(x)的最小值为5,故原不等式恒成立只需a≤5即可,从而a 的最大值为5. 6.【解析】选A.由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)| ≤|x -1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y -2|+2≤5, 即|x-2y+1|的最大值为5. 7.【解析】因为|f(x)-4|=|3x-3|=3|x-1| 所以 |x-1|<,又当|x-1| 即|x-1| |x-1|<,所以b≤. 答案:a-3b≥0 8.【解析】因为0<<1,所以lg <0,由x<5不能确定|x|与5的关系,所以可以否定①②③,而 |x|lg <0, 所以④成立. 答案:④ 9.【解析】因为 f (x)=|x+1|+|x-2|= 所以f(x)≥3, 要使|a|≥|x+1|+|x -2|有解, 故|a|≥3,即a≤-3或a≥3. 答案:(-∞,-3]∪[3,+∞) 10.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式. 【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6, 因为x ∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥ |(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2, 于是有m+1≤-2,得m≤-3, 即m 的取值范围是(-∞,-3]. 11.【证明】|f(x)-f(a)|=|x 2-x+13-(a 2-a+13)| =|x 2-a 2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1| ≤|x -a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1), 所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 【拓展提升】含绝对值不等式的证明 证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条: (1)恰当地运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条件. (2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法. 12.【解析】设卡车行驶在距城市xkm处,它到两加油站的路程之和为ykm. 所以y=|x-a|+|x-b|. 因为|x-a|+|x-b|=|x-a|+|b-x| ≥|(x-a)+(b-x)|=|b-a|=b-a. 当且仅当(x-a)(b-x)≥0即a≤x≤b时取等号. 所以该卡车在两加油站之间时,它到两加油站的路程之和是一样的. 第五课时绝对值不等式的解法参考答案 1.【解析】选A.由题意知<0,解得-1 2.【解析】选D.由|x|+a>1,得|x|>1-a,因为a>1, 所以1-a<0,故该不等式的解集为R. 【变式备选】若关于x的不等式|x-a|<1的解集为(2,4),则实数a的值 为() A.3 B.2 C.-3 D.-2 【解析】选A.不等式|x-a|<1的解集为a-1 3.【解析】选C.A={x|2≤x≤3}, B=,所以A∩B=. 【变式备选】已知集合M=,P=,则M∩P等于() A.{x|0≤x≤3,x∈Z} B.{x|0 C.{x|-1≤x≤0,x∈Z} D.{x|-1≤x<0,x∈Z} 【解析】选A.M=={x|-1≤x≤3}, P=={x|-1 所以M∩P={x|0≤x≤3,x∈Z}. 4.【解析】选D.lo<0?lo|x-1|<0 ?0<|x-1|<1,所以0 R eM, 所以≤a,即-a≤≤a,解得a≥. 6.【解题指南】先由对数函数的单调性判断a的范围,再解不等式. 【解析】选C.因为y=log a(2-ax)在(0,1)上是增函数, 又a>0,所以u=2-ax为减函数,所以0 所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0, 由|x+1|<|x-3|得(x+1)2<(x-3)2,解得x<1. 综上,得x<1且x≠-1. 7.【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解. 【解析】函数f(x)=|x-a|+|x-b|的值域为: [|a-b|,+∞).因此,当?x∈R时,f(x)≥|a-b|>2. 所以,不等式|x-a|+|x-b|>2的解集为R. 答案:R 8.【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解. 【解析】由绝对值的意义,||x-2|-1|≤1等价于0≤|x-2|≤2,即-2≤x-2≤2, 即0≤x≤4. 答案:[0,4] 9.【解析】当x>-1时, 原不等式可化为ax2-x+2a-1<0, 由题意知该不等式的解集为空集, 结合二次函数的图象可知a>0且Δ=1-4a(2a-1)≤0, 解得a≥; 当x≤-1时,原不等式可化为ax2+x+1+2a<0. 由题意知该不等式的解集为空集,结合二次函数的图象可知a>0且Δ=1-4a(2a+1)≤0,解得a≥. 综上可知,a≥. 答案: 10.【解析】(1)当x≤-3时,原不等式为-3x-2≥2x+4,得x≤-3, 当-3 当x>时,3x+2≥2x+4,得x≥2, 综上,A={x|x≤0,x≥2}. (2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立. 当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得x≥a+1或x≤, 所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2. 综上,a的取值范围为a≤-2. 11.【解析】(1)当a=-2,b=-8时,有 |x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8| =|2x2-4x-16|. (2)在|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中, 分别取x=4,x=-2, 得,所以, 所以a=-2,b=-8, 因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8. (3)由x2+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2), 所以x2-2x-8≥(m+2)x-m-15, 即x2-4x+7≥m(x-1), 所以对一切x>2,均有不等式≥m成立, 而=(x-1)+-2 ≥2-2=2(当且仅当x=3时等号成立), 所以实数m的取值范围是(-∞,2]. 【拓展提升】不等式恒成立问题的求解方法 不等式恒成立,求参数的取值范围,一般有三种常用的方法: (1)直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)(或k≤f(x)),从而转化成求f(x)最值的问题. (2)如果参数不能分离,而x可以分离,如g(x)≥f(k)或g(x)≤f(k),则f(k)恒小于g(x)的最小值或恒大于g(x)的最大值,然后对关于参数k的不等式求解. (3)若不等式对于x,参数都是二次的,则借助二次函数在某区间上恒大于0或恒小于0求解. 12.【解析】设y1=|x|, y2=ax+1. 则y1 = 在同一直角坐标系中作出两函数图象,如图所示. |x|>ax+1的x,只需考虑函数y1=|x|的图象位于y2=ax+1的图象上方的部分,可知a≥1. 第二节第一课时比较法参考答案 1.【解析】选A.真分数的分子、分母同加上一个正数,分数值增大,可知A正确. 2.【解析】选A.因为a>1,所以<1. 而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1. 3.【解析】选C.因为A2-B2=(+)2 -()2=2>0,所以A>B. 【变式备选】已知 a>b>0,c>d>0,m=-,n=,则m与n的大小关系是() A.m 【解析】选C.因为a>b>0,c>d>0, 所以m2=ac+bd-2,n2=ac+bd-bc-ad, 所以m2-n2=bc+ad-2=( -)2≥0. 所以m2≥n2,又m>0,n>0,所以m≥n. 4.【解析】选C.①x2+3-2x=(x-1)2+2>0, 所以①正确;②当a=b时,a5+b5=a3b2+a2b3, 所以②不正确;③a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+ b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以③正确. 5.【解析】选D.+-=- = =>0. 6.【解析】选A.由等比数列的性质知a5=, 由等差数列的性质知b5=2b3-b1, 所以a5-b5=-2b3+b1 = =>0, 所以a5>b5. 7.【解析】因为0 又a2-b2=(2)2-(1+x)2=-(1-x)2<0, 所以a2-b2<0,所以a 又c-b=-(1+x)=>0, 所以c>b,所以c>b>a. 答案:c 8.【解析】由x3-x=2知x2-1=, 所以(x2-1)(x2+1)=(x2+1)=2>4, 即x4-1>4,从而x4>5,所以x>. 答案:x> 9.【解题指南】本题可考虑使用作商法,另外化简时可考虑使用基本不等式. 【解析】因为= =×=≥=1(当且仅当a=b时,等号成立). 又因为B>0,所以A≥B.答案:A≥B 10.【证明】 = = =≥=1, 所以+≥+. 【一题多解】本题还可用以下方法证明:+-(+)= =. 因为+>0,>0,( -)2≥0, 所以+≥+. 11.【证明】因为()2-(m +n)2 =ma+nb-m2a-n2 b-2mn =m(1-m)a+n(1-n)b-2mn =mn(-)2≥0, 又>0,m +n>0, 所以≥m +n. 12.【证明】pf(x)+qf(y)-f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b =p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy =pq(x-y)2(因为p+q=1). 充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1]. 所以pq≥0,所以pq(x-y)2≥0, 所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy). 必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy), 则pq(x-y)2≥0, 因为(x-y)2≥0,所以pq≥0. 即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1. 综上,原命题成立. 第二课时综合法与分析法参考答案1.【解析】选A.因为≤,所以ab≤(a+b)2, 所以(a+b)2-(a+b)≥ab-(a+b)≥1, 所以(a+b)2-4(a+b)-4≥0, 所以a+b≤2-2或a+b≥2+2. 又a>0,b>0,所以a+b≥2+2. 2.【解析】选D.因为1 所以0<(lgx)2<1,0 又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)<0, 所以0<(lgx)2 3.【解析】选A.①a<0 ?<; ③b<0,故选A. 4.【解析】选D.a2+b2-1-a2b2=-(a2-1)(b2-1), 要证原不等式成立,只需证-(a2-1)(b2-1)≤0,即证(a2-1)(b2-1)≥0. 5.【解析】选D.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,即S≥P.又三角形中|a-b| 同理b2-2bc+c2 所以a2+b2+c2<2(ab+bc+ca),即S<2P. 6.【解析】选C.由方程有两个不等实根知Δ=p2-16>0, 故>4.又x1+x2=-p,所以 =>4. 7.【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法. 答案:综合法 8.【解析】由x-2y+3z=0得 y=,代入得=≥=3,当且仅当x=3z时,取等号. 答案:3 9.【解题指南】本题需把++的最大值问题转化为(+ +)2的最大值问题,注意“1”的使用. 【解析】因为( ++)2=a+b+c+2+2+2≤1+(a+b)+(b+c)+(c+a) =1+2(a+b+c)=3, 所以++≤,当且仅当a=b=c=时等号成立. 答案: 【拓展提升】解含有根式的问题 (1)含有根式的问题,往往是先确定符号,通过平方将其有理化解决. (2)平方过程中要注意变形的恒等性. 10.【证明】当x>0时,要证sinx 原命题成立. 【变式备选】用分析法证明:当x>1时,x>ln(1+x). 【证明】当x>1时,要证x>ln(1+x),即证f(x)= x-ln(1+x)>0=f(0),即证f'(x)=1-=>0,显然x>1时,f'(x)>0,所 以原命题成立. 【拓展提升】分析法证明不等式的技巧 (1)用分析法证明不等式,是从要证的不等式着手,逐步推求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知正确的不 等式或为已知条件,这是一种执果索因的思考方法和证明方法. (2)当所证的不等式与基本不等式没有什么直接联系,或条件与结论之间的关系不明显时,可用分析法来寻找证 明途径. 11.【证明】因为x,y,z均为正数, 所以+=≥, 同理得+≥,+≥(当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立), 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得++≥++. 12.【证明】方法一:由条件得 消去x,y即得:2a=+,且有a>0,b>0,c>0, 要证(a+1)2≥(b+1)(c+1), 只需证a+1≥, 因为≤=+1, 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 课后训练 1．若－4＜x ＜1，则()22222 x x f x x -+=-( )． A ．有最小值1 B ．有最大值1 C ．有最小值－1 D ．有最大值－1 2．已知a ＞b ＞0，全集I ＝R ，2a b M x b x ? +?<. 证明：证法一：∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数， 求下列各式的最值： (1)已知x ＞y ＞0，且xy ＝1，求22 x y x y +-的最小值及此时x ，y 的值； (2)设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝5，求2a ＋2b 的最小值． 参考答案 1. 答案：D 第三章 不等式 一、不等式的基本性质为： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若0,>b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2 (b a ；②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+；④_________)2 (_______2≤+≤b a 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当p ab =（常数），当且仅当 时， ； 当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>-- =x x x y 的最小值 。 ②已知5 10< 等号） 三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：?+<+||||||b a b a ； ?+=+||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?-<-||||||b a b a ；?-=-||||||b a b a ； 四、常用的基本不等式： （1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号） （2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号） （3）若0,0>>b a ，则2233ab b a b a +≥+； （4）若R c b a ∈,,，则ca bc ab c b a ++≥++222 （5）若R c b a ∈,,，则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++ （6）柯西不等式：设R b b a a ∈2121,,,，则))(()(2 221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意：可从向量的角度理解：设),(),,(2121b b b a a a ==，则222)(b a b a ≤? （7）b a ab b a 110,>；?R m b a ,0,，若1a b ，则m a m b a b ++>； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：①作差比较：B A B A ≤?≤-0；②作商比较： B A B B A ≥?>≥)0(1 作差比较的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 （2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 解不等式 一. 选择题： 1. 使不等式x x 1> 成立的x 取值范围是（ ） A. )1(∞， B. )1(--∞， C. )1()01(∞-，， D. )1()1(∞--∞，， 2. 不等式11 <-x ax 的解集为}21|{> 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>， 则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或 > 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ （答：12,2? ?-- ?? ?） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较2 1 log log 21+t t a a 和的大小 2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 §3.2 均值不等式(一) 一、基础过关 1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2 ab D.b a ＋a b ≥2 3．已知m ＝a ＋1 a －2 (a >2)，n ＝????1 2x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】： 【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 明目标、知重点 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题． 1．用均值不等式求最值的结论 (1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值为s 2 4. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值为2p . 2．均值不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数； (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 前一节课我们已经学习了均值不等式，我们常把a ＋b 2叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫 做正数a 、b 的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用． 探究点一 均值不等式与最值 思考1 已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 2 4，当x ＝y 时，积xy 取得最 大值s 2 4 . 思考2 已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值．由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 例1 求函数f (x )＝－2x 2＋x －3 x (x >0)的最大值，及此时x 的值． 解 f (x )＝1－(2x ＋3 x )． 因为x >0，所以2x ＋3 x ≥2 2x ·3 x ＝26， 得－(2x ＋3 x )≤－2 6.因此f (x )≤1－2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝3 2时，式中等号成立． 由于x >0，因而x ＝ 6 2 时，式中等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝ 62 . 反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4 x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0 三角形不等式的应用举例 根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用. 类型一：证明形如a b c +>型的不等式 例1、已知x y z 、、 > 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理： == 又OA OB OC,+>所以原不等式成立. 例2、已知x y z 、、 > 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,， 则BC C A == 又AB BC C,A +>所以原不等式成立. 类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式 例3、已知x y z 、、 y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形， ).BC CD AB x y z =++≥++ D A x y z x y z 类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式 例4、设01,01x y <<<<求证： ≥ 证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部. 由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立. 应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等. 例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥ 分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝ 这个条件进行化简. 证明：2, 只要证22224,x y y ++++≥x 即证22224,x y y ++++≥x 即证22224,x y y ++++x 即证22[()2]x y xy x y +-+++ 注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++ 即证14,xy ≥+ 即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++ 即证287,xy -≥-1,4 xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14 xy ≤成立. 所以原不等式成立. 如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式： 证明：左边== 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 均值不等式复习（学案） 基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：_______________. (2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4) a 2＋ b 22≥? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等” 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的 算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和 最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大) 双基自测 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2 ＋b 2 有最小值 22 4.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) A ．18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 6.若+ ∈R y x ,,且12=+y x ，则 y x 1 1+的最小值为 . 典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 1．若函数f (x )＝x ＋1 x －2 (x ＞2)的最小值为____________. 2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
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2019-2020年高二数学 第六章 不等式： 6.1不等式的性质(一)优秀教案
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高中数学必修5 均值不等式
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