“圆锥曲线与方程”复习讲义
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线
①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
第一课时 椭 圆
一、基础知识填空：
1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________.
2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1
b
y a x 22
22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,
焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______；
椭圆)0b a (1
b
x a y 22
22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标
分别是F 1 _______，F 2 ______.
3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。
椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。
椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题：
例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23
＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦
点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）
（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ）
(A)
3
1 (B)
3
3 (C)
2
1 (D)
2
3
例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A B C ．2 D 1
例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
（A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24
三、基础训练：
1.(2007安徽文)椭圆142
2
=+y x 的离心率为（ ）
（A ）
23 （B ）4
3
（C ）
22 （D ）3
2
2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2
2为椭圆”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
（A ）32 （B ）33 （C ）2
2 （D ）23
4.(2004湖南文)F 1,F 2是椭圆C ：14
y 82
2=+x 的焦点,在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为_______.
5.(2006上海理)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则
该椭圆的标准方程是 ．
四、巩固练习：
1．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2
1，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．3
2
2．（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与 椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ）
A ．
23 B ．3 C ．2
7
D ．4 3．（2005福建理）设b a b a b a +=+∈则,62,,2
2R 的最小值是 （ ）
A ．22-
B ．335-
C ．－3
D ．27
- 4．（2004湖北理）已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）
（A ）59 （B ）3 （C ）779 （D ）49
5．（2007江西文、理）设椭圆)0(12222＞＞b a b y a x =+的离心率为e ＝2
1
，右焦点为F(c ，0)，方程
ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P(x 1，x 2) （ ）
A ．必在圆x 2＋y 2＝2上
B ．必在圆x 2＋y 2＝2外
C ．必在圆x 2＋y 2＝2内
D ．以上三种情形都有可能
6.（2007福建理)已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_______；
7.（2002春招上海）设M(p ,0)是一定点，0
22
=+y x 上距离M 最近的点，则a =f (p )= .
8．（2000全国文、理，江西、天津文、理，广东）椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。
第二课时 双曲线
一、基础知识填空： 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________.
2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a b
y a x 22
22>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,
焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.
双曲线0)b 0,1(a b
x a y 22
22>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,
焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长和
_______长。双曲线的焦距是_____. a,b,c 的关系式是______________。
双曲线的________与________的比称为双曲线的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 4.等轴双曲线：______和_______等长的双曲线叫做等轴双曲线。 双曲线是等轴双曲线的两个充要条件：（1）离心率e =_______,（2）渐近线方程是_________. 二、典型例题：
例1.（2006全国Ⅰ卷文、理）双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =( )
A ．14-
B ．4-
C ．4
D ．14
例2.（2007江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）
A ．5
B ．5
2
C ．3
D ．2
例3. （2005全国卷III 文、理）已知双曲线12
2
2
=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ?=则点M 到x 轴的距离为（ ）
A ．
43 B ．53
C ．23
3 D ．3
例4.（2006上海文）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.
三、基础训练：
1.（2007全国Ⅰ文、理）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
（A ）
112422=-y x （B ）141222=-y x （C ）161022=-y x （C ）110
62
2=-y x 2.(2006全国Ⅱ卷文、理)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的一条渐近线方程为y ＝4
3x ，则双曲线的离心率为（ ）
（A ）53 (B )43 (C )54 (D )3
2
3.（2007福建理)以双曲线
116
92
2=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A B C D
4．(2007海南、宁夏文、理)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．
5．（2005山东文、理）设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F,右准线l 与两条渐近线交于P 、
Q 两点，如果PQF ?是直角三角形，则双曲线的离心率_______e =
6．（2005上海理）若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是(
)
10,0，则双曲线的方程
是______________________
四、巩固练习：
1.（2005春招北京理）已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=?PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）
A ．
13222=-y x B ．12
322=-y x C ．1422=-y x D ．1422
=-y x
2.（2005福建理）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三
角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A ．324+
B ．13-
C ．21
3+ D ．13+ 3.（2007全国Ⅱ文）设F 1,F 2分别是双曲线19
y x 22
=-的左右焦点，若点P 在双曲线上,且0PF PF 21=?，则=+21PF PF （ ） (A)10
(B)210 (C)5 (D) 25
4.（2007辽宁理）设P 为双曲线2
2
112
y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）
A ．63
B ．12
C ．123
D ．24
5.(2007安徽理)如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122
22 b a b
r a x =-的两个焦点，A 和B 是以O
为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是
等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）5
（C ）
2
5
（D ）31+
6.（2007湖北文）过双曲线13
42
2=-y x 左焦点F 的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦
点，则|MF 2|+|NF 2|-|MN|的值为 。
7．（2001广东、全国文、理）双曲线
116
92
2=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上， 若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为
第三课时 抛物线
一、基础知识填空：
1．抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)__________的点的轨迹叫做
抛物线。这个定点F 叫做抛物线的_________ , 定直线l 叫做抛物线的___________. 2.抛物线的标准方程：抛物线2px y 2
= 的焦点坐标为__________，准线方程是___________;
抛物线2px y 2-=的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2py x 2= 的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2py x 2-=的焦点坐标为__________，准线方程是___________。
3.几个概念：抛物线的_________叫做抛物线的轴，抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________。
抛物线上的点M 到________的距离与它到________的距离的比，叫做抛物线的离心率，记作e ， e 的值是_________. 4.焦半径、焦点弦长公式：过抛物线2px y 2
=焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，则
|AF|=___________,|BF|=____________,|AB|=_____________________ 二、典型例题：
例1.（2005江苏）抛物线2
4x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）
A ．
16
17
B ．1615
C ．87
D ．0
例2.（2006江西理）设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，
若OA F A ?＝－4，则点A 的坐标是（ ）
A ．（2，±） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，)
例3.（2007全国Ⅰ文、理）抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l,垂足为K ，则△AKF 的面积是（ ）
（A ）4 （B ）33 (C) 43 (D)8
例4.（2006全国Ⅰ卷文、理）抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）
A ．
43 B ．75 C ．8
5
D ．3
三、基础训练：
1．（2005全国卷Ⅱ文）抛物线2
4x y =上一点A 的纵坐标为４，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）
（A ）２ （B ）３ （C ）４ （D ）５
2．（2007山东文）设O 是坐标原点，F 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（ ）
A ．
214
p
B ．2
C p
D ．1336p
3．（2001江西、山西、天津文、理）设坐标原点为O ，抛物线x y 22
=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=?（ ）
（A ）43 （B ）－4
3
（C ）3 （D ）－3
4．（2003全国文、天津文，江苏）抛物线2
y ax =的准线方程是2,y a =则的值为（ ）
（A ）
18 （B ）1
8
- （C ）8 （D ）8-
5．（2006福建文、理）已知直线10x y --=与抛物线2
y ax =相切，则______.a =
6．( 2007广东文)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．
四．巩固练习：
1．（2004春招北京文）在抛物线y px 2
2=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ）
A.
12
B. 1
C. 2
D. 4
2．（2004浙江文、理）曲线x y 42
=关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）
(A)x y 482
-= (B)842
-=x y (C)x y 4162
-= (D)1642
-=x y
3.（2005上海理）过抛物线2
4y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的
横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
(A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在 4．（2004湖北理）与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x 2的切线方程是（ ） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0
5．（2007江西文）连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）
A ．－1＋2
B ．
23－2 C ．1＋2 D ．2
3
＋2
6.（2007山东理）设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x
轴正向的夹角为60°,为 .
7. (2007广东理)在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线
)0(22 p px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 .
8．（2006山东文、理）已知抛物线x y 42
=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、
两点，则y 2
22
1y +的最小值是
历届高考中的“圆锥曲线与方程”试题精选（自我测试）
1．（2001春招北京、内蒙、安徽文）已知1F 、2F 是椭圆19
162
2=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交 椭圆于点A 、B ，若5||=AB ，则=+||||11BF AF （ ）
（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）16
2.(2004春招安徽文、理)已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，M 为椭圆上一点，
MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60o，则椭圆的离心率为（ ）
A .12
B .22
C .33
D .32
3．（2003北京文）如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的 左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）
A ．
51 B ．5
2
C ．55
D ．552
4．（2002春招北京文、理）已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，
使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线
5．（2005全国卷Ⅱ文）双曲线
22
149
x y -=的渐近线方程是( ) （A ）23y x =± （B ）49y x =± （C ）32y x =± （D ）9
4
y x =±
6．（2006辽宁文）方程2
2520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
7．（2006辽宁文、理）曲线
221(6)106x y m m m +=<--与曲线22
1(59)59x y n n n
+=<<--的（ ） Ａ．离心率相等 Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦点相同
Ｄ．准线相同
8．（2004天津文、理）设P 是双曲线192
22=-y a
x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF ( )
A. 1或5
B. 6
C. 7
D. 9
9.（2007全国Ⅱ理）设F 1，F 2分别是双曲线1b
y a x 22
22=-的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，
使∠F 1AF 2=90o，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） (A)2
5
(B)
2
10 (C)
2
15 (D)
5
10．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线13222
2
2=-n
y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．y x 2
15
±
= B ．x y 2
15±
= C ．y x 4
3±
= D ．x y 4
3±
=
11.（2000春招北京、安徽文、理）双曲线122
22=-a
y b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的
离心率是（ ）
A B C D ．．．．232
3
2
12．（2005湖北文、理）双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．
163 B ．83 C ．316 D ．3
8
13．（2006安徽文、理）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
14．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率2
1=e ，且它的一个焦点与抛物线x
y 42
-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A ．
13422=+y x B ．16
822=+y x C ．122
2=+y x D ．1422=+y x 二、填空题：
15．（2005北京文）抛物线y 2=4x 的准线方程是 ；焦点坐标是 ．
16．（2001春招上海）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．
17．（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）椭圆442
2=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．
18.（2007上海文）以双曲线15
42
2=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．
19．（2004全国卷Ⅱ文、理）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离
心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．
20．（2005浙江文、理）过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相
交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
第一课时 椭 圆（参考答案）
二、典型例题：例1. C 例2. D 例3. D 例4. C
三、基础训练：1. A 2. B 3. B 4. 2 5. 14
162
2=+y x
四、巩固练习：1----5. BCCDC 6.
12- 7.
p 34 8.???
? ??-553,553
第二课时 双曲线（参考答案）
二、典型例题：例1. A 例2. A 例3. C 例4.
116
92
2=-y x 三、基础训练：1. A 2. A 3. A 4. 3 5. 2 6. 19
12
2=-y x 四、巩固练习：1----5. CDBBD 6. 8 7. 5
16
第三课时 抛物线（参考答案）
二、典型例题：例1. B 例2. B 例3. C 例4. A 三、基础训练：1. D 2. B 3. B 4. B 5. 4
1 6. x y 82
= 四、巩固练习：1----5. CCBDB 6.
p 2
21
7. x y 52= 8. 32
历届高考中的“圆锥曲线与方程”试题精选（参考答案）
二、填空题：
15. x=-1, (1,0) 16. 116922=-y x 17. 2516 18. x y 122
= 19. 12
22=+y x 20. 2
“圆锥曲线与方程”复习讲义
“圆锥曲线与方程”复习讲义 高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时 椭 圆 一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______； 椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标 分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题： 例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
圆锥曲线与方程练习题
《圆锥曲线与方程》单元测试 姓名_____________ 学号__________ 成绩____________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点，如果x 1 + x 2 = 6，那么AB 等于 ( ) A.10 B.8 C.7 D.6 2.已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x 43 y =，则双曲线的离心率为 ( ) A.35 B.34 C.45 D.23 3.以（-6，0），（6，0）为焦点，且经过点（-5，2）的双曲线的标准方程是（ ） A. 1201622=-y x B.1201622=-x y C.1162022=-y x D.116 2022=-x y 4.方程 22 125-16x y m m +=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) A.1625m -<< B.9162m -<< C.9252m << D.92 m > 5.过双曲线22149 x y -=的右焦点F 且斜率是32的直线与双曲线的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ） A.35 B.553 C.552 D.105 3 7.抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（ ） A. 15 B.152 C. 2 15 D.15 8.设12,F F 是椭圆164942 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则 21F PF ?的面积为（ ） A.4 B.6 C.22 D.24 9.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
高中数学圆锥曲线与方程教案
高中数学圆锥曲线与方 程教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标
知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
高考数学圆锥曲线与方程总结题型详解
高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解 圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2 y =上的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点， F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，
圆锥曲线与方程 知识点详细
椭圆 1、椭圆的第一定义：平面一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 （2）围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值围是)10(<
高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 11
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．抛物线的焦点是? ?? ??－14，0，则其标准方程为( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y C ．y 2＝x D ．y 2＝－x 【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左， 其方程应为y 2＝－x . 【答案】 D 2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2 【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1. 【答案】 A 3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝y D ．无法确定 【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2 ＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以 所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C. 【答案】 C
4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－2,0) B ．(2,0) C ．(2,0)或(－2,0) D ．(4,0) 【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为???? ??a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C. 【答案】 C 5．若抛物线y 2 ＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p 2＝2，即p ＝4. 【答案】 D 二、填空题 6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)， 半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2. 【答案】 2 7．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________． 【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2
2020年高考理科数学原创专题卷：《圆锥曲线与方程》
原创理科数学专题卷 专题 圆锥曲线与方程 考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（11,12题） 考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点40 易 椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（ ） A. 2212x += B. 22 12x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】 考点40 易 已知椭圆C ：22 2 21x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的 圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．13 3．【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考 考点40 中难 已知椭圆 2 21(0)1 x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ） A. 2 3 4．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点40 难 如图， 12,A A 为椭圆22 195 x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则
第二章圆锥曲线与方程教案
第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 四、课时分配 本章教学时间约需9课时，具体分配如下： 2.1 曲线与方程约1课时 2.2 椭圆约2课时 2.3 双曲线约2课时 2.4 抛物线约2课时 直线与圆锥曲线的位置关系约1课时 小结约1课时 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标 知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义
观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
(完整word)19圆锥曲线与方程(中职数学春季高考练习题)
学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________ 数学试题 圆锥曲线与方程 ． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟， 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ． 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项 ． 设12F F 、 为定点，126F F =，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 ． 若抛物线焦点在x 轴上，准线方程是3x =-，则抛物线的标准方程是 A ．2 12y x = B ．2 12y x =- C ．2 6y x = D ．2 6y x =- ． 已知椭圆方程为 22 1916 x y +=，那么它的焦距是 A ．10 B ．5 C ．7 D ．27 ． 抛物线2 6y x =-的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 ． 若椭圆满足4a =，焦点为()()0303-，，， ，则椭圆方程为 A ． 22 1167 x y += B ． 22 1169x y += C ． 22 1167y x += D ． 22 1169 y x += ． 抛物线2 40y x +=上一点到准线的距离为8，则该点的横坐标为 A ．7 B ．6 C ．7- D ．6- ． 一椭圆的长轴是短轴的2倍，则其离心率为 A ．34 B ． 32 C ． 22 D ．12 8． 椭圆的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，则该椭圆的离心率是 A ． 12 B ． 32 C ． 2 D ． 14 9． 椭圆 22 1164 x y +=在y 轴上的顶点坐标是 A ．()20±， B ．()40±， C ．()04±， D ．()02±， 10． 若双曲线的焦点在x 轴上，且它的渐近线方程为3 4 y x =± ，则双曲线的离心率为 A ． 54 B ． 53 C ． 7 D ． 7 11． 椭圆 22 1169 x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，则AB 等于 A ．5 B ．7 C ． 5 D ．4 12． 如果椭圆22 221x y a b +=经过两点()()4003A B ，、，，则椭圆的标准方程是 A ． 221259 x y += B ． 22 1163x y += C ． 22 1169x y += D ． 22 1916 x y += 13． 双曲线2 2 44x y -=的顶点坐标是 A ．()()2020-，、， B ．()()0202-，、， C ．()()1010-，、， D ．()()0101-，、， 14． 若双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．32 15． 双曲线 22 1169 x y -=的焦点坐标为 A ．()40±， B ．()30±， C ．()50±， D ．()
圆锥曲线与方程单元知识总结
圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆． e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质
2．双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、
的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)． 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)． (2)图形和标准方程 图8－3的标准方程为： x a y b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) 图8－4的标准方程为： y a x b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) (3)几何性质
3．抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： ①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离． ②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121－＝－11 2+ k 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程． A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．
圆锥曲线与方程复习资料
高中数学选修2－1 第二章 圆锥曲线与方程 知识点： 一、曲线的方程 求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系； (),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式； ⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 二、椭圆 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12 F F ）的点的轨迹称为椭圆。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。()12222MF MF a a c +=> 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 第一定义 到两定点21F F 、 的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 (01)MF e e d =<< 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
3、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则121 2 F F e d d M M ==。 常考类型 类型一：椭圆的基本量 1．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标和离心率. 【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________ 【变式2】椭圆 125 162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________. 【变式3】已知椭圆的方程为11622 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。
人教版高中数学圆锥曲线与方程教案
基础巩固强化 一、选择题 1．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( ) A ．210 B.10 C. 2 D ．2 2 [答案] D [解析] 椭圆方程2x 2 ＋3y 2 ＝12可化为：x 26＋y 2 4＝1， a 2＝6， b 2＝4， c 2＝6－4＝2，∴2c ＝2 2. 2．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 [答案] B [解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y 25k ＝1， 又∵焦点是(0,2)，∴a 2 ＝5k ，b 2＝1，c 2 ＝5k －1＝4， ∴k ＝1. 3．已知方程x 225－m ＋y 2 m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．－9
[解析] 由题意得???? ? m ＋9>025－m >0 m ＋9>25－m ，解得8 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由 高考数学圆锥曲线与方程知识点梳理 一、方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没 有实数解，曲线就没有交点。 二、圆 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程： (1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2 ,2(E D --半径是2 422F E D -+。配方，将方程x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+ 2D )2+(y+2 E )2=4 4F -E D 22+ ②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(- 2D ,-2 E ); ③当D 2+E 2-4 F ＜0时，方程不表示任何图形. 专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-= 圆锥曲线与方程练习题及答案解析 一、选择题 1．(2013?呼和浩特高二检测)椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标为( ) A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5) C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0) 【解析】由c2＝a2－b2求出c 的值．因为169＞25，所以焦点在y轴上．因为c2＝169－25＝144，所以c＝12，所以焦点坐标为(0,12)，(0，－12)．故选C. 【答案】C 2．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0,3)，且椭圆经过点(0,4)，则该椭圆的标准方程是( ) A.x216＋y27＝1 B.y216＋x27＝1 C.x225＋y216＝1 D．y225＋x29＝1 【解析】∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∵2a＝＋＋－＝8，∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为y216＋x27＝1. 【答案】 B 3．(2013?福州高二检测)已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( ) A.x24＋y23＝ 1(x≠±2) B.y24＋x23＝1(y≠±2) C.x24＋y23＝1(x≠0) D．y24 ＋x23＝1(y≠0) 【解析】∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C 不共线)．因此，顶点C的轨迹方程y24＋x23＝1(y≠±2)．【答案】 B 4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( ) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 【解析】椭圆方程可化为x22＋y22k＝1，依题意2k>2，∴0 圆锥曲线与方程基础题Prepared on 21 November 2021 1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为() A．x2＝－28y B．y2＝28x C．y2＝－28x D．x2＝28y 2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( ) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 6．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点 M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( ) A．4或－4 B．－2 C．4 D．2或－2 7．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 8．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点( ) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) 9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 10．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( ) A．x2＝y－B．x2＝2y－ C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2 11．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于 ________． 12．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________． 13．设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．14．(10分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.[高中数学]圆锥曲线专题-理科
高考数学圆锥曲线与方程知识点梳理
专题-圆锥曲线与方程(教师)
圆锥曲线与方程练习题及答案解析
圆锥曲线与方程基础题
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