高数课本_同济六版

第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重

要的内容，要掌握求极限的集中方法）

第一节映射与函数（一般章节）

一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解）

注：P1--5 集合部分只需简单了解

P5--7不用看

P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界

P17--20 不用看

P21 习题1.1

1、2、3大题均不用做

4大题只需做（3）（5）（7）（8）

5--9 均做

10大题只需做（4）（5）（6）

11大题只需做（3）（4）（5）

12大题只需做（2）（4）（6）

13做14不用做15、16重点做

17--20应用题均不用做

第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看）

一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解）

P26--28 例1、2、3均不用证

p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解

P30 定理4不用看

P30--31 习题1-2

1大题只需做（4）（6）（8）

2--6均不用做

第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题）

一、（了解）二、（了解）

P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可

P35 例6 要会做例7 不用做

P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看

p37习题1--3

1--4 均做5--12 均不用做

第四节（重要）

一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）

p40 例2不用做 p41 定理2不用证

p42习题1--4

1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做

第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)

p43 定理1、2的证明要理解

p44推论1、2、3的证明不用看

p48 定理6的证明不用看

p49 习题1--5

1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)

2、3要做4、5重点做6不做

第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明

p50 准则1的证明要理解

p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)

p53另一个重要极限的证明可以不用看

p55--56柯西极限存在准则不用看

p56习题1--7

1大题只做(1)(4)(6)

2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做

第七节(重要）

p58--59 定理1、2的证明要理解

p59 习题1--7 全做

第八节（基本必考小题）

p60--64 要重点看第八节基本必出考题

p64 习题1--8

1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做

6--8不用做

第九节（了解）

p66--67 定理3、4的证明均不用看

p69 习题1--9

1、2要做

3大题只做（3）——（6）

4大题只做（4）——（6）

5、6均要重点做

第十节（重要，不单独考大题，但考大题会用到）

一、（重要）二、（重要）p72三、一致连续性（不用看）

p74习题1--10

1、2、3、5要做，要会用5的结论。4、6、7不用做

p74 总习题一

除了7、8、9（1）（3）（4）之外均要做其中要重点做的是3（1）（2）、5、11、14

第二章 (小题必考章节）

第一节（重要）

一、引例（数三可只看切线问题举例）二、导数的定义（重难点，考的频率很高）三、导数的几何意义（重要）另：【数一数二要知道导数的物理意义，数三要知道导数的经济意义（边际与弹性）四、函数的可导性与连续性关系（要会证明，重要）

p79 导数的定义要重点掌握，基本必出考题

p81--82 例1--例6 认真做以便真正掌握导数的定义

p85 可导性与连续性的关系要会证明）

p86 习题2--1

不用做的是1、2、9（1）--（6）、10、12、13、14其余都要做

其中重点做的是6、7、8 、16、18、19

第二章第二节（考小题）

四、基本求导法则与求导公式（要非常熟）

p88--89 （1）（2）（3）的证明均不用看

p89 例1 不用做

p90 定理2的证明要理解

p91--92 例6--8重点做

p92 定理3证明不用看

p96 例7不用做

p97 习题2--2

2题（1）（5）（7）（10）、3（1）、4、12均不用做

其余全做其中13、14要重点做

第二章第三节（重要，考的可能性大）

p100 例3不用做

p103 习题2--3

5、6、7、11均不用做，其余全做！其中4、12要重点做

第二章第四节（考小题）

p107--110 由参数方程所确定的函数的导数数三不用看

p111三、相关变化率（不用看）

p111 习题2--4

1大题（1）（4）、3（1）（2）、9--12均不用做

数三5--8也不用做

其中4重点做

第二章第五节（考小题）

p119

四、微分在近似计算中的应用（不用看，基本上只要有近似两个字，考纲均不作要求）

习题2--5

5--12均不用做其他的全做

p125 总习题二

4、10、15--18均不用做，其余全做！其中2、3、6、7、14要重点做！

数三不用做12、13

第三章（考大题难题经典章节，绝对重点章节）

第一节(最重要，与中值定理应用有关的证明题）

一、罗尔定理（要会证）二、拉格朗日中值定理（要会证）三、（柯西中值定理（要会证）

另外，要会证明费马定理

p128--133 费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理一定要会独立证明，极其重要

p134 习题3--1

除13、15不用做，其余全部【重点】做

第三章第二节（重要，基本必然要考）

p134--135 洛必达法则要会证明

习题3--2

习题全做其中1、（1）（5）（10）（12）（15）（16）、3、4要重点做

第三章第三节（掌握其应用，可以不用证明公式其本身）

p140--141 泰勒公式的证明不用看

p145 习题3--3

8、9不用做，其余全做，其中，10 （1）（2）（3）要重点做

第三章第四节（考小题）

p152 习题3--4

3（1）（2）（5）、5（1）（2）、8（1）（2）、9（1）（3）（5）、10（2）不用做，其余全做，重点做3（3）（6）（8）、4、5（3）（5）、6、13、15

第三章第五节（考小题为主）

p160 例5不用做

p161 例6不用做

p162 例7不用做

p162 习题3--5

1（2）（3）（6）（9）、8--16均不用做，其余全做

第三章第六节（重要基础章节）

p169 习题3--6

1 不用做2--5都要做

第三章第七节（了解，只有数一数二考，数三不用看）

一、弧微分（不用看）二、（了解）三、（了解）

p175四、（不用看）

p177 习题3--7

数三均不用做

数一数二只需做1--6

第三章第八节（只要有近似，考研不考，不用看）

p182 总习题三

数一、数二全做数三可不用做（这个楼主有点疑问，楼主数一，所以数三考生有异议请私信）

其中，2（2）、3、7、8、9、10（3）（4）、11（3）、12、17、18、20要重点做

第三章第八节（只要有近似，考研不考，不用看）

p182 总习题三

数一、数二全做数三15不用做

其中，2（2）、3、7、8、9、10（3）（4）、11（3）、12、17、18、20要重点做

第四章（重要、相对于数一、数三，数二考大题的可能性更大）

第一节（重要）

一、（理解）二、（会背，且熟练准确）三、（理解)

p186 例4不用做

p188--189 基本积分表一定要记得熟练、准确

p192 习题4--1

2（1）--（4）（6）（7）（9）（10）（11）（16）、3、4、6均不用做

其余全做

第四章第二节（重要，其中第二类换元法更加重要）

p207 习题4--2

1、2（1）（2）（3）（8）（9）（10）（13）（25）均不用做，其余全做

第四章第三节（考研必考）

p212 习题4--3 全做（分部积分法极其重要）

第四节（重要）

p218 习题4--4 全做

第五节（不用看）

p221 总习题四全做

第五章（重要，考研必考）

第一节（理解）

一、定积分问题举例（了解，其中变速直线运动的路程，数三不用看）

二、定积分定义（理解）

p228 三、定积分的近似计算（不用看）

p231--234 四、定积分的性质（理解）

性质1--7要理解，且能熟练应用，其中性质7最重要，要会独立证明

p234 习题5--1

1、2、3、6、8、9、10均不用做，其余全部做，且重点做5、11、12

第五章第二节（重要）

一、变速直线运动中的位置……的联系（了解，数三不用看）

二、积分上限的函数极其导数（极其重要，要会证明）

三、牛顿--莱布尼茨公式（重要、要会证明）

p237 定理1 ，要求会独立证明，极其重要

p239 定理3 要求会独立证明

p241 例5不用做例6 经典例题，极其重要，记住结论

p243 习题5--2

6（1）（2）（4）--（7）（9）、7、8均不用做，其余全做，其中【数三】2不用做

需要重点做的为9（2）、10--13

第五章第三节（重要，分部积分法更重要）

p247--249 例5、6、7经典例题，重点做，并记住其相应结论

p252 例12 经典例题，记住结论

p253 习题5--3

1（1）（2）（3）（6）（12）（14）（15）（16）（21）（22）、7（1）（3）（8）（9）不用做，其余全部做，且重点做1（4）（7）（17）（18）（25）（26）、2、6、7（7）（10）（12）（13）

第五章

第四节(考小题）

p260 习题5--4

全做，重点做1（4）、3 。3题为经典公式，一定发要熟记

第五节（不用看）

【注】考纲不做要求，最好记住F（伽马，打不出来那个）函数的部分性质，可能给解题带来方便，可参考汤家凤视频）

p268 总习题五

1（3）、2（3）（4）（5）、15、16均不用做其余全部做

其中，重点做的是3、5、7、8、9、10（1）（2）（3）（8）（9）（10）、13、14、17

第六章（考小题）

第一节（理解）

第二节（面积最重要）

一、平面图形的面积

p276--277 极坐标情形只有数一数二看数三不用看

二、体积（数三只看旋转体的体积）

p280--281 平行截面面积为已知的立体体积只有数一数二看

三、平面曲线的弧长（数三不用看，数一数二记住公式即可）

习题6--2

数一全做数二21--30 不用做数三5、6、7、8、15（4）、17、18、21--30 不用做

第三节（数三不用看，数一数二了解）

p291--292 习题6.3

只有数一数二做数三不用做

p292--293 总习题六

数一全做数二6 不做数三只需做3、4、5

第七章（本章对于数二相对最重要）

第一节（了解）

p294 例2数三不用看

p298 习题7--1

只需做1（3）（4）、2（2）（4）、3（2）、4（2）（3）、5 第七章第二节（理解）

p301--304 例2、3、4只有数一数二看，数三不用看

p304 习题7--2

只做1、2

第七章第三节（理解）

二、可化为齐次的方程（不用看）

p306 例2--p309 均不用看

p309 习题7--3

1只做（1）（5）（6）2只做（2）

3、4不用做

第七章第四节（重要，熟记公式）

p312 例2 不用看

p314伯努利方程只有数一看

p315 习题7--4

1只做（3）（5）（8）（10）、2只做（2）（3）、3做

4--7均不用做、8只有数一做

第七章第五节（只有数一数二考，理解）

p317 例2 不用看

p319 例4 不用做

p321 例6不用做

p316--p323 数三均不用看

p323 习题7--5（数三不用做）

数一数二只做1（3）（4）（5）（10）、2（1）（2）（6）3、4不用做

第七章第六节（理解）

一、（不用看）二、（重要）三、（不用看）

p323--324 二阶线性微分方程举例不用看

p325--328 定理1、2、3、4重点看

p328--330 常数变易法不用看

p331 习题7--6

只做1（3）（4）（6）（7）（10）、3、4（1）（5）（6）第七章第七节、第八节（最重要，考大题备选章节）

p335 例4不用做

p336--338 例5不用做

习题7--7

只做1（1）（4）（7）（9）（10）、2（1）（2）（4）

p346 例5不用看

p347 习题7--8

只做1（2）（4）（5）（6）（9）（10）、2（3）（4）、6其中6重点做

第七章第九节（只有数一考，理解）

p348--349 欧拉方程只有数一看

p349 习题7--9

数一只做（5）（8）

第十节（不用看）

p353 总习题七

数一做1（1）（2）（4）、2（2）、3（1）（3）（5）（7）（8）、4（3）（4）、5、7、8、10

数二做1（1）（2）（4）、2（2）、3（1）（3）（5）（7）（8）、4（3）（4）、5、7

数三做1（1）（2）（4）、2（2）、3（1）（3）（5）（7）（8）、4（3）（4）、5、7

第八章（只有数一考，考小题，了解）

（本章只有数一考，单独命题以考小题为主，但数一特有的绝对重要考点，曲线曲面积分要以本章为基础，建议数一同学好好复习本章）

本章需要数一多加注意的考点有：曲面方程与空间曲线方程。球面‘柱面、旋转曲面，常用的二次曲面方程及其图形。

第九章（考大题经典章节，但难度一般不大）

第一节（了解）

p54 n维空间部分不用看，只有数一同学需要记住空间两点之间的距离公式

p55 例2、3 不用看

p57最后四行只有数一看

p58 例4证明不用看，只需记住：求多重极限依然满足：无穷小量*有界量=无穷小量

p59 例5以上多元函数极限存在与否重点看

例5 做

p60 例6 不用做定义4 不用看

p61 例7了解

p62 例8 做

p62 性质1和性质2 一般重要

备注：连续函数的有界性定理，最值定理，介值定理的考察，一元函数远比多元函数重要p62 习题9--1

1--4、7--10 均不用做

只做5（3）（4）（6）、6（4）（5）（6）

第九章第二节（理解）

二、高阶偏导数（重要）

p63偏导数的定义及其计算法（重点看）

p65 例1、2不用做只做例3、4

p66 二元函数偏导数的几何意义不用看例5不用做

p66--67 多元函数偏导数的存在与连续的关系重点看例6不用做

p68--69定理只记住结论即可例7、8均做

习题9--2

1只做（3）（5）（6）（7）（8）、4、5（只有数一做）、6（2）（3）7、8、9、与2、3均不用做

第九章第三节（理解）

p70--71全微分的定义与可微分的定理1及其证明重点看

p72--73可微分的定理2记住结论即可，证明不用看

例1、2不用做，只做例3

二、全微分在近似计算中的应用（不用看）

p74--75 均不用看

p76 习题9--3

只做1（2）（4）、2、3、5 其余均不用做

第九章第四节

p77 定理1证明不用看p78 其他情形不用做

p79 做例1、3、4 例2不用做其中重点做例4

p80--81 例5不用做，全微分形式不变性重点看

p82--83 例6做

习题9--4

只做3、4、7、8（1）（3）、9、10、11、12（2）（4）其余均不用做第九章第五节（理解、小题）

二、方程组的情形(不用看）

p83--85 隐函数存在定理（只有数一数二看）例1、2数一数二做

p86--88 不用看

p89 习题9--5

只做1、2、5、7、8 其余均不做

第九章第六节（只有数一考，考小题）

一、一元向量值函数及其导数（不用看）

p94--99 只有数一看例4、5、6、7均要做

p100习题9--6（只有数一做）

要做6、7、10、11、12 其余均不用做

第九章第七节（只有数一考，考小题）

p102--103 定理记住，证明不用看例1、2做

p103--107 例3、4数一做

p107 数量场、向量场不用看例7不用做

p108--109 习题9--7

只做2、5、8、10.其余均不用做

第九章第八节（重要，答题常考题型）

p109 定义与例1、2、3均要重点做和看

p110 定理1及其证明均要仔细看，定理2只要记住，证明不用看p111例4做p112--113 例5例6不用做

p113--115 条件极值与拉格朗日乘数法重点看

p116--117 例7、9不用做只做例8

p118 习题9--8

只做1、4、8（只有数一做）、12 其余均不用做

第九章第九节（只有数一考，了解）

一、了解二（不用看）

p119 定理记住结论，证明不用看

p121 例1 做

p122--129 极值充分条件的证明与第十节均不用看

p129 总习题九

1、2、4、5、811、12、14（数一）、17（数一），其余全不做

第十章（重要，数二数三相对于数一，本章更加重要，数二数三基本必考答题）

第一节（了解）

p132--133二重积分的概念与性质（重要）

p133 平面薄片的质量可以不看

p134--135 定义与性质重点看

p136 习题10--1

只做2、4（2）（3）、5（3）（4）其余均不用做

第十章第二节（重要，数二数三及其重要）

p138--148 直角坐标与极坐标均看（重要）例1、2、3、5做例6只有数一做例4不用做

p149--153 二重积分的换元法不用看

p153习题10--2

只做1（1）（4）、2（1）（3）、3记住结论、4（重点做）、6（2）（4）（6）

【8、9、10】（只有数一做）、11（2）（4）、12（2）（3）（4）、13（1）（3）、14（2）（3）、15（2）（3）、18（数一）其余均不做

第十章第三节（只有数一考）

一、（了解）二、（重要）

p157--163 三重积分的概念与计算数一重点看例1、2、3、4均要做

p164 习题10--3（只有数一做）

只做4、7、9、11 其余均不用做

第十章第四节（了解)

p165--176

（只有数一考，可以先不用看，上过强化班以后，再专门解决一些不太重要的边边角角的考点）

p176--181含参变量的积分的章节与习题10--5均不用看与做

p181 总习题十只做1（1）（数一）（2）（3）、2（2）（4）、3（2）（3）、4、6、7（数一）、8（1）（3）、9（数一）其余均不用做

第十一章（只有数一考，数二数三均不考，数一考大题考难题的经典章节）

第一节（重要）

一、对弧长曲线的概念（理解）与性质（了解）【重点看】

二、对弧长曲线积分的计算法（重要）

p187 记住定理的结论，证明不用看

p189 只做例1. 例2、3不用做

p190 习题1--1 只做3（3）（4）（5）（8），其余不用做

第十一章第二节（重要）

一、对坐标的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）【重点看】

二、。。。。。。。。。计算法（重要）

p194--195 定理及其证明要重点看

p196--198 例1--4均重点做例5不用做

p199 两类曲线积分之间的关系（记住结论）【一般看】

p200--201 习题11-2

只做3（2）（4）（8）、4（3）（4）、7

其余不用做

第十一章第三节（重要）

一、（重要）二、（重要）三、（理解）*四、（不用看）

p202 定理1及其证明（重点看）

p204 例1、2不用做

p204--205 例3、4重点做

p205 平面上曲线积分与路径无关的条件（重点看）

p206 定理2 记住结论，证明不用看

p208 定理3 记住结论，证明不用看

p209 推论记住结论

p210 例5 做p211 例6不用做例7做

p212--213 曲线积分的基本定理不用看

p213--215 习题11-3

只做3、5（2）（3）、8（2）（4）（7）其余不用做

第十一章第四节（重要）

一、（了解）二、（重要）

p215--216 对面积的曲面积分的概念与性质及计算法均要重点看

p217--218 例1、2 重点做

p219--220

习题11--4 只做3、4、5、6（1）其余均不用做

第十一章第五节（重要）

一、（了解）二、（重要）三、（了解）

p220 对坐标的曲面积分（重点看）

p220--228 对坐标的曲面积分与性质计算法与两类曲面积分之间的联系均要重点看例1、2、3均要重点做

习题11-5 只做3（1）（2）（3）、4（1）（2）其余均不用做

第十一章第六节高斯公式（重要）*通量（不用看）与散度（了解）

、一、（重要）二、（不用看) 三、（了解）

p229 定理1及其证明重点看

p231 例1不用做例2重点做p232 例3 做

p233 定理2 记住结论证明不用看

p234 例4不用做

p235 记住散度定义及公式

p236 例5做

p236--237 习题11--6

只做1（2）（3）（5）、3（2）、4 其余均不作

第十一章第七节斯托克斯公式（重要）*环流量（不用看）与旋度（了解）

一、重要二、（不用看）三、（了解）

p237 定理1及其证明重点看p240 例1、2重点做

p241 定理2只记住结论，证明不用看

p242 定理2只记住结论

p243旋度记住定义与公式

p244 例4做

p245 习题11--7

只做2（2）（3）（4）、3（2）、4（1）其余均不用做

p246 总习题十一

只做1（1）（2）、2、3（1）（3）（5）（6）、4（1）（2）、7、9（1）（2）.其余均不用做

第十二章（1、数二不考，不用看。2、数一数三考大题、考难题的经典章节）第一节（一般考点）

一、（了解）二、（考选择题章节）* 三、（不用看）

p248 常数项级数的概念（重点看）

p250 例1、2、3均要做记住例1的结论

p251--253 熟练记住五大基本性质

p254 柯西审敛原理不用看

p254 习题12--1

只做2（3）（4）、3（1）（2）（3）、4（3）（5）其余不用做

第十二章第二节（理解、重要）

*四、（不用看）

p256--p261 正项级数的审敛法定理1--6均要重点看例1--8均要做

p262 交错级数及其审敛法（重要）

定理7及其证明重点看

p263 定理8及其证明重点看

p265 l例9做

四、（p265--267）不用看

p268 习题12--2

只做1（2）（4）（5）、2（2）（3）（4）、3（2）（3）（4）、4（2）（4）、

5（2）（4）（5）其余均不用做

第十二章第三节（重要、重点看）

一、（了解）二、（最重要）三、（乘或除不用看）

p271 定理1 阿贝尔定理及其证明重点看

p272 定理2 及其证明重点看

p273--274 例1--5 均做

p276 幂级数的和函数的性质要熟练记住例6做（重点做）

p277 习题12--3 只做1（2）（4）（6）（7）（8）、2（1）（3）其余均不用做

第十二章第四节（数一相对于数三，本节更重要）

p278--279 定理及其证明重点看

p280--285 例1--6均要做公式（1）到（11）必须牢记

其中p278的公式（4）最重要

p285 习题12--4

只做2（2）（4）（6）、4、6 其余均不用做

p285--302

第五节、第六节（不用看）

第十二章第七节（数三不用看，数一了解）

一、（不用看）

p305 公式（6）重要、牢记

p306 定理重要例1做p307例2做p309 例3不做

p311 例4、5做p313 例6做

p315 习题12--7 只做2（2）、3、4、5 其余均不用做

第十二章第八节（了解，数三不用看）

p317 （6）记住公式，证明不用看例1做

p318 例2不用做

p319 傅里叶级数的复数形式（不用看）

p322 习题12--8

只做1（2）（3）、2（2）其余不用做

p322--323 总习题十二

全做，且全部重点做！！其中11、12只有数一做

高数下册复习资料(同济第六版)

第八章 向量与解析几何 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作a 或AB u u u r a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++= ,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===r r r 模 向量a 的模记作a a 222x y z a a a =++ 和差 c a b =+ c a b =－ =+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b 单位向量 0a ≠，则a a e a = a e 2 2 2 (,,)= ++x y z x y z a a a a a a 方向余弦 设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos cos y x z a a a a a a αβγ===r r r ，cos ，cos cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹 角 z z y y x x b a b a b a ++=?b a 叉乘（向量积） b a c ?= θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 定理与公式 垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++= 平行 //0a b a b ??= //y z x x y z a a a a b b b b ?== 交角余弦 两向量夹角余弦b a b a ?=θcos 222222 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++= ++?++ 投影 向量a 在非零向量b 上的投影 cos()b a b prj a a a b b ∧?== 2 2 2 x x y y z z b x y z a b a b a b prj a b b b ++= ++ 平面 直线 法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 0=+++D Cz By Ax 一般式 ?? ?=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A

高等数学同济大学第六版 总复习六答案

总 习 题 六 1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足?? +=+30011211 1dt t dt t x . 因为212]12[1 100-+=+=+?x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+?t dt t , 所以 1212=-+x , 4 5=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解 ?++?=432 222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 2432224 1)2sin 1(28a d a a -=++=?πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为9 4, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax y +=2.

抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为 23)(1 02b a dx bx ax S +=+=?. 令9423=+b a , 得9 68a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(22102 2ab b a dx bx ax V ++=+=?ππ )]9 68(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-?+2=a a a d dV π, 得3 5-=a , 于是b =2. 4. 求由曲线2 3x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求旋转体的体积为 πππ7512722240274023=?=?=?x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(1223 12?--??=dx x x V π 22 224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-?-tdt t t x 令. 6. 抛物线22 1x y =被圆322=+y x 所需截

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案6-3

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案6-3

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 习题6-3 1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 18216026 0===?s k ksds W k(牛?厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知: ππ80000)8010(102=??==k PV . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则 ππ80000)]80)(10[()(2=-?x x P , π -=80800)(x P . 功元素为dx x P dW )()10(2?=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400400 2 πππππ=-=-??=??dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 h R mgRh W +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径; (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km . 证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dy y kMm dW 2=, 所求的功为 ) (2h R R mMh k dy y kMm W h R R +?==?+. (2)533324111075.910 )6306370(106370106301098.51731067.6?=?+???????=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以 23)(cx t x v ='=, 阻力4 229t kc kv f -=-=. 而32)(c x t =, 所以 3432342 9)(9)(x kc c x kc x f -=-=.

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

高数课本_同济六版

第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）

p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做

高数A(上)总复习(同济六版)-cxz

《高等数学》上册期末总复习 1、 极限求法： 1、 四则运算法则：极限存在才可拆开求【约分、通分、有 理化】 2、 复合运算法则（变量替换法）；一般是尽可能将变化过 程变换为： 3、 初等函数的连续性（代入法）： ； 4、 两个重要极限：构造法 1），【构造式：】 2）（或）；【构造式：】 5、 无穷小的性质：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小； 6、 存在准则：1）夹逼准则、2）单调有界准则； 7、 等价无穷小：只适用于积商式，不适用于和差式【待等 价的函数应与剩余部分之间是积商关系】 当时，,(为常数)) 8、 洛必达法则：未定式或：直接利用法则；：取倒数；： 通分；：取对数. 9、 泰勒公式(麦克劳林公式)：只能用于解决型；其它情况 必须通过换元变为型. 10、 导数或定积分定义*: 未定式：等价无穷小洛必达法则泰勒公式 1）【导数定义】设在点处可导，则 . 2）【定积分定义】设在上可积，则； 2、 函数的连续性 1、 函数在点处连续； 2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间 断点：无穷，振荡. 3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函 数；连续函数的复合仍为连续函数 4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处 连续

5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小 值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】； 4）介值定理及其推论. 3、 导数与微分 分段点处连续性判断或求导必须用定义。开区间内才可以用导数公式。 1、 定义： 1）； 2）； 特别注意此处记号的书写 3）； 4） 2、 求导法则：【必须牢记14个基本导数公式】 1） 显函数： ①、四则运算法则： ； ②、复合函数的求导法则：设都可导，则的导数为 ，或 ③、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：，（化简）， 2） 参数方程：，，，以此类推. 3） 隐函数：（方程两边同时对自变量求导） 3、 高阶导数：等；莱布尼兹公式 4、 微分： 5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必. 6、 抽象函数的求导：注意、之别 4、 导数的应用 1、 曲线的切线与法线方程：，，； 2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后 根据定理下结论！ 1）罗尔定理：；【依结论构造辅助函数】 2）拉格朗日中值定理：；【同一函数在两点上相减都可能用到 此定理】 3）柯西中值定理：； 4）泰勒中值定理： 3、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano型余项的麦克劳林公式 4、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图 形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线

同济第六版高数课后习题1

习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ?B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明(2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒 等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ? x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射. 对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f (A ))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A . 证明 (1)因为x ∈A ? f (x )=y ∈f (A ) ? f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))?A . (2)由(1)知f -1(f (A ))?A . 另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))?存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ?f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))?A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1) 23+=x y ; 解 由3x +2≥0得32- >x . 函数的定义域为) ,3 2[∞+-.

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

同济大学第六版高等数学综合测试题

第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

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第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长

第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

高等数学习题答案(同济第六版下)

第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 本节主要概念，定理，公式和重要结论 理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。 习题 8－1 1.求下列函数表达式: (1)x y y x y x f +=),(，求),(y x xy f + 解：(,)()x y xy f xy x y xy x y ++=++ (2)2 2 ),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f 解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+?= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)2 2 1)1ln(y x x y x z --+ -+= 解：22 22 10 11010 x y x y x y x y x +->?+>??-->???+ (3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->?+< 3.求下列极限: (1) 2 2)1,0(),(1lim y x xy x y x ++-→ 解：22 (,)(0,1)1lim 1x y x xy x y →-+=+ (2) xy xy y x 4 2lim )0,0(),(+-→ 解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim 2lim 2lim 4 x y x y x y xy xy →→→=-=-=- 解二： (,)(0,0)(,)(,)1 lim lim lim 4x y x y x y →→→===-

2-5高等数学同济大学第六版本

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2-7 1. 已知y =x 3 -x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

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习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=2 22]3[ ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π )][sin(dx y x x x

(2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; ? ?? ???+--+---++=1 1 1 1 1 1 x x y x x x y x D y x dy e dx e dy e dx e d e σ ??+---+--+=1 1101 11][][dy e e dx e e x x y x x x y x ??---+-+-=1 120 1 11 2)()(dx e e dx e e x x

3. 如果二重积分??D dxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x , y )= f 1(x )?f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d c b a d c b a D ???????=?=?])()([)()()()(212121, 而 ??=?d c d c dy y f x f dy y f x f )()()()(2121, 故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a d c D ????=?])()([)()(2121. 由于?d c dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 4. 化二重积分??=D d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同 的两个二次积分), 其中积分区域D 是: (1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤24 1 ,40}, 所以 ? ?=x x dy y x f dx I 24 0),(或??=y y dx y x f dy I 4 40 2),(. (2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且

高等数学第六版(同济版)第九章复习资料

第九章 多元函数微分法及其应用 引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学. 由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n 元函数上去. 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集的相关概念 1. 平面点集：),|}(),{(y x y x E =具有性质}P },|}),{(2R y R x y x R R R E ∈∈=?=? 例如：}|||{}|}),{(222r OP P r y x y x C <=<+=，其中点P 表示点),(y x . 2. 邻域：2000),(R y x P ∈. (1). 邻域：})()()(),{(}||{),(20202000δδδ<-+-+-=<=z z y y x x y x P P P P U (2). 去心邻域：)(}||0{),(000P U P P P P U o o ∧=<<=δδ 3. 坐标面上的点P 与平面点集E 的关系：22,R E R P ?∈ (1). 内点：若0>?δ，使E P U ?),(δ，则称P 为E 的内点. (2). 外点：若0>?δ，使Φδ=?E P U ),(，则称P 为E 的外点. (3). 边界点：若0>?δ，Φδ≠?E P U ),(，且E P U ?),(δ，则称P 为E 的边界点. 边界：E 的边界点的全体称为它的边界，记作E ?. (4). 聚点：若0>?δ，Φδ≠?E P U o ),(，则称P 为E 的聚点. 导集：E 的聚点的全体称为它的导集. 注：1°. 若P 为E 的聚点，则P 可以属于E ，也可以不属于E . 2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点. 例如：}21),{(221≤+<=y x y x E ；)}0,0{(}21),{(222?≤+<=y x y x E . 4. 一些常用的平面点集： (1). 开集：若点集E 的点都是其内点，则称E 为开集. (2). 闭集：若点集E 的边界E E ??，则称E 为闭集. (开集加边界)

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习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-=