简单几何体的表面积与体积

第2节简单几何体的表面积与体积

最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知识梳理

1.多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.简单几何体的表面积与体积公式

[常用结论与微点提醒]

1.正方体与球的切、接常用结论

正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.

3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()

(2)球的体积之比等于半径比的平方.()

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()

(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝

3

2a.()

解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.

(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

2.(教材练习改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()

A.1 cm

B.2 cm

C.3 cm

D.3

2cm

解析由题意，得S

表

＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm).

答案 B

3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A.12π

B.32

3π C.8π D.4π

解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3 a，即R＝ 3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.

答案 A

4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()

A.π

B.3π

4 C.

π

2 D.

π

4

解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝1

2.

∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝3

2，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·? ????322×1＝3π4. 答案 B

5.(2018·西安质检)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.

解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m ，高为1 m 的平行四边形，四棱锥的高为3 m.故该四棱锥的体积V ＝13×2×1×3＝2 (m 3). 答案 2

考点一 简单几何体的表面积

【例1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A.20π

B.24π

C.28π

D.32π

(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方

形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()

A.10

B.12

C.14

D.16

解析(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.

由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.

所以l＝22＋（23）2＝4.

故该几何体的表面积S

表

＝

πr2＋ch＋1

2cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝1 2

×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.

答案(1)C(2)B

规律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.

2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

【训练1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()

A.8＋2 2

B.11＋2 2

C.14＋2 2

D.15

(2)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π

3，则它的表面积是( )

A.17π

B.18π

C.20π

D.28π

解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.

直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.

(2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉1

8球所剩的组合体，

其表面积是球面面积的78和三个1

4圆面积. 设球的半径为R ，则78×

43πR 3＝28π

3，R ＝2. 故几何体的表面积S ＝78×4πR 2

＋34πR 2＝17π. 答案 (1)B (2)A

考点二 简单几何体的体积

【例2】 (1)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )

A.3

B.3

2

C.1

D.32

(2)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )

A.13＋23π

B.13＋23π

C.13＋26π

D.1＋2

6π

解析 (1)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝3

2AB ＝3，

又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD 平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，

∴V A －B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×1

2×

2×3×3＝1.

(2)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×

? ????223

＝13＋2

6π. 答案 (1)C (2)C

规律方法 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.

2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.

3.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.

【训练2】

(1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x 的值是( )

A.2

B.92

C.32

D.3

(2)(2018·郑州质检)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.

解析 (1)由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝1

2(1＋2)×2

＝3.∴V ＝1

3x ·3＝3，解得x ＝3. (2)由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由主视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h ＝1， 则体积V ＝13Sh ＝13×?

????

12×23×1×1＝33. 答案 (1)D (2)3

3

考点三多面体与球的切、接问题(典例迁移)

【例3】(经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()

A.4π

B.9π

2 C.6π D.

32π

3

解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.

要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.

则1

2×6×8＝

1

2×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.

2r＝4＞3，不合题意.

球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.

由2R＝3，即R＝3 2.

故球的最大体积V＝4

3πR

3＝

9

2π.

答案 B

【迁移探究】若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.

解将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，

则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.

∴体对角线BC1的长为球O的直径.

因此2R＝32＋42＋122＝13.

故S

球

＝4πR2＝169π.

规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.

2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.

【训练3】(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9.则球O的表面积为________.

(2)(2018·佛山一中月考)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

解析 (1)如图，连接OA ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC .

因为平面SAC ⊥平面SBC ，平面SAC ∩平面SBC ＝SC ，且OA 平面SAC ，所以OA ⊥平面SBC .

设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以V A －SBC ＝13×S △SBC ×OA ＝13×12×2r ×r ×r ＝

13r 3， 所以1

3r 3＝9?r ＝3，所以球O 的表面积为4πr 2＝36π.

(2)因为△AOB 的面积为定值，所以当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O －ABC 的体积取得最大值.由13×12R 2×R ＝36，得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2

＝144π.

答案 (1)36π (2)C

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

解析 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16

π.

所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·

? ????16π2·5≈320

9(立方尺). 故堆放的米约有320

9÷1.62≈22(斛). 答案 B

2.(2018·北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A.π

B.2π

C.3π

D.8π

解析 由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥. ∴该几何体的体积V ＝3×π×12－13·π×12×3＝2π.

答案 B

3.(2018·九江联考)如图所示，某简单几何体的主视图与左视图相同，则此几何体的表面积为( )

A.6π

B.2

3π＋ 3 C.4π

D.2π＋ 3

解析 此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成.表面积

为S＝4π

2＋

1

2×2×2π＝4π.

答案 C

4.(2016·全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()

A.18＋36 5

B.54＋18 5

C.90

D.81

解析由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.

由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为32＋62＝3 5.故该几何体的表面积S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×35)×2＝54＋18 5.

答案 B

5.(2018·商丘模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，主视图和俯视图都是边长为10 cm的正方形，将该材料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近()

A.3 cm

B.4 cm

C.5 cm

D.6 cm

解析由题意，知该硬质材料为三棱柱(底面为等腰直角三角形)，所以最大球的半径等于左视图直角三角形内切圆的半径，设为r cm，则10－r＋10－r＝10 2. ∴r＝10－52≈3.

简单几何体的表面积与体积

第2节简单几何体的表面积与体积 最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 知识梳理 1.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 3.简单几何体的表面积与体积公式 [常用结论与微点提醒] 1.正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝3a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2. 3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.() (2)球的体积之比等于半径比的平方.() (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.() (4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝ 3 2a.() 解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确. 答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.(教材练习改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为() A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.3 2cm 解析由题意，得S 表 ＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm). 答案 B 3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A.12π B.32 3π C.8π D.4π 解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3 a，即R＝ 3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为() A.π B.3π 4 C. π 2 D. π 4

简单几何体的表面积和体积(含答案)

简单几何体的表面积和体积 [基础知识] 1．旋转体的侧面积 2S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高) S 正棱台侧＝1 2 (c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高) 3．体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝_____ (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S)h ． [基础练习] 1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( ) A ．8 B ．8π C ．4π D ．2 π 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) A ．1＋2π2π B ．1＋4π4π C ．1＋2ππ D ．1＋4π2π 3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶8 4．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( ) A ．a ∶b B ．b ∶a C ．a 2∶b 2 D ．b 2∶a 2 5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( ) A ．24π cm 2, 12π cm 3 B ．15π cm 2, 12π cm 3 C ．24π cm 2, 36π cm 3 D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( ) A ．7＋ 2 B ．112＋ 2 C ．7＋ 3 D ．3 2 [典型例题] 例1. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线 将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．

空间几何体的表面积与体积

§8.1 空间几何体的表面积与体积 基础自测 1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=4 1A 1B 1，则多面体P- BCC 1B 1的体积为 2.已知正方体外接球的体积为 3 32π,那么正方体的棱长等于 3.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 4.三棱锥S-ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S-ABC 的表面积是 . 例1 如图所示，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a ，BC=b ，BB 1=c ，并且a >b >c >0.求沿着长方体的表面自A 到C 1 的最短线路的长. 例2 如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC =30°)及其体积. 例3 如图所示，长方体ABCD —''''D C B A 中，用截面截下一个棱锥C — ''DD A ，求棱锥C —''DD A 的体积与剩余部分的体积之比.

例4 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积. 1.如图所示，在直三棱柱ABC- A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2.P是BC1上一动点，则CP+P A1的最小值是 . 2.如图所示，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为 3.如图，三棱锥A-BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥A-BCD的体积. 4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a, 侧棱长为2a. （1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积.

空间几何体的表面积和体积(教案)

41中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积 一．命题走向 由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 二．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：?? ?=++=++24 )(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。

P A D O 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴S △AEF = 4 1S, V 1= 31h(S+4 1S+41?S )=127 Sh V 2=Sh-V 1= 12 5 Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型2：锥体的体积和表面积 例3．（2006上海，19）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ，求四棱锥P －ABCD 的体积？ 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBO=60°。 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ， 于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。 ∴四棱锥P －ABCD 的体积V= 3 1 ×23×3=2。 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 例4．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ， DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ） A ．S 1S 2 C ．S 1=S 2 D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 C

空间几何体的表面积和体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥

3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。

分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得： PF PE AB CD =

简单几何体表面积

运用二 表面积 【例2】(1)（2019·山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27π B.36π C.54π D.81π (2)（2019·福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A ．2 B ．422+ C ．442+ D ．642+ (3)（2019·安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ） A ．1662+ B ．1682+ C ．1262+ D ．1282+ 【答案】(1)B(2)D(3)D 【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ?=π． (2)根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2， ∴几何体的表面积12222222264 2.2 S =?+??=+故选：D ．

(3)由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD ＝4，AB ＝2，四棱锥的高为2． 则其表面积为S 111424222224221282222=?+ ??+???+??=+．故选：D ． 【举一反三】 1．（2019·湖南高一期末）已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（ ） A.14 B.12 C.23 D.45 【答案】C 【解析】设圆柱底面圆的半径为r ，则高2h r =，该圆柱的侧面积为224r h r ππ?=，表面 积为222 426r r r πππ+=，故该圆柱的侧面积与表面积的比值为224263r r ππ=. 2．（2019·湖南高三期末（文））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．2+2 B ．2 C ．1+22 D ．5 【答案】A

空间几何体的表面积与体积教学设计教案

空间几何体的表面积与体积教学设计教案 1、教学目标 1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 2、教学重点/难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导 3、教学用具投影仪等、 4、标签数学，立体几何教学过程 1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。

2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图： （4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高) 4、例题分析讲解（课本）例 1、例 2、例 35、巩固深化、反馈矫正教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为。 （答案：） 2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2352cm3）

人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷(1)

人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷（1） 一、选择题（本大题共3小题，共15.0分） 1.如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2， 动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′?EFQ的体积() A. 与点E，F位置有关 B. 与点Q位置有关 C. 与点E，F，Q位置都有关 D. 与点E，F，Q位置均无关，是定值 2.某圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为() A. √15 B. 4 C. 3 D. 2 3.半径为2cm的球的体积是() A. 8π 3cm3 B. 16π 3 cm3 C. 32 3 πcm3 D. 64 3 πcm3 二、填空题（本大题共11小题，共55.0分） 4.(1)已知正六棱柱的各棱长都为a，那么其体积是________． (2)若正四棱锥的高为6，侧棱长为8，则棱锥的体积为________． (3)如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，那么圆柱、球、圆锥的体积 之比为________． 5.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为8和18，侧棱长为13，则这个棱台的侧面积为 ______ ． 6.已知正四棱锥P?ABCD的体积为4 3 ，底面边长为2，则侧棱PA的长为_______． 7.一个六棱锥的体积为2√3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面 积为?． 8.表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为______ ．

9.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为2√3，则这个圆锥的全面积为______ ． 10.将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________． 11.圆台两底面的半径分别为2和5，母线长是3√10，则它的轴截面的面积为____. 12.已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3:b3的 值为______． 13.已知三棱锥S?ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，则三棱锥S?ABC体积的最大值为 ______ ． 14.如图，在平面四边形ABCD中，AB丄AD，AB=AD=1，BC=CD=5，以 直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为______． 三、解答题（本大题共2小题，共24.0分） 15.正六棱锥的底面周长为24，斜高SH与高SO所成的角为30°． 求： (1)棱锥的高； (2)侧棱长．

常见几何体的体积和表面积公式及三视图

常见几何体的体积和表面积公式及三视图

谨记常见几何体的三视图特点：一般情况下，（1）视图中有两个是矩形的几何体是柱体；（2）视图中有两个是三角形的几何体是锥体；（3）视图有两个是梯形的几何体是台体；（4）视图中有两个是圆的几何体是球.

积为（

】如图，网格纸上小正方形的 2016年全国III高考）如图，网格纸上小正方 形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视 图，则该多面体的表面积为 三视图还原几何体方法：（1）理解“正俯一样长，正侧一样高，侧俯一样宽”；（2）画一个长方体，找准三视图中的点和边在长方体中的对应位置，在长方体中排除掉没有对应的顶点；（3）把剩下的顶点用线连起来，注意线的虚实；（4）结合三视图进行检验.（此法适用于棱锥、棱柱的三视图还原，可看作是由长方体拼接或切割而成）.若三视图中有半圆和圆的，要联想到圆柱、圆锥、圆台和球.

【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为__________. 【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2 ABC π ∠= ，//,222AD BC BC AD AB === .将 梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为__________. 【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为___________. 【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥， 6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是____________.

高考理科数学一轮总复习第八章简单几何体的再认识(表面积与体积)

第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积) 一、知识梳理 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝1 3 S 底h 台 体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝1 3 (S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2 V ＝43 πR 3 常用结论 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r ＝ 3 2a (a 为正方体的棱长)． (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝a 2(a 为正方体的棱长)． (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r ＝2 2 a (a 为正方体的棱长).2.正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)．

(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝6 4 a (a 为正四面体的棱长)． (3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝6 12 a (a 为正四面体的棱长)． 二、教材衍化 1．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________． 解析：S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， 所以r 2＝4，所以r ＝2. 答案：2 cm 2． 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________． 解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b × 12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝47 48 abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47. 答案：1∶47 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积； (2)考虑不周忽视分类讨论； (3)几何体的截面性质理解有误；

高中数学新教材必修第二册专题8.3 简单几何体的表面积与体积(原卷版)

专题8.3 简单几何的表面积与体积

运用一 体积 【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 （2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） B. D.（3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A.112 3 B.136 3 C.48 D.56

【举一反三】 1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．22π B ．2π C ．2 2π D ．2 3π 2．（2019·河北高三月考（理））圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ） A B ．4 C ．3 D ．2 3．设正六棱锥的底面边长为1 ） A. C. D.2 4．已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）． A ．14π B ．143π C D ． 5．（2019·四川绵阳中学高一月考）圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A.40π B.52π C.50π D.2123 π 运用二 表面积 【例2】(1)（2019·山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27π B.36π C.54π D.81π (2)（2019·福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A ．2 B ．4+ C ．4+ D ．6+ (3)（2019·安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ）

空间几何体的表面积与体积

§1.3 空间几何体的表面积与体积 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教材分析 本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目 的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方 法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积. 接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的 表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行 四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面 图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题. 教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可 引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形， 圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路 进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚 它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在 分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系. 由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看 成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下. 关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较 大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等； ②一 个几何体的体积等于它的各部分体积 的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积 公式的推导是建立在等体积概念之上的. 柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公 式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与 等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论. 与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系， 是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式. 值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引 导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在 公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信 息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来 增强空间想象能力. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）. （2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. （3）培养学生空间想象能力和思维能力. 2．过程与方法 让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力. 3．情感、态度与价值观 通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.

第六讲简单几何体的表面积与体积的计算

第六讲简单几何体的表面积与体积的计算第六讲简单几何体的表面积与体积的计算 一、四种常见几何体的平面展开图 1.正方体 沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。 图6─ｌ只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。 2.长方体 沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。 3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面

的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由 一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底 面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面 展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。 4.（直）圆锥体 沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥 体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为 圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一 个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见 图6—4。二、四种常见几何体表面积与体积公式 1.长方体 长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a） 长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。 2.正方体 正方体的表面积=6×a2 正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。

3.圆柱体 圆柱体的侧面积=2πRh 圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R） 圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。 4.圆锥体 圆锥体的侧面积=πRl 圆锥体的全面积=πRl+πR2 母线长与高）。 三、例题选讲 例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案 没画出来，请你给补上。 分析与解：从图6—5和图6—6中可知：与；与；与互相

第二节 简单几何体的表面积和体积(知识梳理)

第二节简单几何体的表面积和体积 复习目标学法指导 1.柱、锥、台体的表面积 和体积公式. 2.球的表面积和体积公 式. 3.一些简单组合体表面积 和体积的计算. 4.柱、锥、台体之间关 系.(发展要求) 1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和 底面积. 2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开 图. 3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台, 进一步求出面积、体积. 4.所有公式均不要求记忆. 空间几何体的表面积和体积公式如下 表面积体积 S表=S侧+2S底 表面积即空间几何体 暴露在外的所有面的 面积之和 棱柱的底面积 为S, 高为 h,V=S·h V柱=S·h S=S′ V台 =1 3 (S′+ S S +S)h S表=S侧+S底 棱锥的底面积 为S, 高为

h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13 S ·h S 表=S 侧+ S 上底+S 下底 棱台的上、下 底面 面积分别为 S ′,S, 高为h, V=13 (S ′+ S S +S)h 圆柱的底面半 径和 母线长分别为r,l S 表=2πr 2+2π rl 圆柱的高为 h, V=πr 2h 圆锥的底面半 径和 母线长分别为 r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为 h, V=13 πr 2 h 圆台的上、下底面半 径和母线长分 圆台的高为 h, V=13 π(r ′2+

别为 r,r′,l,S表= π(r′2+ r2+r′l+rl) r′r+r2)h 球 球半径为R, S球=4πR2 V球=4 3 πR3 1.概念理解 (1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露 或遮挡. (2)求空间几何体体积的常用方法 ①公式法:直接根据相关的体积公式计算. ②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得 体积计算更容易,或是求出一些体积比等. ③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体. 2.求面积或体积中相关联的结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2

考点 简单几何体的表面积和体积

简单几何体的表面积和体积 1．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为() A．280B．292 C．360 D．372 2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积() A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关 3．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为() A．24 cm3B．48 cm3 C．32 cm3D．28 cm3 4．已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()

A．24－ 3π 2B．24－ π 3C．24－πD．24－ π 2 5．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是() A．8πB．6πC．4πD．π 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于() A. 28 3 π B. 16 3 π C. 4 3 π＋8 D．12π 7.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 8.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE?△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ) 23 .. 33 43 .. 32 A B C D 9.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ) 10.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为( ) .42.22 .32.6 A B C D ++ +

空间几何体的表面积与体积 示范教案

1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 整体设计 教学分析 本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积. 接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题. 教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下. 关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的. 柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论. 与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式. 值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力. 三维目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.

空间几何体的表面积和体积经典例题(学生讲义)

空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2

高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题

空间几何体的表面积和体积例题解析 一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π 。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。∴点O 在∠BAD 的平分线上。