热力学一般关系(热学 高等数学 偏微分)

第二部分工质的热力性质

六热力学函数的一般关系式

由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U、熵S）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H、自由能F、自由焓G等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p、体积V、温度T等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。

这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。

热力学函数一般关系式 全微分性质+基本热力学关系式

状态函数的数学特性

对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的一些基本定理。

设函数),(y x f z =具有全微分性质

dy y z dx x z dz x

y ?

??? ????+???

????= （6-1） 则必然有

（1） 互易关系

令式（6-1）中

),(y x M x z y =????

????， ),(y x N y z x

=???? ???? 则 y

x x N y M

???? ????=?

???

???? （6-2）

互易关系与?=0dz 等价。它不仅是全微分的必要条件，而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有全微分。

（2） 循环关系

当保持z 不变，即0=dz 时，由式（6-1），得

0=???? ????+???

????z x

z y dy y z dx x z

则 x

y z

y z x z x y ???? ????????

????-

=???? ???? 故有 1-=????

???????? ???????? ????y z x

z x x y y z （6-3）

此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即))()((xzy yxz zyx 循环就行了。

（3） 变换关系

将式（6-1）用于某第四个变量ω不变的情况，可有

ωωωdy y z dx x z dz x

y ?

??? ????+???

????= 两边同除以ωdx ，得

ω

ω???

?????

??? ????+??? ????=??? ????x y y z x z x z x y （6-4） 式中：y

x z ??? ????是函数),(y x z 对x 的偏导数；ω???

????x z 是以),(ωx 为

独立变量时，函数),(ωx z 对x 的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分重要。

（4） 链式关系

按照函数求导法则，可有下述关系： 1=???

??????? ????y

y z x x z （6-5）

1=???

??????? ??????? ????y

y y z x x z ωω （6-5a ）

这是在同一参数（如y ）保持不变时，一些参数),,,(Λωx z 循环求导所得偏导数间的关系。若将关系式中每个偏导数视为链的一环，则链式关系的环数可随所涉及参数的个数而增减。

以上这些关系式都是针对二元函数的，即以具有两个独立状态参数的简单系统为背景。但对具有两个以上独立参数的系统即多元状态函数，其也有推广价值。

例题6-1 已知理想气体状态方程为RT pv =，试检验v 是否有全微分。

解 由状态方程得 p

RT

v =，故有

dp p v dT T v dv T

p ???? ????+???

????=

dp p

RT dT p R 2-= 于是

p

R

p T M =

),(，

2

),(p

RT

p T N -=

而

2p R p R p p M T

T -=????

????=???? ????

22p R p RT T T N p

-=???

?

????-=?

??? ????

二者相等，可见v 有全微分，即其为状态函数。

基本热力学关系式

6.2.1 基本热力学关系式

为简单计，以下推导全部采用比参数。由热力学第一定律，得

w du q δδ+= （3 -18d ） 对简单可压缩系统，若过程可逆，则pdv w =δ，故 pdv du q +=δ

而由热力学第二定律

Tds q =δ （4-14b ） 二式联立，最后得

pdv Tds du -=

（6-6）

式（6-6）表达了热力学基本定律对系统状态参数变化的限制，是导出其它热力学关系式的基本依据，称为基本热力学关系式。

需要指出的是：虽然式（6-6）是从可逆变化推导而来，但因为du 是状态函数的变化，它只与变化前后的状态有关，而与实际过程的可逆与否无关，所以对于不可逆变化仍然适用。但若作为能量平衡方程，它只适用于可逆过程。 由焓的定义

pv u h += 得

vdp pdv du pv d du dh ++=+=)( 将式（6-6）代入上式，可得

vdp Tds dh += （6-7）

同样，由自由能的定义 Ts u f -= 可得

pdv sdT df --= （6-8） 由自由焓的定义 Ts h g -= 可得

vdp sdT dg +-= （6-9）

以上式（6-7）～（6-9）为基本热力学关系式用组合参数表达的形式，故式（6-6）～（6-9）可统称为基本热力学关系式。

6.2.2 特性函数

基本热力学关系式（6-6）～（6-9）分别为以特定参数为独立变量的状态函数),(v s u 、),(p s h 、),(v T f 、),(p T g 的全微分表达式。这些函数有一个很重要的性质，就是它们的偏导数各给出一个状态函数。 对于函数),(v s u ，将其全微分解析式

dv v u ds s u du s

v ??? ????+??? ????= 与式（6-6）作对比，即得

T s u v

=???

????

（6-10）

p

v u s

-=???

????

（6-11）

同样，由于式（6-7）是函数),(p s h 的全微分，则有

T s h p

=???

???? （6-12）

v p h s

=????

????

（6-13）

式（6-8）是函数),(v T f 的全微分，有

s T f v

-=???

????

（6-14）

p v f T

-=???

????

（6-15）

式（6-9）是函数),(p T g 的全微分，有

s T g p

-=???

???? （6-16）

v p g T

=????

???? （6-17）

正因为如此，只需知道上述函数中的任意一个函数，就可确定出所有的状态函数。如已知),(v T f ，则由式（6-14）可得),(v T s ；由式（6-15）可得),(v T p 即状态方程；由自由能的定义Ts u f -=可得

v

T f T f v T u ???

????-=),(

由焓的定义pv u h +=可得

v v f T f T f v T h T

v ???

????-??? ????-=),(

由自由焓的定义pv f Ts h g +=-=可得

v v f f v T g T

???

????-=),(

由此可见，若状态函数的独立参数选择适当，则可由这个函数及其偏导数得到所有的状态函数，从而将工质的平衡性质完全确定。这样的函数称为特性函数。

特性函数包含了系统平衡状态的所有信息，它的自变量是特定的。一经变换虽然还是状态函数，但由于信息丢失而不再是特性函数了，这一点需特别注意。除了上面已给出的

),(v s u 、),(p s h 、),(v T f 、),(p T g 这四个特性函数，还

可通过基本热力学关系式寻找其它的特性函数。如将式（6-6）写成

dv T

p du T

ds +

=

1 （6-18）

则可知 ),(v u s 也是特性函数；将式（6-7）写成

dp T

v

dh T ds -=1 （6-19）

则可知 ),(p h s 也是特性函数，等等。

特性函数为联系各热力学函数的枢纽。在许多实际问题中，常采用v T ,或p T ,这些可测量作独立变量，所以),(v T f 和

),(p T g 是两个最重要的特性函数。

6.2.3 麦克斯韦关系

由于基本热力学关系式（6-6）～（6-9）是各特性函数的全

微分表达式，故可对它们应用互易关系式（6-2），因此可得

v

s s p v T ???

????-=??? ????

（6-20）

p

s s v p T ???

????=???? ???? （6-21）

v

T T p v s ???

????=??? ???? （6-22）

p T

T v p s ???

????-=???? ???? （6-23）

这四个关系式称为麦克斯韦关系。借助它们可将包含不可测量熵s 的关系式代换成用可测量p 、v 、T 表达的关系式。

热系数

状态函数的某些偏导数具有明确的物理意义，能表征工质的一定的热力性质，且可由实验测定，因而成为研究工质热力性质的重要数据，称为热系数。常用的热系数有：热膨胀系数、定温压缩系数、绝热压缩系数、压力温度系数、定容比热、定压比热和绝热节流系数等。

1. 热膨胀系数

p

p T v v ???

????≡1α

（6-24）

热膨胀系数表征物质在定压下的体积随温度变化的性质，单位为1-K 。

2. 定温压缩系数

T

T p v v ????

????-≡1κ （6-25）

定温压缩系数表征物质在恒定温度下的体积随压力变化的

性质。由于所有物质的T

p v ????

????均为负值，故在定义式中引入

负号，而使T κ为正值。其单位为1-Pa 。

3. 压力温度系数

v

v T p p ???

????≡1β （6-26）

压力温度系数表征物质在定容下的压力随温度变化的性质，单位为1

-K 。

由微分的循环关系式（6-3），有

1-=????

??????? ??????? ????T

p v p v v T T p

因而，上面的三个热系数之间有如下关系

v T p p βκα=

（6-27）

显然，如果有了工质的状态方程，就可计算出这三个热系数。反之，如果由实验测出这些热系数数据，就可积分得到状态方程式。

4. 绝热压缩系数

s

s p v v ????

????-≡1κ （6-28）

绝热压缩系数表征工质在可逆绝热（定熵）变化中体积随压

力变化的性质，单位为1

-Pa 。

5. 定容比热

v

v dT q c ???? ??≡δ

（6-29）

定容比热表征物质在定容下的吸收热量的能力，单位为

)/(K kg kJ ?。

根据热力学第一定律解析式

w du q δδ+= （3-18d ）

对简单可压缩系统，定容下的体积功0=w δ，故du q =δ，

因而

v

v T u c ??? ????= （6-30）

6. 定压比热

p

p dT q c ???

??≡δ （6-31）

定压比热表征物质在定压下的吸收热量的能力，单位为

)/(K kg kJ ?。

对简单可压缩系统，定压下的体积功)(pv d pdv w ==δ，故由式（3-18d ），dh pv u d pv d du q =+=+=)()(δ，因而

p

p T h c ???

????= （6-32）

可直接采用式（6-30）和式（6-32）作为定容比热和定压比热的定义式。这样能更清楚地表明v c 和p c 是状态函数的偏导数，是热系数。此外，在物理意义上，可表明它们对状态函数内能和焓h 的研究与计算起着重要作用，而不仅仅是计算热量。

7. 绝热节流系数

h

J p T ????

????≡μ

（6-33）

绝热节流系数（又称焦耳－汤姆逊系数）表征物质绝热节流过程的温度效应。J μ的数据可通过焦耳－汤姆逊实验测定，并可用以导出工质的状态方程式。因此，在工质热力性质的研究中，它是一个很重要的热系数。

例题6-2 已知水银的体膨胀系数13101819.0--?=K p α、定温压缩系数151087.3--?=MPa T κ，试计算液态水银在定容下温度由K 273升高到K 274时的压力增加。 解 由式（6-26）和式（6-27），有

K MPa MPa K p T p T p v v

/70.41087.3101819.01513=??===???

????----καβ 可见，液态水银温度定容升高1度，压力将增加MPa 70.4。因此，保持水银的体积不变，容器承受了相当大的压力。

例题6-3 若已从实验数据整理出物质的体膨胀系数和等温压缩系数分别为 Tv

a v p -=

α， pv a v T 4)

(3-=κ

其中a 为常数。试推导出该物质的状态方程。

解 对于以p 、T 为独立变量的状态方程),(T p v v =，有

dT T v dp p v dv p T

???

????+???? ????=

因为

p p p v v ???? ????=1α， T

T p v v ???? ????-=1κ 所以

vdT vdp dv p T ακ+-=

代入题给的p α及T κ表达式，得

dT Tv

a

v v dp pv a v v dv -+--=4)(3

分离变量

dT T

dp p a v dv 143+-=- 积分得

C T p a v ln ln ln )ln(4/3++=--

即

CT a v p =-)(4/3

此即为该物质的状态方程，其中C 为积分常数。

熵、内能和焓的一般关系式

从理论上讲，可通过基本热力学关系式积分得到特性函数，再由特性函数得到其它状态函数，就可确定出工质的热力性质。但基本热力学关系式以及特性函数有一个很大缺陷，即

u 、h 、s 及f 、g 本身的数值都不能用实验方法直接测定，

更谈不上积分求解。因此，必须对基本热力学关系式作些代换，以得到完全用可测量表达的熵s 、内能u 和焓h 的全微分表达式，或称一般关系式。这些表达式以可测参数p 、v 、

T 中的任一对作独立变量，且式中只包含

p 、v 、T 和可测

的热系数。这样就可利用实验数据积分得到所需的状态函数。

6.4.1 熵的一般关系式

1. 以T 、v 为独立变量

以T 、v 为独立变量，即),(v T s s =，则

dv v s dT T s ds T

v ???

????+??? ????=

（A ）

由全微分的链式关系式（6-5a ）及定容比热定义式（6-30），并考虑到式（6-10），有

1=???

??????? ??????? ????v

v v s u u T T s T c s u T u T s v

v

v v =???

?????

?? ????=?

?? ???? （B ）

由麦克斯韦关系式（6-22），有

v

T T p v s ???

????=??? ????

（C ）

将式（B ）、式（C ）代入式（A ），得 dv T p dT T c ds v

v ??? ????+= （6-34）

此称为第一ds 方程。

2. 以T 、p 为独立变量

以T 、p 为独立变量，即),(p T s s =，则

dp p s dT T s ds T

p ???? ????+???

????=

（A ）

同样，由式（6-5a ）、式（6-32）和式（6-12），有

T c s h T h T s p p

p p =???

?????

??

????=

???

???? （B ） 由式（6-23），有 p T

T v p s ???

????-=???? ????

（C ）

将式（B ）、式（C ）代入式（A ），得

dp T v dT T c ds p

p

???

????-= （6-35）

此称为第二ds 方程。

3. 以

p 、v 为独立变量

以p 、v 为独立变量，即),(v p s s =，则

dv v s dp p s ds p v

??? ????+?

??? ????= （A ） 由链式关系式（6-5a ），及上面两个ds 方程推导中的（B ）式，有

v v v v v p T T c p T T s p s ????

????=???? ?

?????? ????=???? ????

（B ） p

p p p p v T T c v T T s v s ??? ????=???

??????? ????=??? ????

（C ）

将式（B ）、式（C ）代入式（A ），得

dv v T T c dp p T T c ds p

p v v ??? ????+????

????= （6-36）

此称为第三ds 方程。它也可由式（6-34）和式（6-35）联立消去dT 得到。

三个ds 方程中，以第二ds 方程最为实用，因定压比热p c 较定容比热v c 易于测定。上述ds 方程推导中，对工质没作任何假定，故它们可用于任何物质，当然也包括理想气体。只要将理想气体的状态方程代入式（6-34）～式（6-36），就可得理想气体的熵变计算式。

6.4.2 内能的一般关系式

将所得到的三个ds 方程分别代入基本热力学关系式

pdv Tds du -= （6-6）

便可得到三个du 方程。

将第一ds 方程代入式（6-6）并整理，得

dv T p T p dT c du v v ???

??

???? ????--= （6-37）

此称为第一du 方程。它是以T 、

v 为独立变量的内能),(v T u 的全微分表达式。

将第二ds 方程代入式（6-6），并将式中的dv 按以T 、p 为独立变量作如下展开：

dp p v dT T v dv T

p ???? ????+???

????=

然后整理得

dp p v p T v T dT T v p c du T p p p ???

??????

??? ????+??? ????-????

??????? ????-= （6-38） 此称为第二du 方程。它是以T 、p 为独立变量的内能),(p T u 的全微分表达式。

将第三ds 方程代入式（6-6）并整理，得

dv v T c p dp p T c du p p v v ???

?

??????? ????--???? ????= （6-39）

此称为第三du 方程。它是以p 、v 为独立变量的内能)

,(v p u 的全微分表达式。

在以上三个du 方程中，第一du 方程的形式较简单，计算较方便，故使用较广泛。因此，在计算内能变化时，宜选择T 、

v 为独立变量。

6.4.3 焓的一般关系式

与推导du 方程类似，将各个ds 方程分别代入基本热力学关系式

vdp Tds dh += （6-7） 可得到相应的dh 方程。

将第一ds 方程代入式（6-7），并将其中的dp 按以T 、v 为独立变量展开，整理得

dv v p v T p T dT T p v c dh T v v v ???

?????? ????+??? ????+????????? ????+= （6-40）

此称为第一dh 方程。它是以T 、v 为独立变量的焓),(v T h 的全微分表达式。

考研数学高数定理证明的知识点

考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点 这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求 会证。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推 举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想 必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导” 和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得 函数在该点的导数为0。 前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直 接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔 定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连 续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。 那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响 下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若 最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况 讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条 告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值 和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在 开区间上任取一点都能使结论成立。 拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，

若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过 程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。 以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑 在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗 尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子 是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现 场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函 数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值 换成x，再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。 几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为 陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公 式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急 功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可 能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。 这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中 未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。 当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写 出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则， 因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。 利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。 该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把

热力学一般关系(热学高等数学偏微分)word版本

第二部分工质的热力性质 六热力学函数的一般关系式 由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U、熵S）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H、自由能F、自由焓G等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p、体积V、温度T等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。 这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。 热力学函数一般关系式 全微分性质+基本热力学关系式6.1 状态函数的数学特性 对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的一些基本定理。

设函数),(y x f z =具有全微分性质 dy y z dx x z dz x y ???? ????+??? ????= （6-1） 则必然有 （1） 互易关系 令式（6-1）中 ),(y x M x z y =???? ????， ),(y x N y z x =???? ???? 则 y x x N y M ???? ????=? ??? ???? （6-2） 互易关系与?=0dz 等价。它不仅是全微分的必要条件，而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有全微分。 （2） 循环关系 当保持z 不变，即0=dz 时，由式（6-1），得 0=???? ????+??? ????z x z y dy y z dx x z

则 x y z y z x z x y ???? ???????? ????- =???? ???? 故有 1-=???? ???????? ???????? ????y z x z x x y y z （6-3） 此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即))()((xzy yxz zyx 循环就行了。 （3） 变换关系 将式（6-1）用于某第四个变量ω不变的情况，可有 ωωωdy y z dx x z dz x y ? ??? ????+??? ????= 两边同除以ωdx ，得 ω ω??? ????? ??? ????+??? ????=??? ????x y y z x z x z x y （6-4） 式中：y x z ??? ????是函数),(y x z 对x 的偏导数；ω??? ????x z 是以),(ωx 为 独立变量时，函数),(ωx z 对x 的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分重要。

第06章 热力学微分关系式

第六章 热力学微分关系式 1．基本概念 自由能：F =U －TS ，F 称为自由能，或称亥姆霍兹（Helmholtz ）函数。 自由焓：令G = H －TS ，G 称为自由焓，或称吉布斯（Gibbs ）函数。 2．重要公式 热力学能的基本关系式： V p U W U Q d d d +=+=δδ V p S T U d d d -= 焓的基本关系式： p V V p U H d d d d ++= p V S T H d d d += 自由能基本关系式： V p T S F d d d --= 自由焓的基本关系式： P V T S G d d d +-= 麦克斯韦关系式： v s )()( S p V T ??-=?? p s )()(S V p T ??=?? v T )()(T p V S ??=?? p T )()(T V p S ??=??- 热系数： ? ? ?? ?? ?????-=??=??= T p v )(1)(1)(1p v v T v v T p p μβα 式中 α——压力温度系数； v )( T p ??——物质在定容下压力随温度的变化率； β——容积膨胀系数，或称热膨胀系数； p )( T v ??——物质在定压下比体积随温度的变化率；

μ——定温压缩系数，或简称压缩系数； T )( p v ??——物质在定温下比体积随压力的变化率，表示物质在定温条件下受压后的压缩性。 这个偏导数为负值，加负号后，μ仍为正值。 熵方程： v T p T T c s d )(d d v v ??+= p T v T T c s d )( d d p p ??-= v v T T c p p T T c s d )(d )(d p p v v ??+??= 焓方程： p T v T v T c h d ])( [d d p p ??-+= 热力学能的微分方程式： ??-??+=-2 1 21 d ])( [d v v 12v v T T v p T p T T c u u 热量的微分方程式： v v p p d d ( )d d d ()d p q T s c T T v T v q T s c T T p T δδ?==+??==-? 上述两式适用于任意物质的任何可逆过程。 比热容与状态方程式的关系： 2T v 21()()v c p T v T ??=?? 2p T p 21()()c v T p T ??=-?? 2211 2p p T p 2()()d p p v c c T p T ?-=-?? 比定压热容与比定容热容的关系: T 2p v p )()( v p T v T c c ????-=- μ β2 v p Tv c c = - 克拉贝龙方程:

考研数学中值定理五大注意事项

考研数学中值定理五大注意事项 来源：文都图书 中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。 1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。 2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。 3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。 4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。 5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。 其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题

目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。 上述就是值定理需要注意的事项。希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。

考研数学中值定理总结

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。 1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 ②原函数法 ③一阶线性齐次方程解法的变形法 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 ②柯西定理 ③k值法 ④泰勒公式法 老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理 ②柯西定理（与之前所举例类似） 有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。 一、高数解题的四种思维定势 1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分

中值定理对该积分式处理一下再说。 3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 二、线性代数解题的八种思维定势 1、题设条件与代数余子式A ij 或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4、若要证明一组向量a 1,a 2 ,…,a s 线性无关，先考虑用定义再说。 5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7、若已知A的特征向量ζ 0，则先用定义Aζ =λ ζ 处理一下再说。 8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

考研数学专题训练：中值定理

1 中值定理 【本章定位】 本部分内容属于考研数学中的难点内容，而且经常被考生所忽略，往往受到课本中的误导，低估了其难度和重要性，事实证明，在历年考研中，虽不是年年必考，但是出现的几率很大，且一般作为区分题加大了试卷的难度，如 201年的真题中“证明拉格朗日中值定理”的题目，让人无从下手，有人将此归结为看书不仔细，实际上是对本该好好研究学习的内容没有认真把握和总结，没有掌握中值定理的方法和技巧。所以，请考生务必重视！ 1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 1 ()[0,1](0)(1)(0)0 2() (,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ '''''ζ--='''''''= 例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口 因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0 ()(1)()() f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=?--='=--，那么把式变一下： 这时要构造的函数就看出来了②原函数法 ?-?-? ===?=?+=?='ζζζ=ζ'∈ζ?==?dx x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )() ()( ) ()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了 ，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法 造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00

热力学基本公式的导出关系概念图

图1 助学体系材料之五 运用概念图制作技术，掌握热力学函数关系 丽水学院化学化工系 张启伟 材料简介：运用概念图制作技术，构建了热力学函数关系概念图，包括了：四个热力学基本公式的导出关系概念图，八个派生公式及四个麦克斯韦(Maxwell)关系式，便于记忆。 一、热力学基本公式的导出关系概念图： 从热力学第一定律开始，根据各热力学函数的定义式，依次建立四个热力学基本公式的导出关系概念图(见图)。 热力学基本方程的适用条件：于封闭的热力学平衡系统所进行的一切可逆过程。说的更详细些，它们不仅适用于一定量的单相纯物质，或组成恒定的多组分系统发生单纯p , V, T 变化的过程。也可适用于相平衡或化学平衡的系统，由一平衡 状态变为另一平衡态的过程。 二、导出派生公式的二种方法 根据上面的四个热力学基本公式，每个热力学基本公式可派生出二个派生公式，共8个派生公式。分别可以按二种方法得到派生公式，见图。 图2 图3

派生公式汇总表如下：

2 d H = T d S + V d p 等 压 (?H /?S )p =T 等 熵 (?H /?p )S =V 3 d A =－S d T － p d V 等 容 (?A /?T )V =－S 等 温 (?A /?V )T =－p 4 d G =－S d T + V d p 等 压 (?G /?T )p =－S 等 温 (?G /?p )T =V 注：同色偏微分的相同关系。 归纳为四组： T = (?U /?S )V = (?H /?S )p ； p =－(?U /?V )S =－(?A /?V )T V = (?H /?p )S = (?G /?p )T S =－(?A /?T )V =－(?G /?T )p 在学习过程中，一是要注意不同偏微分的相互替代关系；二是要注意难测或难得的偏微分可用一个简单的状态函数取代的关系。 三、麦克斯韦(Maxwell)关系式导出关系概念图 同样以四个热力学基本公式为基础，每个基本公式可导出一个Maxwell 关系式。导出的数学模式概念图如下(见图)：

热力学一般关系

热力学一般关系 本章提要及安排 本章提要： 1．工质的平衡热力性质是指工质状态参数间的函数关系，特别以可测参数为独立变量的热力学能、焓、熵函数在工程应用中尤为重要。 2．对热力学状态函数的研究通常从它们的偏微商着手。在常用状态函数的偏微商中，有的是可以通过实验测定的，常将它们定义为各种热系数；有的则不能用实验的方法得出。 3．工质在准平衡变化中的热力学基本定律表达式同时也表达了热力学状态函数之间的基本关系，又称基本热力学关系式。通过勒让德变换，基本热力学关系可以用不同的组合参数表达。基本热力学关系的一阶偏微商和二阶混合偏微商给出状态函数偏微商之间的一般关系。当然，与热力学基本定律一样这些一般关系对任何工质都是适用的。 4．按照基本热力学关系，可以用可测的状态参数和热系数来表达不能通过实验直接得出的偏微商，从而将各常用状态函数的全微分式用可测的参数及免系数表达出来。这样，就为在实验测定数据的基础上得出工质的状态函数开辟了道路。 5．在工质热力性质研究中，并非所有热系数都是必需沤过实验测定的，应用热系数间的一般关系可以由少虽测得的热系数得到所需的其它热系数。这样，可以大大减少研究中的实验工作量．同时减小由于有限的实验精确度带来的误差。 6．依据本章所导出的一般关系式，应用所讲述的推导方法，还可导得工程中需用的各种函数关系。 7．本章所导出的一般关系式只适用于简单可压缩系统。 本章要求： 1．了解热力学一般关系的内容及其在工质热力性质研究中的地位和作用； 2．掌握导出热力学一般关系的思路和推导方法； 3．熟悉简单可压缩工质基本的和常用的热力学一般关系。 学习建议： 本章学习时间建议共2学时：

2第二章_热力学函数与普遍关系式

第二章 热力学函数与普遍关系式 在给出了热力系统的一段性描述之后，就可以根据热力学第一定律和第二定律建立的解桥式，推导出热力学参数的各种微分关系式。这种推导过程只应用连续可微函数的数学性质，而不涉及系统的特殊情况，因此它们适用于状态连续变化的一切系统以及系统的全部状态，通常称之为热力学普遍关系式。热力学普遍关系式是非常有用的，利用有关的式子，可以由可测量决定非可测量，或对实例量进行热力学一致性检验。此外不论如何严密与细致的实验，所切得的数据总是有限的，在编制参数图表时，必须进行内插与外推，这时普遍关系式是导出有关公式的重要依据。 2-1 热力学一般关系式 1 一般关系式 热力学的普遍关系式 热力学一般关系据热力学基本定律导出，因此是任何工质都必然遵循的关系；是研究工质热力性质的理论基础，适于主要对象有约束作用的复杂系统对复杂系统的热力学分析。 热力学分析的主要对象的限制包括以下几点： ● 化学成分均匀不变 ● 纯物质 ● 不存在运动、毛细、固体变形效应 ● 不存在电场、磁场效应，忽略重力效应。 简单可压缩系统 一种与外界只有热量及准静态容积变化的热力学系统，其中：简单表示只有一种可逆功方式、可压缩表示可逆过程中，以体积变化做功，p d v 确定系统状态所需的参数： 热力学关系式中参数的个数是确定的，它们与能量相互作用方式数有相关关系。一个系统平衡状态所需的独立参数个数，等于可能存在的可逆功方式数再加一。其中，加一是因为系统中的热作用。 两参数法则： 一个简单系统平衡状态可由二个独立状态参数表示，同时二个独立状态参数也确定了一个简单系统平衡状态，即 简单系统平衡状态 2独立状态参数 [例] U ，V 非相互独立。 D ，M 非相互独立。 纯物质：液体 + 蒸汽混合物， T, P 非相互独立

2017考研数学七大中值定理精讲

2017考研数学七大中值定理精讲 来源：文都图书 高数占据了考研数学的半壁江山，而在高等数学中七大中值定理(零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理)是学生在学习过程中认为最难的部分。七大定理的难主要在于难 理解、难应用。在历次考试，包括研究生入学考试中，与中值有关的问题一直是考试中得分最少的题，我们应如何更好的理解与掌握定理，灵活有效的使用定理呢？我们来详细的分析一下这几大定理。 第一，七大定理的归属。 零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。 第二，对使用每个定理的体会。 学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。 1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。 2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。 3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个 函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：

高等数学微分中值定理应用举例

微分中值定理应用举例 单调性与极值 1.函数)(x f 在[]0,1上//()0f x >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0f x >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<， 即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<. 2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：由于///()0f x >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-< 3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号. 解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增, /(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >； D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <. 解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =- 选择B.

考研数学中值定理题型答题技巧分析

2016考研数学中值定理题型答题技巧分析在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面文都网校考研数学老师对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位2016考研的考生参考。 一、中值定理证明题的特点 中值定理证明题主要有以下一些特点： 1.中值定理证明题常常需要作辅助函数; 2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质(包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理)，微分中值定理和积分中值定理; 3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理; 4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。 二、中值定理证明题的常用方法

中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种： 1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明;对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质; 2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理; 3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明：

6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。 对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一，这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助。最后预祝各位考研成功、金榜题名!

高等数学第三章微分中值定理及导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．

热力学一般关系(热学-高等数学-偏微分)

第二部分 工质的热力性质 六 热力学函数的一般关系式 由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U 、熵S ）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H 、自由能F 、自由焓G 等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p 、体积V 、温度T 等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。 这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。 热力学函数一般关系式←全微分性质+基本热力学关系式 6.1 状态函数的数学特性 对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的一些基本定理。 设函数),(y x f z =具有全微分性质 dy y z dx x z dz x y ???? ????+??? ????= （6-1） 则必然有

（1） 互易关系 令式（6-1）中 ),(y x M x z y =???? ????， ),(y x N y z x =???? ???? 则y x x N y M ???? ????=???? ????（6-2） 互易关系与?=0dz 等价。它不仅是全微分的必要条件，而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有全微分。 （2） 循环关系 当保持z 不变，即0=dz 时，由式（6-1），得 0=???? ????+??? ????z x z y dy y z dx x z 则 x y z y z x z x y ???? ???????? ????-=???? ???? 故有1-=???? ???????? ???????? ????y z x z x x y y z （6-3） 此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即))()((xzy yxz zyx 循环就行了。 （3） 变换关系

2013考研数学高数公开课-中值定理辅导讲义

公开课一：中值定理及应用 一、预备知识 1、极值点与极值—设连续))((D x x f y ∈=，其中D x ∈0。若存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)()(0x f x f <，称0x x =为)(x f 的极大点；若存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)()(0x f x f >，称0x x =为)(x f 的极小点，极大点和极小点称为极值点。 2、极限的保号性定理 定理 设)0(0)(lim 0 <>=→A x f x x ，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，)0(0)(<>x f ，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。 【证明】设0)(lim 0>=→A x f x x ，取02 0>=A ε，因为A x f x x =→)(lim 0，由极限的定义，存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，2|)(|A A x f <-，于是02 )(>>A x f 。 3、极限保号性的应用 【例题1】设2| 1|)(lim ,0)1(1=-''='→x x f f x ，讨论1=x 是否是极值点。 【例题2】（1）设0)(>'a f ，讨论a x =是否是)(x f 的极值点； （2）设0)(<'a f ，讨论a x =是否是)(x f 的极值点。 【解答】（1）设0)(>'a f ，即0)()(lim >--→a x a f x f a x ，由极限的保号性，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有0)()(>--a x a f x f 。 当),(a a x δ-∈时，)()(a f x f <；当),(δ+∈a a x 时，)()(a f x f >。 显然a x =不是)(x f 的极值点。 （2）设0)(<'a f ，即0)()(lim <--→a x a f x f a x ，由极限的保号性，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有0)()(<--a x a f x f 。 当),(a a x δ-∈时，)()(a f x f >；当),(δ+∈a a x 时，)()(a f x f <。 显然a x =不是)(x f 的极值点。 【结论1】设连续函数)(x f 在a x =处取极值，则0)(='a f 或)(a f '不存在。

考研数学高数有哪些中值定理的复习重点

考研数学高数有哪些中值定理的复习重点考研数学高数有哪些中值定理的复习重点 七大定理的归属。 零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。 对使用每个定理的体会 学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。 1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。 2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。 3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点： (1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;

(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的; (3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函 数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明; (4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值 定理的区间应当不同; (5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。我 们总感觉证明题无从下手，我认为证明题其实不难，因为证明题的 结论其实是对你的提示，只要从证明结论入手，逐步分析，必然会 找到证明方法。 4、积分中值定理其实是微分中值定理的推广，对变上限函数使 用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于 泰勒定理的形式。因此看到有积分形式，并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用 积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使 用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展 开变上限积分为泰勒展开式。 ?在文字叙述题上下功夫 考生一方面多做些题目，尤其是文字叙述的题目，逐渐提高自己分析问题的能力。另一方面花点时间准确理解概率论与数理统计中 的基本概念。考生在复习过程中可以结合一些实际问题理解概念和 公式，也可以通过做一些文字叙述题巩固概念和公式。只要针对每 一个基本概念准确的理解，公式理解的准确到位，并且多做些相关 题目，再遇到考卷中碰到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。 ?会用公式解题 ?对概率论与数理统计的考点整体把握

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

> 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ ， 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4 , 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， & 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 、 二、填空题 2 x -