江苏高考圆锥曲线专题

第10讲 圆锥曲线

历年高考分析：

回顾2009～20XX 年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、20XX 年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合． 预测在20XX 年的高考题中：

(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．

(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 题型分类：

(1)圆锥曲线的几何性质，如a ，b ，c ，p 的几何性质以及离心率的值或范围的求解； (2)解答题中简单的直线与椭圆位置关系问题；

(3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题； (4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高．

例1：若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10

5，则m 的值是________．

解析：当m >5时，105＝m －5m ，解得m ＝253；当m <5时，105＝5－m 5

，解得m ＝3. 答案：3或253

例2：若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝3

2.

例3：双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．

解析：双曲线方程化为y 26－x 2

3＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d ＝4－26(舍去)．

例4：(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2

m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．

解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4， ∴c ＝

m 2＋m ＋4，由

e ＝c

a ＝5得m 2＋m ＋4m

＝5，解得m ＝2. 例5：已知椭圆()22

2210x y a b a b

+= >>的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，则椭圆

的方程为 ．

例

6：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:C ()22

2210x y a b a b

+= >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中2F 也

是抛物线22

:4C y x =的焦点，点M 为1C 和2C 在第一象限的交点，且25

3

MF =

,则1C 的方程为 ．

例7：(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

例8：(2013南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22

143

x y -=．设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若

2AM MB =，则直线的斜率为_____．

例9：已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为6

3，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，

以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．

(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．

解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝6

3.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝

4.

所以椭圆G 的方程为

x 212＋y 2

4

＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.

由???

y ＝x ＋m ，x 212＋y 2

4＝1，

得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①

设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1

4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，

所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率k ＝2－

m

4

－3＋

3m 4

＝－1.解得m ＝2.

此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB|＝3 2.此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2

＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝9

2.

例10：(2011南京一模)直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →

.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．

解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.

因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y 2

3＝1.

(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)． 由

AF

→

＝

3

FB

→，

得

??

?

3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，

即

??

?

x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，

①

又A 、B 在椭圆C 上，

所以?????

(－3x 2＋12)2

12＋(－3y 2)2

3＝1，x 2

212＋y 223＝1，

解得???

?

?

x 2＝103，

y 2＝2

3

.

所以B ??

?

?103，2

3，代入①得A 点坐标为(2，－2)． 因为OA →·AB →＝0，所以OA ⊥AB.

所以过O 、A 、B 三点的圆就是以OB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2－103x －2

3

y ＝0.

典例1：

(1)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

22:1(0,0)x y E a b a b

-=>>的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与

实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点， 若ABC ?为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ．

(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1

PF 2

＝e ，则该椭圆离

心率e 的取值范围是________．

解析：(1)2 (2)∵

PF 1PF 2＝e ，∴PF 1＝ePF 2＝e (2a －PF 1)，PF 1＝2ae

1＋e

. 又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a (1－e )≤2ae 1＋e ≤a (1＋e )，1－e ≤2e

1＋e

≤1＋e ，解得e ≥2－1.

又0

演练1：设12,F F 分别为椭圆()22

22:10x y C a b a b

+= >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B

两点，直线l 的倾斜角为60ο

，1F 到直线l 的距离为2

3.如果222AF F B =,则椭圆C 的方程为 ．

典例2：(1)(2012·四川高考)椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB

的面积是________．

(2)(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________．

[解析] (1)法一：依题意得知，点F (－1,0)，不妨设点A (2cos θ，3sin θ)(sin θ>0)， 则有B (2cos θ，－3sin θ)，|F A |＝|FB |＝

2cos θ＋1

2＋3sin 2θ＝2＋cos θ，|AB |＝2

3sin θ，

|F A |＋|FB |＋|AB |＝4＋2cos θ＋23sin θ＝4＋4sin ()

θ＋π

6，

当θ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝2k π＋π3，k ∈Z ，2cos θ＝1，3sin θ＝3

2时，△F AB 的周长最大，

此时△F AB 的面积等于12×(1＋1)×3＝3.

法二：椭圆右焦点为F ′(1,0)．

由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .

则△F AB 的周长l ＝|AF |＋|BF |＋|AB |＝4a －(|F ′A |＋|F ′B |)＋|AB |＝4a －||F ′A |＋|F ′B |－|AB ||≤4a . 所以△F AB 周长最大时，直线x ＝m 经过F ′(1,0)，这时|AB |＝3，此时S △F AB ＝1

2×2×3＝3.

(2)由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ，

当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝1

2；

当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝3

2.

[答案] (1)3 (2)12或3

2

解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a ，b ，c 之间关系的区别． 演练2：

(1)已知双曲线x 2a －y 2

2

＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________；

(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．

解析：(1)由a ＋2＝3，可得a ＝1， ∴双曲线方程为

x 2－

y 22＝1，其渐近线方程为x ±y

2

＝0，即y ＝±2x . (2)由y 2＝4x 可知l 2：x ＝－1是抛物线的准线，所以P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离． 动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝|4＋6|42＋32

＝2.

答案：(1)y ＝±2x (2)2

典例3：(2012·北京高考)已知椭圆C ：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A

(2,0)，离心率为

2

2.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为

10

3时，求k的值．

[解](1)由题意得

?

?

?a＝2，

c

a＝

2

2，

a2＝b2＋c2，

解得b＝2，

所以椭圆C的方程为

x2

4＋

y2

2＝1.

(2)由

?

?

?y＝k x－1，

x2

4＋

y2

2＝1

得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝

4k2

1＋2k2

，x1x2＝

2k2－4

1＋2k2

，

所以MN＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝

2 1＋k24＋6k2

1＋2k2

.

又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝

|k|

1＋k2

，

所以△AMN的面积为S＝

1

2MN·d＝

|k| 4＋6k2

1＋2k2

.

由

|k| 4＋6k2

1＋2k2

＝

10

3，化简得7k

4－2k2－5＝0，解得k＝±1.

本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题．

演练3：已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

解：直线AB的方程是y＝22()

x－

p

2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝

5p

4.

由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

典例4：已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m<3)与椭圆E：

x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

(1) 求m的值与椭圆E的方程；

(2) 设Q为椭圆E上的一个动点，求AP

→

·AQ

→

的取值范围．

解：(1) 点A坐标代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m＜3，∴ m＝1.

圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.

设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0. ∵ 直线PF 1与圆C 相切，∴

|k －0－4k ＋4|k 2＋1

＝ 5.解得k ＝112或k ＝1

2.

当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为36

11，不合题意，舍去．

当k ＝1

2时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，

∴ c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0). 2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2. 椭圆E 的方程为：x 218＋y 2

2

＝1.

(2) AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，AQ →

＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵ x 218＋y 2

2＝1，即x 2＋(3y)2＝18，

而x 2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy ≤3.

则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]. x ＋3y 的取值范围是[－6,6]．

∴ AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)

典例5：(2012·南师大信息卷)已知双曲线x 2－y 23＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)．

(1)求椭圆方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .

①若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；

②设过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程． [解] (1)双曲线焦点为(±2,0)， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)．

则???

a 2－

b 2

＝4，4a 2＋9b 2＝1.

解得a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 2

12

＝1.

(2)①由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t >0)． ∵AM ＝MN ，∴M ()

2，t

2.

由点M 在椭圆上，得t ＝6.故点M 的坐标为M (2,3)．

所以MA ＝(－6，－3)，MB ＝(2，－3)，MA ·

MB ＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA ·MB | MA |·|MB |

＝－336＋9·4＋9＝－65

65.

②设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，F ，N 三点坐标代入，得 ????

?

16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，

得???

D ＝2，

E ＝－t

－72

t ，F ＝－8.

圆的方程为x 2＋y 2＋2x －()t ＋72

t y －8＝0，

令x ＝0，得y 2

－()t ＋72

t y －8＝0.

设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，

由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝t ＋

72

t

＝18. 此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.

本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程．

演练5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴

长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ．求证：点T 在椭圆C 上．

解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝2

2

＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以b

a ＝

1－()

c a

2＝

1

2

，解得a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2

2

＝1.

(2)证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1

x 0

x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝

y 0－2

－x 0

x ＋2. ② 设T 点的坐标为(x ，y )．

联立①②解得x 0＝x

2y －3，y 0＝3y －42y －3

.

因为x 208＋y 20

2＝1，所以18????x 2y －32＋12????3y －42y －32＝1.

整理得x 28＋

3y －42

2

＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 2

2

＝1.

所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．

典例6：已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 2

15

＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线D 的方程；

(2)过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ①若直线l 的斜率为1，求MN 的长；

②是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．

[解] (1)由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由a 2－b 2＝16－15＝1，得c ＝1. ∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2. ∴抛物线D 的方程为y 2＝4x . (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．

①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立???

y ＝x －4，y 2＝4x ，

整理得x 2－12x ＋16＝0，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， 所以MN ＝

x 1－x 2

2＋

y 1－y 22＝410.

②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ??

??

x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为H ，

设直线m 与圆E 的一个交点为G .可得GH 2＝EG 2－EH 2， 即

GH 2＝EA 2－EH 2＝

x 1－4

2＋y 2

1

4

－????x 1＋42－a 2＝14y 21＋

x 1－42－x 1＋4

2

4

＋a (x 1＋4)－a 2

＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.

当a ＝3时，GH 2＝3，此时直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意．

以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在．

演练6：已知椭圆C 的离心率e ＝

2

2

，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N .

(1)求椭圆的标准方程；

(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得c a ＝22，a 2

c ＝4，解得c ＝2，a ＝22，

则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2

4＝1.

(2)由(1)易知F 1F 2＝4，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. 设P (4，t )，则直线PF 1方程为y ＝t

6

(x ＋2)，

由???

x 2＋y 2

＝4，y ＝

t

6x ＋2

，

得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4(t 2－36)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－

2

t 2－36

t 2＋36

，

所以M ?

???－

2

t 2－36t 2＋36，24t t 2＋36，同理可得N ????2t 2－4t 2＋4

，－8t t 2＋4. ①若MN ⊥x 轴，则－

2

t 2－36t 2＋36＝2t 2－4

t 2＋4

，解得t 2＝12，此时点M ，N 的横坐标都为1，故直线MN 过定点(1,0)；

②若MN 与x 轴不垂直，即t 2≠12，

此时k MN ＝－8t t 2

＋4－24t

t 2＋362t 2－4t 2＋4＋

2t 2

－36t 2＋36＝－8t

t 2－12

， 所以直线MN 的方程为y －－8t t 2＋4＝－8t t 2

－12???

?x －2t 2－4

t 2＋4， 即y ＝－8t

t 2－12(x －1)，所以直线MN 过定点(1,0)．

综上，直线MN 过定点(1,0)．

专题技法归纳：

(1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，这样可以避免对参数的讨论．

(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c

a 的值．

(3)在双曲线中由于e 2＝1＋b 2

a

2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．

课后练习(十)

1．已知方程x 2m －1＋y 2

2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的

取值范围是________．

解析：若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则????

?

m －1>0，2－m >0，

2－m >m －1，解得1

2

；若方程表示双曲线，则(m －1)(2－m )<0，解

得m <1或m >2.

答案：()

1，3

2 (－∞，1)∪(2，＋∞)

2．点P 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为

________．

解析：由题意得∠F 1PF 2＝90°，PF 1＝2c cos 75°，PF 2＝2c sin 75°，所以2c (sin 75°＋cos 75°)＝2a ，e ＝1

sin 75°＋cos 75°

＝

63

. 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．

解析：直线AB 的方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p

2，代入y 2＝2px 得，y 2－2py －p 2＝0.

则y A ＋y B ＝2p ＝4，p ＝2，准线方程为x ＝－1.

4．(2011·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准

线上，则双曲线的方程为________．

解析：由题设可得双曲线方程满足

3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即

x 2λ3

－y 2λ＝1.于是c 2＝λ3＋λ＝4λ3. 又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ

3＝36，于是λ＝

27.

所以双曲线的方程x 29－y 2

27

＝1.

5．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．

解析：不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在原点，B 点为椭圆的上顶点，F (c,0)(c ＞0)为右焦点，则由BF ＝2FD ，得D 点到右准线的距离是B 点到右准线距离的一半，则D 点横坐标x D ＝a 2

2c ，由BF ＝2

FD 知，c ＝2()

a 2

2c －c ，得3c 2＝

a 2，e ＝

33

. 6．(2011·江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的焦点在x 轴上，过点()

1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB

恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是____ ____．

解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －1

2＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解

得k ＝－3

4，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A ()

35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方

程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 2

4＝1.

7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2

9＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲

线的方程为___ _____．

解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c

a

，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 2

3

＝1.

8．已知双曲线C:22

22

1(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段

BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .

9．设P 点在圆

x 2＋(y －2)2＝1

上移动，点Q 在椭圆x 29

＋y 2

＝1上移动，则PQ 的最大值是________．

解析：圆心C (0,2)，PQ ≤PC ＋CQ ＝1＋CQ ， 于是只要求CQ 的最大值．设Q (x ，y )， ∴CQ ＝

x 2＋

y －2

2＝

91－y 2＋y －22＝ －8y 2－4y ＋13，

∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－1

4时，CQ max ＝

272＝362

， ∴PQ max ＝1＋

36

2

. 10．(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________

解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.

11．(2011·四川高考)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2.椭圆与x 轴交于两点A (a ,0)、B (－a,0)．过点C

的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .

(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ 为定值．

解：(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 2

4＋y 2＝1.

椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为y ＝－

3

3

x ＋1， 代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝83

7，

代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，所以D 点坐标为????837，－17. 故|CD |＝

???

?837－02＋

()－17－12

＝16

7

. (2)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1()

k ≠0且k ≠1

2. 代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝

－8k

4k 2＋1

， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 2

4k 2＋1，所以D 点坐标为????－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2

＋1. 又直线AC 的方程为x

2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)，

联立解得???

x ＝－4k ，

y ＝2k ＋1.

因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．

又P 点坐标为()－1k ，0，所以OP ·OQ ＝()

－1

k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP ·OQ 为定值．

12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2，一条准线l ：x ＝2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点．

①若PQ ＝6，求圆D 的方程；

②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．

解：(1)由题设：???

??

c a ＝22

，a 2c ＝2，

∴???

a ＝2

c ＝1

，∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2

＝1.

(2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2＋()

y －t

2

2＝1＋

t 2

4

，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2 ()1＋t 2

4－?

?

?

??|

|2＋t 2

2－2

4＋t 2

2

＝

6，

∴t 2＝4，∴t ＝±2.

∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②证明：法一：设P (x 0，y 0)， 由①知?

??

??

x 0－12＋()

y 0－t 2

2＝1＋

t 2

4

，2x 0＋ty 0－2＝0即???

x 20＋y 2

0－2x 0－ty 0＝0，2x 0＋ty 0－2＝0，

消去t 得x 20＋y 2

0＝2

∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．

法二：设P (x 0，y 0)，则直线FP 的斜率为k FP ＝y 0

x 0－1.

∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为k OM ＝

x 0－1

y 0

， ∴直线OM 的方程为y ＝－x 0－1y 0x ，点M 的坐标为M ?

??

?2，－

2

x 0－1y 0

.

∵MP ⊥OP ，∴OP ·

MP ＝0， ∴x 0(x 0－2)＋y 0?

??

?y 0＋

2

x 0－1y 0

＝0 ∴x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2

＝2上．

高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线

圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲

7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y

江苏高考圆锥曲线专题

第10讲 圆锥曲线 历年高考分析： 回顾2009～20XX 年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、20XX 年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合． 预测在20XX 年的高考题中： (1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及． (2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 题型分类： (1)圆锥曲线的几何性质，如a ，b ，c ，p 的几何性质以及离心率的值或范围的求解； (2)解答题中简单的直线与椭圆位置关系问题； (3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题； (4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高． 例1：若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10 5，则m 的值是________． 解析：当m >5时，105＝m －5m ，解得m ＝253；当m <5时，105＝5－m 5 ，解得m ＝3. 答案：3或253 例2：若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝3 2. 例3：双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 解析：双曲线方程化为y 26－x 2 3＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d ＝4－26(舍去)． 例4：(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2 m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4， ∴c ＝ m 2＋m ＋4，由 e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2. 例5：已知椭圆()22 2210x y a b a b += >>的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，则椭圆 的方程为 ． 例 6：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:C ()22 2210x y a b a b += >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中2F 也

圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,

江苏历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线

江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线 （2008-2018）试题 1、9．（5分）（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A （0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线 OE的方程为，请你完成直线OF的方程：． 2、12．（5分）（2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为． 3、13．（5分）（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆 的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．

4、6．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ． 5、8．（5分）（2010江苏）函数y=x 2（x ＞0）的图象在点（a k ，a k 2 ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= ． 6、9．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2 =4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ． 7、14．（5分）（2011江苏）设集合 222{(,)| (2),,},{(,)|221,,} 2 m A x y x y m x y B x y m x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A B ≠? 则实数m 的取值范围是______________． 8、8．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 的离心率为 ，则m 的值为 ． 9、12．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2 ﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ． 10、3．（5分）（2013江苏）双曲线 的两条渐近线方程为 ． 11、12．（5分）（2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为（a ＞b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2= ，则椭圆C 的离心率为 ． 12、9．（5分）（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y ﹣3=0被圆（x ﹣2）2 +（y+1）2 =4截得的弦长为 ． 13、10．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 14、12．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2 =1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 15、3．（5分）（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 ﹣ =1的焦距是 ． 16、10．（5分）（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ．

江苏高考数学圆锥曲线性质总结

高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.

8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.

圆锥曲线高考真题江苏卷(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题22：圆锥曲线高考真题江苏卷（解析版） 一、填空题 1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲 线的渐近线方程是_____. 【答案】y =. 【分析】 根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】 由已知得2 2 2431b -=， 解得b =b = 因为0b >，所以b =因为1a =， 所以双曲线的渐近线方程为y =. 【点睛】 双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 2．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为 y= 2 x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32 【分析】 根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】 双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即

22 b a a =?= ，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：3 2 【点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 3．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一 ，则其离心率的值是________． 【答案】2 【解析】 分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,b y x a =± 即0bx ay ±= 的距离为,bc b c = = 所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1 , 2.2 a c e == 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a . 4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2 213 x y -= 的右准线与它的两条渐近线分 别交于点 P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________． 【答案】【解析】 右准线方程为10x = =， 渐近线方程为3y x =±， 设(1010P ， 则( 1010Q ，1(F ，2F ，则10 S == 点睛:（1）已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b y x a b a -=?=±； （2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的

高考理科圆锥曲线(解析打印版)

2012高考理科圆锥曲线 一、选择题 1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：2 2 221x y a b -=（a,b ＞0） 的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是 A. 233 B 。6 2 C.2 D. 3 2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8 3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x = 上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ） A 、22 B 、23 C 、4 D 、25 5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为3.双曲线22 1x y -=的 渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 （A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）22 1205 x y += 6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：22x a -2 2y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， 则C 的方程为

高考数学试题分类大全理科圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

2020年高考数学圆锥曲线小题解题技巧

圆锥曲线高考小题解析 一、 考点分析 1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系； 2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法； 3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质； 4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）； 5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力； 6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题； 7. 定值问题； 8. 最值问题。 二、 真题解析 1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题 1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则 ||AB =___________ 解析：2222230(1)4x y y x y ++-=?++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r = 圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为 (0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB = （1）求l 的方程； （2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。

解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8 sin p AB θ = = ，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =- （2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+ 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则 0022 0005 (1)(1)162 y x y x x =-+?? ?-++= +?? 解得0000 311 2-6x x y y ==????==??或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或 通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：

高考理科圆锥曲线大题

1. （新课标Ⅰ理数）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点1,0B （）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C D ，两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程； （II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 2. （新课标Ⅱ理数）已知椭圆E :22 13 x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率 为()0k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. (I)当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； (II)当2AM AN =时，求k 的取值范围. 3. （新课标Ⅲ理数）已知抛物线C ： 22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点. （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ； （II ）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 4. （2016年北京理数）已知椭圆C ：22221x y a b +=a b 0>>（） A a,0,（）() B 0,b ，O 00（，），OAB △的面积为 1. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。 求证：AN BM g 为定值。 5. （2016年江苏理数）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆 :M 22 1214600x y x y +--+=及其上一点(24)A ， (1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B C 、两点，且BC OA =,求直线l 的方程；

2019全国高考--圆锥曲线部分汇编

2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编 (2019北京理数) （4）已知椭圆22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2 （B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b （D ）3a =4b (2019北京理数) （18）（本小题14分） 已知抛物线C ：x 2=?2py 经过点（2，?1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =?1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． (2019北京文数) （5）已知双曲线2 221x y a -=（a >0）的离心率是5，则a = （A ）6 （B ）4 （C ）2 （D ） 12 (2019北京文数) （11） 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． (2019北京文数) （19）（本小题14分）已知椭圆22 22:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点． (2019江苏) 7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程 是 ▲ . (2019江苏) 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为 F 1（–1、0），F 2（1， 0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:2 2 2 (1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1= 5 2 ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．

(完整word版)江苏高考数学圆锥曲线性质总结材料

标准文档 江苏高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.

标准文档 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、 N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

江苏省高考数学 真题分类汇编 圆锥曲线

九、圆锥曲线 （一）填空题 1、（2008江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆22 22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ?? ??? 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形， 故2 2a a c =，解得22c e a ==． 2、（2009江苏卷13）如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线12A B 的方程为：1x y a b +=-； 直线1B F 的方程为： 1x y c b +=-。二者联立解得：2()(,)ac b a c T a c a c +--， 则() ( ,)2() ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上， 22 22222 ()1,1030,1030()4() c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--， 解得：275e =- 3.（2010江苏卷6）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 112 42 2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________ [解析]考查双曲线的定义。 4 22 MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4。 4.（2012江苏卷8）. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 22 214 x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ． 【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在x 轴上（否则不成立），因此m ＞0，由离心率

(完整版)圆锥曲线的小题专项训练

圆锥曲线的小题 椭圆的离心率 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ． 23 D ． 59 【答案】B 【解析】 试题分析：e = = B ． 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1， A 2，且以线段A 1A 2 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A B C D ． 13 【答案】A 【解析】 试题分析：以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为 222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即： d a = =，

整理可得22 3a b =，即() 222223,23a a c a c =-=， 从而22 223 c e a ==，椭圆的离心率c e a ===， 故选A . 【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝ c a ； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点 重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 1 D ．m

历年圆锥曲线高考题附答案

优秀学习资料 欢迎下载 2 6. 2 2 (2006辽宁卷)曲线 x 匚 10 —m 6 —m 2 x =1(m ：：： 6)与曲线 --- 5 — m 2 y = 1（5 ：： m ：： 9）的 （ ） + 9 -m 7. 8. （A ）焦距相等 （B ）离心率相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同 2 （2006安徽高考卷）若抛物线八2px 的焦点与椭圆气】 A. -2 .2 C . -4 （2006辽宁卷）直线y =2k 与曲线9k 2x 2 y^18k 2 x （A ）1 二、填空题: (B)2 (C)3 9. (2006全国卷I )双曲线 mx 2 ? y 2 =1的虚轴长是实轴长的 10. （2006上海卷）已知在平面直角坐标系 设点A.1丄［,则求该椭圆的标准方程为 「2丿 11. （20XX 年高考全国新课标卷理科 14） 2 厂 1的右焦点重合，则p 的值为（ （k ? R 且k = 0 的公共点的个数为（ (D)4 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F （-、、3,0）,右顶点为D （2,0）, 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F i , F 2在 x 轴上, J 2 离心率为 ——。过l 的直线 交于代B 两点，且 ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 数学圆锥曲线高考题选讲 、选择题: 在BC 边上，则△ ABC 的周长是（ ） （A ） 2 ,3 （B ） 6 （ C ） 4 3 3. （2006全国卷I ）抛物线y - -X 2上的点到直线4x 3y -8 =0距离的最小值是（ 1. (2006 全国 II ）已知双曲线 (A ) I 4 (B)4 x 2 V 2 、、 4 三—$ = 1的一条渐近线方程为 y = 2X ，则双曲线的离心率为（ 5 （c ）4 2. (2006 全国 3 （D ）? x 2 2 II ）已知△ ABC 的顶点B 、C 在椭圆+ y 2= 1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 (D)12 4. （2006广东高考卷） 2 已知双曲线3x 2 -y =9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) A. J B.三 3 C. 2 D. 4 5. （2006辽宁卷）方程2x 2 -5x ? 2 二0的两个根可分别作为（ A. —椭圆和一双曲线的离心率 C. 一椭圆和一抛物线的离心率 E.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率

圆锥曲线高考大题汇编

圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面 积最小时，切点为P （如图），双曲线22 122:1x y C a b -=过点P 且离心率为3. （1）求1C 的方程； （2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程. 2.（福建）（本小题满分13分） 已知双曲线)0,0(1:22 22>>=-b a b y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. （1）求双曲线E 的离心率； （2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ?的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

设椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B . 已知123 2 AB F F . （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率. 4.（江苏）(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆 )0(12 32 2>>=+ b a b y a x 的左、右 焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的 垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1. (1)若点C 的坐标为)3 1 ,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值. 5（陕西）（本小题满分13分） 如图，曲线C 由上半椭圆22 122:1(0,0) y x C a b y a b +=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1 C 的离心率为2 . （1）求,a b 的值； （2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程 .

最新-江苏高考-高考专项·圆锥曲线·小题版·真题(含答案)资料

江苏高考专项系列·圆锥曲线·小题版·真题 【2008-2017?十年高考】 填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.（2008江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）的焦距为2 c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ， 若过P （ c a 2 ，0）作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 2.（2009江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）的四个顶点，F 为其右焦点， 直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 3.（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线42x -122 y =1上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离为 4.（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线m x 2-422 +m y =1的离心率为5，则m 的值为 5.（2013江苏）双曲线 162x -9 2 y =1的两条渐近线的方程为 6.（2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22a x +22 b y =1（a ＞0，b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ， 短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2=6d 1，则椭圆C 的离心率为 7．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 8．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线72x ﹣3 2 y =1的焦距是 9．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点， 且90BFC ∠=?，则该椭圆的离心率是 10．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线3 2 x ﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 【附】【2004-2007年·其他年份考题】 选择题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分． 11.（2004江苏）若双曲线 82x ﹣22 b y =1的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合，则双曲线离心率为（ ） A.2 B.22 C. 4 D.24 12.（2005江苏）抛物线2 4x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）

2020高考题圆锥曲线

（2018全国二卷）19．（12分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ， B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程 （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． （2018全国三卷）20．（12分） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． （2018北京卷）（19）（本小题14分） 已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物 线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围； （2018天津卷）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22 221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为5A 的坐标为(,0)b ，且62FB AB ?=（I ）求椭圆的方程； （II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若52sin 4 AQ AOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. （2018江苏卷）18．（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2 ，

焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程； （2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为 26， 求直线l 的方程． （2018浙江卷）21．（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴) 一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （Ⅱ）若P 是半椭圆x 2 +24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． （2018上海卷）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：28y x =00x t y （≦≦，≧） ，l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点。 （1） 用t 为表示点B 到点F 的距离； （2） 设t =3， 2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3） 设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使 得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。