圆周率的计算历程及意义
圆周率π的计算历程及意义
李毫伟
数学科学学院数学与应用数学学号:080412047
指导老师:王众杰
摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平.
关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序
1、实验时期
通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来
π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3
中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π和2这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率.
早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之
交,新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛.刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率π的值.为此,他大约也是通过做实验,得到一些关于圆周率π的并不划一的近似值.现在根据铭文推算,其计算值分别取为3.1547、3.1992、3.1498、
3.2031比径一周三的古率已有所进步.人类的这种探索的结果,当主要估计圆田面积时,对当时没有太大影响,但以此来制造器皿或其他计算就不太合适了.
2、几何法时期
凭直观推测或实物度量,来计算π值的实验方法所得到的结果是相当粗略的.真正使圆周率π计算建立在科学的基础上,首先应归功于阿基米德.他是科学地研究这一常数的第一个人,是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的,能够把π精确到任意精度的方法.由此,开始了π计算的第二个计算阶段.
图 1
圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形,因此22＜π＜4.当然,这是一个差劲透顶的例子.据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域.阿基米德求圆周率π的更精确近似值的方法,体现在他的一篇论文《圆的测定》之中.在这一书中阿基米德第一次创造性地用上、下界来确定π的近似值,他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于()317+而大于()31071+”,他还提供了误差的估计.重要的是这种方法从理论上而言,能够求得圆周率π的更准确的值.阿波罗尼奥斯得到了3.1416π≈.
到公元前150年左右,希腊天文学家托勒密得出301417π≈,377120π≈取得了自阿基米德以来的巨大进步.
图 2
割圆术,不断地利用勾股定理,来计算正n 边形的边长.
在我国,首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率π.公元263年前后,刘徽提出著名的割圆术,得出 3.14π≈,通常称为“徽率”,他指出这是不足近似值.虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些,但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处.割圆术仅用内接正多边形就确定出了π的上、下界,比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多.另外,有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法,以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均,竟然获得具有4位有效数字的圆周率39271250 3.1416π≈≈.而这一结果,正如刘徽本人指出的,如果通过割圆计算得出这个结果,需要割到3072边形.这种精加工方法的效果是奇妙的.这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分,令人遗憾的是,由于人们缺乏对它的理解而被长期埋没了.
大家熟悉的是祖冲之对π所做出的贡献.对此,《隋书·律历志》有如下记载:"宋末,南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五.约率,圆径七,周二十二."这一纪录指出,祖冲之关于圆周率的两大贡献.一是求得圆周率()3.1415926,3.1415927π∈,二是,得到π的两个近似分数即:约率为227;密率为355113.他算出的8位可靠数字,不但在当时是最精密的圆周率,而且从480年到1429年,祖率在世界数学史上领先了900多年.1912年,日本数学家三上义夫提议把355113π≈称为祖率.
这一结果是如何获得的呢?追根溯源,正是基于对刘徽割圆术的继承和发展,
祖冲之才能得到这一非凡的成果.因而当我们称颂祖冲之的功绩时,不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故.后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话,得到这一结果,需要算到圆内接正12288边形,才能得到这样精确度的值.祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢?这已经不得而知,因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了.这在中国数学发展史上是一件令人痛惜的事.
祖冲之的这一研究成果在国内外享有声誉:我国邮电部发行了祖冲之纪念邮票,且把紫金山天文台1964年11月9日发现的小行星命名为"祖冲之星".1959年,苏联宇宙火箭发现的月球环形山命名为"祖冲之山".巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率π,莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像.
对于祖冲之的关于圆周率π的第二点贡献,即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示π这一点,通常人们不会太注意.然而,实际上,后者在数学上有重要的意义.
密率与π的近似程度很好,但形式上却很简单,并且很优美,只用到了1、3、5、.数学史家梁宗巨教授验证出:分母小于16604的一切分数中,没有比密率更接近π的分数.在国外,祖冲之死后一千多年,西方人才获得这一结果.
可见,密率的提出是一件很不简单的事情.人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢?他是用什么办法把圆周率π从小数表示的近似值化为近似分数的呢?这一问题历来为数学史家所关注.由于文献的失传,祖冲之的求法已不为人知.后人对此进行了各种猜测.
让我们先看看国外历史上的工作,希望能够提供出一些信息.1573年,德国人奥托得出这一结果.他是用阿基米德成果722与托勒密的结果120377用类似于加成法“合成”的:()()113355712022377=--.
1858年,荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得:333106377120π<<,用两者作为π的母近似值,分子、分母各取平均,通过加成法获得结果: ()()()31517106120355113++=
两个虽都得出了祖冲之密率,但使用方法都为偶合,无理由可言.在日本,十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率π时创立零约术,其实质就是用加成法来求近似分数的方法.他以3、4作为母近似值,连续加成六次得到祖冲之约率,加成一百十二次得到密率.其学生对这种按部就班的笨办法作了改进,提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法,（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发,六次加成到约率,第七次出现825,就近与其紧邻的722加成,得1547,依次类推,只要加成23次就得到密率.
钱宗琮在《中国算学史》中提出祖冲之采用了前面提到的由何承天首创的“调日法”或称加权加成法.他设想了祖冲之求密率的过程:以徽率15750,约率227为母近似值,并计算加成权数9x =,于是()()1572295079355113+?+?=,一举得到密率.钱先生说:“冲之在承天后,用其术以造密率,亦意中事耳.”
另一种推测是:使用连分数法.
由于求两个自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行,所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的.于是有人提出祖冲之可能是在求得盈二数之后,再使用这个工具,将3.14159265表示成连分数,得到其渐近分数:3,722,106336,113355,32650102573… 最后,取精度很高但分子分母都较小的355113作为圆周率的近似值.英国李约瑟博士持这一观点.他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说:"密率的分数是一个连分数渐分数,因此是一个非凡的成就."
我们再回过头来看一下国外所取得的成果:
印度的阿耶哈达于450年得到 3.1416π≈.
1424年,中亚西亚地区的天文学家、数学家卡西著圆周论,计算了805306368内接与外切正多边形的周长,求出 3.14159265358979325π≈.有十位有效数字,这是国外第一次打破祖冲之的记录.
16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算π近似值,用 6×216正边形,推算出精确到9位小数的π值.他所采用的仍然是阿基米德的方法,但韦达却拥
有比阿基米德更先进的工具:十进位制.
17世纪初,鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题.他也将新的十进制与早期的阿基米德方法结合起来,但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的,他是从正方形开始的,一直推导出了有262条边的正多边形,约4610000000000000000边形！这样,算出小数35位.为了记念他的这一非凡成果,在德国圆周率π被称为“鲁道夫数”.但是,用几何方法求其值,计算量很大,这样算下去,穷数学家一生也改进不了多少.到鲁道夫可以说已经登峰造极了,古典方法已引导数学家们走得很远,再向前推进,必须在方法上有所突破.
17世纪出现了数学分析,这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解.π的计算历史也随之进入了一个新的阶段.
3、分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算,利用无穷级数或无穷连乘积来算π.这时期是对π的理性认识和精确表示.
1579年,韦达给出:2222222222π
+++=?? 这一不寻常的公式是π的最早分析表达式.甚至在今天,这个公式的优美也会令我们赞叹不已.它表明仅仅借助数字2,通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π的值.
接着有多种表达式出现.如英国的约翰·沃利斯1650年给出:
2244668821334577π
???????=??????
英国的罗尔德·布隆克尔1650年给出: ++++=25232114
2
22π 苏格兰的詹姆斯·格雷里奇于1671年给出: +-+-+-=11
19171513114π 这是π的第一个精确表达式.可是,用它来计算π费时费力,要将π精确到两位数就要计算几百项.
微积分的另一创始人牛顿,找到公式:
357933111124432527292π??=+---- ???????
利用这个公式,牛顿仅发表了15位数字,实在不好意思.后来,他对友人说:我不好意思告诉你,由于那时无事可干.
18世纪,数学家欧拉,发现了π的新的表达式:
， ++++=222241312116π.4
131******** ++++=π 这两个公式看上去非常简洁而完美,但是利用它们计算π并不十分有效. 1699年,亚伯拉罕·夏普利用詹姆斯公式求得π的71位小数.
1706年,梅钦建立了一个重要的公式,现以他的名字命名:
114arctan arctan 45239
π=- 利用分析中的级数展开,他算到了小数后100位.
1719年,法国的代·拉尼将π准确到112位.
1767年,德国的兰伯特证明了π是无理数,
1794年,法国的勒让德证明了2π是无理数.
1844年,达塞利用公式:
111arctan arctan arctan 4258
π=++得到了π的200位小数.
德国的卢瑟福于1853年将π准确到了400位小数.
德国的林德曼于1882年证明了π绝不是任何整数系代数方程的根,即π是超越数,从而得证了不可化圆为方,解决了这个2000多年的难题.这是人类对π的认识的重大突破.
美国的菲格森于1873年将π准确到了710位小数.
1947年,佛格森和小伦奇两人共同发表了808位小数的π.这是人工计算π的最记录.
19世纪以后,类似的公式不断涌现,π的位数也迅速增长.1873年,谢克斯利用梅钦的一系列方法,级数公式将π算到小数后707位.为了得到这项空前的纪录,他花费了二十年的时间.他死后,人们将这凝聚着他毕生心血的数值,铭刻在他的墓
碑上,以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力.于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶:π的小数点后707位数值.这一惊人的结果成为此后74年的标准.此后半个世纪,人们对他的计算结果深信不疑,或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确.以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里,依然显赫地刻着他求出的π值.
又过了若干年,数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑,其疑问的著基于如下猜想:在π的数值中,尽管各数字排列没有规律可循,但是各数码出现的机会应该相同.当他对谢克斯的结果进行统计时,发现各数字出现次数过于参差不齐.于是怀疑有误.他使用了当时所能找到的最先进的计算工具,从1944年5月到1945年5月,算了整整一年.1946年,弗格森发现第528位是错的（应为4,误为5）.谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销,这把可怜的谢克斯和他的十五年浪费了的光阴全部一笔勾销了对此,有人曾嘲笑他说:数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人作之余,也将会挤出那么一、二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把π计算到小数707位这件事.这样,他也许会觉得自己的生命没有虚度.如果确实是这样的话,他的目的达到了.
人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解,这可能是正常的.但是,对此做出的嘲笑却是过于残忍了.人的能力是不同的,我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物.但成为不了伟大的数学家,并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献.人各有其长,作为一个精力充沛的计算者,谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作而无报酬,并最终为世上的知识宝库添了一小块砖加了一个块瓦.对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗?
4、计算机时期
1946年世界第一台计算机ENIAC制造成功,标志着人类历史入了电脑时代.电脑的出现导致了计算方面的根本革命.1949年,ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数,包括准备和整理时间在内仅用了70小时.计算机的发展一日千里,其记录也就被频频打破.
19世纪初,印度数学家拉马努金发现了更有效的计算π的公式:
()()().396!263901103!49801221
044∑∞=+=k k k k k π 这个公式以四次方高速度逼近π的真值.每计算一项可增加8位准确数字.1985年1985年有人利用该公式获得了π的一千七百万位有效数字.
1959年,法国的裘努埃利用IBM704算π,准确到16167位小数.
1961年,美国的伦奇和香克斯于1961年利用IBM7097算π,准确到100265位小数.
法国的吉劳于1966年利用STRETCH 计算机计算π,准确到250000位小数. 法国的吉劳于1967年利用CDC6600计算机计算π,准确到500000位小数. 1973年,法国的吉劳就把圆周率π算到了小数点后100万位,并将结果印成一本二百页厚的书,可谓世界上最枯燥无味的书了.
1981年,日本的鹿角理三吉和久仲山利用FACOMM-200计算机,使用公式:
11132arctan
4arctan 16arctan 10239515
π=-- 算得π的2000038位小数. 1986年,美国的贝利在Cray-2巨型计算机上用28小时算出π,准确到29360000位小数.
1986年,日本的廉正蒲田利用NECSX-2巨型计算机计算π,准确到134217700位小数.
1989年突破10亿位大关,人们并不以此为满足.1994年,日本人利用类似的公()()()()()∑∞=++-=023********!!354514013433591409!61121k k k k k k k π
生产出π的40亿位数字,每计算一项可以增加14位准确数字.
1995年超过64亿位.
20世纪九十年代,数学家还发明了关于π的"水龙头"算法.在原先计算出数字的基础上,利用递推方法算出相继的数字,可以在已有基础上接着往下算,不必从头开始.更有意义的是,计算机专家们利用计算机发现了非常漂亮非常有效的公式:
??? ??+-+-+-+=∑∞
=6815814821841610k k k k k k π
他们利用这个公式获得了出人意外的结果:在十六进制中,π的第n位数字可以单独算出,而不必先求得n位之前的数字.例如,他无需计算100亿位以前的数字,便可告诉你第100亿位的数字是什么.奇妙之极.
1999年《文摘报》报道,日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值.如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上,令每页印2万位数字,那么,这些纸摞起来将高达五六百米.来自最新的报道:金田康正利用一台超级计算机,计算出圆周率π小数点后一兆二千四百一十一亿位数,改写了他本人两年前创造的纪录.据悉,金田教授与日立制作所的员工合作,利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机,使用新的计算方法,耗时四百多个小时,才计算出新的数位,比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍.圆周率π小数点后第一兆位数是二,第一兆二千四百一十一亿位数为五.如果一秒钟读一位数,大约四万年后才能读完.
不过,现在打破记录,不管推进到多少位,也不会令人感到特别的惊奇了.实际上,把π的数值算得过分精确,应用意义并不大.现代科技领域使用π的值,有十几位已经足够.如果用鲁道夫的35位小数的π值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一.我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值:“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量.”
那么为什么数学家们还象登山运动员那样,奋力向上攀登,一直求下去而不是停止对π的探索呢?为什么其小数值有如此的魅力呢?
这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪,但除此之外,还有许多其它更重要的原因:
1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能,特别是运算速度与计算过程的稳定性.这对计算机本身的改进至关重要.就在几年前,当Intel公司推出奔腾（Pentium）时,发现它有一点小问题,这问题正是通过运行π的计算而找到的.这正是超高精度的π计算直到今天仍然有重要意义的原因之一.
2、计算的方法和思路可以引发新的概念和思想.虽然计算机的计算速度超出
任何人的想象,但毕竟还需要由数学家去编制程序,指导计算机正确运算.实际上,确切地说,当我们把π的计算历史划分出一个电子计算机时期时,这并非意味着计算方法上的改进,而只是计算工具有了一个大飞跃而已.因而如何改进计算技术,研究出更好的计算公式,使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题.在这方面,本世纪印度天才数学家拉马努金得出了一些很好的结果.他发现了许多能够迅速而精确地计算π近似值的公式.他的见解开通了更有效地计算π近似值的思路.现在计算机计算π值的公式就是由他得到的.不过,我希望大家能够明白π的故事讲述的是人类的胜利,而不是机器的胜利.
3、还有一个关于π的计算的问题是:我们能否无限地继续算下去?答案是:不行！根据朱达偌夫斯基的估计,我们最多算77
10位.虽然,现在我们离这一极限还相差很远很远,但这毕竟是一个界限.为了不受这一界限的约束,就需要从计算理论上有新的突破.前面我们所提到的计算,不管用什么公式都必须从头算起,一旦前面的某一位出错,后面的数值完全没有意义.还记得令人遗憾的谢克斯吗?他就是历史上最惨痛的教训.
4、于是,有人想能否计算时不从头开始,而是从半截开始呢?这一根本性的想法就是寻找并行算法公式.1996年,圆周率的并行算法公式终于找到,但这是一个16进位的公式,这样很容易得出的1000亿位的数值,只不过是16进位的.是否有10进位的并行计算公式,仍是未来数学的一大难题.
5、作为一个无穷数列,数学家感兴趣的把π展开到上亿位,能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题,可以发现许多迷人的性质.如,在π的十进制展开中,10个数字,哪些比较稀,哪些比较密?π的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗?或许它们并非完全随意?这样的想法并非是无聊之举.只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单,许多人司空见惯但却不屑发问的问题.
6、数学家弗格森最早有过这种猜想:在π的数值式中各数码出现的概率相同.正是他的这个猜想为发现和纠正向谢克斯计算π值的错误立下了汗马功劳.然而,猜想并不等于现实.弗格森想验证它,却无能为力.后人也想验证它,也是苦于已知的π值的位数太少.甚至当位数太少时,人们有理由对猜想的正确性做出怀疑.如,数字0的出现机会在开始时就非常少.前50位中只有1个0,第一次出现在32位上.
可是,这种现象随着数据的增多,很快就改变了:100位以内有8个0;200位以内有19个0;…1000万位以内有999,440个0;……60亿位以内有599,963,005个0,几乎占1／10.其他数字又如何呢?结果显示,每一个都差不多是1／10,有的多一点,有的少一点.虽然有些偏差,但都在1／10000之内.
7、人们还想知道:π的数字展开真的没有一定的模式吗?我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布,寻找任何可能的模型——如果存在这种模型的话,迄今为止尚未发现有这种模型.同时我们还想了解:π的展开式中含有无穷的样式变化吗?或者说,是否任何形式的数字排列都会出现呢?著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题:π的十进展开中是否有10个9连在一起?以现在算到的60亿位数字来看,已经出现:连续6个9连在一起.希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的,看来任何数字的排列都应该出现,只是什么时候出现而已.但这还需要更多π的数位的计算才能提供切实的证据.
8、在这方面,还有如下的统计结果:在60亿数字中已出现连在一起的8个8;9个7;10个6;小数点后第710150位与3204765位开始,均连续出现了7个3;小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字,这恰是的前八位;小数点后第2747956位起,出现了有趣的数列876543210,遗憾的是前面缺个9;还有更有趣的数列123456789也出现了.在众多的数学与计算机专家求π的过程中,发现了一些很有启发性的现象,例如314159数字段重复过6次,但从未见到过0123456789数字段的出现.
20世纪90年代有报道说,国外有人把圆周率π的值算到了小数点之后十亿多位.但近来,这方面的报道比较沉寂.既然早已证明π是一个超越数了,想在其小数展开中发现什么规律性,必然是要落空的.
也有人想在π序列中寻找素数,这件事由来已久,人们一眼就可看出3与31都是素数,但后来有一个很长的时间间隔,这桩工作似乎停滞不前了.后来经过人们的艰苦试除,终于肯定314159这个很不寻常的六位数也是一个素数.
然而,几乎到此为止,人们再也不能前进半步了.工作停滞下来,足足有十个世纪之久.到了1979年,人们才发现了π序列中的第四个素数,即314159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41,这个长达38位的“天文素数”是被两位美国数学
家罗伯特?贝利与麦文?温德里奇所发现并证明其素数性的.
麦文继续在这条道路上奋勇前进,他又向前核查了432位小数,但迄今始终未能发现一个新的素数.
在π的序列中,究竟有没有第五个素数?它究竟是什么呢?要回答出这个问题, 人们也许又得耐心的等待好几个世纪吧.
拾零:π的其他计算方法
在1777年出版的《或然性算术实验》一书中,蒲丰提出了用实验方法计算π.这个实验方法的操作很简单:找一根粗细均匀,长度为d 的细针,并在一张白纸上画上一组间距为l 的平行线（方便起见,常取12d =）,然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上.这样反复地投多次,数数针与任意平行线相交的次数,于是就可以得到π的近似值.因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为21p d π=利用这一公式,可以用概率方法得到圆周率的近似值.在一次实验中,他选取12d = ,然后投针2212次,其中针与平行线相交704次,这样求得圆周率的近似值为2212704 3.142≈.当实验中投的次数相当多时,就可以得到π的更精确的值.
下面我们看一下蒲丰的方法:这是一种非常有趣的π值计算方法,就是用"掷火柴"的方法,方法如下:取星条旗一面(没有的话用一张白纸画上宽度均匀的条纹代替即可),另外找一根火柴,长度和条纹的宽度相等,把星条旗平铺在地上,然后一次次把火柴掷在旗子上面,统计一下火柴和条纹边界相交的次数.
例如下图3所示,火柴a 为和边界相交,而火柴b 则不相交.
图 3
π值π值则可以这样计算出来:假如总共向掷了M 次火柴,有N 次火柴和边界相交,则当次数足够大时,2M N π≈*.
证明也很简单,我们假设火柴的长度以及条纹之间的距离为1,当火柴和线条的夹角为θ时,火柴在条纹的纵向上的投影为sin θ,所以火柴和边界相交的概率为sin
θ
图 4
由于θ的取值范围为[0,π),所以总的相交概率为:
0sin 2
xdx
N
M πππ=≈?
所以,2M N π≈*
其实这种方法正式的名字为"蒲丰掷针"法(Buffon ’s Needle),是由法国数学家蒲丰在1777年发现的,之后很多人都对此法做过实际的验证,例如意大利数学家Mario Lazzarini 投下了3408次针,得到的π值为3.1415929,已经精确到小数点后六位.1850年,一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后,得到π的近似值为3.1596.目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼（Mario Lazzarini ）在1901年,他重复这项实验,作了3408次投针,求得π的近似值为3.1415929,已经精确到小数点后六位这个结果是如此准确,以致于很多人怀疑其实验的真伪.如美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰就对此提出过有力的质疑.不过,蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的值π.蒲丰投针问题的重要性在于
它是第一个用几何形式表达概率问题的例子.计算π的这一方法,不但因其新颖,奇妙而让人叫绝,而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河,是用偶然性方法去解决确定性计算的前导.
在用概率方法计算π值中还要提到的是:法国的R·查特在1904年发现,两个随意写出的数中,互素的概率为2
6π.1995年4月英国《自然》杂志刊登文章,介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特·马修斯,如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率.马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析,计算它们位置之间的角距.他检查了100万对因子,据此求得π的值约为3.12772.这个值与真值相对误差不超过5%.
结束语在本论文的写作过程中,我在指导老师王众杰老师在百忙之中对论文进行了悉心的指导,在此表示衷心在感谢.也要感谢答辩组的全体老师和支持我论文写作在全体师生.
参考文献:
[1]罗声雄,数学的魅力——初等数学概念演绎.武汉:武汉出版社,1999
[2]王树禾,数学思想史.北京:国防工业出版社,2003
[3]谈祥柏,数:上帝的宠物.上海:上海教育出版社,1996
[4]梁宗巨,数学历史典故.沈阳:辽宁教育出版社,2000
[5]李文林,数学史教程.北京,高等教育出版社,2000
π= 到千万位,北京,清华大学出版社,2001 [6]杨自强,杨庆,你也能用电脑计算 3.14159
The calculation process and the significance of PI
LI hao-wei
College of Mathematics Science No:080412047
Tutor:: WANG Zhong-jie
Abstract:Pi The number of recorded history from the beginning there, it aroused interest. As a very important constant, pi was first calculated for solving problems related to the circle. This alone, find it as accurate approximation is an extremely urgent problem. For thousands of years as the goal of mathematicians, ancient and modern mathematicians sacrificed their own wisdom and labor. Looking back on history, human understanding of the process, reflecting the mathematics and the development of computing one side of the case.'s research in the area to some extent reflect the mathematical level, or age.
Key words: pi; geometric method; analytical method; program
关于圆周率的计算
关于圆周率的计算 祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求。因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国，据公元一世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是3.1547 。二世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝≈3.1466，又在球体积计算中取用π≈3.1622。三国时东吴天文学家王蕃在浑仪论说中取用π≈3.1556。以上这些圆周率近似值，比起古率“周三径一”，精确度有所提高，其中π＝ 10还是世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果，并没有可靠的理论依据。 在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽，他在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。他所得到的圆周率值π＝3.14 与π＝＝3.1416，都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用。继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927，π的真值在这两个近似值之间，即 3.1415926＜π＜3.1415927 精确到小数 7 位。这是当时世界上最先进的数学成果，直到约一千年后，才为 15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—? kash1）和16世纪法国数学家韦达（F.Vièta，1540—1603）所超过。 关于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数 7 位准确的圆周率值，必须求出圆内接正12288 边形的边长和 24576边形的面积，这样，就要对9位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围。对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就。祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年。 中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率π＝22/7≈3.14 ，密率π＝355/113 ≈3.1415929。这两个数值都是π的渐近分数。刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过。密率355/113 是π的分母小于10000的最佳近似分数，则为祖冲之首创。关于密率355/113是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π＝ 355/113 是16世纪由德国数学家奥托（V.Otto，1550（？）—1605）和荷兰工程师安托尼兹（A.Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来，一些学者就建议把π＝ 355 称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。 关于球的体积公式及其证明： 祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地解决了
圆周率的计算方法
圆周率的计算方法 古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。 ?Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 Machin.c 源程序 还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin 公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。 关于FFT算法的具体实现和源程序，请参考Xavier Gourdon的主页 ?Ramanujan公式 1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
常用数学公式
常用数学公式大全 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a 2、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b:宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5三角形s面积a底h高 面积=底×高÷2s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高s=ah 7梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2 8圆形 S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数
圆周率计算公式
圆周率计算公式Revised on November 25, 2020
12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=
452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=
892 π= 902 π=25434 912 π= 922 π= 932 π= 942 π= 952 π= 962 π= 972 π= 982 π= 992 π= 1002 π=31400 12~1002 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900 312=961 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225 362=1296 372=1396 382=1444 392=1521 402=1600 412=1681 422=1764 432=1849 442=1936 452=2025
圆周率计算表(π取3.14)
3.14× 1=3.14 3.14× 2=6.28 3.14 × 3=9.42 3.14 × 4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×10=31.4 3.14×11=3 4.54 3.14×12=37.68 3.14×13=40.82 3.14×14=43.96 3.14×15=47.1 3.14×16=50.24 3.14×17=53.38 3.14×18=56.52 3.14×19=59.66 3.14×20=62.8 3.14×21=6 5.94 3.14×22=69.08 3.14×23=72.22 3.14×24=75.36 3.14×25=78.5 3.14×26=81.64 3.14×27=8 4.78 3.14×28=87.92 3.14×29=91.06 3.14×30=9 4.2 3.14×31=97.34 3.14×32=100.48 3.14×33=103.62 3.14×34=106.76 3.14×35=109.9 3.14×36=113.04 3.14×37=116.18 3.14×38=119.32 3.14×39=122.46 3.14×40=125.6 3.14×41=128.74 3.14×42=131.88 3.14×43=135.02 3.14×44=138.16 3.14×45=141.3 3.14×46=14 4.44 3.14×47=147.58 3.14×48=150.72 3.14×49=153.86 3.14×50=157 3.14×51=160.14 3.14×52=163.28 3.14×53=166.42 3.14×54=169.56 3.14×55=172.7 3.14×56=175.84 3.14×57=178.98 3.14×58=182.12 3.14×59=185.26 3.14×60=188.4 3.14×61=191.54 3.14×62=19 4.68 3.14×63=197.82 3.14×64=200.96 3.14×65=20 4.1 3.14×66=207.24 3.14×67=210.38 3.14×68=213.52 3.14×69=216.66 3.14×70=219.8 3.14×71=222.94 3.14×72=226.08 3.14×73=229.22 3.14×74=232.36 3.14×75=235.5 3.14×76=238.64 3.14×77=241.78 3.14×78=24 4.92 3.14×79=248.06 3.14×80=251.2 3.14×81=25 4.34 3.14×82=257.48 3.14×83=260.62 3.14×84=263.76 3.14×85=266.9 3.14×86=270.04 3.14×87=273.18 3.14×88=276.32 3.14×89=279.46 3.14×90=282.6 3.14×91=285.74 3.14×92=288.88 3.14×93=292.02 3.14×94=295.16 3.14×95=298.3 3.14×96=301.44 3.14×97=30 4.58 3.14×98=307.72 3.14×99=310.86 3.14×100=314
十秒速记圆周率小数点后30位
十秒速记圆周率小数点后30位 商店要死要活就要遛 3.1415926 我傻我吧就去救 5358979 傻儿傻爸死脑儿 3238462 老师算算不傻啊 6433832 吃酒！ 79 关于圆周率的计算历史 圆周率（π）是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。 中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。 第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）），开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。 中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10（约为3.14）。 南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。 德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
圆周率的计算历程及意义
圆周率π的计算历程及意义 李毫伟 数学科学学院数学与应用数学学号:080412047 指导老师:王众杰 摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平. 关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序 1、实验时期 通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来 π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3 中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π和2这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率. 早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之
数学实验：怎样计算圆周率
怎样计算 姓名： 学号 班级：数学与应用数学4班
实验报告 实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。 实验环境：Mathematica软件 实验基本理论和方法： 方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值） 其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形， 由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图
图一 扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值： n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。 方法二：泰勒级数法 其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数 计算。 方法三：蒙特卡罗法
其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。 实验内容、步骤及其结果分析： 问题1：在方法一中，取n=1000，通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。 分析：图一中的扇形面积S实际上就是定积分。 与有关的定积分很多，比如的定积分
圆周率200位记忆口诀
圆周率的来源和2000位 “圆周率”即圆的周长与其直径之间的比率。关于它的计算问题，历 来是中外数学家极感兴趣、孜孜以求的问题。德国的一位数学家曾经说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平，这应当归功于魏晋时期数学家刘徽所创立的新方法一一“割圆术”。 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证, 从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。 在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，
做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。 按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072 边形，并由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。 以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于求得了圆周率：精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的，比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率”22/7 ,另一个 是“密率” 355/113 ,其中355/113 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。 答应了大宝，教她点东西，才知道自己才疏学浅，不知道教她什么。偶尔看到巧计圆周率，就截图下来和她一起背，呵呵还真的有效，花三
历史上一些圆周率计算方法
历史上一些圆周率计算方法 从古至今，计算圆周率一直挑战着人类的探索能力极限，人们为此提出了效率越来越高的计算方法。可是，你知道多少圆周率的另类计算法呢？今天我们就来和大家分享一下，历史上出现的几个最奇怪的圆周率计算法。 功亏一篑的人肉计算记录 电脑计算圆周率屡破记录，但新时代对机器的信任和依赖使得人们已经主动放弃了自己手动演算的能力。为了打破手算圆周率的记录，让人们重新拾回对自己演算能力的信心，澳大利亚一个 16 岁的小伙子决定人肉计算圆周率的前 100 位。他挑选了圆周率的一个广义连分数公式，准备了 2000 张草稿纸，并精心地规划了一番。从此开始，他总是把这厚厚的一叠草稿纸带在身边。不管是在家还是在学校，他都端坐在草稿纸面前，不停地挥动着手中的笔。他很快成为了学校的一道风景线——无视上下课铃声，雷打不动地做着枯燥的加法和除法。 2 年后的某堂历史课上，就在他书写最后一个除法竖式时，悲剧发生了：新来的代课老师发现他有小动作，点名叫他起来回答问题。当他无视老师继续埋头苦算时，不明真相的代课老师一怒之下抢过草稿纸，并撕成了无数碎片。 最辗转的计算方法 在一本统计学读物中，为了告诉读者在日常生活中数字无处不在，作者统计出了自家厕所的卷筒纸平均每多少天换一次，乘以平均每天的大便次数，乘以平均每次大便需要扯下来的卫生纸张数，乘以每一截卫生纸的长度，乘以把一长截卫生纸对折 10 次的厚度，除以 1024 ，除以自动切割机从卷筒纸最外层切到最里层（厚度为 R-r ）的时间，除以切完整个卷筒纸（剩余的 R+r ）还需要的时间，除以切割机移动的速度，得出了圆周率近似值。 作者顺便指出，若读者愿意，还可以在末尾乘以平均每个男人拥有的 jj 根数。 用生命换来的圆周率 这个多少有些标题党了，但实际情况就是如此——这个 3.14 真的是由无数人的鲜血换来的。 2003 年，美国纽约警方搜集了 30 年来发生在斑马线上的车祸，从里面抽取了所有身高在 5 英尺 6 英寸到 8 英寸之间（大概从 1.68 米到 1.73 米）的遇难行人，统计了他们的尸体与斑马线相交的概率，并应用Buffon 投针实验理论得到了圆周率的近似值。纽约警方还专门发表了文章，称由此他们得出，行人被撞事故是完全随机的，一切都是遵循大自然的规律的。文章末尾请求出行人看开一些，生命在规律面前弱不禁风，该发生的总会发生。 凶案现场也有圆周率
圆锥体计算方法
圆锥体计算方法 圆锥体的体积=底面积×高×1/3(圆锥的体积是等底等高圆柱体的三分之一)=1/3πr2h 圆柱体的表面积=高×底面周长+底面积×2 即S圆柱体=(π×d×h)+(π×r2×2) 圆锥的体积 一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积. 根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h)，得出圆锥体积公式： V=1/3Sh(V=1/3SH) S是底面积，h是高，r是底面半径。 圆锥的表面积 一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积. S=πl2×(n/360)+πr2或(α*l^2)/2+πr2(此α为角度制)或πr(l+r)(L表示圆锥的母线) 圆锥的计算公式 圆锥的侧面积=母线的平方×π×360百分之扇形的度数 圆锥的侧面积=1/2×母线长×底面周长 圆锥的侧面积=π×底面圆的半径×母线 圆锥的侧面积=高的平方*3.14*百分之扇形的度数 圆锥的表面积=底面积+侧面积S=πr2+πrl (注l=母线) 圆锥的体积=1/3底面积×高或1/3πr2h 圆锥的母线：圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。 圆锥的其它概念 圆锥的高： 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高圆锥只有一条高。 圆锥的侧面积： 将圆锥的侧面积不成曲线的展开，是一个扇形 圆锥的母线： 圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。一般用字母L表示。 知识总结：一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。 要知道了锥度的计算公式,你的问题就都可以解决了. 公式是C=（D-d)/L C表示锥度比D 表示大端直径d表示小端直径L表示锥的长度①已知锥度比C，小头直径d，总长L，则
大头直径D=C*L+d ②已知大头直径D，锥度比C，总长L，则小头直径d=D-C*L ③已知大头直径D，小头直径d，锥度比C，则总长L=(D-d)/C ④已知大头直径D，小头直径d，总长L，则锥度比C=（D-d)/L 各种管材理论重量计算公式、钢材理论重量计算公式1、角钢：每米重量=0.00785×（边宽+边宽—边厚）×边厚 2、管材：每米重量=0.02466×壁厚×（外径—壁厚） 3、圆钢：每m重量=0.00617×直径×直径(螺纹钢和圆钢相同） 4、方钢：每m重量=0.00786×边宽×边宽 5、六角钢：每m重量=0.0068×对边直径×对边直径 6、八角钢：每m重量=0.0065×直径×直径 7、等边角钢：每m重量=边宽×边厚×0.015 8、扁钢：每m重量=0.00785×厚度×宽度 9、无缝钢管：每m重量=0.02466×壁厚×(外径-壁厚) 10、电焊钢：每m重量=无缝钢管 11、钢板：每㎡重量=7.85×厚度 12、黄铜管：每米重量=0.02670×壁厚×（外径-壁厚） 13、紫铜管：每米重量=0.02796×壁厚×（外径-壁厚) 14、铝花纹板：每平方米重量=2.96×厚度 15、有色金属密度：紫铜板8.9 黄铜板8.5 锌板7.2 铅板11.37 16、有色金属板材的计算公式为：每平方米重量=密度×厚度 17、方管: 每米重量=(边长+边长)×2×厚×0.00785 18、不等边角钢：每米重量=0.00785×边厚(长边宽+短边宽--边厚) 19、工字钢：每米重量=0.00785×腰厚[高+f（腿宽-腰厚）] 20、槽钢：每米重量=0.00785×腰厚[高+e（腿宽-腰厚）]
圆周率π的计算方法
圆周率π的计算方法 圆周率的计算方法 古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。 1、 Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 用马青公式计算Pi至小数点后100位程序 program Pi_Value; {$APPTYPE CONSOLE} //将Pi计算精确小数点后100位 //Machin公式
//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) uses SysUtils; const N=100; S=2*N+50; aNum=5; bNum=239; type Num=array [1..S] of byte; //初始化数组 procedure AZero(var arr:Num); var i:smallint; begin for i:=1 to S do arr:=0; end; //除法 procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); var c,y,i:smallint; begin c:=0; for i:=1 to S do begin y:=arr+c*10; c:=y mod b; arr:=y div b; end; end; //加法 procedure Addition(var arr:Num;const b:Num); var i,y,c:smallint; begin c:=0; for i:=S downto 1 do
圆周率计算公式
12π=3.14 22π=12.56 32π=28.26 42π=50.24 52π=78.5 62π=113.04 72π=153.86 82π=200.96 92π=254.34 102π=314 112π=379.94 122π=452.16 132π=530.66 142π=615.44 152π=706.5 162π=803.84 172π=907.46 182π=1017.36 192π=1133.54 202π=1256 212π=1384.74 222π=1519.76 232π=1661.06 242π=1808.64 252π=1962.5 262π=2122.64 272π=2289.06 282π=2416.76 292π=2640.74 302π=2826 312π=3017.54 322π=3215.36 332π=3419.46 342π=3629.84 352π=3846.5 362π=4069.44 372π=4298.66 382π=4534.16 392π=4775.94 402π=5024 412π=5278.34 422π=5538.96
432π=5805.86 442π=6079.04 452π=6358.5 462π=6644.24 472π=6936.26 482π=7234.56 492π=7593.14 502π=7850 512π=8167.14 522π=8490.56 532π=8820.26 542π=9456.24 552π=9498.5 562π=9847.04 572π=10201.86 582π=10562.96 592π=10930.34 602π=11304 612π=11683.94 622π=12070.16 632π=12462.66 642π=12861.44 652π=13266.5 662π=13677.84 672π=14095.46 682π=14519.36 692π=14949.54 702π=15386 712π=15828.74 722π=16277.76 732π=16733.06 742π=17194.64 752π=17662.5 762π=18136.64 772π=18617.06 782π=19103.76 792π=19596.74 802π=200.96 812π=20601.54 822π=21113.36 832π=21631.46 842π=22155.84 852π=22686.5 862π=23223.44
圆周率计算公式
圆周率计算公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=
452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=
圆周率π的计算及简单应用
圆周率π的计算及简单应用 一、π的来历 π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母π来表示。英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后π才成为圆周率的专用符号。π的历史是饶有趣味的。对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。 实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。 公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用
分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。 由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上： 3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。 之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的π值。π的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。 二、π的定义 圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足0 x的 sin= 最小正实数x。
圆周率计算的发展史
圆周率计算的发展史 电气五班王占1301065606 摘要：中国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，意思是说圆的周长是它直径的3倍。 很早以前,人们看出,圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数,并称 之为圆周率. 希腊欧几里得《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取π=（4/3） ^4≈3.1604。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71)) < π < (3+(1/7)) ，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。 中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形。 南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。 德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 1579年法国数学家韦达给出π的第一个解析表达式。
圆周率的几种计算方法
圆周率的几种计算方法 姓名李至佳 学号 06205013 专业基础数学 摘要：本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法，正是圆周率这个数的特殊性，致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究的精确值。因此，用什么样的方法计算使其值更加精确，这是一个很值得研究的问题。 关键词：圆周率，计算方法，正多边形，连分数 一、很早以前就有了 从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起，经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的，而月亮由于地球的遮挡，有圆有缺。 椭圆、抛物线，双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮，或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古，数刚诞生时，肯定只在1和许多个之间有区别。而且，很早以前，就只考虑1和2这两个数。以后因为1个人有2只脚和2只手，2个人就有4只脚和4只手，1头家畜有4只脚，2头家畜有8只脚，等等。不久，就知道了比例的概念。 到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小，但对一个圆来说，其周长与直径之间的比例常数就是圆周率 二、的几种计算方法 有一个关于圆周率的歌谣，盛行于古代："山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐。" 圆周率是圆的周长与直径之比，表示的是一个常数，符号是希腊字母。人们为了计算圆周率，公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14，这被称为"徽率"。 在公元460年，祖冲之应用了刘徽的割圆术（也就是下面提到的正多边形的方法），算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的值，保持了1000多年的世界纪录。 1596年，荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索，把值推算到15位小数，打破了祖冲之长达1000多年的纪录，后来他本人又把这个数推进到35位。 18世纪初，圆周率达到72位。19世纪时，圆周率又求到140位、200位、500位。1873年，威廉欣克用了几十年时间，将π值算到707位。 到了1946年，世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国，有人在计算机上用了70个小时，算出圆周率达到2035位。1955年达到10 017位，1962年达到10万位。1973年达到100万位，1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算，将值推到新的顶点4.8亿位。 经过长时间艰苦的计算，值只是个近似值，这是一个永不循环的数学计算，也是数学史上的马拉松。 下面介绍几种计算的方法： （一）公元前利用正多边形计算 公元前1650年，埃及人著的兰德纸草书中提出＝（4/3） 3=3.1604。但是对的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。阿基米德计算值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。
自己动手计算圆周率 教学设计
自己动手计算圆周率 圆周率的计算历程 圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。 （1）实验时期 通过实验对π 值进行估算，这是计算π 的的第一阶段。这种对π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用π ＝3这个数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为“古率”。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为 3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计园田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。