(麻省理工)薛丁格波动方程式
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22.101 Applied Nuclear Physics (Fall 2004)
Lecture 2 (9/13/04)
Schr?dinger Wave Equation
References --
R. M. Eisberg, Fundamentals of Modern Physics (Wiley & Sons, New York, 1961). R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics (Holden Day, New York, 1980).
With this lecture we begin the discussion of quantum mechanical description of nuclei. There are certain properties of a nucleus which can be described properly only by the use of quantum mechanics. The ones which come to mind immediately are the energy levels of a nucleus and the transitions that can take place from one level to
another. Other examples are the various types of nuclear radiation which are sometimes treated as particles and at other times as waves.
It is not our goal in this subject to take up the study of quantum mechanics as a topic by itself. On the other hand, we have no reason to avoid using quantum mechanics if it is the proper way to understand nuclear concepts and radiation interactions. In fact the serious students in 22.101 has little choice in deciding whether or not to learn quantum mechanics. This is because the concepts and terminologies in quantum
mechanics are such integral parts of nuclear physics that some knowledge of quantum mechanics is essential to having full command of the language of nuclear physics. The position we adopt throughout the term is to learn enough quantum mechanics to
appreciate the fundamental concepts of nuclear physics, and let each student go beyond this level if he/she is interested. What this means is that we will not always derive the basic equations and expressions that we will use; the student is expected to work with them as postulates when this happens (as always, with the privilege of reading up on the background material on his own).
Waves and Particles
We will review some basic properties of waves and the concept of wave-particle duality.
,In classical mechanics the equation for a one-dimensional periodic disturbance ξ(t x
) is
22?ξ 2 ?ξ = c (2.1)
?t 2 ?x 2 which has as a general solution,
i (kx ?ωt ) ,ξ(t x ) =ξ e (2.2)
o where ω=2πν is the circular frequency, ν the linear frequency, and k is the
wavenumber related to the wavelength λ by k = 2πλ. If (2.2) is to be a solution of (2.1), then k and ω must satisfy the relation
ω= ck (2.3)
So our solution has the form of a traveling wave with phase velocity equal to c, which we denote by v ph . In general the relation between frequency and wavenumber is called the dispersion relation. We will see that different kinds of particles can be represented as waves which are characterized by different dispersion relations.
The solution (2.2) is called a plane wave. In three dimensions a plane wave is of the form exp( k i ? r ) . It is a wave in space we can visualize as a series of planes perpendicular to the wavevector k; at any spatial point on a given plane the phase of the wave is the same. That is to say, the planes are planes of constant phase. When we include the time
(variation exp(?t i ω ) , then exp[ k i ?r ?ωt )] becomes a traveling plane wave, meaning that the planes of constant phase are now moving in the direction along k at a speed of ω / k , the phase velocity of the wave.
The wave equation (2.1) also admits solutions of the form
ξ(t x ) =a sin kx cos ωt (2.4)
, o These are standing wave solutions. One can tell a standing wave from a traveling wave by the behavior of the nodes, the spatial positions where the wave function is zero. For a
standing wave the zeroes do not change with time, whereas for a traveling wave, (2.2),
the nodes are x =(n π+ωt )/ k , which clearly are positions moving in the +x direction n
with velocity dx / dt =ω/ k . We will see below that the choice between traveling and standing wave solutions depends on the physical solution of interest (which kind of problem one is solving). For the calculation of energy levels of a nucleus, the bound state problem, we will be concerned with standing wave solutions, while for the discussion of scattering problem (see the lecture on neutron-proton scattering) it will be more appropriate to consider traveling wave solutions.
Our interest in the properties of waves lies in the fact that the quantum mechanical description of a nucleus is based on the wave representation of the nucleus. It was first postulated by deBroglie (1924) that one can associate a particle of momentum p and total relativistic energy E with a group of waves (wave packet) which are characterized by a wavelength λ and a frequency ν, with the relation
λ=h / p (2.5)
ν=E / h (2.6)
and that, moreover, the motion of the particle is governed by the wave propagation of the wave packet. This statement is the essence of particle-wave duality, a concept which we
will adopt throughout our study of nuclear physics [see, for example, Eisberg, chap 6].
It is important to distinguish between a single wave and a group of waves. This distinction is seen most simply by considering a group of two waves of slightly different wavelengths and frequencies. Suppose we take as the wave packet
,
2,
Ψ(t
x ) =Ψ(t
x ) +Ψ(t
x ) (2.7)
1
,
with
1,
Ψ(t
x ) =sin(kx ?ωt )(2.8)
, ()Ψ2(t x ) = sin[k k + x dk ? (ω+ d ω)t ] (2.9)
Using the identity
sin A + sin B = cos[( 2 A ? B )/2]sin[( A + B ) / 2]
(2.10)
,we rewrite Ψ(t x ) as ,)Ψ(t x ) = cos[( 2 dks ? d ωt ) / 2] 2 sin{[( k + x dk ? (2ω+ d ω)]t / }
2 ≈cos[( 2 dkx ? d ωt )/2]sin(kx ?ωt ) (2.11)
In this approximation, terms of higher order in dk /k or d ω / ω are dropped. Eq. (2.11) shows the wave packet oscillates in space with a period of 2π / k , while its amplitude oscillates with a period of 2π/ dk (see Fig. 1). Notice that the latter oscillation has its
Fig. 1. Spatial variation of a sum of two waves of slightly different frequencies and wavenumbers showing the wave packet moves with velocity g which is distinct from the propagation (phase) velocity w [from Eisberg, p. 144].
own propagation velocity, d ω / dk . This velocity is in fact the speed with which the associated particle is moving. Thus we identify
g =dω/ dk (2.12)
as the group velocity. This velocity should not be confused with the propagation velocity of the wave packet, which we can calculate from
w =νλ=E / p =c 1 +( c
m / p)2 (2.13)
o
Here m o is the rest mass of the particle and c the speed of light. Thus we see the wave packet moves with a velocity that is greater then c, whereas the associated particle speed is necessarily less than c. There is no contradiction here because the former is the phase velocity while the latter is the group velocity.
In this class we will be dealing with three kinds of particles whose wave representations will be of interest. These are nucleons or nuclides which can be treated as non-relativistic particles for our purposes, electrons and positrons which usually should be treated as relativistic particles since their energies tend to be comparable or greater than the rest-mass energy, and finally photons which are fully relativistic since they have zero rest-mass energy. For a non-relativistic particle of mass m moving with momentum
22
p, the associated wavevector k is p =h k . Its kinetic energy is p 2 /2m =h k /2m . The wavevector, or its magnitude, the wavenumber k, is a useful variable for the discussion of particle scattering since in a beam of such particles the only energies are kinetic, and both momentum and energy can be specified by giving k . For electromagnetic waves, the associated particle, the photon, has momentum p , which is also given by h k , but its energy is E =h ck =h p . Comparing these two cases we see that the dispersion relation is 2
ω=h k /2m for a non-relativistic particle, and ω=ck for a photon. The group
velocity, according to9 (2.12), IS v
g =h k / m =p / m and v
g
=c , respectively. This is
consistent with our intuitive notion about particle speeds. The Schr?dinger Wave Equation
The Schr?dinger equation is the fundamental equation governing the deBroglie wave with which we associate a particle. The wave will be called the wave function, and
,it will be denoted as a space- and time-dependent quantity, Ψ (
t r ) . One does not derive the Schr?dinger equation in the same sense that one also does not derive Newton’s
equation of motion, F = a m
. The equation is a postulate which one can simply accept. Of course one can give systematic motivations to suggest why such an equation is valid
[see Eisberg, chap 7 for a development]. We will write down the Schr?dinger equation in its time-dependent form for a particle in a potential field V(r),
h 2
, ??i h Ψ? (t r ) = ??? 2m ? 2 + V (r )?Ψ ( t r ) (2.14)
? t ? , Notice that the quantity in the bracket is the Hamiltonian H of the system. Its physical meaning is the total energy, which consists of the kinetic part p 2/2m and the potential part V(r). Appearance of the Laplacian operator ?2 is to be expected, since the particle momentum p is an operator in configuration space, and it is represented as p =? i h ? . For the same reason, H is an operator having the representation
H =? h 2
? 2 + V (r ) (2.15)2m
so another form of the Schr?dinger equation is
,i h ?Ψ(t r ) = H Ψ ( t r ) (2.16)
? t , As a side remark we note that (2.14) is valid only for a non-relativistic particle, whereas (2.16) is more general if H is left unspecified. This means that one can use a relativistic expression for H, then (2.16) would lead to the Dirac equation, which is what one should consider if the particle were an electron. Compared to the classical wave equation, (2.1), which relates the second spatial derivative of the wave function to the second-order time
derivative, the time-dependent Schr?dinger wave equation, (2.14) or (2.16), is seen to relate the spatial derivative of the wave function to the first-order time derivative. This is a significant distinction which we do not go into in this class. Among other implications is the fact that the classical wave is real and messurable (elastic strings and
electromagnetic waves) whereas the Schr?dinger wave function is complex (therefore not measurable). To ascribe physical meaning to the wave function one needs to consider * ,, ,the probability density defined as Ψ*(t r )Ψ( t r ) , where Ψ( t r ) is the complex conjugate of the wave function.
For almost all our discussions the time-independent form of the Schr?dinger
equation is needed. This is obtained by considering a periodic solution to (2.16) of the form
,)Ψ( t r ) =ψ( e r iEt / h (2.17)
where E is a constant (soon to be identified as the total energy). Inserting this solution into (2.16)gives the time-independent Schr?dinger equation,
H ψ(r ) =E ψ(r ) (2.18)
We see that (2.18) has the form of an eigenvalue problem with H being the operator, E the eigenvalue, and ψ(r ) the eigenfunction.
It is instructive to recognize a certain similarity between the Schr?dinger equation and the classical wave equation when the latter incorporates the concept of deBroglie waves. To show this we first write the three-dimensional generalization (2.1) as
2 , 22?ξ(t r ) = v ph ?ξ( t r ) (2.19)
?t
2, and use (2.13),
E E == (2.20)
( v ph p 2 E m ? V ) For periodic solutions, ξ (
t r ) =? ( e r iEt / h , we see that one is led immediately to (2.19). ,) Notice that the connection between the classical wave equation and the Schr?dinger equation is possible only in terms of the time-independent form of the equations. As mentioned above, the two equations, in their time-dependent forms, differ in important ways, consequently different properties have to be ascribed to the classical wave function and the Schr?dinger wave function.
Following our previous statement about the different types of wave solutions, we can ask what types of solutions to the Schr?dinger equation are of interest. To answer this question we will consider (2.18) in one dimension for the sake of illustration. Writing out the equation explicitly, we have
2 2d ψ (x ) ? =k ψ (x ) (2.21)
dx 2 [2where k 2 = 2 E m
? V (x )]/ h . In general k 2 is a function of x because of the potential energy V9x), but for piecewise constant potential functions such as a rectangular well or barrier, we can write a separate equation for each region where V(x0 is constant, and thereby treat k 2 as a constant in (2.21). A general solution (2.21) is then
ψ(x ) = Ae ikx + Be ? i kx (2.22)
where A and B are constants to be determined by appropriate boundary conditions. Now suppose we are dealing with finite-range potentials so that V (x ) → 0 as x →∞ , then k 2)1/ 2becomes (2mE / h . For E > 0, k is real and Ψ , as given by (2.17), is seen to have the form of traveling plane waves. On the other hand, if E < 0, k = i κ is imaginary, then
≈ Ψ e ?κ x
e ? i ω t , and the solution has the form o
f a standin
g wave. What this means is that for the description of scattering problems one should use positive-energy solutions (these
are called scattering states), while for bound-state calculations one should work with negative-energy solutions. Fig. 2 illustrates the behavior of the two types of solutions. The condition at infinity, x ±∞
→, is that ψ is a plane wave in the scattering problem, and an exponentially decaying function in the bound-state problem. In other words, outside the potential (the exterior region) the scattering state should be a plane wave representing the presence of an incoming or outgoing particle, while the bound state should be represented by an exponentially damped wave signifying the localization of the particle inside the potential well. Inside the potential (the interior region) both solutions are seen to be oscillatory, with the shorter period corresponding to higher kinetic energy T = E – V.
Fig. 2. Traveling and standing wave functions as solutions to scattering and bound-state problems respectively.
There are general properties of Ψ which we require for either problem. These arise from the fact that we are seeking physical solutions to the wave equation, and that
23
ψ(r) r
d has th
e interpretation o
f bein
g the probability of finding the particle in an
2 2
Ψ( t r ) =ψ(r) , which element of volume d3r about r. In view of (2.17) we see that ,
means that we are dealing with stationary solutions. Since a time-independent potential cannot create or destroy particles, the normalization condition
2
∫3r
d ψ(r) =1 (2.23)
cannot be applied to the bound-state solutions with integration limits extending to infinity. However, for scattering solutions one needs to specify an arbitrary volume ? for the normalization of a plane wave. This poses no difficulty since in any calculation all physical results will be found to be independent of ? . Other properties of Ψ , or ψ , which can be invoked as conditions for the solutions to be physically meaningful are: (i)
finite everywhere (ii)
single-valued and continuous everywhere (iii)
first derivative continuous (iv) → Ψ0 when V ∞
→ Condition (iii) is equivalent to the statement that the particle current must be continuous everywhere. The current is related to the wave function by the expression
+j (r ) = h [ψ+ (r )?ψ (r ) ?ψ (r )?ψ (r (2.24)
2mi which can be derived directly from (2.18).
波动方程的简谐平面波解
波动方程的简谐平面波解 在建立了波动方程之后，我们来讨论其解的形式及其特性。 1、 简谐平面波 （1）波动方程的简谐平面波解 声波在空间中传播，其传播方向和波阵面垂直。平面波是波阵面是平面的声波，而简谐平面波是波阵面（对简谐波而言，波阵面也是等相位面）是平面的简谐声波。具有任意波形的声波可以通过付里叶变换分解为多个具有不同频率的简谐平面波的叠加。因此，简谐波传播是波动传播的基础。 一般简谐平面波的声压幅值在等相面上有一定的分布。这里只讨论声压幅值在等相面上处处相同（均匀平面波）的简单情况，较为复杂的非等声压幅值平面波（非均匀平面波）在后面的学习中会遇到。 对一维均匀简谐平面波，声压幅值可以只用一个坐标来描述。若取平面波的传播方向为x 轴正方向，假设波动方程中c 为常数，则波动方程的均匀简谐平面波解可以分离变量有如下形式： (,)()()p x t p x T t =， (2-23) 其中，()p x 和()T t 分别为(,)p x t 的空间坐标相关因子和时间相关因子。将(2-23)式代入到 (2-15)中，并分离变量，得 222222 1()() ()()d T t c d p x T t dt p x dt ω==-， (2-24) 其中，2ω-为分离常数。由(2-24)式可得两个方程： 22 2 ()()0d T t T t dt ω+=， (2-25) 222 () ()0d p x k p x dt +=。 (2-26) 其中，222k c ω=，为常数。 (2-25)式的两个特解为j t e ω和()j t e ω-，后者描述具有“负频率”的振动，无实际意义，只保留j t e ω；(2-26) 式的两个特解为jkx e 和jkx e -。由此得到波动方程的简谐平面波解为 j[t-kx] j[t+kx] (,)(,)(,) =Ae e p x t p x t p x t B ωω+-=++ 。 (2-27) 对推导过程中几个量物理意义的讨论： ① 由(2-25)的解j t e ω可以看出，ω是简谐波的圆频率，也可以理解为：在简谐波
麦克斯韦方程组的平面波解
【麦克斯韦方程组的平面波解】 令0ρ=，0J = ，可得自由空间（真空）中的Maxwell 方程组 0,E ??= (1) 0,B ??= (2) ,B E t ???=-? (3) 00,E B t με???=? (4) 其中真空介电常数（Permittivity constant ）1208.8510F m ε-=?，真空磁导率（Permeability constant ）60 1.2610H m μ-=?由实验测定。按照现行计量方案，确保光在真空中的传播速度 299 792 458 m/s.c = = 利用矢量分析公式 ()() 2 ,A A A ????=???-? 可以推导出电磁场的波动方程 2222 2222 01100.E B E B c t c t ???-=?-=?? ， (5) 这是6个独立的线性齐次微分方程；即电场强度矢量E 或磁感应强度矢量B 的任意分量都 满足微分方程 22222222210.A A A A x y z c t ????++-=???? 若以平面电磁波传播方向为x 轴，波阵面平行于yz 平面，则场分量(,)A A x t =与位置坐标y 和z 无关，并满足如下简单微分方程 2222210,A A x c t ??-=?? (6) 作为练习，读者可以证明任何形如 (,)(),A x t A t kx ω=- 的函数都是波动方程(6)的解，只要其中的参数ω和k 满足
.c k ω =± 显然，简谐平面波 ()0(,),i t kx A x t A e ω-= (7) 是波动方程(6)的特殊解，其中2ωπ=和2k π λ=分别是简谐平面波的园频率和波矢量。 值得指出的是，电场强度矢量E 或磁感应强度矢量B 的6个分量必须同时满足Maxwell 方程组（1.15-18）四个微分方程。这就要求简谐平面波 ()() 00(,),(,)i t k r i t k r E r t E e B r t B e ωω-?-?== ， 还必须满足一些附加条件，即 000000000,0,,,k E k B k E B k B E ωμεω?=?=?=?=- (8) 从而自由空间中沿x 轴正方向传播的简谐平面电磁波可以写作 ()()00(,),(,)i t kx i t kx y z E x t E e B x t B e ωω--==e e ， (9) 并且 0.E B c = (10) 类似地，沿x 轴负方向传播的简谐平面电磁波可以写作 ()()00(,),(,)i t kx i t kx y z E x t E e B x t B e ωω++==-e e . 简谐平面电磁波具有显著的横波特性，即 () 0.k E B ??=
大学物理公式汇总
大学物理公式汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
目录 1. 质点的运动及其规律 (4) 1.1 质点运动的描述 (4) 1.2 圆周运动 (4) 1.4 牛顿定律 (4) 1.4.1 牛顿三定律 (4) 1.4.2 几种常见的力 (5) 2. 动量守恒定律和能量守恒定律 (5) 2.1 质点和质点系的动量定理动量守恒定律 (5) 2.2 动能定理保守力与非保守力能量守恒定律 (5) 3. 刚体与流体 (6) 3.1 刚体的定轴转动 (6) 3.1.2 刚体绕定轴转动的角速度和角加速度 (6) 3.1.3 力矩转动定律转动惯量 (6) 3.2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律 (7) 4. 机械振动与机械波 (7) 4.1 简谐运动旋转矢量简谐运动的能量 (7) 4.1.1 简谐运动 (7) 4.1.2 旋转矢量 (8) 4.1.3 弹簧振子的能量 (8) 4.2两个同向同频率简谐运动的合成 (8) 4.4 机械波 (9) 4.4.1 机械波的形成波长周期和波速 (9) 4.4.2 平面简谐波的波函数 (9) 4.5 惠更斯原理波的衍射和干涉 (9) 4.5.2 波的干涉 (9) 5. 气体动理论和热力学 (10) 5.1 平衡态理想气体物态方程热力学第零定律 (10) 5.1.1 气体的物态参量 (10) 5.1.3 理想气体物态方程 (10) 5.2 气体分子热运动及其统计规律 (10) 5.2.2 气体分子速率分布律 (10) 5.3 理想气体的压强公式平均平动动能与温度的关系 (11) 5.4 能量均分定理理性气体的内能 (11) 5.5 准静态过程热力学第一定律 (11) 5.6 理想气体的等值过程和绝热过程 (11) 5.6.1等体过程 (11) 5.6.2等压过程 (12) 5.6.3等温过程 (12) 5.6.4绝热过程 (12) 5.7 循环过程热力学第二定律 (12) 5.7.2 热机和制冷机 (12) 5.7.3 卡诺循环 (13)
连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法
附表25：等截面等跨连续梁在常用荷载作用下按弹性分析的内力系数（五跨梁）。 弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例） 一、名词解释 弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法，但在力学上属于精确法的范畴，主要适用于连续梁和刚架的计算。在弯矩分配法中不需要解联立方程，而且是直接得出杆端弯矩。由于计算简便，弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。 （一）线刚度i 杆件横截面的抗弯刚度EI 被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i ： （a ） 当远端B 为固定支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度 i S AB 4=； （b ） 当远端B 为铰支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 3=； （c ） 当远端B 为滑动支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度 i S AB =； （d ） 当远端B 为自由端时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度0=AB S 。 连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。 （二）转动刚度S 转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。杆端的转动刚度以S 表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩，θ/M S =。施力端只能发生转角，不能发生线位移。AB S 中的第一个 角标A 是表示A 端，第二个角标B 是表示杆的远端是B 端。AB S 表示AB 杆在A 端的转动刚度。 （三）分配系数μ
各杆A 端所承担的弯矩与各杆A 端的转动刚度成正比。 Aj μ称为分配系数，如AB μ表示杆AB 在A 端的分配系数。它表示AB 杆的A 端在节点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆AB 的转动刚度与交于A 点各杆的转动刚度之和的比值。总之，加于节点A 的外力矩，按各杆的分配系数分配于各杆的A 端。 （四）传递系数C ij C 称为传递系数。传递系数表示当近端有转角（即近端产生弯矩）时，远端弯矩与近端弯矩的比值。因此一般可由近端弯矩乘以传递系数C 得出远端弯矩。 当远端为固定的边支座或为非边支座2 1=C ； 当远端为滑动边支座 1-=C ； 当远端为铰支边支座 0=C 。 节点A 作用的外力矩M ，按各杆的分配系数μ分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。 （五）杆端弯矩 弯矩分配法解题过程中所指的杆端弯矩是所有作用于杆端的中间计算过程的最后总的效果。 计算杆端弯矩的目的，是因为杆端弯矩一旦求出，则每相邻节点之间的“单跨梁”将可以作为一根静定的脱离体取出来进行该杆的内力分析。其上作用的荷载有外荷载，每一杆端截面上一般有一个剪力和一个弯矩，两端共有二个剪力和二个弯矩。这两个弯矩就是两端的杆端弯矩，既然它们已经求出，那么余下的两个剪力可由两个静力平衡方程解出。 （六）近端弯矩和远端弯矩
大学物理上公式集(必备)
大学物理上公式集 概念（定义和相关公式） 1． 位置矢量：r ，其在直角坐标系中： k z j y i x r ++=；2 2 2 z y x r ++=角位置：θ 2． 速度：dt r d V =平均速度：t r V ??= 速率：dt ds V =（τ V V =）角速度：dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 3． 加速度：dt V d a =或22dt r d a = 平均加速度：t V a ??= 角加速度：dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ （= ｒβ），r V n a 2=（=r 2 ω） 4． 力：F =ｍa （或F =dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋法则） 5． 动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6． 冲量：?=dt F I （=F Δｔ）；功：? ?= r d F A （气 体对外做功：A=∫PdV ）
7． 动能：mV 2/2 8． 势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势能形式不同且零点选择不 同其形式不同，在 默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9． 热量：CRT M Q μ = 其中：摩尔热容量C 与过程有关，等容热容 量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R 10． 压强： ω n tS I S F P 3 2 =?== 11． 分子平均平动能：kT 2 3=ω；理想气体能：RT s r t M E )2(2 ++=μ 12． 麦克斯韦速率分布函数：NdV dN V f =)(（意义：在V 附近单位速度间隔的分子数所占比率） mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2- (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?420 πε(静电力) →r Qq 0 4πε
大学物理波动学公式集复习课程
大学物理波动学公式 集
大学物理波动学公式集 波动学 1． 定义和概念 简谐波方程： x 处t 时刻相位 振幅 ξ=Acos(ωt+φ-2π x/λ ) 简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ) =Acos(2πx/λ+φ′) 相位Φ——决定振动状态的量 振幅A ——振动量最大值 决定于初态 ｘ0=Acos φ 初相φ——ｘ=0处ｔ=0时相位 （x 0,V 0） V 0= –A ωsin φ 频率ν——每秒振动的次数 圆频率ω=2πν 决定于波源如： 弹簧振子ω= m k / 周期T ——振动一次的时间 单摆ω=l g / 波速V ——波的相位传播速度或能量传播速度。决定于介质如： 绳V= μ/T 光速V=C/n 空气V=ρ /B 波的干涉：同振动方向、同频率、相位差恒定的波的叠加。 光程：L=ｎｘ（即光走过的几何路程与介质的折射率的乘积。 相位突变：波从波疏媒质进入波密媒质时有相位π的突变（折合光程为λ/2）。 拍：频率相近的两个振动的合成振动。
驻波：两列完全相同仅方向相反的波的合成波。 多普勒效应：因波源与观察者相对运动产生的频率改变的现象。 衍射：光偏离直线传播的现象。 自然光：一般光源发出的光 偏振光（亦称线偏振光或称平面偏振光）：只有一个方向振动成份的光。 部分偏振光：各振动方向概率不等的光。可看成相互垂直两振幅不同的光的合成。 2． 方法、定律和定理 ① 旋转矢量法： 如图，任意一个简谐振动ξ=Acos(ωt+φ)可看成初始角位置为φ以ω逆时针旋转的矢量A 在ｘ方向的投影。 相干光合成振幅： A= φ?++cos 2212221A A A A 其中：Δφ=φ1-φ2–λπ2（r 2–r 1当φ1-φ2=0时，光程差δ=（r 2–r 1 ② 惠更斯原理：波面子波的包络面为新波前。（用来判断波的传播方向） ③ 菲涅尔原理：波面子波相干叠加确定其后任一点的振动。 ④ *马吕斯定律：I 2=I 1cos 2θ ⑤ *布儒斯特定律：
大学物理平面简谐波波动方程
§4-2平面简谐波的波动方程 振动与波动 最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。 对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。 波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。 一、平面简谐波的波动方程 设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点 参考点原点的振动方程为 x 区别 联系 振动研究一个质点的运动。 波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。 振动是波动的根源。 波动是振动的传播。
()00cos y A t ω?=+ 任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？ 沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π 现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后 22x x π πλ λ = P 点的振动方程为 02cos P y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉 02cos y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。 如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π λ 沿 x 轴负向传播的波动方程为 x
02cos y A t x πω?λ??=++ ??? 利用 2ωπν=， u λν= 沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为 02cos y A t x πω?λ??=-+ ??? 02cos A t x u πνω??? =-+ ??? 0cos x A t u ω??? ??=-+ ??????? 即 0cos x y A t u ω??? ??=-+ ??????? 原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 x t u ?= P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ?? - ??? 时刻的振动状态 波动方程也常写为 02cos y A t x πω?λ??=-+ ??? ()0cos A t kx ω?=-+ 其中 2k π λ = 波数，物理意义为 2π 长度所具有完整波的数目。 ☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向 二、波动方程的物理意义 1、固定x ，如令0x x = ()002cos y t A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 振动方程
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大学物理波动学公式集 波动学 1．定义和概念 简谐波方程： x 处t 时刻相位 振幅 ξ ) 简谐振动方程：ξ=Acos( ωt+φ) 波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′) 相位Φ——决定振动状态的量 振幅A ——振动量最大值 决定于初态 ｘ0=Acos φ 初相φ——ｘ=0处ｔ=0时相位 （x 0,V 0） V 0= –A ωsin φ 频率ν——每秒振动的次数 圆频率ω=2πν 决定于波源如： 弹簧振子ω=m k / 周期T ——振动一次的时间 单摆ω=l g / 波速V ——波的相位传播速度或能量传播速度。决定于介质如： 绳V=μ/T 光速V=C/n 空气V=ρ/B 波的干涉：同振动方向、同频率、相位差恒定的波的叠加。 光程：L=ｎｘ（即光走过的几何路程与介质的折射率的乘积。 相位突变：波从波疏媒质进入波密媒质时有相位π的突变（折合光程为λ/2）。 拍：频率相近的两个振动的合成振动。 驻波：两列完全相同仅方向相反的波的合成波。 多普勒效应：因波源与观察者相对运动产生的频率改变的现象。 衍射：光偏离直线传播的现象。 自然光：一般光源发出的光 偏振光（亦称线偏振光或称平面偏振光）：只有一个方向振动成份的光。 部分偏振光：各振动方向概率不等的光。可看成相互垂直两振幅不同的光的合成。 2．方法、定律和定理 ①旋转矢量法： 如图，任意一个简谐振动ξ=Acos(ωt+φ)可看成初始角位置为φ以ω逆时针旋转的矢量A 在ｘ方向的投影。 相干光合成振幅： A=φ?++cos 2212221A A A A
其中：Δφ=φ1-φ 2–λπ 2（r 2–r 1当φ1-φ2=0时，光程差δ=（r 2–r 1 ②惠更斯原理：波面子波的包络面为新波前。（用来判断波的传播方向） ③菲涅尔原理：波面子波相干叠加确定其后任一 点的振动。 ④*马吕斯定律：I 2=I 1cos 2 θ ⑤*布儒斯特定律： 当入射光以I p 入射角入射时则反射光为垂直入射面振动的 完全偏振光。I p 称布儒斯特角，其满足： tg i p = n 2/n 1 3． 公式 振动能量：E k =mV 2/2=E k (t) E= E k +E p =kA 2 /2 E p =kx 2 /2= (t) *波动能量：222 1A ρωω= I=V A V 2 221ρωω=∝A 2 *驻波： 波节间距ｄ=λ/2 基波波长λ0=2L 基频：ν0=V/λ0=Ｖ/2Ｌ； 谐频：ν=ｎν0 *多普勒效应： 机械波ννs R V V V V -+='（V R ——观察者速度；V s ——波源速度） 对光波ν νr r V C V C +-= '其中V r 指光源与观察者相对速度。 杨氏双缝： dsin θ=ｋλ（明纹） θ≈sin θ≈ｙ/Ｄ 条纹间距Δy=D/λd 单缝衍射（夫琅禾费衍射）： ａsin θ=ｋλ（暗纹） θ≈sin θ≈ｙ/ｆ 瑞利判据： θmin =1/R =λ/D （最小分辨角） 光栅： dsin θ=ｋλ（明纹即主极大满足条件） tg θ=ｙ/ｆ ｄ=1/ｎ=L/N （光栅常数）
大学物理上下册常用公式
大学物理上下册常用公式 Prepared on 22 November 2020
大学物理第一学期公式集 概念（定义和相关公式） 1． 位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ++=；222z y x r ++=角位置： θ 2． 速度：dt r d V = 平均速度：t r V ??= 速率：dt ds V = （τ V V =）角速度： dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 3． 加速度：dt V d a = 或2 2dt r d a = 平均加速度：t V a ??= 角加速度：dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ（=ｒβ），r V n a 2= （=r 2 ω） 4． 力：F =ｍa （或F = dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋 法则） 5． 动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6． 冲量：? = dt F I （=F Δｔ）；功：? ?= r d F A （气体对外做功：A= ∫PdV ） 7． 动能：mV 2/2 8． 势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用 力势能形式不同且零点选择不同其形式不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9． 热量：CRT M Q μ = 其中：摩尔热容量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容 量C p 之间的关系为：C p = C v +R mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2- (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?42 0πε(静电力) →r Qq 04πε
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大学物理波动学公式集波动学 1．定义和概念 简谐波方程：x处t时刻相位 振幅 简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ) 波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′) 相位Φ——决定振动状态的量 振幅A——振动量最大值决定于初态ｘ0=Acosφ 初相φ——ｘ=0处ｔ=0时相位（x0,V0）V0= –Aωsinφ 频率ν——每秒振动的次数 圆频率ω=2πν决定于波源如：弹簧振子ω=m k/ 周期T——振动一次的时间单摆ω=l g/ 波速V——波的相位传播速度或能量传播速度。决定于介质如：绳V=μ / T光速V=C/n 空气V=ρ / B 波的干涉：同振动方向、同频率、相位差恒定的波的叠加。 光程：L=ｎｘ（即光走过的几何路程与介质的折射率的乘积。 相位突变：波从波疏媒质进入波密媒质时有相位π的突变（折合光程为λ/2）。 拍：频率相近的两个振动的合成振动。 驻波：两列完全相同仅方向相反的波的合成波。 多普勒效应：因波源与观察者相对运动产生的频率改变的现象。 衍射：光偏离直线传播的现象。 自然光：一般光源发出的光 偏振光（亦称线偏振光或称平面偏振光）：只有一个方向振动成份的光。 部分偏振光：各振动方向概率不等的光。可看成相互垂直两振幅不同的光的合成。 方法、定律和定理 x 旋转矢量法：
如图，任意一个简谐振动ξ=Acos(ωt+φ)可看成初始角位置为φ以ω逆时针旋转的矢量A ?在ｘ方向的投影。 相干光合成振幅： A= φ?++cos 2212221A A A A 其中：Δφ=φ1-φ2–λπ2（r 2–r 1当φ1-φ2=0时，光程差δ=（r 2–r 1） 惠更斯原理：波面子波的包络面为新波前。（用来判断波的传播方向） I **布儒斯特定律： 当入射光以I p 入射角入射时则反射光为垂直入射面振动的完全偏振光。I p 称布儒斯特角，其满足： tg i p = n 2/n 1 公式 振动能量：E k =mV 2/2=E k (t) E= E k +E p =kA 2/2 E p =kx 2/2= (t) *波动能量：2221 A ρωω= I=V A V 222 1 ρωω=∝A 2 *驻波： 波节间距ｄ=λ/2 基波波长λ0=2L 基频：ν0=V/λ0=Ｖ/2Ｌ； 谐频：ν=ｎν0 *多普勒效应： 机械波ννs R V V V V -+='（V R ——观察者速度；V s ——波源速度）
波动方程或称波方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中：
大学物理公式大全
大学物理第一学期公式集 概念（定义和相关公式） 1．位置矢量：r ，其在直角坐标系中： k z j y i x r ++=； 2 22z y x r ++=角位置：θ 2．速度： dt r d V =平均速度：t r V ??= 速率： dt ds V = （ τ V V =） 角速度：dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 3．加速度：dt V d a = 或 22dt r d a = 平均加速度： t V a ??= 角加速度： dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ（=ｒβ）， r V n a 2 = （=r 2 ω） 4．力：F =ｍa （或F =dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺 旋法则） 5．动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvsin θ 方向：右手螺旋法则） 6．冲量：? = dt F I （=F Δｔ）；功：??=r d F A （气体对外做功：A= ∫PdV ） 7．动能：mV 2/2 8．势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势 能形式不同且零点选择不同其形式 不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9．热量：CRT M Q μ =其中：摩尔热容 量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2- (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?420πε(静电力) →r Qq 04πε
电磁波动方程和平面电磁波
电磁波动方程和平面电磁波 电工基础教研室周学
本节的研究目的 掌握无源空间线性各向同性均匀介质中波动方程的推导； 掌握等相面，平面波，均匀平面波概念；掌握均匀平面电磁波的基本特征。 本节的研究内容 一、电磁波动方程 二、均匀平面电磁波
波动是电磁场的基本属性当时，电场和磁场相耦合，相互为源，可以脱离电荷、电流，以波的形式存在于空间中。 0/≠??t 0≠??t B 0≠??t E E B 电磁波 ???????=??-?=??-?010******* 22t E c E t H c H
电磁波的波段划分及其应用名称频率范围波长范围典型业务 甚低频VLF[超长波] 3~30KHz100~10km导航，声纳低频LF[长波，LW] 30~300KHz10~1km导航，频标中频MF[中波, MW] 300~3000KHz1km~100m AM, 海上通信高频HF[短波, SW] 3~30MHz100m~10m AM, 通信 甚高频VHF[超短波] 30~300MHz10~1m TV, FM, MC 特高频UHF[微波] 300~3000MHz100~10cm TV, MC, GPS 超高频SHF[微波] 3~30GHz10~1cm通信,雷达 极高频EHF[微波] 30~300GHz10~1mm通信, 雷达 光频[光波] 1~50THz300~0.006 m光纤通信
研究电磁波在空间的传播规律和特性，就是讨论由电磁场基本方程组导出的电磁波动方程在给定条件下的解。
00E H E t H E t H E γεμ????=+???????=-?????=????=?D E B H J E εμγ?=?=??=?在无源空间中，假设媒质是各向同性、线性、均匀的，则 2 2222200H H H t t E E E t t μγμεμγμε????--=?????????--=????无源空间的电磁波动方程，研究电磁波问题的基础
大学物理公式及解题方法
时空与质点运动 内容纲要 位矢：k t z j t y i t x t r r )()()()( 位移：k z j y i x t r t t r r )()( 一般情况，r r 速度：k z j y i x k dt dz j dt dy i dt dx dt r d t r t ??? 0lim 加速度：k z j y i x k dt z d j dt y d i dt x d dt r d dt d t a t ?????? 222222220lim 圆周运动 角速度：? dt d 角加速度：? ? 22dt d dt d （或用 表示角加速度） 线加速度：t n a a a 法向加速度：22 R R a n 指向圆心 切向加速度： R dt d a t 沿切线方向 线速率： R 弧长： R s 伽利略速度变换：u （或者CB AC AB 参考矢量运算法则） 解题参考 大学物理是对中学物理的加深和拓展。本章对质点运动的描述相对于中学时更强调其瞬时性、相对性和矢量性，特别是处理问题时微积分的引入，使问题的讨论在空间和时间上更具普遍性。
对于本章习题的解答应注意对基本概念和数学方法的掌握。 矢量的引入使得对物理量的表述更科学和简洁。注意位矢、位移、速度和加速度定义式的矢量性，清楚圆周运动角位移、角速度和角加速度方向的规定。 微积分的应用是难点，应掌握运用微积分解题。这种题型分为两大类，一种是从运动方程出发，通过微分求出质点在任意时刻的位矢、速度或加速度；另一种是已知加速度或速度与时间的关系及初始条件，通过积分求出任意时刻质点的速度、位矢或相互间的关系，注意式子变换过程中合理的运用已知公式进行变量的转换，掌握先分离变量后积分的数学方法。 内容提要 牛顿运动定律： 第一定律 惯性和力的概念，常矢量 第二定律 dt p d F m p m 为常量时 a m dt d m F 第三定律 2112F F 质心：一个物体或物体系的质心就是可以看作所有的质量集中点和所有外力的作用点 的特殊点。 常见力： 重力 mg P 弹簧力 kx F 摩擦力 N f 滑动摩擦 N f s 静摩擦 惯性力：为使用牛顿定律而在非惯性系中引入的假想力，由参照系的加速运动
精选-大学物理波动光学总结
大学物理学波动光学的学习总结 （北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院131715班北京 100191） 摘要：文章就大学物理学中的波动光学中的核心部分包括干涉，衍射，偏振部分的知识做了梳理，并就对推动波动光学理论建立的光学实验做了总结性的介绍和研究。 关键词：波动光学干涉衍射偏振实验 19世纪初，人们发现光有干涉、衍射、和偏振等现象。例如，在日常生活中常可看到在太阳光的照耀下，肥皂泡或水面的油膜上会呈现出色彩绚丽的彩色条纹图样；又如，让点光源发出的光通过一个直径可调的圆孔，在孔后适当位置放置一屏幕，逐渐缩小孔径，屏幕上上会出现中心亮斑，周围为明暗相间的圆环形图案等等。这些现象表明光具有波动性，用几何光学理论是无法解释的。由此产生了以光是波动为基础的光学理论，这就是波动光学。19世纪60年代，麦克斯韦建立了光的电磁理论，光的干涉，衍射和偏振现象得到了全面说明。 本文将从光的干涉衍射和偏振来讨论光的波动性以及波动光学中的经典实验。 一、光的干涉 1.光波 定义光波是某一波段的电磁波，是电磁量E和H的空间的传播. 2.光的干涉 定义满足一定条件的两束(或多束)光波相遇时，在光波重叠区域内，某些点合光强大于分光强之和，在另一些点合光强小于分光强之和，因而合成光波的光强在空间形成强弱相间的稳定分布，称为光的干涉现象，光波的这种叠加称为相干叠加，合成光波的光强在空间形成强弱相间的稳定分布称为干涉条纹，其中强度极大值的分布称为明条纹，强度极小值的分布称为暗条纹. 3.相干条件 表述两束光波发生相干的条件是:频率相同，振动方向几乎相同，在相遇点处有 恒定的相位差. 4.光程差与相位差 定义两列光波传播到相遇处的光程之差称为光程差;两列光波传播到相遇处的相位之差称为相位差. 5.双光束干涉强度公式 表述在满足三个相干条件时，两相干光叠加干涉场中各点的光强为
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第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim 0△t →△t △r =dt dr 1. 3速度v= dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1.6 平均加速度a = △t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim 0△t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a=dt dv =2 2dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2 -v 02 =2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???? ???-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 02200 1.17 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 2 1.20射高Y= g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga —g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2 n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同 a n =R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1.28 ωΦR dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φ ωd = 1.30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =222)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动 状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线 1.39 F=G 2 2 1r m m G 为万有引力称量=6.67×10-11 N ?m 2 /kg 2 1.40 重力 P=mg (g 重力加速度) 1.41 重力 P=G 2 r Mm 1.42有上两式重力加速度g=G 2 r M (物体的重力加速度与物体本身的质量无关，而紧随它到地心的距离而变) 1.43胡克定律 F=—kx (k 是比例常数，称为弹簧的劲度
弹性波和塑性波
第一题：推导波动方程，简述弹性波和塑性波的主要区别？要求给出主要的推导步骤，主要的方程，以及弹性波和塑性波的本质区别。 圆柱杆中的弹性波的传播，如图所示为撞击杆以速度V 撞击长圆柱杆，并在圆柱杆中产生了自左向右传播的压缩应力波。T 时刻，这个扰动的波阵面在x 位置处。分析时忽略横向即杆Oy 方向的应变和惯性。在t 时刻，考察波阵面在截面AB 和A`B`的情况，截面A`B`离起始位置的距离为x+δx,对AA ’BB ’部分。 这里需要设定几个假设： 1、忽略细长杆的横向应变和横向惯性效应； 2、忽略杆的重力和材料阻尼； 3、变形前后横截面为平面，即平截面假定。 应用牛顿第二定律，有 图：波在杆中的传播 （a ）冲击前；（b ）冲击后 F ma = 22x A A x A x x t σσσδρδ??????--+= ???????? ? 22u x t σρ??=?? 而变形是弹性的且假定满足胡克定律：
=E σε 其中ε为应变，定义为/u x ??，负号表示压应变，因此有 22u u E x x t ρ?????=??????? 和 2222u E u t x ρ??=?? 上式即为弹性波的波动方程，其中0E C ρ=为波速。 二、弹性波和塑性波的区别 当物体某部分突然受力时，该处将产生弹性变形，并以波的形式向周围传播，使整个物体产生弹性变形，这种波称为弹性波。 当物体受到超过弹性极限的冲击应力扰动后产生的应力和应变的传播、反射，并使得物体产生塑性变形，这种波称为塑性波。 由于固体材料弹性性质和塑性性质的不同，因此在均匀的弹塑性介质中传播的塑性波和弹性波是有区别的，主要表现在： 1、塑性波波速与应力有关，它随着应力的增大而减小，较大的变形将以较小的速度传播，而弹性波的波速与应力大小无关； 2、在应力σ和应变ε的关系满足()σσε=时，塑性波波速总比弹性波波速小； 3、塑性波在传播的过程中波形会发生变化,而弹性波则保持波形不变。 弹性波和塑性波的这些本质区别可以从波动方程中看出，在波动方程中的C 表示的就是应力波的传播速度，其中 弹性波的波速为：001d C C d σε ρ==，,Y d d E σσε≤= 塑性波的波速为：001d C C d σερ= <，,Y d d E σσε>< 其中Y 表示材料的屈服强度，E 表示材料的弹性模量。 从上式中我们很容易看出，无论的弹性波还是塑性波的波速都取决于材料的应力—应变曲线的斜率d d σε，显然在弹性阶段和塑性阶段是不同的。塑性波的波速是应变的函数，它
大学物理下公式方法归纳
大学物理下归纳总结 电学 基本要求： 1．会求解描述静电场的两个重要物理量：电场强度E 和电势V 。 2．掌握描述静电场的重要定理：高斯定理和安培环路定理（公式内容及物理意义）。 3．掌握导体的静电平衡及应用；介质的极化机理及介质中的高斯定理。 主要公式： 一、 电场强度 1 计算场强的方法（3种） 1、点电荷场的场强及叠加原理 点电荷系场强：∑=i i i r r Q E 304πε 连续带电体场强：?=Q r dQ r E 3 4πε （五步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写E d 、分解、积分) 2、静电场高斯定理： 物理意义：表明静电场中，通过任意闭合曲面的电通量（电场强度沿任意闭合曲面的面积分），等于该曲面内包围的电荷代数和除以0ε。 对称性带电体场强： 3、利用电场和电势关系： x E x U =??- 二、电势 电势及定义： 1．电场力做功：??=?=2100l l l d E q U q A 2. 物理意义：表明静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分为0。 3．电势：)0(00 =?=?p p a a U l d E U ；电势差：??=?B A AB l d E U
电势的计算： 1 点电荷系电势：∑=i i i r Q U 0 4πε （四步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写dV 、积分) 2．已知场强分布求电势：定义法 ???=?=l v p dr E l d E V 0 三、静电场中的导体及电介质 1. 弄清静电平衡条件及静电平衡下导体的性质 2. 了解电介质极化机理，及描述极化的物理量—电极化强度P , 会用介质中的高斯定理，求对称或分区均匀问题中 的,,D E P 及界面处的束缚电荷面密度σ。 3. 会按电容的定义式计算电容。 磁学 恒定磁场（非保守力场） 基本要求：
大学物理公式
大物公式 质点运动学 一、运动的一般描述 1． 位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ++=；222z y x r ++=角位置：θ 速度：dt r d V = 平均速度：t r V ??= 速率： dt ds V = （τ V V =） 2． 加速度：dt V d a = 或 22dt r d a = 平均加速度： t V a ??= 在自然坐标系中，n a a a n +=ττ其中 dt dV a =τ（=ｒβ ）切向加速度， r V n a 2 = （=r 2 ω）法向加速度 二、圆周运动 1．角速度：dt d θ ω= 角加速度： dt d ωβ= 角速度与速度的关系：ωr V = 题型及解题要点 1、 已知运动方程，求位置矢量、位移、速度、加速度及轨迹方程等 解题要点：根据运动学中物理量的含义，使用数学知识解题。 2、已知加速度和初始条件，求运动方程和速度 解题要点：根据加速度和速度的定义，利用积分学知识解题。 2、 圆周运动 解题要点：根据运动学中物理量的定义，选择角坐标或自然坐标解题。 质点动力学 1．力：F =ｍa （或F =dt p d ﹦dt mv d )(） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右 复习时以习题册为主，答疑时老师说 习题册上不出现的知识点一般都不考，把习题册上的题做熟就OK 肯定有些公式没有，大家看着在空白的地方补充一下
手螺旋法则） 2．动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 3．冲量：? = dt F I （=F Δｔ）；功：? ?= r d F A （气体对外做功：A=∫PdV ） 4．动量定理：p I ?=→动量守恒：0=?p 条件∑=0外F 5．角动量定理：dt L d M = →角动量守恒：0=?L 条件∑=0外M 6．动能原理： k E A ?=（比较势能定义式：p E A ?-=保） 7．功能原理：A 外+A 非保内=ΔE →机械能守恒：ΔE=0条件A 外+A 非保内=0 8．动能：22 1mv E k = 9．势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势能形式不同且零点选择不同其形式不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P （貌似有些公式不全，大家在空白的地方补一下，打起来实在太费事了） 题型及解题要点 1、 牛顿定律的应用 ① 一直或通过受力分析得出力的函数())(),(,r F F v F F t F F ===，根 据N-2定律建立运动微分方程解题 ② 求系统中个物体之间的相互作用力及物体的加速度。 解题要点：1，受力分析２，列出各物体的受力方程（一般为矢量式）３，解方程得出力和加速度 mg(重力) → mgh G = -kx （弹性力） → 2 2 1kx E p = F= r r Mm G ?2 - (万有引力) →r Mm G - =E p