弹性波理论
地震波交错网格高阶差分数值模拟研究
摘要: 地震波数值模拟技术是勘探地球物理学中的重要组成部分，研究通过弹性波一阶速度——应力方程，采用交错网格高阶有限差分法实现了地震波在各向同性介质中的高精度的数值模拟，并采用完全匹配层( PML) 吸收边界来消除边界反射，可取得较好的效果。通过模型的正演计算和复杂模型的处理结果表明，交错网格高阶有限差分法数值模拟是一种快速有效的地震波数值模拟方法。
关键词: 地震勘探; 交错网格; 有限差分; 数值模拟
引言
地震数值模拟是模拟地震波在介质中传播的一种数值模拟技术，随着地震波理论在天然地震和地震勘探中的应用，地震模拟技术便应运而生，并随着地震波理论和计算机技术的发展，地震数值模拟技术自20世纪60年代以来也得到了飞速发展，形成了目前具有有限差分法、有限元法、虚谱法和积分方程法等各种数值模拟方法的现代地震数值模拟技术。
有限差分法是偏微分方程的主要数值解法之一。在各种地震数值模拟方法中，最早出现的数值模拟方法是有限差分法。Ａlterman和Karal(1968)首先将有限差分法应用于层状介质弹性波传播的数值模拟中。此后，Boore(1972)又将有限差分法用于非均匀介质地震波传播的模拟。Alford等（1974）研究了声波方程有限差分法模拟的精确性。Kelly等（1976）研究了用有限差分法制作人工合成地震记录的方法。Virieux(1986)提出了应用速度——应力一阶方程交错网格有限差分法模拟P——SV波在非均匀介质中的传播。交错网格方法提高了地震模拟的精度和稳定性，并消除了部分假想。
有限元法也是偏微分方程的数值解法之一。Lysmer和Drake（1972）最早将有限元法应用于地震数值模拟。Marfurt(1984)研究对比了模拟弹性波传播的有限差分法和有限元法的精度。Seron等（1990,1996）给出了弹性波传播有限元模拟方法。Padovani等（1994）研究了地震波模拟的低阶和高阶有限元法。Sarma等（1998）给出了三维声波模拟的虚谱法。
积分方程法是建立在波动方程的积分表达式的基础上的，其理论基础是惠更斯原理。积分方程法也是有限元法之后发展起来的一种地震数值模拟方法。Pao 和Varatharajulu（1976）提出了弹性波散射的积分表达式。Bennett和Mieras(1981)给出了流体目标声波散射的时间域积分方程解。Bouchon(1987)给出了裂隙或孔洞弹性波绕射的离散波数法模拟方法。Bouchon等（1989）研究了具有不规则界面的多层介质中波传播的边界积分方程——离散波数法。Bakamjian（1992）给出了三维地震波传播模拟的边界积分方程法。符力耘和牟永光（1994）提出了弹性波正演模拟的边界元法。符力耘等（1997）提出了非线性Fredholm积分方程的正演问题。符力耘（2003）给出了含起伏地表的广义Lipmann—Schwinger积分方程的数值模拟方法。
射线追踪方法是建立在波动方程的高频近似基础上的一种地震数值模拟方法（cerveny等，1977）。这种方法实际只计算了最奇异部分的解，即旅行时和振幅函数的特征曲线，它们分别是程函方程和传播方程的解。这种方法计算效率高。但是，一些复杂的本构方程由于积分方程法和射线追踪法不满足假设条件而限制
了这些方法的应用。
上述这些地震数值模拟方法各有优缺点。对于复杂构造、复杂地质体和复杂岩性地震模拟而言，交错网格高阶有限差分法其综合性能（占内存大小、模拟精度、计算效率和并行算法实现）最好，是实用性最好的方法。
在声波方程正演的数值模拟中,由于有限的计算空间区域无形之中引入了人为边界,不可避免的需要对在数值网格边界上产生的反射或回绕能量进行合适的处理,否则这些人为产生的反射或回绕能量会在很大程度上扭曲真正的波动传播信号,使模拟剖面变得模糊不清,不利于对地层构造信息进行解释。
为了消除这些人为产生的边界反射或回绕能量,人们发展了多种方法,其中最常见的主要有以下几种:一是最简单的扩展边界法,即在需要计算的数值网格外增加一些额外的网格数目,这样可以使人为边界反射效应远离所需要的计算网格,但是这种方法带来的负面效应是所需要的网格数目大大增加,因而也大大增加了计算量,对计算机的计算速度和存储能力提出了更高的要求,所以这种方法并没有得到很好的推广;二是海绵吸收法,即在计算网格的边界区域设置一定宽度的阻尼带,利用某些衰减函数对数值模拟波场进行逐步衰减;三是反周期扩展法,即利用正反周期函数极性相反的特点消除回绕波场;四是傍轴近似法,即利用波动方程的傍轴近似条件来消除计算边界上的反射。如何选择合适的边界吸收是一个值得研究的问题。
数值模拟基本原理
各向同性介质是最基本的一种介质模型，目前地震勘探中大多都是基于这种介质模型，根据弹性介质位移，应力和应变之间的关系，可以推导出各向同性介质中的弹性波方程，在二维介质情况下为:
（1）
式中x V ———质点位移速度的水平分量;
z V ———质点位移速度的垂直分量; xx σ———X 方向正应力; zz σ———Z 方向正应力; xz σ———切应力分量; λ，μ———拉梅系数。
一阶声波方程交错网格差分方程的建立
1）一阶声波方程时间导数的2M 阶差分精度算法
在计算机中进行数值计算时，需要对连续函数离散化，即对方程(1)中的微
(2)(2)()x xx xz
xz z zz xx x z x zz z xz x z v t x z v t x z
v v t x z v v t z x v v t z x σσσσσσσρ
ρ
λμλ
λμλ
μ
???????????????????????????????=+?=+??=++??=++??=+?
分用有限差分来代替。设函数f(t)单值连续且存在任意阶导数，则其Taylor 展开式为：
232
3
231112
2
2!2
3!2
!2
()()()()...+
()+()m m
f f f f m
m t t t t t t m t t t f t f t O t ?????????????+=+
+
+
+?23
2
3
231112
2
2!2
3!2
!2
-(-)()-()
()...+
(-)+()m m
f f f
f m
m t
t t t t t m t t t f t f t O t ?????????????=+
+?将以上两式相减，得到2M 阶精度的时间差分近似式为：
2-12-12-1
1(2m-1)!
=1
22
2
2
*(
)
*+()=(-)+2*()m m M
f
m t m M t
t t f t f t O t ?????+
?∑
（2）
Δt 为时间步长，在采用交错网格技术解声波方程时，速度场在2
+t
t ? 时刻计算，而应力场在t +Δt 时刻计算。
当M ＝1时，对方程(1)中的时间微分进行数值离散，可得2阶时间差分近似为：
22(+)=(-)+[]xx xz t t t x x x z v t v t σσρ???????+
2
2
(+)=(-)+[
]xz zz t
t t
z z x
z
v t v t σσρ???????+
(+)=()+[(2)
]
x z
v v xx xx x
z t t t t σσλμλ??????++ (+)=()+[(2)]
x
z
v v zz zz x z t t t t σσλλμ??????++
(+)=()+[]x z v v xz xz x
z
t t t t σσμ
μ
??????+
对于时间高阶差分，计算
2-12-1
m m f t ??时将涉及较多的时间层，需要大量的存储空
间因此利用一阶弹性波方程中的速度－应力关系式，将速度对时间的任意奇数阶高阶导数用应力对空间的导数代替，而应力对时间的任意奇数阶高阶导数用速度对空间的导数代替，这样，在计算一个时间层上的速度或应力场时，只需要前一个时刻的速度或应力场以及两时间层之间的应力或速度场，不需要过多的时间层，从而节省了内存(董良国，2000)。
2）一阶弹性波方程空间导数的2N 阶差分精度算法
为了提高计算精度，空间导数也要采用高阶差分近似。在交错网格技术中，对空间变量的导数是在相应的空间变量网格点之间的半程上计算，对于空间函数f (x)，假设其存在2N ＋1阶导数，则f (x)在2-1
02
=n x x x ±?处的2N ＋1阶Taylor
展开式为：
2-122+1()(i)2+22-10002
!
=1
()=()+()+O(),n=1,2,...,N i n N N n i i f x x f x f x x ±±??∑
（3）
由于交错网格一阶导数2N 阶精度差分近似式可表示为：
()(2N+1)2+12(+1)+12-12-100022==1
={[+]-[-]}+e ()+()N
f x N N n n n N x x x
n x
c f x x f x x f x x O x ???????∑ （4）
其中，n c 为差分系数，N e 为误差系数； 将(3)式代入(4)式中，化简得到：
2+12+1
2+1
-1
(2n-1)(2n-1)(1)
(1)
(2i+1)
2+1(2N+1)0000(2+1)!
(2+1)!=1
=1=1
=1
2(+1)+1()=(2n-1)()+()+()
+() i i N N
N N N
x N n n n
i N n n i n N xf x c xf x c f
x c x f x O x ?????∑∑∑
∑
5（）
根据上式，可得差分系数由下面的方程确定：
1113322-12-1113(2N-1)013(2N-1)=013
(2N-1)N N N c c c ??????
??????
??????
??????
????????
???? 求出差分系数n c 之后，则可得到空间导数的2N 阶精度差分近似：
()
22-12-11
22
=1={[+]-[-]}+()N
f x N n n n x
x n c f x x f x x O x ??????∑ （6）
3）一阶弹性波方程差分格式
图1 精度为O(2
4+t
x ??)的交错网格示意图(据Levander 1988)
如图1所示，水平速度x V 定义在网格点(i,j)，垂直速度z V 定义在网格点
1122(i+,j+)正应力xx σ,zz σ都定义在网格点1
2(i+,j)，剪切应力xz σ定义在网格点
12(i,j+)。速度分量x V 、z V 均定义在时间层12-k ，12+k ，应力分量xx σ,zz σ,xz σ均
定义在时间层k ,k+1。设+12+12,+12,+12+12,+12,,+12,,,,k k k k k
i j i j i j i j i j U V P Q S 分别为质点速度分量
x V 、z V 和应力分量xx σ,zz σ,xz σ的离散值，ρ,λ,μ的离散值分别为,,,,,i j i j i j l m ρ，水平与垂直方向网格间距均为Δx 。则方程(1)的精度为O(2
2+N
t x
??)差分格式为：
2-12-12-12-1,2
2
2
2
+12-12,,+,-,,+,-=1
=1
=+[c (-)+c (S -)]n n n n i j N
N
k k k
k k k t i j
i j
n
n x i j i j i j i j n n U
U
P P
S ρ??∑∑
1
1+12,+122
2
+12-12+12,+12
+12,+12
+12,++12,+1-+,+,-=1=1=+[c (S
-)+c (-)]
i j N
N
k k k
k k
k
t
i j i j n n i j n
i j n
x i n j i j n n V
V
S Q
Q
ρ??∑∑2-12-12
2
+1+12+12+12+12+12,+12,+12,+,+1-,+12,+12,++12,-=1=1
=+[(+2)c (-)+c (-)]
n n N
N
k k k k k k t i j i j i j n i n j i n j i j n x i j i j n n P P l m U U l V V ??∑∑2-12-12
2
+1+12+12+12+12+12,+12,+12,+12,+,+1-,+12,++12,-=1
=1
=+[(+2)c (-)+c (-)]
n n N
N
k k k k k k t i j i j i j n i j n i n j i n j x i j i j n n Q Q l m V V l U U ??∑∑2-12-12
2
+1+12+12+12+12,+12,+12,+12,+,+1-+,+12-,+12=1
=1
=+[c (-)+c (-)]
n n N N
k k k k k k t i j i j i j n i j n i j n n x i j i j n n S S m U U V V ??∑∑同理，可以根据实际需要选择不同的M,N 来达到预定的精度，精度越高，计算量相应的越大。
完全匹配层吸收边界条件
采用有限差分方法进行数值模拟时，边界条件的处理是非常关键的，选择合适的边界处理条件，不仅可以得到效果较好的数值模拟结果，而且也能提高地震照明结果的准确性。因此，对弹性波方程的数值模拟采用Collino(2001)提出的弹性波方程中的完全匹配层吸收边界条件进行边界处理。
1）完全匹配层原理
基于波场分裂的完全匹配层原理是在PML 层中，将每一个波场分量可分解为两部分(二维情况)或三部分(三维情况)，每一部分代表一个空间变量的偏导数对场分量的贡献，且每一部分只在其坐标轴方向衰减，然后将同一个场分量的各个分裂部分相加得到该场分量，并用于下一个循环迭代，求解其他场。由于只是在PML 层对波场分量进行分解，而PML 层相对于整个模型计算空间还是很小，因此增加的内存量并不很大。考虑一阶双曲型偏微分方程定解问题：
--=0
(=0)=U U U
t x z A B U t U ?????? （7）
现在寻找一组新的方程，使之在PML 模型区域(S1,S2,S3)(如图2)与内部波场
的方程互相耦合，在两个区域之间的边界x ＝0上不会产生反射，并且在PML 区域内，波是呈指数衰减传播的。
图2完全匹配层示意图
首先，将U 分解为垂直于边界x ＝0和平行于边界x ＝0的两个分量U ⊥和U ，
U ⊥表示只包含对x 的偏导数，U ⊥表示只包含对z 的偏导数。
-=0-=0U U t z U U
t
x B A ⊥????????????? （8） 其中：=+U U U
⊥
其次，构造一个新的方程组，使之在PML 区域内指数衰减。在U ⊥分量上引入一个衰减因子d (x)，方程的解为一个新的波场u ：
0+d()-=0-=0(t=0)=U u U t x u u
t z x u A B u ⊥
⊥?????????????
（9）
其中：=+U U U
⊥
对比(8)和(9)可知，在内部波场(x<0)，u ≡U ，将(8)和(9)经Fourier 变换到频率域，根据波函数在Fourier 变换中
t
?
?与i ω的互换性，得：
-=0-=0U x U z i U A i U B ωω⊥
?????????
（10）
(+())-=0-=0u x u
z i d x u A i u B ωω⊥?????????
（11）
,,u ,u ,,u U U U ⊥⊥分别为,,u ,u ,,u U U U ⊥⊥的Fourier 变换。 (11)也可以写为：
+()-=0-=0i u
i d x x u
z i u A i u B ωωωω⊥?????????
（12）
对比(10)和(12)可知：PML 模型是由内部波场经过简单代换得到的：
+()=,i x
x i d x x ωω???
???→
即相当于对变量x 进行复变换：
()=-(s)x
i
x x x d ds ω? （13）
设方程(7)存在如下形式的特解：
0=exp[-i(k x+k z-t)]=(k ,k )
x z x z U U k ω （14）
上式表示沿着k 方向以相速度k
ω传播的平面波，U 满足以下关系式 000++=0x z i U iAU k iBU k ω（15） 同样，(9)式的特解为如下形式：
0=exp[-i(k x+k z-t)]x z u U ω （16） 将(13)式代入(16)式中，得到：
00
=exp[-i(k x+k z-t)]exp[-(s)]x
x
k x z u U d ds ω
ω?
（17）
综上所述，可以得出如下结论：
1.在x ≤0区域，u ≡U ，表明PML 模型与内部波场是完全匹配的。
2.在PML 区域(x>0)，u 按指数衰减，衰减系数为：
(x)(x)
=
=exp[-(s)]x
x
u k d U d ds ω
α?
衰减与波的传播方向有关，体现在x k 上，对正入射波衰减最快，但对接近于平行入射到该界面的波，衰减速度很慢。
2）完全匹配层差分格式
将PML 原理应用到一阶弹性波方程，进行波场分裂，得到一组新的方程式：
=+,=+v v v σσσ⊥⊥
(+d(x))=;=(+d(x))=
;=xx
x
xz
xz z zz v x t x t z
v z t x
t z
v v σσ
σσρρρρ
???⊥????????⊥
?
????
(+d(x))=(+2)
;
=x xx
z
xx v v t
x
t
z σ
σλμλ???⊥
????? （18）
(+d(x))=;
=(+2)x zz
z v v zz t x
t
z σ
σλ
λμ???⊥?????
(+d(x))=;
=xz
x z v v xz t x
t
z σ
σμ
μ
???⊥?????
其中，d (x)，d (z)为衰减因子，在内部波场为0，s1区域d (x)>0，s2区域d (z)>0，在s3区域，d (x)>0，且d (z)>0
完全匹配层的离散方法仍然采用交错网格差分格式，内部波场和PML 的交界面在离散过程中作为内部弹性界面处理。则得到PML 差分格式：
,,,()=()+()n x n z n
x i j x i j x i j v v v
+12+12
+1+1+12,-12,,,,,,()-()(v )-(v )(v )+(v )2
+=n n x n x n x n x n
xx xx i j i j
x i j x i j
x i j x i j i j x i t
h
d σσρ?
+12+12+1+1,+12,-12
,,,,,()-()(v )-(v )(v )+(v )2
+=
n n z n z n z n z n
xz xz i j i j x i j x i j
x i j x i j i j z j t
h
d
σσρ?
+12,+12+12,+12+12,+12()=()+()n x n z n z i j z i j z i j v v v
+12+12
+1+1+12,+12+12,+12
+12,+12+12,+12
+1,+12,+12
+12,+12()-()(v )-(v )(v )+(v )+122
+=n n x n x n
x n x n
xz xz z i j z i j z i j z i j i j i j i j x i t
h
d σσρ?
+12+12+1+1+12,+12+12,+12
+12,+12+12,+12
+12,+1+12,+12,+12()-()(v )-(v )(v )+(v )j+122
+=
n n z n z n z n z n
zz zz z i j z i j z i j z i j i j i j
i j z t
h
d
σσρ?
+12+12+12
+12,+12,+12,()=()+()n x n z n xx i j xx i j xx i j σσσ
+12-12+12-12
+12,+12,+12,+12,+1,,i+12,()-()()+()()-()+12i+12,2
+=(+2)
n n n n x x x x n n xx xx xx xx i j i j
i j i j x i j x i j
j v v x i j t
h
d σσσσλμ?
+12-12+12-12+12,+12,+12,+12,+12,+12+12,-12
()-()()+()()-()i+12,2
+=n n n n z z z z n n xx xx xx xx i j i j
i j i j z i j z i j v v z j j
t
h
d
σσσσλ?
+12+12+12
+12,+12,+12,()=()+()n x n z n zz i j zz i j zz i j σσσ
+12-12+12-12
+12,+12,+12,+12,+1,,()-()()+()()-()+12i+12,2
+=n n n n x x x x n n zz zz zz zz i j i j
i j i j x i j x i j
v v x i j
t
h
d
σσσσλ?
+12-12
+12-12
+12,+12,+12,+12,+12,+12+12,-12
i+12,()-()()+()()-()i+12,2
+=(+2)
n n n n z z z z n n zz zz zz zz i j i j
i j i j z i j z i j j v v z j j t
h
d
σσσσλμ?
+12+12+12
,+12,+12,+12()=()+()n x n z n xz i j xz i j xz i j σσσ
+12-12+12-12
+12,+12,,+12,+12+12,+12-12,+12
()-()()+()()-()i,+12
2
+=n n n n x x z z n n xz xz xz xz i j i j
i j i j z i j z i j v v x i j t
h
d
σσσσμ?
+12-12
+12-12
,+12,+12
,+12,+12,+1,()-()()+()()-()+12i,+12
2
+=n n n n z z z z n n xz xz xz xz i j i j i j i j x i j x i j
v v z j j t
h
d
σσσσμ?
其中：x x v 表示x v ⊥，z
x v 表示x v
+1,,(v )+(v ),2
==,(x)(v )=x n x n x i j x i j x n
x x i j
i h x z d d
??
,(v )=(i x,j z,n t)n x i j x v ???，其它与此雷同。
数值计算结果
下面采用精度为O (24+t x ??)的交错网格有限差分方法，对各向同性弹性介质中的地震波传播进行数值模拟。完全匹配层衰减因子采用Collino(2001)给出的
公式：231002(x)=(),=log()x v
R d d d δδ，v 是波传播中最快的速度，x 为计算点与PML
内层边界的距离，δ为PML 层的厚度，0d 为最大衰减系数，它与理论反射系数有关。
1）不同厚度的PML 吸收边界吸收效果比较
均匀介质模型大小为2000m*2000m ，空间网格步长为5m ，震源位(1000m,1000m)处，子波主频为30Hz.图3a,b,c,d,e,f 中PML 网格厚度依次为0、5、
10、15、20、30,均为600ms时刻的波场快照。由a图知无吸收边界时，当波传播到模型边界时，产生了强烈的反射，随着PML吸收边界的厚度增加，吸收效果也逐渐变好，由d、e、f图知，当PML边界达到一定厚度之后，来自边界的人工反射波已经被很好地吸收了，图e 和f几乎无反射存在。因此，在实际计算时，可以适当地减少PML边界的厚度来减少计算量。
图3.a PML厚度为0个网格点的波场快照图3.b PML厚度为5个网格点的波场快照
图3.c PML厚度为10个网格点的波场快照图3.d PML厚度为15个网格点的波场快照
图3.e PML厚度为20个网格点的波场快照图3.f PML厚度为30个网格点的波场快照
2）PML 边界采用不同吸收函数吸收效果之比较 完全匹配层（PML ）方法提供了一种依据指数率迅速衰减，适用于任意频率、任意入射角度，并将人工边界的虚假反射迅速衰减为零的外行波模拟技术。但是，目前关于PML 人工边界条件中衰减函数的使用尚无详细论述。基于弹性波方程给出了完全匹配层算法的原理，特定选了一下几个函数作比较,具体见下表 图号 4.a 4.b 4.c 4.d 吸收因子α 0(1-)ih d δ 2
0(1-)ih d δ 02[1-sin()]ML i P d π 02cos()ML i P d π 类型
一次型
二次型
正弦型
余弦型
其中，3102=log()v
R d δ v 是传播中最快的速度，δ为PML 层的厚度（=ML P h δ），0
d 为最大衰减系数，它与理论反射系数有关，i 为计算点距离PML 内边界的网格点数（=0,1,2
,ML i P ）
。
图4.a 衰减函数为一次型的波场快照 图4.b 衰减函数为二次型的波场快照
图4.c 衰减函数为正弦型的波场快照 图4.d 衰减函数为余弦型的波场快照
通过对比、分析多个典型的衰减函数可知，正余弦型吸收衰减因子的效果优于指数型吸收衰减因子的结论。
由上面的两组分析可知，PML厚度对吸收效果的影响比吸收函数对吸收效果的影响更明显，如果选择两者的最佳匹配组合，可以达到更好的吸收效果。
3）PML 边界与衰减边界之比较
为了验证最佳匹配层（PML）的优越性，特地将PML边界吸收与指数衰减吸收进行比较，人工边界的宽度均为10个网格，由图5.a和5.b可知，对于相同的模型，PML的吸收效果明显优于指数衰减的吸收效果，因此，选用PML吸收边界既可以节约计算成本，又可以达到更理想的效果。
图5.a指数衰减边界吸收效果图图5.b PML边界吸收效果图
小结
地震波数值模拟技术在地震学中的地位相当重要，这次学习主要研究了采用交错网格有限差分法实现了地震波在各向同性介质中的高精度的数值模拟，并采用完全匹配层( PML) 吸收边界来消除边界反射，在编程过程中遇到不少问题，幸运的是有师兄和同学们帮忙，问题得到了及时的解决，在此衷心地感谢他们！
参考文献
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弹性理论应用案例
弹性理论 ——“旧帽换新帽一律八折” 在市场上各商家之间“挥泪大甩卖”、“赔本跳楼价”的价格大战从未仔细考虑过究竟是为什么，只是觉得很开心，因为在可以节省大量金钱，前几天路径一家安全帽专卖店，看到它打出这样的广告——“旧帽换新帽一律八折”。店家的意思是，如果你买安全帽时交一顶旧安全帽的话，当场退二成的价格；如果直接买新帽，对不起只能按原定价格买。这一种促销方式让人觉得好奇，是不是店家加入了什么基金会或是店家和供帽厂家有什么协定，回收旧安全帽可以让店家回收一些成本，因此拿旧帽来才有二折的优惠呢如果大家是这么想，那可就猜错了，大凡这种以旧换新的促销活动主要是针对不同消费者的需求弹性而采取的区别定价方法，即：给定一定的价格变动比例，购买者需求数量变动较大称为需求弹性较大，变动较小称为弹性较小。对需求弹性较小的购买者制定较高价格，对需求弹性较大的顾客收取较低价格。而这家安全帽专卖店的促销作法正是这个理论的实际应用，实际上，店家拿到你那顶脏脏旧旧的安全帽，并沒有什么好处，常常是在你走后往垃圾筒一丟了事。既然沒好处，店家为何还要多此一举呢答案是——店家以顾客是否拿旧安全帽，来区别顾客的需求弹性。简单地说，沒拿旧安全帽来的顾客说明他沒有安全帽，由于法令规定：驾驶摩托车必须要戴安全帽，故而无论价格的高低，购买摩托车的人一定要买顶安全帽，因此这种顾客的需求曲线较陡，弹性较小。相对地，拿旧安全帽来抵二折价款的顾客表明他本来就有一顶安全帽，如果安全帽的价格便宜他有以旧换新的需求，而如果价格太贵他也可以以后再买，因为已有了一顶安全帽，对该商品的需求沒有迫切性。因此，这类的顾客需求曲线较平坦，弹性较大。 综上所述不难看出，该安全帽专卖店采用这种“旧帽换新帽八折”的促销活动，针对不同消费者的需求定价的方法，不仅不会使其减少营业收入，反而会吸引那些本不想购买新帽的消费者前来购买，增加了收益。因此，我认为：认真研究消费者心理，了解市场需求，针对本行业的特点，制定出适合自己的价格策略，一定会给单位、公司带来丰厚的利润。 需求的收入弹性——企业与消费者必须面对的另一个问题。 消费者的收入是决定需求的一个不亚于价格的因素。所谓的需求收入弹性是指，消费者的收入变化对某物品需求量变动的影响。用公式表示：Ed=△Q/Q/△P/P需求的收入弹性与需求的价格弹性一样也有几种分类，最主要还是收入富有弹性和缺乏弹性。一般来讲收入增加对商品的需求量增加，符合这种特性的是正常商品。但收入增加后生活必需品增加比例小于收入增加的比例；收入增加后奢侈品的增加大于收入增加的比例。这两种情况无论收入弹性系数大小都是正值。但也有一些商品，比如，旧货、低挡面料的服装、处理品等商品是随着消费者的收入的增加而减少。收入弹性系数大小都是负值。通俗地说，收入增加了我们不会多吃粮食、食盐、对牙膏的增加也有限；对旧货、低档面料的服装、处理品非但不增加，而减少；收入增加后我们增加了的住房、汽车、化妆品、名牌服饰等需求的增加。近年来我们的收入不断增加，低档品从我们的生活中逐渐消失，而高档品的消费越来越多，这种变化的情况符合恩格尔定律。 恩格尔是19世纪德国统计学家，他在研究人们的消费结构变化时发现了一条规律，即一个家庭收入越少，这个家庭用来购买食物的支出所占的比例就越大，反过来也是一样。而这个家庭用以购买食物的支出与这个家庭的总收入之比，就叫恩格尔系数。这是因为食品属于缺乏弹性，我们收入增加几乎不增加食物，收入增加后增加的几乎是弹性大的商品。由此可以得出结论，对一个国家而言，这个国家越穷，其恩格尔系数就越高；反之，这个国家越富，其恩格尔系数越是下降。这就是世界经济学界所公认的恩格尔定律。 据说联合国粮农组织提出了一个划分贫困与富裕之间的标准：恩格尔系数在59%以上为贫困；50%-59%之间为小康；30%~40%之间为富裕；30%以下为特别富裕。1998年美国农业
弹性理论的应用
三、把弹性引入经济应用的实际意义 弹性就是经济学中得到广泛应用的一个重要概念,它在预测市场结果、分析市场受到干预时所发生的变化等方面起着重要作用,就是企业管理者进行科学决策的一个有利的经济分析工具。 (一)进行价格决策与销售收益分析 利用需求价格弹性的概念,可以得出价格变动如何影响销售收益的结论。这对于制定销售策略与合理确定商品价格有着重要的参考价值。 设需求函数,从而收益函数为,其边际收益。 由此可知,当需求就是富有弹性时,即当时,,说明收益就是价格的单调减函数。此时若采取降价措施,可使总收益增加,即薄利多销多收益; 当需求就是缺乏弹性时,即当时,,说明收益就是价格的单调增函数。此时可适当提高商品售价,以增加销售收入; 当需求具有单一弹性,即时,,此时的收益已经达到最大值,且总收益不受价格影响,因而无需再对商品价格进行调整。 (二)引导消费品的生产 消费品生产企业,需要科学地预测消费者购买力的投向,以便生产适销产品,增加企业利润。而居民消费品购买力又与其可支配收入有直接关系。 需求的收入弹性(以表示) ,就是指消费者收入的相对变动所引起的需求量的相对变动。其数学表达为: 。当时,, 其中,表示消费者的收入,为消费者收入的变动量。根据的大小,能够测定消费者收入变动对需求量变动的影响程度。而且可以将各种产品分为: 1、正常品:一般来说,当消费者收入提高时,会增加各种产品的需求量,当某种产品的需求量随收入的提高而增加即需求量与收入成正向变动时,叫正常品,此时。其中,又可以根据就是否大于1 ,将正常品分为两种: (1)奢侈品:若,说明收入发生相对变动时,需求量变动更大,这种产品叫奢侈品。(2)必需品:若,说明收入发生相对变动时,需求量变动较小,这种产品叫必需品。 2、劣等品:需求量随收入增加而减少的产品,叫劣等品。运用需求的收入弹性,不仅可以确定商品的性质与类型,还可以解释许多经济现象,分析许多经济问题,恕不枚举。以上讨论了需求价格弹性及需求收入弹性的定义及其在经济中的应用。类似地,还可以讨论需求交叉弹性、供给价格弹性、供给的预期价格弹性、总成本对产量的弹性、总利润对产(销)量的弹性等在经济中的应用。
冲击弹性波
升拓无损检测技术—冲击弹性波 （四川升拓检测技术有限责任公司，四川成都610045） 摘要：冲击弹性波则是用锤或其他激振装置与测试对象冲击产生，是弹性波的一种。因为其具有激振能量大、操作简单、便于频谱分析等特点，是一种非常适合无损检测的媒介。 关键词：无损检测技术，冲击弹性波，波的分类，反射特性，升拓无损检测 无损检测运用广范，在国内许多行业和部门，例如机械、粉末冶金、建筑、公路、铁道、隧道、桥梁、石油天然气、石化、化工、航空航天、船舶、电力、核工业、兵器、煤炭、有色金属、医疗机构、核工业、海关等领域均有运用。四川升拓检测技术有限责任公司的无损检测技术主要致力于工程质量、结构安全和广域防灾减灾等方面的设备、系统的开发和销售。以振动、波动、声响、冲击等作为测试和监测媒介。 无损检测技术，又称非破坏检查技术，在不破坏物质原有状态及化学性质的前提下，利用物质中因有缺陷或组织结构上的差异存在而使其物理性质的物理量发生变化的现象，以不使检查物使用性能和形态受到操作为前提，通过一定的检测手段来测试、显示和评估这些变化，从而了解从而了解和评价材料、产品、设备构件等被测物的性质、状态或内部结构等所采用的检查方法。 无损检测技术是第二次世界大战后迅速发展起来的一门新兴的工程科学，它最突出的特点是“无损伤”。其发展过程经历了三个阶段：无损探伤阶段、无损检测阶段和无损评价阶段。首先，无损探伤阶段主要是探测和发现缺陷；其次，无损检测阶段不仅仅是探测缺陷，还包括探测试件的一些其他信息，例如、材质、结构、性质、状态等，并试图通过测试，掌握更多的信息；再次，无损评价阶段不仅要求发现缺陷，探测试件的材质、结构、性质、状态，还要求获取更全面，更准确的综合的信息，例如缺陷（裂缝、剥离、内部空洞、蜂窝等）、几何尺寸（厚度、埋深）、位置、取向、内含物、残余应力等，结合成像技术、自动化技术、计算机数据分析和处理等技术，材料力学、断裂力学等知识综合应用，对试件或产品的质量和性能给出全面、准确的评价。无损检测技术常用的方法有冲击弹性波检测（包含超声波检测和声波检测）、射线检测，超声波检测，磁粉检测，渗透检测、涡流检测、声发射检测等方法。进入21世纪以后，为满足生产的需求，并伴随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术、数字化与图像识别技术、人工神经网络技术和机电一体化技术的快速发展，无损检测的方法和种类日益繁多，除了上面提到的几种方法外，射线、激光、红外、微波、液晶、等技术都被应用于无损检测。
冲击弹性波检测技术基本原理
冲击弹性波检测技术基本原理 （宁波升拓检测技术服务有限公司浙江宁波） 摘要： 弹性波：是在固体材料中传播的物质粒子的微小振动传播形成的波，也曾被称为“机械波”、“应力波”、“地震波”等。由于变形微小，物体处于弹性状态，因此被称为弹性波；冲击弹性波：通过人工锤击、电磁激振等物理方式激发的弹性波； 无损检测技术，又称非破坏检查技术，就是在不破坏待测物质原来的状态、化学性质等前提下，利用物质中因有缺陷或组织结构上的差异存在而会使其某些物理性质的物理量发生变化的现象，以不使被检查物使用性能和形态受到损伤为前提，通过一定的检测手段来测试、显示和评估这些变化，从而了解和评价材料、产品、设备构件等被测物的性质、状态或内部结构等所采用的检查方法 随着现代工业的迅速发展，对产品质量、结构安全性和使用可靠性提出了更高的要求，由于无损检测技术具有不破坏试件，检测快捷简便、精度高等优点，所以其应用日益广泛。至今，无损检测技术在国内许多行业和部门，例如机械、粉末冶金、建筑、公路、铁道、隧道、桥梁、石油天然气、石化、化工、航空航天、船舶、电力、核工业、兵器、煤炭、有色金属、医疗机构、核工业、海关等，都得到广泛应用。 冲击弹性波无损检测技术的发展历程 早在1960年代，弹性波（Elastic wave）的概念即被提出，并在物探等领域得到了广泛的应用。1980年代开始，包括“Impact Echo”法在内的弹性波无损检测方法，在ASTM的多个规程中得到了体现（C597、C1383、D2845等） 2000年，日本土木学会设立了“弾性波法の非破壊検査研究小委員会”，提出了冲击弹性波“Impact Elastic Wave”的概念。2009年，日本无损检测协会（日本非破壊検査協会、JSNDI）颁布了基于弹性波的技术标准（NDIS 2426，コンクリート構造物の弾性波による試験方法，Non-destructive testing of concrete-elastic wave method），并将超声波、打声法等均归为弹性波的范畴。标准的第1、2、3部分别为超声波、冲击弹性波（Impact elastic wave method）和打声法。 本公司开发的各类检测和监测设备，均以振动和冲击弹性波为检测媒介，并正逐步形成相应的技术体系。 冲击弹性波的基本概念 振动和波的概念 首先，要分清楚两个容易混淆而又相互关联的概念，即振动和波。振动表示局部粒子的运动，其粒子在平衡位置做往复运动。而波动则是全体粒子的运动的合成。在振源开始发振产生的扰动，以波动的形式向远方向传播，而在波动范围内的各粒子都会产生振动。换句话说，在微观看主要体现为振动，而在宏观来看则容易体现为波动。
弹性力学在工程中的应用
弹性力学在土木工程中的应用 摘要：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产的应力、弹性力学，应变和位移，从而解决结构或设计中所提生出的强度和刚度问题。在土木工程方面，建筑物能够通过有效的弹性可以抵消部分晃动，从而减少在地震中房屋倒塌的现象；对于水坝结构来说，弹性变化同样具有曲线性，适合不断变化的水坝内部的压力，还有大型跨顶建筑、斜拉桥等等。弹性力学在土木工程中还有一些重要应用实例，如：地基应力与沉降计算原理、混凝土板的计算方法、混凝土材料受拉劈裂试验的力学原理、混凝土结构温度裂缝分析、工程应变分析、结构中的剪力滞后问题等。 关键词：弹性力学、力学、弹性变形、有限元法、强度、土木工程
正文： 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性力学弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。 对于物体弹性变形，变形的机理，应从材料内部原子间里的作用来分析。实际上，固体材料之所以能保持其内部结构的稳定性是由于组成该固体材料（如金属）的原子间存在着相互平衡的力，吸力使原子间密切联系在一起，而短程排斥力则使各原子间保持一定的距离在正常情况下，这两种力保持平衡，原子间的相对位置处于规则排列的稳定状态。受外力作用时，这种平衡被打破，为了恢复平衡，原子便需产生移动和调整，使得吸力、斥力和外力之间取得平衡。因此，如果知道了原子之间的力相互之间的定律，原则上就能算出晶体在一定弹性力作用下的反应。实际上，固体结构的内部是多样的、复杂的。例如：夹杂、微孔、晶
弹性理论在现实生活中有哪些实际应用
弹性理论在现实生活中有哪些实际应用 1.什么是弹性理论 经济学中研究经济变量的相对变化对经济变量的相对变化的反应程度或灵敏程度的理论。当两个经济变量间存在函数关系时，作为自变量的经济变量的变化，必然引起作为因变量的经济变量的变化。弹性即表示因变量经济变量的相对变化对自变量相对变化的反应程度或灵敏程度。弹性理论包括需求弹性和供给弹性。
2.需求弹性和供给弹性及其在生活中的应用 2.1.需求弹性 需求弹性是指在一定时期内商品的相对变动对于该商品价格的相对变动的反应程度。需求的价格弹性： 它分为五种类型：完全弹性（奢侈品、豪华小汽车）、富有弹性（可乐钻石黄金）、单位弹性、缺乏弹性（大米、白面、鸡蛋等生活必需品）以及完全无弹性（特效药、婚丧用品）
2.2.供给曲线 供给曲线是以几何图形表示商品的价格和供给量之间的函数关系。供给指的是个别厂商在一定时间内，在一定条件下，对某一商品愿意并且有商品出售的数量。 供给弹性：完全缺乏弹性（工业制品）、完全富有弹性、单位弹性、缺乏弹性（土地）以及富有弹性。供给弹性的大小取决于：价格、成本、技术水平。举个身边的例子，我们学校食堂的饭菜可以看作是在供给曲线中附有弹性的商品，若是某一菜品的利润比较小的话那么就会减少，甚至停止这一菜品的生产。8元的盅类菜品，已经很少看见。食堂会根据各类菜品取得的利润来调整食堂菜品的供应，这样就能提升食堂的总收益。 供给曲线也有特例：典型的，供给曲线不规则。工资提高到一定水平，随着工资进一步提高，工人劳动的供给反而减少，曲线向左弯回；特殊商品市场如古字画等，供给曲线也可能不规则。它呈现的是一条垂直于横轴的直线。 3.小结 我们以穷挫丑和白富美为例最大化的投入自己的物资、精力和时间资源，试图博取白富美的好感。虽然收益无限趋近于零，但白富美几乎占据了穷挫丑的所有生活——在两人的关系中，穷挫丑的成本很高。 白富美通常会无视穷挫丑所做的一切，甚至回个信息的时间成本都不愿意投入——在两人的关系中，白富美的成本可以忽略不计。
研究弦线上波的传播规律
实验五 研究弦线上波的传播规律 一、实验目的 1.观察弦线上驻波的变化，了解并熟悉实验仪器的调整方法。 2.研究弦线振动时的振动频率与振幅变化对形成驻波的影响。波长与张力的关系； 3.在弦线张力不变时，研究弦线振动时驻波波长与振动频率的关系。 4.改变弦线张力后，研究弦线振动时驻波波长与振动频率的关系。 二、仪器和用具 可调频率的数显机械振动源、弦线支撑平台、固定滑轮、可调滑轮、砝码盘、米尺、弦线、砝码、频闪灯、分析天平等。见图1 图1 仪器结构图 1.可调频率数显机械振动源 2.振簧片 3.弦线 4.可动刀口支架 5.可动滑轮支架 6.标尺 7.固定滑轮 8.砝码与砝码盘 9.变压器 10.实验平台 11.实验桌 三、实验原理 在一根拉紧的弦线上，其中张力为T ，线密度为μ，则沿弦线传播的横波应满足下述运动方程： 2 2 22 x y T t y ??= ??μ (1) 式中x 为波在传播方向（与弦线平行）的位置坐标，y 为振动位移。将(1)式与典型的波动方程 2 2 2 22 x y V t y ??=?? 相比较，即可得到波的传播速度: μ T V = 若波源的振动频率为f ，横波波长为λ，由于λf V =，故波长与张力及线密度之间的
关系为： μ λT f 1= (2) 为了用实验证明公式(2)成立，将该式两边取对数，得： f T lo g log 2 1log 2 1log -- = μλ 若固定频率f 及线密度μ，而改变张力T ，并测出各相应波长λ，作log λ-log T 图，若得一直线，计算其斜率值（如为 2 1），则证明了λ∝2 1 T 的关系成立。同理，固定线密度 μ及张力T ，改变振动频率f ，测出各相应波长λ，作log λ-log f 图，如得到斜率为-1的直线则验证了λ∝f -1 。 弦线上的波长可利用驻波原理测量。当两个振幅和频率相同的相干波在同一直线上相向 传播时，其所叠加而成的波称为驻波，一维驻波是波干涉中的一种特殊情形。在弦线上出现许多静止点，称为驻波的波节，相邻两波节间的距离为半个波长。见图2。 2 λ 图2 四．实验内容 1.必做内容 （1）验证横波的波长与弦线中的张力的关系 固定一个波源振动的频率，在砝码盘上添加不同质量的砝码，以改变同一弦上的张力。 每改变一次张力(即增加一次砝码)，均要左右移动可动滑轮○5的位置，使弦线出现振幅较大 而稳定的驻波。用实验平台⑩上的标尺○6测量L 值，即可根据式(3)算出波长λ。作log λ-log T 图，求其斜率。 （2）验证横波的波长与波源振动频率的关系 在砝码盘上放上一定质量的砝码，以固定弦线上所受的张力，改变波源振动的频率，用驻波法测量各相应的波长，作log λ-log f 图，求其斜率。最后得出弦线上波传播的规律结论。 2.选做内容 验证横波的波长与弦线密度的关系 在砝码盘上放固定质量的砝码，以固定弦线上所受的张力，固定波源振动频率，通过改变弦丝的粗细来改变弦线的线密度，用驻波法测量相应的波长，作log λ-log μ图，求其斜率。得出弦线上波传播规律与线密度的关系。
三种碰撞真的遵从动量守恒定律吗
三种碰撞真的遵从动量守恒定律吗? 柏青山（退休教师） 吉林大学物理学院公共物理教学中心长春130026 Email：yang.changbiduan@https://www.sodocs.net/doc/8216517212.html, 摘要：质点是一个非常严谨的概念，是力学规律成立的条件，而碰撞遵从动量守恒定律又是在 质点系不受外力作用的条件下，由牛顿的第二、第三定律给出的结论。由于三种碰撞都不能看成质 点间的碰撞，那么在教材中对它们给出遵从动量守恒定律的结论就值得怀疑。在此，笔者对完全弹 性碰撞、完全非弹性和非完全弹性碰撞给出不遵从动量守恒定律的证明，以便与诸位讨论。 关键词：质点概念动量和能量守恒定律弹性波 1。重申质点概念 质点是具有物体全部质量的几何点，它是物体的力学模型。由于这个模型只有物体的质量，排除了物体其它所有性质，也就指明了质点动力学所研究的是作用力与物质惯性的关系，是力学规律得到揭示及其数学表述能严格化的条件。但由于在真实的世界中并不存在质点，质点就变成应用力学规律时对物体的要求，即要求物体无转动、无变形和无内能。对于后两条换种提法，就是要求物体接受外力作用要有同时性、整体性，即要求物体内对外力作用要有无穷大的传播速度。也就是说，只有对近似满足这些条件的一类物体，才能看成质点，才能应用力学规律来近似地解决它们的运动问题。然而，我们对这个最基本的质点概念缺少深刻而严谨的认识，以至在应用力学规律上出现了三种碰撞遵从动量守恒定律的错误。 2。三种碰撞遵从动量守恒定律吗？ 在任何一本力学的教材中，都把碰撞问题当作一种重要的作用类型来介绍。对于两体的完全弹性碰撞、完全非弹性和非完全弹性碰撞都仅在体系不受外力作用的条件下，就直接作出遵从动量守恒定律的结论。我们知道，物体碰撞遵从动量守恒定律的结论，是对质点体系在不受外力作用的条件下，由牛顿第二、第三定律作出的。因此，两个物体的碰撞能否遵从动量守恒定律，就要依据这两个物体能否近似看成质点和该体系是否有外力作用来判定。可是，完全弹性碰撞的物体有变形过程、有内能，它不能看成质点间的碰撞，因为能看成质点的物体只能是近似的刚体而不是弹性体；完全非弹性和非完全弹性碰撞的物体都有不能恢复的变形、有内能，也不能近似成质点。可见，仅就它们的称呼而论，都叫出了与质点的不同，也就否定了它们是质点间的碰撞。两个条件缺一，我们又怎能从理论上对这三种碰撞作出遵从动量守恒定律的结论？这一结论是来自大量实验总结吗？在牛顿的时代根本不具备广泛作这类实验的条件，如今也不见有人提供这方面大量的实验证据。在愚者所看到的大部分实验类的书中，尽管有完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的气垫实验，但认真推敲之时就会发现，完全弹性碰撞实验并不是两个弹性物体直接碰撞，而是加上了弹簧作为碰撞的中间媒介；完全非弹性碰撞实验也没有一个是真正的非弹性物体，而是在弹性物体上加了彼此能衔住的装置或粘合物。对于完全弹性碰撞实验，根据前面指明的一个物体能看成质点，“就是要求物体接受外力作用要有同时性、整体性，即要求物体内对外力作用要有无穷大的传播速度”。这对一个指定的物体而言，就变为对外力作用的要求。在一般情况下，它要求外力作用在物体中传播的时间内能看作是个常量，在外力作用总的时间上要比任意时刻的外力作用在物体中的传播时间相对漫长，只有近似满足这两个条件的外力在对物体作用效果上才不失观测上的平均意义。就是说，只有在这样平缓外力作用下的弹性物体才能看成质点。而这个实验中的弹簧所起的作用就是将弹性物体间的碰撞力变成了平缓的推力，把弹性物体质点化，使完全弹性碰撞变为质点间的碰撞了。对这一问题，愚者已作过把两弹性物体看成质点，利用弹簧的性质给出遵从质点式动量和机械能守恒定律的证明，完全用不上弹性物体的性质。那么，对于一个丝毫不能反映弹性物体性质的碰撞实验，又怎么能称作弹性物体的完全弹性碰撞实验？对于完全非弹性碰撞
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
最新弹性力学基础知识归纳
一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静 力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单 的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时， 应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？ 应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。 4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他 们的正负号？
由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4）各向同性假定。 （5）小变形假定。 满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。 7.什么是差分法？写出基本差分公式？ 差分法是把基本方程和边界条件近似地看改用差分方程（代
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用
《弹性力学》读书报告 弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 一．弹性力学的作用 弹性力学研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性。切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方程。对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等 二．弹性力学在常用坐标系下的基本方程 现在就解析法简要介绍弹性力学的基本方程： 1．平衡微分方程 用张量形式描述 2. 几何方程 用张量形式描述 变形协调方程
3.本构方程-广义胡克定律 用应力表示的本构方程 [][][][][][]()/(1)/()/(1)/()/(1)////x x y z E v x v E y y x z E v y v E z z x y E v z v E xy xy G yz yz G xz xz G εσσσσεσσσσεσσσσγτγτγτ=-+=+-Θ=-+=+-Θ=-+=+-Θ=== 用应变表示的本构方程 4．边界条件： 如果物体表面的面力F s x ，F s y ，F s z 为已知，则边界条件应为：
称为面力边界条件，用张量符号表示为 如果物体表面的位移已知，则边界条件应为 称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。 如上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。 三．弹性力学基本的解决问题的方法： 弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。 数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。数学方法是偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。 （1）解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。 （2）数值解法是采用计算机处理的近似解法。近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。 四．弹性力学在实际应用中解决问题的实际方法： 1. 应力函数法 该方法主要是用应力作为基本变量求弹性力学的平面问题，在体力为常量时，归结为在给定的边界条件下求解平衡方程 //0//0 x x yx y Fx xy x y y Fy σττσ??+??+=??+??+= 和调和方程：▽2（σx+σy ）=0 转化成齐此方程，用数学方法求出各项参数。 直接求解弹性力学问题往往时很困难的，有时可以使用逆解法和半逆解法。
弹性理论的应用
三、把弹性引入经济应用的实际意义 弹性是经济学中得到广泛应用的一个重要概念，它在预测市场结果、分析市场受到干预时所发生的变化等方面起着重要作用，是企业管理者进行科学决策的一个有利的经济分析工具。 （一）进行价格决策与销售收益分析 利用需求价格弹性的概念，可以得出价格变动如何影响销售收益的结论。这对于制定销售策略和合理确定商品价格有着重要的参考价值。 设需求函数，从而收益函数为，其边际收益。 由此可知,当需求是富有弹性时,即当时，，说明收益是价格的单调减函数。此时若采取降价措施,可使总收益增加,即薄利多销多收益； 当需求是缺乏弹性时,即当时，，说明收益是价格的单调增函数。此时可适当提高商品售价，以增加销售收入； 当需求具有单一弹性，即时，，此时的收益已经达到最大值,且总收益不受价格影响，因而无需再对商品价格进行调整。 （二）引导消费品的生产 消费品生产企业，需要科学地预测消费者购买力的投向，以便生产适销产品，增加企业利润。而居民消费品购买力又与其可支配收入有直接关系。 需求的收入弹性(以表示) ,是指消费者收入的相对变动所引起的需求量的相对变动。其数学表达为: 。当时，， 其中，表示消费者的收入,为消费者收入的变动量。根据的大小,能够测定消费者收入变动对需求量变动的影响程度。而且可以将各种产品分为: 1. 正常品:一般来说,当消费者收入提高时,会增加各种产品的需求量,当某种产品的需求量随收入的提高而增加即需求量与收入成正向变动时,叫正常品,此时。其中,又可以根据是否大于1 ,将正常品分为两种: （1）奢侈品:若,说明收入发生相对变动时,需求量变动更大,这种产品叫奢侈品。（2）必需品:若,说明收入发生相对变动时,需求量变动较小,这种产品叫必需品。 2.劣等品:需求量随收入增加而减少的产品,叫劣等品。运用需求的收入弹性,不仅可以确定商品的性质和类型,还可以解释许多经济现象,分析许多经济问题,恕不枚举。以上讨论了需求价格弹性及需求收入弹性的定义及其在经济中的应用。类似地,还可以讨论需求交叉弹性、供给价格弹性、供给的预期价格弹性、总成本对产量的弹性、总利润对产(销)量的弹性等在经济中的应用。 的预期价格弹性、总成本对产量的弹性、总利润对产(销)量的弹性等在经济中的应用。 （三）进出口商品供求弹性与国际贸易收支 研究一国进出口商品供给和需求弹性，对一国正确地制定汇率政策、价格政策、产业政策、外贸管理政策等宏观、微观经济政策，进而改善贸易收支，促进国际收支平衡有着重大的理论意义。 一般而言，需求弹性越大，货币贬值对贸易收支的调节效果越好，越有利于改善国际贸易收支。当需求弹性无穷大时，一国货币贬值不仅能消除逆差，还可以使该国从逆差变为顺差。相反当需求缺乏弹性时，一国的货币贬值不仅不能改善国际贸易收支，反而使国际贸易收支恶化。进出口商品的供给弹性对贸易收支也有影响，但其影响方向是不确定的。 英国经济学家马歇尔率先提出了商品的供给和需求价格弹性理论，并将其运用于国际贸易领域，正式提出了"进出口需求弹性"的概念。后来在勒纳等人的相继努力下，创立了国际收支弹性分析法的马歇尔一勒纳条件，主要考察在假定供给弹性无穷大时，货币贬值与贸易收支之间的改善关系。在这一条件中，只要一国出口和进口需求弹性之和的绝对值大于
实验二 电磁波在介质中的传播规律
电磁场与微波技术实验报告 （二） 课程实验：电磁波在介质中传播规律 班级： 姓名： 指导老师： 实验日期： 2015.11.21
电磁波在介质中的传播规律 一、实验目的： 1、用MATLAB 程序演示了电磁波在无损耗、较小损耗和较大损耗情况下的传播博规律； 2、结合图像探讨了电磁波在有耗介质中电场强度和磁场强度的能量变化情况； 3、学会使用Matlab 进行数值计算，并绘出相应的图形，运用MATLAB 对其进行可视化处理。 二、实验原理 1、电磁场的波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程，而我们讨论的介质是各向同性均匀线性的，即（0,0==j ρ）的情形。麦克斯韦方程组的解既是空间的函数又是时间的函数，而我们只考虑随时间按正弦函数变化的解的形式。对于这种解，其形式可表示成一个与时间无关的复矢量和一个约定时因子()t j ωex p 相乘，这里ω是角频率。在这种约定下，麦克斯韦方程组便可表示成[]1 ΗE ωμj -=?? (1) ΕΗωεj =?? (2) 0=??Ε (3) 0=??Η (4) 对方程（1）两边同取旋度，并将式(2)代入便得 ΕΕεμω2=???? （5） 利用如下矢量拉普拉斯算子定义以及方程（3） ()ΕΕΕ????-???=?2 （6） 方程（5）式变为[]2
022=+?ΕΕk （7） μεω=k （8） 类似地，可得Β所满足的方程为 022=+?ΒΒk （9） 方程（7）和（9）式称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程，是电磁场的波动方程。 2、平面波解 一般的电磁波总可用傅里叶分析方法展开成一系列。单色平面波的叠加。所以，对单色平面波的研究具有重要的理论和实际意义。假定波动方程（7）和（8）式的单色平面波的复式量解为[]3 ()[]r k ΕΕ?-=t j ωex p 0 （10） ()[]r k ΒΒ?-=t j ωex p 0 （11） 式中0Ε,0Β分别为Ε,Β振幅，ω为圆频率，k 为波矢量（即电磁波的传播方向）。 ()[]t kx j ω-ex p 代表波动的相位因子。 为了描述均匀平面波的相位在空间的变化快慢，在此引入相速的概念，即平面波等相位的传播速度。很显然等相位面由下面方程决定[]1 const kr t =-ω （12） 方程（12）两边对时间t 求导可得 k dt dr v ω == (13) 由式（8）可知 εμ 1 = v （14） 将（10）和（11）式代入我们上面给出的麦克斯韦方程组可得[]3
岩体中弹性波传播尺度效应的初步分析
第33卷 第9期 岩 土 工 程 学 报 Vol.33 No.9 2011年9月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Sep. 2011 岩体中弹性波传播尺度效应的初步分析 徐松林1，郑 文1，刘永贵1，席道瑛2，李广场3 (1. 中国科学技术大学中国科学院材料力学行为和设计重点实验室，安徽 合肥 230027；2. 中国科学技术大学地球及空间科学系， 安徽 合肥 230026；3. 浙江华东工程安全技术有限公司，浙江 杭州 310014) 摘要：含缺陷岩体具有尺度效应，此类岩体中传播的弹性波也有尺度效应。对现场测点EC37-201-06，在3.0×3.2 m2的范围内采用动态有限元方法进行了15种尺度的弹性波传播规律的分析研究。对现场测点EC37-101-06，在1.2×1.2 m2的范围内采用准静态有限元方法进行了60种尺度的弹性波波速与围压及计算尺度的关系的计算分析。前者采用了射线理论分析思想，而后者采用等效介质分析思想，得到了相应的弹性波的尺度效应，但二者规律有差异。为建立二者间的联系，也为了工程应用，基于量纲理论分析方法，给出了一个半理论的波速与入射波频率的计算公式。与现场声波和地震波测试结果，以及考虑随机分布单节理散射模型的计算结果进行比较，初步分析结果表明，此公式基本可行。 关键词：岩石动力学；弹性波；尺度效应；节理岩体；量纲分析 中图分类号：TU45 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2011)09–1348–09 作者简介：徐松林(1971–)，男，湖北人，博士，副教授，从事材料冲击作用下响应的研究。E-mail: slxu99@https://www.sodocs.net/doc/8216517212.html,。 A preliminary analysis of scale effect of elastic wave propagation in rock mass XU Song-lin1, ZHENG Wen1, LIU Yong-gui1, XI Dao-ying2, LI Guang-chang3 (1. CAS Key Laboratory for Mechanical Behavior and Design of Materials, University of Science and Technology of China, Hefei 230027, China; 2. Department of Earth and Space Science, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China; 3. Zhejiang East China Engineering Safety Technology Corporation Ltd., Zhejiang 310014, China) Abstract:The propagation rules of elastic wave in rock mass with defects take on scale effect, just like the rock mass. The dynamic finite element method (DFEM) is employed to investigate the propagation rules of elastic waves at site-EC37-201-06. The whole computation area is 3.0×3.2 m2 and 15 kinds of computation scales are applied. A static finite element method (FEM) is used to study the relations of elastic wave velocities to the confined pressure and computation scales at site-EC37-101-06. The whole computation area is 1.2×1.2 m2 and 60 kinds of computation scales are applied. The ray theory is used in the former method, and the effective media theory is used in the later. The scale effect of elastic waves is obtained, but there are differences for the two methods. To establish their relations and provide a simple model for engineering computation, a semi-theoretical phase velocity equation is proposed based on the dimensionless method. Compared with the in-situ sonic velocities, seismic velocities and velocities computed by the theoretical model with randomly distributed joints, the proposed equation can be well used in rock mass. Key words: rock dynamics; elastic wave; scale effect; joint rock; dimensional analysis 0 引 言 作为天然的地质体，原位岩体含有大量的节理、裂隙等缺陷，岩体具有较强的尺度效应。岩石研究一般有4种尺度[1]，即矿物颗粒尺度、岩石尺度、岩体尺度和地质尺度。在工程应用和研究中主要涉及3种尺度：微观(micro-scale)、细观(meso-scale)和宏观尺度(macro-scale)，与上述的前3个尺度相当。不同尺度的作用机制和研究方法不同，如微观尺度研究的是矿物间的相互作用，而宏观尺度研究的是岩体作为等效介质的响应，存在较大的差异，但是不同尺度研究之间的联系尚无定论。本文进行弹性波传播的尺度效应的研究，拟将弹性波的波长作为不同尺度间的联系进行初步探索，另外，也可通过此研究解释现场声波和地震波数据的离散性和差异性。 岩体中弹性波传播的尺度效应研究目前尚不系统。实验研究方面主要关注岩石颗粒、随机分布裂纹等缺陷的影响[2-7]。只有Gettemy等[7]对比分析了San ─────── 基金项目：国家自然科学基金项目（40874093）；中央高校基本科研业务费专项资金项目 收稿日期：2010–06–23
弹性波理论
地震波交错网格高阶差分数值模拟研究 摘要: 地震波数值模拟技术是勘探地球物理学中的重要组成部分，研究通过弹性波一阶速度——应力方程，采用交错网格高阶有限差分法实现了地震波在各向同性介质中的高精度的数值模拟，并采用完全匹配层( PML) 吸收边界来消除边界反射，可取得较好的效果。通过模型的正演计算和复杂模型的处理结果表明，交错网格高阶有限差分法数值模拟是一种快速有效的地震波数值模拟方法。 关键词: 地震勘探; 交错网格; 有限差分; 数值模拟 引言 地震数值模拟是模拟地震波在介质中传播的一种数值模拟技术，随着地震波理论在天然地震和地震勘探中的应用，地震模拟技术便应运而生，并随着地震波理论和计算机技术的发展，地震数值模拟技术自20世纪60年代以来也得到了飞速发展，形成了目前具有有限差分法、有限元法、虚谱法和积分方程法等各种数值模拟方法的现代地震数值模拟技术。 有限差分法是偏微分方程的主要数值解法之一。在各种地震数值模拟方法中，最早出现的数值模拟方法是有限差分法。Ａlterman和Karal(1968)首先将有限差分法应用于层状介质弹性波传播的数值模拟中。此后，Boore(1972)又将有限差分法用于非均匀介质地震波传播的模拟。Alford等（1974）研究了声波方程有限差分法模拟的精确性。Kelly等（1976）研究了用有限差分法制作人工合成地震记录的方法。Virieux(1986)提出了应用速度——应力一阶方程交错网格有限差分法模拟P——SV波在非均匀介质中的传播。交错网格方法提高了地震模拟的精度和稳定性，并消除了部分假想。 有限元法也是偏微分方程的数值解法之一。Lysmer和Drake（1972）最早将有限元法应用于地震数值模拟。Marfurt(1984)研究对比了模拟弹性波传播的有限差分法和有限元法的精度。Seron等（1990,1996）给出了弹性波传播有限元模拟方法。Padovani等（1994）研究了地震波模拟的低阶和高阶有限元法。Sarma等（1998）给出了三维声波模拟的虚谱法。 积分方程法是建立在波动方程的积分表达式的基础上的，其理论基础是惠更斯原理。积分方程法也是有限元法之后发展起来的一种地震数值模拟方法。Pao 和Varatharajulu（1976）提出了弹性波散射的积分表达式。Bennett和Mieras(1981)给出了流体目标声波散射的时间域积分方程解。Bouchon(1987)给出了裂隙或孔洞弹性波绕射的离散波数法模拟方法。Bouchon等（1989）研究了具有不规则界面的多层介质中波传播的边界积分方程——离散波数法。Bakamjian（1992）给出了三维地震波传播模拟的边界积分方程法。符力耘和牟永光（1994）提出了弹性波正演模拟的边界元法。符力耘等（1997）提出了非线性Fredholm积分方程的正演问题。符力耘（2003）给出了含起伏地表的广义Lipmann—Schwinger积分方程的数值模拟方法。 射线追踪方法是建立在波动方程的高频近似基础上的一种地震数值模拟方法（cerveny等，1977）。这种方法实际只计算了最奇异部分的解，即旅行时和振幅函数的特征曲线，它们分别是程函方程和传播方程的解。这种方法计算效率高。但是，一些复杂的本构方程由于积分方程法和射线追踪法不满足假设条件而限制